1、數(shù)學(xué)模型作業(yè)答案第二章 (1) （2012 年 12 月 21 日）1 學(xué)校共 1000 名學(xué)生， 235 人住在 A宿舍， 333 人住在 B宿舍， 432 人住在 C宿舍 .學(xué)生們要組織一個10 人的委員會，試用下列辦法分配各宿舍的委員數(shù)：（ 1） . 按比例分配取整數(shù)的名額后 , 剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者 ;（ 2）. § 1 中的 Q值方法；（ 3） .d Hondt 方法：將 A、 B、 C各宿舍的人數(shù)用正整數(shù)n=1,2,3, 相除，其商數(shù)如下表：12345A235117.578.358.75B333166.511183.25C43221614410886.4將所

2、得商數(shù)從大到小取前 10 個（ 10 為席位數(shù)） ，在數(shù)字下標(biāo)以橫線，表中A、 B、 C 行有橫線的數(shù)分別為 2， 3， 5，這就是 3 個宿舍分配的席位 . 你能解釋這種方法的道理嗎？如果委員會從10 個人增至 15 人，用以上3 種方法再分配名額，將3 種方法兩次分配的結(jié)果列表比較.解： 先考慮 N=10的分配方案，方法一（按比例分配）分配結(jié)果為：n13,n23,n34方法二（ Q值方法）9 個席位的分配結(jié)果（可用按比例分配）為：第 10 個席位：計算 Q值為Q3 最大，第10 個席位應(yīng)給C.分配結(jié)果為n12,n23,n35方法三（ d Hondt 方法）此方法的分配結(jié)果為：n12,n23

3、,n35此方法的道理是： 記 pi 和 ni 為各宿舍的人數(shù)和席位（i=1,2,3代表 A、B、C 宿舍） . pi 是每席位代表的人數(shù)，取ni 1,2, 從而得到的 pi 中選較大者，可使對所nini有的 i , pi 盡量接近 .ni再考慮 N 15 的分配方案，類似地可得名額分配結(jié)果. 現(xiàn)將 3 種方法兩次分配的結(jié)果列表如下：宿舍 （1）（ 2）（3） （ 1）（ 2）（ 3）322443333A45555BC566710101515總計10152 試用微積分方法，建立錄像帶記數(shù)器讀數(shù)n 與轉(zhuǎn)過時間的數(shù)學(xué)模型 .解： 設(shè)錄像帶記數(shù)器讀數(shù)為n 時，錄像帶轉(zhuǎn)過時間為t. 其模型的假設(shè)見課本.

4、考慮 t 到 tt 時間內(nèi)錄像帶纏繞在右輪盤上的長度，可得vdt (r wkn)2 kdn,兩邊積分，得tn0vdt 2 k (r wkn)dn0數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第三章 1（2008 年 10 月 14 日）1. 在 3.1 節(jié)存貯模型的總費用中增加購買貨物本身的費用, 重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量證明在不允許缺貨模型中結(jié)果與原來的一樣，而在允許缺貨模型中最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量都比原來結(jié)果減少解：設(shè)購買單位重量貨物的費用為k , 其它假設(shè)及符號約定同課本10對于不允許缺貨模型，每天平均費用為：令 dC0，解得T *2c1dTc2 r由 QrT，得 Q2c1rrTc2與不考慮購貨費的結(jié)果比較，

5、、的最優(yōu)結(jié)果沒有變2 0對于允許缺貨模型，每天平均費用為：C0T令， 得到駐點：C0Q與不考慮購貨費的結(jié)果比較，、的最優(yōu)結(jié)果減少2建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷售存貯模型設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)k ，銷售速率為常數(shù) r ， kr 在每個生產(chǎn)周期內(nèi)，開始的一段時間0 tT0 一邊生產(chǎn)一邊銷售，后來的一段時間 (T0 t T ) 只銷售不生產(chǎn)，畫出貯存量g(t ) 的圖形 .設(shè)每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費為c1 ，單位時間每件產(chǎn)品貯存費為c2 ，以總費用最小為目標(biāo)確定最優(yōu)生產(chǎn)周期，討論kr 和 kr 的情況 .解：由題意可得貯存量g(t) 的圖形如下：nT(kr )T0T貯存費為c2limg(t) dtg( i ) tic2

6、0c22t 0i 1又(k r )T0r (T T0 )rOr ( kr )TTT0T ,貯存費變?yōu)閏2k2k于是不允許缺貨的情況下，生產(chǎn)銷售的總費用（單位時間內(nèi)）為dCc1c2r ( k r ).dTT 22k令 dC0 ,得 T2c1kdTc2 r (k r )易得函數(shù) C (T )在 T 處 取得最小值，即最優(yōu)周期為：2c1kTc2 r (k r )當(dāng)kr 時，T2c1 .相當(dāng)于不考慮生產(chǎn)的情況 .c2 r當(dāng) kr 時 ，T.此時產(chǎn)量與銷量相抵消，無法形成貯存量.第三章 2（2008 年 10 月 16 日）3 在 3.3 節(jié)森林救火模型中，如果考慮消防隊員的滅火速度與開始救火時的火勢

7、b 有關(guān)，試假設(shè)一個合理的函數(shù)關(guān)系，重新求解模型.解： 考慮滅火速度與火勢 b 有關(guān)，可知火勢 b 越大，滅火速度將減小，我們作如下假設(shè) :(b)k，b1分母 b 1中的 1是防止 b0時而加的 .c1t12c12 t12 (b1)c2t1 x(b1)3 x總費用函數(shù) C x22(kxb)kxbc最優(yōu)解為c1kb 22c2b(b1)(b1)(b1)x2c3 k 2k5 在考慮最優(yōu)價格問題時設(shè)銷售期為T，由于商品的損耗，成本q 隨時間增長，設(shè)q(t )q0t ，為增長率.又設(shè)單位時間的銷售量為xabp( p為價格).今將銷售期分為0tT 2和T2tT 兩段，每段的價格固定，記作p1 , p2 .

8、求p1 , p2 的最優(yōu)值，使銷售期內(nèi)的總利潤最大. 如果要求銷售期T內(nèi)的總售量為Q0 ，再求 p1 , p2 的最優(yōu)值 .解：按分段價格，單位時間內(nèi)的銷售量為又q(t )q0t . 于是總利潤為=( a bp ) p t q tTTt22(a bp ) p t q tt211022202T02=( a bp1 )( p1T q0TT 2 )(a bp2 )( p2T q0 t 3 T 2 )228228令0,0 ,得到最優(yōu)價格為 :p1p2在銷售期 T 內(nèi)的總銷量為于是得到如下極值問題：利用拉格朗日乘數(shù)法，解得：即為 p1, p2 的最優(yōu)值 .第三章 3（2008 年 10 月 21 日）6

9、. 某廠每天需要角鋼 100 噸，不允許缺貨 . 目前每 30 天定購一次，每次定購的費用為 2500 元. 每天每噸角鋼的貯存費為 0.18 元 . 假設(shè)當(dāng)貯存量降到零時訂貨立即到達 . 問是否應(yīng)改變訂貨策略？改變后能節(jié)約多少費用？解：已知：每天角鋼的需要量 r=100( 噸 ); 每次訂貨費 c1 2500（元） ;每天每噸角鋼的貯存費c2 0.18 （元） . 又現(xiàn)在的訂貨周期T 0 30（天）根據(jù)不允許缺貨的貯存模型：C(T )c11 c2 rT krT225009T 100k得： C(T )T令 dC0 ，解得：T*250050dT93由實際意義知：當(dāng) T *50 （即訂貨周期為50

10、 ）時，總費用將最小 .33又C(T*)3 2500950100k 300 100k2500503C(T0 )9 30100k =353 33 100k30*) （ 353.33 100k）（100k） 25333.C (T0) C(T3003故應(yīng)改變訂貨策略 . 改變后的訂貨策略 （周期）為 T* = 50 ，能節(jié)約費用約5333 元.3數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第四章（ 2008 年 10 月 28 日）1. 某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品 , 一件甲產(chǎn)品用 A 原料 1 千克 , B 原料 5 千克；一件乙產(chǎn)品用 A原料 2千克,B原料 4千克. 現(xiàn)有 A原料 20千克,B原料 70千克. 甲、乙產(chǎn)品每件

11、售價分別為20 元和 30 元 . 問如何安排生產(chǎn)使收入最大？解：設(shè)安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品x 件 , 乙產(chǎn)品 y 件，相應(yīng)的利潤為S則此問題的數(shù)學(xué)模型為：max S=20x+30yx2y20s.t.5x4 y70x, y0, x, y Z這是一個整線性規(guī)劃問題，現(xiàn)用圖解法進行求解可行域為：由直線l1 ：x+2y=20,l 2 :5x+4y 70l 2y以及x=0,y=0組成的凸四邊形區(qū)域.直線l ： 20x+30y=c在可行域內(nèi)l平行移動.易知：當(dāng)l 過 l 1 與 l2 的交點時，l1xS 取最大值.由x5x2y4 y2070解得x10y5此時Sm ax 2010305 350（元）2. 某廠擬用集

12、裝箱托運甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤如下表：體積重量利潤貨物（立方米/ 箱）（百斤 /箱）（百元 /箱）甲5220乙4510已知這兩種貨物托運所受限制是體積不超過24 立方米，重量不超過13 百斤 . 試問這兩種貨物各托運多少箱，使得所獲利潤最大，并求出最大利潤.解 : 設(shè)甲貨物、乙貨物的托運箱數(shù)分別為x1 , x2 , 所獲利潤為z .則問題的數(shù)學(xué)模型可表示為這是一個整線性規(guī)劃問題用圖解法求解 .可行域為：由直線l 2 : 2x15x213及 x1.0, x20組成直線l : 20 x110x2c 在此凸四邊形區(qū)域內(nèi)平行移動.易知：當(dāng) l 過 l 1 與 l 2 的交點時，z

13、取最大值由 5x14x224解得x142x15x213x21zmax20410190 .3 某微波爐生產(chǎn)企業(yè)計劃在下季度生產(chǎn)甲、乙兩種型號的微波爐. 已知每臺甲型、乙型微波爐的銷售利潤分別為3 和2 個單位.而生產(chǎn)一臺甲型、乙型微波爐所耗原料分別為2 和3 個單位, 所需工時分別為4 和2個單位. 若允許使用原料為100個單位, 工時為120 個單位 ,且甲型、乙型微波爐產(chǎn)量分別不低于6 臺和12 臺.試建立一個數(shù)學(xué)模型, 確定生產(chǎn)甲型、乙型微波爐的臺數(shù), 使獲利潤最大并求出最大利潤 .解：設(shè)安排生產(chǎn)甲型微波爐x 件 , 乙型微波爐y 件 , 相應(yīng)的利潤為S.則此問題的數(shù)學(xué)模型為：max S=

14、3x +2y2x3y100s.t.4x2 y120x6, y12, x, y Z這是一個整線性規(guī)劃問題用圖解法進行求解可行域為：由直線l1 ： 2x+3y=100,l 2 :4x+2y 120及 x=6,y=12 組成的凸四邊形區(qū)域 .直線 l ： 3x+2y=c 在此凸四邊形區(qū)域內(nèi)平行移動.易知：當(dāng) l 過 l1 與 l 2 的交點時, S 取最大值 .由 2 x3y100解得4 x2 y120x 20 .y 20Sm ax 320220 100.數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第五章 1（2008 年 11 月 12 日）1. 對于 5.1 節(jié)傳染病的 SIR 模型，證明：（ 1）若 s01 ,則 i (

15、t )先增加，在 s 1 處最大 ，然后減少并趨于零； s(t ) 單調(diào)減少至 s .（ 2） 若 s0 1 ,則 i (t )單調(diào)減少并趨于零， s(t)單調(diào)減少至 s .解：傳染病的 SIR模型（ 14）可寫成（1） 若 s01 . 由 s(t)單調(diào)減少 .s(t)s0 .（2） 若 s01 , 則 s t1 ,從而 s -10. di0.dta4 在 5.3 節(jié)正規(guī)戰(zhàn)爭模型（3）中，設(shè)乙方與甲方戰(zhàn)斗有效系數(shù)之比為4.b初始兵力 x0 與 y0 相同 .(1) 問乙方取勝時的剩余兵力是多少 , 乙方取勝的時間如何確定 .(2)若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊以不變的速率r 增援 , 重新建立模

16、型 , 討論如何判斷雙方的勝負(fù).解 : 用 x t , y t 表示甲、乙交戰(zhàn)雙方時刻t 的士兵人數(shù) , 則正規(guī)戰(zhàn)爭模型可近似表示為 :現(xiàn)求 (1) 的解 : (1)的系數(shù)矩陣為0aA0bx t2abt2abt .1的通解為C1 1eC2 1ey t再由初始條件，得又由 1 可得 dybx .dxay其解為ay 2bx 2k,而 kay02bx023(1) 當(dāng) x t1kay02bx02b30時， y t1ay0 1y0 .aa2即乙方取勝時的剩余兵力數(shù)為3 y0 .2又令x t1由（ ）得x0y0eabt1x0y0 eabt10.0,222注意到 x0y02 abt1x02 y0.e2abt

17、13,t1ln 3,得 ex0.2 y04b(2)若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊以不變的速率r 增援 . 則由 4 得 dxay r ,即 bxdxaydy rdy . 相軌線為 ay 22ry bx 2k,dybx2bx 2r 2k ay022ry0bx.20或 a yrk.此相軌線比書圖11 中的軌線上移了r.aaa2br 2r2乙方取勝的條件為 k0,亦即y0aax0a2 .第五章 2（2008 年 11 月 14 日）6. 模仿 5.4 節(jié)建立的二室模型來建立一室模型 （只有中心室） ，在快速靜脈注射、恒速靜脈滴注（持續(xù)時間為）和口服或肌肉注射3 種給藥方式下求解血藥濃度，并畫出血藥濃度

18、曲線的圖形 .中心室C t , x t解 : 設(shè)給藥速率為 f 0 t ,中心室藥量為 x t ,血藥濃度為 C t ,容積為 V ,(1) 快速靜脈注射 :設(shè)給藥量為 D 0 , 則 f 0 t 0,C 0D 0 ,解得 C tD 0 e kt .VV(2) 恒速靜脈滴注 ( 持續(xù)時間為):設(shè)滴注速率為k0，則 f0 tk0 , C 00, 解得(3)口服或肌肉注射 :f 0 tk01 D 0 e k01 t 見 5.4節(jié)（13）式 ，解得3 種情況下的血藥濃度曲線如下：(1)(2)(3)Ot第五章 3（2008 年 11 月 18 日）8. 在 5.5 節(jié)香煙過濾嘴模型中 ,(1)設(shè) M8

19、00mg,l 180mm,l 220 mm, b0.02,0.08,50mm / s, a0.3求 Q和Q1 / Q2.(2) 若有一支不帶過濾嘴的香煙 , 參數(shù)同上 , 比較全部吸完和只吸到 l 1 處的情況下，進入人體毒物量的區(qū)別 .l2a / bl10.3 10 50 e解 Qaw0 v e v1 e va / b0.7 0.020.08200.70.0280501 e50229.857563(毫克 )其中 w0M / l1 10 ，aw0va 'bl(2) 對于一支不帶過濾嘴的香煙, 全部吸完的毒物量為vQ31 ea baw0 vbl 2a 'bl1只吸到 l1 處就扔

20、掉的情況下的毒物量為 Q4e v 1e va' b4 在 5.3 節(jié)正規(guī)戰(zhàn)爭模型（3）中，設(shè)乙方與甲方戰(zhàn)斗有效系數(shù)之比為a4.b初始兵力 x0 與 y0 相同 .(1) 問乙方取勝時的剩余兵力是多少 , 乙方取勝的時間如何確定 .(2)若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊以不變的速率r 增援 , 重新建立模型 , 討論如何判斷雙方的勝負(fù).解 : 用 x t , y t 表示甲、乙交戰(zhàn)雙方時刻t 的士兵人數(shù) , 則正規(guī)戰(zhàn)爭模型可近似表示為 :現(xiàn)求 (1) 的解 : (1)的系數(shù)矩陣為0aA0b1的通解為 x t2eabt2abt .y tC1 1C2 1 e再由初始條件，得又由 1 可得 dyb

21、x .dxay其解為ay 2bx 2k,而 kay02bx023(1) 當(dāng) x t1kay02bx02b30時， y t1ay0 1y0 .aa2即乙方取勝時的剩余兵力數(shù)為3 y0 .2又令x t1由（ ）得x0y0eabt1x0y0 eabt10.0,222注意到 x0y02 abt1x02 y0.e2abt13,t1ln 3,得 ex0.2 y04b(2)若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊以不變的速率r 增援 . 則由 4 得 dxay r ,即 bxdxaydy rdy . 相軌線為 ay 22ry bx 2k,dybx2bx 2r 2k ay022ry0bx.20或 a yrk.此相軌線比書

22、圖11 中的軌線上移了r.aaa2br 2r2乙方取勝的條件為 k0,亦即y0aax0a2 .數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第六章（ 2008 年 11 月 20 日）1. 在 6.1 節(jié)捕魚模型中，如果漁場魚量的自然增長仍服從Logistic規(guī)律，而單位時間捕撈量為常數(shù)h(1) 分別就 hrN / 4 ， hrN / 4 ， hrN / 4 這 3 種情況討論漁場魚量方程的平衡點及其穩(wěn)定狀況(2) 如何獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，其結(jié)果與6.1 節(jié)的產(chǎn)量模型有何不同解：設(shè)時刻 t 的漁場中魚的數(shù)量為 x t ，則由題設(shè)條件知： x t 變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為記 F (x)rx (1xh)N(1). 討論漁場魚量的平衡

23、點及其穩(wěn)定性：由 F x 0 ，得 rx (1x ) h 0 N即rx 2rx h01Nr 24rhr (r4h)，NNN14h N(1) 的解為： x1, 2rN2當(dāng) hrN / 4 ，0 ，(1)無實根，此時無平衡點；當(dāng) hrN / 4，0，(1)有兩個相等的實根，平衡點為x0N .2F ' ( x)r (1x )rxr2rx ， F ' ( x0 )0不能斷定其穩(wěn)定性 .NNN但 x x0及 xx0均有 F ( x)rx (1x )rN0，即 dx0 x0 不穩(wěn)定；N4dt當(dāng) h rN / 4 ，0 時，得到兩個平衡點：N14h NN14h Nx1rN，x2rN22易知：

24、 x1N， x2N， F ' (x1 )0， F ' ( x2 )022平衡點 x1不穩(wěn)定，平衡點x2 穩(wěn)定 .(2) 最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為即 max h rx (1 x ) ，N易得 x0*N此時 hrN ，24但 x0*N 這個平衡點不穩(wěn)定這是與 6.1節(jié)的產(chǎn)量模型不同之處2要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，應(yīng)使?jié)O場魚量xN ，且盡量接近 N ，但不能等于 N 2222. 與 Logistic模型不同的另一種描述種群增長規(guī)律的是Gompertz 模型：x' trx lnN 其中 r和 N的意義與 Logistic模型相同x設(shè)漁場魚量的自然增長服從這個模型，且單位時間捕撈量為h

25、Ex 討論漁場魚量的平衡點及其穩(wěn)定性，求最大持續(xù)產(chǎn)量hm 及獲得最大產(chǎn)量的捕撈強度Em 和漁場魚量水平x0* 解： x t 變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為記F (x)rx ln NExx0 ，得 rx ln NE 令 F xEx 0x0Ne r ， x0 x1平衡點為 x0, x1 .又F 'x r lnNE ， F ' x0r 0, F ' x1rx平衡點 xo 是穩(wěn)定的，而平衡點x1 不穩(wěn)定 .最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為：E由前面的結(jié)果可得hENe rdhEENEdhdENe rre r ，令 dE0.0得最大產(chǎn)量的捕撈強度Em r 從而得到最大持續(xù)產(chǎn)量hm rN / e ，此

26、時漁場魚量水平 x0* N e3設(shè)某漁場魚量 x(t) ( 時刻 t 漁場中魚的數(shù)量 ) 的自然增長規(guī)律為：dx(t )rx (1x )dtN其中 r 為固有增長率 , N 為環(huán)境容許的最大魚量.而單位時間捕撈量為常數(shù)h .1 0 求漁場魚量的平衡點, 并討論其穩(wěn)定性 ;2 0 試確定捕撈強度Em , 使?jié)O場單位時間內(nèi)具有最大持續(xù)產(chǎn)量Qm , 求此時漁場魚量水平 x0* .解：1 0 x(t) 變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為dx (t)rx (1x )hdtN記 f ( x)rx (1x )h , 令 rx (1x )h0，即rx 2rx h0 - （ 1）NNN2 4rh4hN14h Nr， （ 1）

27、的解為： x1,2rNr (r)2NN 當(dāng)0 時，（ 1）無實根，此時無平衡點； 當(dāng)0 時，（ 1）有兩個相等的實根，平衡點為x0N .x )rx2rx ， f ' ( x02f '(x)r (1r)0不能斷定其穩(wěn)定性 .NNNx )rN，即 dx但xx0及 xx0均有 f ( x)rx (100x0 不穩(wěn)定；N4dt 當(dāng)0時，得到兩個平衡點：NN4hNN14h1rNx1rN，x222易知x1N，x2Nf' (1) 0，2022xf ' ( x )平衡點 x1 不穩(wěn)定 ，平衡點 x2 穩(wěn)定 .2 0 最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為：max hs.t. f ( x)0即

28、 max hrx (1x ) ，易得 x0*N此時 hrN，但 x0*N 這個平衡點不穩(wěn)N242定 .要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，應(yīng)使?jié)O場魚量xN , 且盡量接近 N , 但不能等于 N .222數(shù)學(xué)模型第七章作業(yè)（ 2008年 12月 4日）1對于 7.1 節(jié)蛛網(wǎng)模型討論下列問題：（1）因為一個時段上市的商品不能立即售完，其數(shù)量也會影響到下一時段的價格，所以第 k1時段的價格 yk 1 由第 k1和第 k 時段的數(shù)量 xk 1 和 xk 決定，如果仍設(shè) xk 1 仍只取決于 yk ，給出穩(wěn)定平衡的條件，并與7.1 節(jié)的結(jié)果進行比較 .2已知某商品在 k 時段的數(shù)量和價格分別為xk 和 yk ，其中

29、1 個時段相當(dāng)于商品的一個生產(chǎn)周期 . 設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為ykf ( xk ) 和 xk 1 g( ykyk 1 ) . 試建立關(guān)2于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.3 已知某商品在k 時段的數(shù)量和價格分別為xk 和yk ，其中1 個時段相當(dāng)于商品的一個生產(chǎn)周期 . 設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為yk 1f ( xk 12xk) 和 xk 1g ( yk ). 試建立關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第七章（ 2008 年 12 月 4 日）2 對于 7.1 節(jié)蛛網(wǎng)模型討論下列問題：（1）因為一個時段上市的商品不能立即售完，其數(shù)量也

30、會影響到下一時段的價格，所以第k時段的價格yk 1由第 k1和第 k 時段的數(shù)量 xk 1 和 xk 決定，如果仍1設(shè) xk 1 仍只取決于yk ，給出穩(wěn)定平衡的條件，并與7.1 節(jié)的結(jié)果進行比較 .（2）若除了 yk 1 由 x k 1 和 xk 決定之外， x k 1 也由前兩個時段的價格yk 和 yk 1 確定 .試分析穩(wěn)定平衡的條件是否還會放寬 .解：（ 1）由題設(shè)條件可得需求函數(shù)、供應(yīng)函數(shù)分別為：在 P0 (x0 , y0 ) 點附近用直線來近似曲線f , h ，得到由（ 2）得xk 2x0( yk 1y0 )(3)（ 1）代入（ 3）得 xk 2 x0( xk 1xkx0 )2對應(yīng)

31、齊次方程的特征方程為2 20()28特征根為1, 24當(dāng)8 時，則有特征根在單位圓外，設(shè)8 ，則即平衡穩(wěn)定的條件為2 與 P207 的結(jié)果一致 .（ 2）此時需求函數(shù)、供應(yīng)函數(shù)在P0 ( x0 , y0 ) 處附近的直線近似表達式分別為：由（ 5）得，(xx)(y2yyk 1y0)(6)2 k 30k0將（ 4）代入（ 6），得對應(yīng)齊次方程的特征方程為43220(7)代數(shù)方程（ 7）無正實根，且,不是（ 7）的根 . 設(shè)（ 7）的三個非零根2,4分別為 1, 2,3 ，則對（ 7）作變換：,則12其中 p1 (22 2 ), q1(8332 2)412412363qq 2p 33qq 2p 312()( )2( ) ()2323用卡丹公式：2w3q(q ) 2( p )3w2 3q( q ) 2( p ) 32232233w2 3q( q ) 2( p )3w3q( q ) 2( p ) 3223223其中 w1 i 3 ,2求出1,2 , 3 ，從而得到1 , 2 , 3 ，于是得到所有特征根1的條件 .2已知某商品在k 時段的數(shù)量和價格分別為xk 和 yk ，其中 1 個時段相當(dāng)于商品的一個生產(chǎn)周期 .設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為ykf ( xk ) 和xk 1g( ykyk 1 ) .試建立關(guān)于商品數(shù)