1、.自然數(shù)集擴大后的基數(shù)理論 劉緹仿:自然數(shù)集擴大后,其基數(shù)理論起了相應變化,定義與法那么都需作調(diào)整以適應數(shù)學教學與應用的需要.1994年11月國家技術(shù)監(jiān)視局發(fā)布的?中華人民共和國國家標準,物理科學和技術(shù)中使用的數(shù)學符號?中,將自然數(shù)集記為N=0,1,2,3,而將原自然數(shù)集稱為非零自然數(shù)集N+或N*=1,2,3,.自然數(shù)集擴大后,文1中的自然數(shù)的基數(shù)理論以及其他一些與自然數(shù)有關(guān)的理論問題隨之起變化,這給數(shù)學教學與數(shù)學應用產(chǎn)生一定影響.為此,我們將自然數(shù)的基數(shù)理論討論如下.1對自然數(shù)的來源的認識由于自然數(shù)的概念是建立在基數(shù)理論1之上的,基數(shù)是由集合對等而來.最初人類對物品的計數(shù),是將物品與人的手指

2、腳趾數(shù)形成映射關(guān)系,物品既然存在“多少,也就存在“有或“沒有,“沒有即可認為是空集,其計數(shù)應當是零.這就是說,零與非零自然數(shù)是人類認識同步的客觀現(xiàn)象,而并非是6世紀才有零的概念.也許這就是將零補充到自然數(shù)集的緣由之一.事實上,國外許多文獻和專家早就主張將零作為第一個自然數(shù).2自然數(shù)的新概念自然數(shù)擴大后,包含了空集的基數(shù),要去掉原有自然數(shù)定義中“非空的限制條件,即定義1有限集合的基數(shù)叫做自然數(shù).根據(jù)對等的概念,可以建立N與N+的一一映射關(guān)系f:N=0,1,2,3,N+=1,2,3,4,由此可見,N與N+有一樣的基數(shù),即|N|=|N+|.3自然數(shù)的四那么運算自然數(shù)加法、乘法運算義定只要去掉原有定義

3、中的“非空二字即可,亦即定義2設有有限集合A和B,且AB=A,B別離.假設記AB=C,集合A,B,C的基數(shù)分別是a,b和c,那么c叫做a與b的和,記作a+b=c.a和b叫做加數(shù).求兩個數(shù)的和的運算叫做加法.定義3設有mm1個互相對等,且兩兩別離的有限集合A1,A2,A3,Am,它們的基數(shù)都是n.又設A=Umi=1Ai,A的基數(shù)記作a,即有a=n+n+nm個,這個a就叫做n乘以m的積,記作a=n×m,或a=n.m,或a=nm.n稱為被乘數(shù),m稱為乘數(shù).求兩個數(shù)積的運算叫做乘法.對于數(shù)0,1,補充義定:n和0的積是0,n和1的積是n,即n.0=0,n.1=1.在上述定義里,加法、乘法的交

4、換律、結(jié)合律,乘法對于加法的分配律仍然成立.關(guān)于減法運算的定義,除了去掉“非空二字外,集合B可以是A本身,即定義4設有有限集合A和B,BA,假設記A-B=C,且A,B,C的基數(shù)分別記作a,b,c,那么c叫做a,b的差,記作a-b=c.a叫做被減數(shù),b叫做減數(shù).求兩個數(shù)差的運算叫做減法.除法是乘法的逆運算,在原定義中要限定“除數(shù)非零即可.定義5設a,bb0是兩個自然數(shù),假如存在一個自然數(shù)c,使得bc=a,那么c叫做a除以b所得的商,記作ab=c,或a÷b=c.a稱為被除數(shù),b稱為除數(shù).求兩個數(shù)商的運算叫做除法.4自然數(shù)的有關(guān)性質(zhì)1自然數(shù)的有序性決定了自然數(shù)可以比較大小,即定義6假如兩個

5、有限集合A,B的基數(shù)分別為a,b,那么1°當AA,AB時,a2°當BB,AB時,a3°當AB時,a=b.自然數(shù)有反身律:a=a;對稱律:假設a=b,那么b=a;傳遞律:假設ab,bc,那么ac.自然數(shù)從小到大的排序為0,1,2,3,.2自然數(shù)的單調(diào)性反映了不等量關(guān)系中的運算性質(zhì),擴大后的自然數(shù)其單調(diào)性有了部分性改變,即假設ab,那么1°a+cb+c;2°當c0時,acbc,當c=0時,ac=bc.對于與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學論證與原理,應隨自然數(shù)擴大后作相應調(diào)整.如數(shù)學歸納法證明的步驟應是1°驗證n=0時,命題成立;宋以后，京師所設小學館和

6、武學堂中的老師稱謂皆稱之為“教諭。至元明清之縣學一律循之不變。明朝入選翰林院的進士之師稱“教習。到清末，學堂興起，各科老師仍沿用“教習一稱。其實“教諭在明清時還有學官一意，即主管縣一級的教育生員。而相應府和州掌管教育生員者那么謂“教授和“學正。“教授“學正和“教諭的副手一律稱“訓導。于民間，特別是漢代以后，對于在“校或“學中傳授經(jīng)學者也稱為“經(jīng)師。在一些特定的講學場合，比方書院、皇室，也稱老師為“院長、西席、講席等。2°假設n=k-1時成立,那么n=k時命題成立.“教書先生恐怕是市井百姓最為熟悉的一種稱呼，從最初的門館、私塾到晚清的學堂，“教書先生那一行當怎么說也算是讓國人景仰甚或敬

7、畏的一種社會職業(yè)。只是更早的“先生概念并非源于教書，最初出現(xiàn)的“先生一詞也并非有傳授知識那般的含義。?孟子?中的“先生何為出此言也？；?論語?中的“有酒食，先生饌；?國策?中的“先生坐，何至于此？等等，均指“先生為父兄或有學問、有德行的長輩。其實?國策?中本身就有“先生長者，有德之稱的說法?？梢姟跋壬夥钦嬲摹袄蠋熤猓故桥c當今“先生的稱呼更接近。看來，“先生之根源含義在于禮貌和尊稱，并非具學問者的專稱。稱“老師為“先生的記載，首見于?禮記?曲禮?，有“從于先生，不越禮而與人言，其中之“先生意為“年長、資深之傳授知識者，與老師、老師之意根本一致。語文課本中的文章都是精選的比較優(yōu)秀的文章,還有不少名家名篇。假如有選擇循序漸進地讓學生背誦一些優(yōu)秀篇目、精彩段落,對進步學生的程度會大有裨益。如今,不少語文老師在分析課文時,把文章解體的支離破碎,總在文章的技巧方面下功夫。結(jié)果老師費力,學生頭疼。分析完之后,學生收效甚微,沒過幾天便忘的一干二凈。造成這種事倍功半的為難場面的關(guān)鍵就是對文章讀的不熟。常言道“書讀百遍,其義自見,假如有目的、有方案地引導學生反復閱讀課文,或細讀、默讀、跳讀,或聽讀、范讀、輪讀、分角色朗讀,學生便