1、1 1 函數(shù)逼近的基本概念函數(shù)逼近的基本概念第第3 3章章 函數(shù)逼近與曲線擬合函數(shù)逼近與曲線擬合一、函數(shù)逼近與函數(shù)空間一、函數(shù)逼近與函數(shù)空間.近近已已知知復(fù)復(fù)雜雜函函數(shù)數(shù)實實際際需需要要用用簡簡單單函函數(shù)數(shù)逼逼.)()(),(),( : 下下達(dá)達(dá)到到最最小小的的誤誤差差在在某某種種度度量量意意義義與與使使中中找找一一個個函函數(shù)數(shù)算算的的函函數(shù)數(shù)類類另另一一類類較較簡簡單單的的便便于于計計要要求求在在中中給給定定的的函函數(shù)數(shù)對對于于函函數(shù)數(shù)類類xfxpxpABxfA 函函數(shù)數(shù)逼逼近近問問題題. .的的一一些些基基本本概概念念下下面面介介紹紹代代數(shù)數(shù)和和分分析析中中為為此此,.,baCbaCxRp

2、nnR R，如如：空空間間.,span1nxxS .,0)1 . 1(, .,1 . 1 0 , 1111111線線性性無無關(guān)關(guān)線線性性相相關(guān)關(guān)定定義義1 1nnnnnnnxxxxxxPSxxPS立立，則則稱稱成成只只對對若若否否則則則則稱稱）（，使使得得如如果果存存在在不不全全為為零零的的數(shù)數(shù)上上的的線線性性空空間間，元元素素是是數(shù)數(shù)域域設(shè)設(shè)集集合合 . , 1spannnxxH , ,R . vs baCn無限維空間無限維空間有限維空間有限維空間. ,| )()(| ),(, 0 ,)( )1( bxaxpxfxpbaCxf 對于一切對于一切使得使得多項式多項式那么那么如果如果 維爾斯特拉

3、斯維爾斯特拉斯定理定理., .)(*)(,span)(* ,)(:00線線性性無無關(guān)關(guān)其其中中在在某某種種度度量量意意義義下下最最小小使使得得誤誤差差求求對對函函數(shù)數(shù)逼逼近近問問題題baCxxfxbaCxfnn 二、范數(shù)與賦范線性空間二、范數(shù)與賦范線性空間)( ., |,| (3)( ;R |,| (2)( ; 0| ,0 , 0| (1)| 三角不等式三角不等式齊次性齊次性正定性正定性時時當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)，滿足條件，滿足條件實數(shù)實數(shù)如果存在唯一如果存在唯一，是實數(shù)域上的線性空間是實數(shù)域上的線性空間設(shè)設(shè)SyxyxyxxxxxxSxS 定義2定義2.|XSS，記為，記為一起稱為一起稱為與與，上的

4、上的為線性空間為線性空間則稱則稱線性空間線性空間賦范賦范范數(shù)范數(shù) 三種常用范數(shù)：三種常用范數(shù)：，有，有上的向量上的向量例如，對例如，對 ),(1Tnnxxx R R .2 d)(| ,1 d| )(| | )(|max| )(,21221范數(shù)范數(shù)稱為稱為，范數(shù)范數(shù)稱為稱為，范數(shù)，范數(shù)，稱為稱為，：，可定義三種常用范數(shù)，可定義三種常用范數(shù)上的上的類似地，對類似地，對 bababxaxxffxxffxffxfbaC范數(shù)或最大范數(shù)，范數(shù)或最大范數(shù)，稱為稱為， |max| 1inixx,1 | 11范范數(shù)數(shù)稱稱為為， niixx.2 | 21122范范數(shù)數(shù)稱稱為為， niixx三、內(nèi)積與內(nèi)積空間三、內(nèi)

5、積與內(nèi)積空間. 0),(0 , 0),( (4) ; , )( )( ),( (3) ;R ),( )( (2) ; , ),()( (1),(,)CR(K uuuuuXu,v,wv,wu,wwvuu,vu,vXu,vuvu,vvuKXvuX時，時，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)，并滿足條件：，并滿足條件：為為中一個數(shù)與之對應(yīng)，記中一個數(shù)與之對應(yīng)，記有有，上的線性空間，對上的線性空間，對或或是數(shù)域是數(shù)域設(shè)設(shè) 定義3定義3.,),( : 11nnnyxyxyxyx 定定義義內(nèi)內(nèi)積積及及中中向向量量R R. .),(內(nèi)積空間內(nèi)積空間內(nèi)積內(nèi)積為為稱稱定義了內(nèi)積的線性空間定義了內(nèi)積的線性空間的的與與上的上的為為則稱

6、則稱vuXvu).(),( RK)(),(u,vuvu,vuv 時時的的共共軛軛，當(dāng)當(dāng)為為.(1.6) ).,)(,(| ),( | , 2不等式不等式稱為稱為有有為一個內(nèi)積空間，對為一個內(nèi)積空間，對設(shè)設(shè)SchwarzCauchyvvuuvuXvuX 2 2 定理定理.,),(),(),(),(),(),(),(),(),( , 2121222211121121無關(guān)無關(guān)線性線性非奇異的充要條件是非奇異的充要條件是矩陣，則矩陣，則稱為稱為矩陣矩陣為一個內(nèi)積空間，為一個內(nèi)積空間，設(shè)設(shè)nnnnnnnnuuuGGramuuuuuuuuuuuuuuuuuuGXuuuX 定理3定理3.,(1.10) ),

7、(| ,不不等等式式立立得得而而三三角角不不等等式式由由正正定定性性和和齊齊次次性性易易證證它它滿滿足足范范數(shù)數(shù)定定義義的的，記記即即對對范范數(shù)數(shù)上上可可以以由由內(nèi)內(nèi)積積導(dǎo)導(dǎo)出出一一種種在在內(nèi)內(nèi)積積空空間間SchwarzCauchyuuuXuX .CR 的內(nèi)積和范數(shù)的內(nèi)積和范數(shù)與與考察考察nn例1例1，則則定定義義設(shè)設(shè)nTnTnyyyxxxR),(,),(11 則則定定義義為為權(quán)權(quán)系系數(shù)數(shù)若若給給定定,), 1(0nii niniiiixxyxyx11/2122. | ),( ；范數(shù)；范數(shù)內(nèi)積內(nèi)積 niniiiiiixxyxyx11/2122. | ),( ；范范數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)積積 niiiinyx

8、yxyx1.),( C, ，則定義加權(quán)內(nèi)積，則定義加權(quán)內(nèi)積若若.,)( 0)(, , 0d )()(),(, (2) ;, 2 , 1 , 0 ,d )( (1) ,)( 權(quán)函數(shù)權(quán)函數(shù)定義4定義4上的上的為為就稱就稱；上上則在則在若若上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)對于對于存在存在如果滿足條件如果滿足條件上的非負(fù)函數(shù)上的非負(fù)函數(shù)是區(qū)間是區(qū)間設(shè)設(shè)baxxgbaxxxgxgbakxxxbaxbabak 無限區(qū)間可以有限或定定義義內(nèi)內(nèi)積積則則可可上上的的權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè),)(,)(),( baxbaCxgxf 例例2 2 .d)()(|)(| 2/122 baxxfxxf .d)()()(),(

9、 xxgxfxgfba 四個性質(zhì)，并導(dǎo)出范數(shù)四個性質(zhì)，并導(dǎo)出范數(shù)容易驗證內(nèi)積定義中的容易驗證內(nèi)積定義中的.d )()(),( , 1baxxgxfgf.d )(|)(| 2/ 122baxxfxf ),(),(),(),(),(),(),(),(),( ),(1011101010000nnnnnnnGG 0.)det(,30 Gn線線性性無無關(guān)關(guān)，根根據(jù)據(jù)定定理理 矩矩陣陣為為則則設(shè)設(shè)GrambaCn,0 2 2 正交多項式正交多項式一、正交函數(shù)族與正交多項式一、正交函數(shù)族與正交多項式.,)()(2.1) 0d)()()(),( ,)(,)(),( 帶權(quán)帶權(quán)(x)正交(x)正交定義5定義5上上

10、在在與與則稱則稱，且且上的權(quán)函數(shù)上的權(quán)函數(shù)為為若若baxgxfxxgxfxgfbaxbaCxgxfba . ,1 ,.,)(2.2) ), 2 , 1 , 0,( , , , 0)(),( ,),(,),(),(,10 標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)族標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)族 數(shù)族數(shù)族帶權(quán)帶權(quán)(x)的正交函(x)的正交函則稱該函數(shù)系為則稱該函數(shù)系為時時當(dāng)當(dāng)特別地特別地上上為為則稱函數(shù)族則稱函數(shù)族且滿足且滿足給定函數(shù)族給定函數(shù)族設(shè)在設(shè)在 knkkinAbaxkikiAkixxxxxba ,2sin,2cos,sin,cos, 1 上的正交函數(shù)族上的正交函數(shù)族為為例如，三角函數(shù)族例如，三角函數(shù)族 xxxx. 0,)sin,(

11、sin)cos,(cos,2)1 , 1( 其他內(nèi)積其他內(nèi)積 kxkxkxkx.,)()( .,)()(2.2),)( ,)(,0,)( 00交交多多項項式式次次正正上上的的為為權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)的的為為以以稱稱多多項項式式序序列列上上的的正正交交為為權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)的的為為以以，則則稱稱滿滿足足正正交交性性若若多多項項式式序序列列上上的的權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)為為次次多多項項式式的的上上首首項項系系數(shù)數(shù)是是設(shè)設(shè)nbaxxpbaxxpxpbaxnabaxpnnnnn 定定義義6 6:, 1 , )(,交多項式序列交多項式序列正交化手續(xù)立得正交正正交化手續(xù)立得正交正利用逐個利用逐個由由上的權(quán)函數(shù)上的權(quán)函數(shù)只要給定只

12、要給定nxxxba (2.3) ., 2 , 1 ,),(),()( , 1)(100nppppxxxpxpjnjjjjnnn. )(, 0),( )3(.)(,),(),()()2(. 1)()(110項項式式正正交交的的多多與與任任一一次次數(shù)數(shù)小小于于且且時時，當(dāng)當(dāng)?shù)牡木€線性性組組合合均均可可表表為為的的首首項項系系數(shù)數(shù)為為性性質(zhì)質(zhì)：kxpppjkxpxpxpHxQxpkkjnnnn 二、勒讓德多項式二、勒讓德多項式. . 式式L Le eg ge en nd dr re e多多項項 次次稱稱為為的的正正交交多多項項式式上上帶帶權(quán)權(quán)區(qū)區(qū)間間n(2.5) ), 2 , 1 , 0( ,)1(

13、dd!21)( 1)(1 , 12 nxxnxPxnnnnn .) !(2)!2(!2)1()12(22nnnnnnannn 其其首首項項系系數(shù)數(shù)(2.6) ), 2 , 1 , 0( ,)1(dd)!2(!)(12 nxxnnxPnnnn 勒讓德多項式為為的的首首項項系系數(shù)數(shù)為為:勒讓讓德多項式性(2.7) . ,122, , 0d )()( 11 nmnnmxxPxPnm正交性正交性(1)(2.8) . )()1()( xPxPnnn 奇偶性奇偶性(2).n)1 , 1()( 個個互互異異的的實實零零點點內(nèi)內(nèi)部部有有在在 xPn(3)(2.9) ), 2 , 1( ),(1)(112)(,

14、)( , 1)( 1110 nxPnnxxPnnxPxxPxPnnn遞推關(guān)系遞推關(guān)系(4) ),35(21)( ),13(21)( 3322xxxPxxP 可得可得三、切比雪夫多項式三、切比雪夫多項式切比雪夫多項式.切比雪夫多項式.次次稱為稱為正交化所得正交多項式正交化所得正交多項式，序列，序列權(quán)函數(shù)為權(quán)函數(shù)為區(qū)間為區(qū)間為n, 111)(,1 , 12nxxxx .0),cos()(cos(2.10) ), 2 , 1 , 0, 11( ),arccoscos()( nxTxnxxnxTnn，則則若若令令可可表表為為 ,34)(, 12)arccos2cos()(,)cos(arccos)(,

15、 1)0cos()(332210 xxxTxxxTxxxTxT :切比雪夫多項式的性質(zhì)切比雪夫多項式的性質(zhì)(2.11) ).()(2)( ,)( , 1)( )1(1110 xTxxTxTxxTxTnnn遞推關(guān)系遞推關(guān)系1).(n,2)(1 nnnxxT的系數(shù)為的系數(shù)為的最高次冪的最高次冪 . ,cos . 1 ,)1cos(coscos2)1(cos 即得遞推關(guān)系式即得遞推關(guān)系式代入代入事實上，只需由事實上，只需由 xnnnn(2.12) . 0 , 0 , 2/ , , 0d)()(11 )2(112 nmnmnmxxTxTxnm 正正交交性性. ;)( )3(的偶次冪的偶次冪只含只含為偶

16、數(shù)時為偶函數(shù)，且為偶數(shù)時為偶函數(shù)，且當(dāng)當(dāng)?shù)钠娲蝺绲钠娲蝺缰缓缓瑸槠鏀?shù)時為奇函數(shù)，且為奇數(shù)時為奇函數(shù)，且當(dāng)當(dāng)奇偶性奇偶性xnxnxTn ), 2 , 1( ,2)12(cos n1 , 1)( )4(nknkxxTkn 個個不不同同的的零零點點上上有有在在. 11 ), 2 , 1 , 0( ,cos 1n1 , 1)( )5(稱為交錯點組稱為交錯點組，和最小值和最小值輪流取得最大值輪流取得最大值個不同的極值點個不同的極值點上有上有在在kknxnknkxxT 四、其他常用正交多項式四、其他常用正交多項式第二類切比雪夫多項式第二類切比雪夫多項式 1.1. . 多多項項式式第第二二類類切切比比雪雪夫稱稱為為的的正正交交多多項項式式上上帶帶權(quán)權(quán)區(qū)區(qū)間間(2.14) ,1arccos)1sin()( 1)(1 , 122xxnxUxxn . , 2/, , 0d1)()( 112 nmnmxxxUxUnm ).()(2)( ,2)( , 1)( 1110 xUxxUxUxxUxUnnn拉拉蓋蓋爾爾多多項項式式 2 2. . .