1、方差分析及MATLAB實(shí)現(xiàn)第第1 1章章 方差分析方差分析 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究中在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究中, ,經(jīng)常遇到這樣的問題經(jīng)常遇到這樣的問題: :影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量的因素很多影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量的因素很多, ,我們需要了解在這我們需要了解在這眾多的因素中眾多的因素中, ,哪些因素對(duì)影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量有顯哪些因素對(duì)影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量有顯著影響著影響. .為此為此, ,要先做試驗(yàn)要先做試驗(yàn), ,然后對(duì)測(cè)試的結(jié)果進(jìn)行分然后對(duì)測(cè)試的結(jié)果進(jìn)行分析析. .方差分析就是分析測(cè)試結(jié)果的一種方法方差分析就是分析測(cè)試結(jié)果的一種方法. . 在方差分析中在方差分析中, ,把在試驗(yàn)中變化的因素稱為因把在試驗(yàn)中變

2、化的因素稱為因子子, ,用用A A、B B、C C、.表示表示; ;因子在試驗(yàn)中所取的不因子在試驗(yàn)中所取的不同狀態(tài)稱為水平同狀態(tài)稱為水平, ,因子因子A A的的r r個(gè)不同水平用個(gè)不同水平用A A1 1、A A2 2、.、A Ar r表示表示. .1 1 單因子方差分析單因子方差分析1.1 1.1 基本概念與數(shù)學(xué)模型基本概念與數(shù)學(xué)模型水平觀測(cè)值A(chǔ)1x11x12.x1n1A2x21x22x2n2Arxr1xr2xrnr 例例: :為尋求適應(yīng)本地區(qū)的高產(chǎn)油菜品種為尋求適應(yīng)本地區(qū)的高產(chǎn)油菜品種, ,今選了五今選了五種不同品種進(jìn)行試驗(yàn)種不同品種進(jìn)行試驗(yàn), ,每一品種在四塊試驗(yàn)田上得到每一品種在四塊試驗(yàn)

3、田上得到在每一塊田上的畝產(chǎn)量如下在每一塊田上的畝產(chǎn)量如下: : 我們要研究的問題是諸不同品種的平均畝產(chǎn)量是我們要研究的問題是諸不同品種的平均畝產(chǎn)量是否有顯著差異否有顯著差異. . 試驗(yàn)的目的就是要檢驗(yàn)假設(shè)試驗(yàn)的目的就是要檢驗(yàn)假設(shè) H H0 0:1 1=2 2=3 3=4 4=5 5是否成立是否成立. .若是拒絕若是拒絕 , ,那么我們就認(rèn)為這五種品種的那么我們就認(rèn)為這五種品種的平均畝產(chǎn)量之間有顯著差異平均畝產(chǎn)量之間有顯著差異; ;反之反之, ,就認(rèn)為各品種間產(chǎn)就認(rèn)為各品種間產(chǎn)量的不同是由隨機(jī)因素引起的量的不同是由隨機(jī)因素引起的. .方差分析就是檢驗(yàn)假方差分析就是檢驗(yàn)假設(shè)的一種方法設(shè)的一種方法.

4、 . 在本例中只考慮品種這一因子對(duì)畝產(chǎn)量的影響在本例中只考慮品種這一因子對(duì)畝產(chǎn)量的影響, ,五個(gè)五個(gè)不同品種就是該因子的五個(gè)不同水平不同品種就是該因子的五個(gè)不同水平. .由于同一品種在不由于同一品種在不同田塊上的畝產(chǎn)量不同同田塊上的畝產(chǎn)量不同, ,我們可以認(rèn)為一個(gè)品種的畝產(chǎn)量我們可以認(rèn)為一個(gè)品種的畝產(chǎn)量就是一個(gè)總體就是一個(gè)總體, ,在方差分析中總假定各總體獨(dú)立地服從同在方差分析中總假定各總體獨(dú)立地服從同方差正態(tài)分布方差正態(tài)分布, ,即第即第i i個(gè)品種的畝產(chǎn)量是一個(gè)隨機(jī)變量個(gè)品種的畝產(chǎn)量是一個(gè)隨機(jī)變量, ,它它服從分布服從分布N(N(i i,2 2), i=1,2,3,4,5.), i=1,2

5、,3,4,5. 設(shè)在某試驗(yàn)中設(shè)在某試驗(yàn)中, ,因子因子A A有有r r個(gè)不同水平個(gè)不同水平A A1 1,A,A2 2,.,A,.,Ar r, ,在在A Ai i水平下的試驗(yàn)結(jié)果水平下的試驗(yàn)結(jié)果X Xi i服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N(N(i i,2 2),i=1,2,.,r,),i=1,2,.,r,且且X X1 1,X,X2 2,.,X,.,Xr r間相互獨(dú)立間相互獨(dú)立. .現(xiàn)現(xiàn)在水平在水平A Ai i下做了下做了n ni i次試驗(yàn)次試驗(yàn), ,獲得了獲得了n ni i個(gè)試驗(yàn)結(jié)果個(gè)試驗(yàn)結(jié)果X Xijij,j=1,2,.,n,j=1,2,.,ni i這可以看成是取自這可以看成是取自X Xi i的一個(gè)

6、容量為的一個(gè)容量為n ni i的的樣本樣本,i=1,2,.,r. ,i=1,2,.,r. 實(shí)際上實(shí)際上, ,方差分析是檢驗(yàn)同方差的若干正態(tài)總體均值方差分析是檢驗(yàn)同方差的若干正態(tài)總體均值是否相等的一種統(tǒng)計(jì)方法是否相等的一種統(tǒng)計(jì)方法. . 在實(shí)際問題中影響總體均值的因素可能不止一個(gè)在實(shí)際問題中影響總體均值的因素可能不止一個(gè). .我們按試驗(yàn)中因子的個(gè)數(shù)我們按試驗(yàn)中因子的個(gè)數(shù), ,可以有單因子方差分析可以有單因子方差分析, ,雙雙因子分析因子分析, ,多因子分析等多因子分析等. .例中是一個(gè)單因子方差分析例中是一個(gè)單因子方差分析問題問題. .水平觀測(cè)值A(chǔ)1x11x12.x1n1A2x21x22x2n2

7、Arxr1xr2xrnr 由于由于XijN(i,2) , ,故故X Xijij與與i i的差可以看成一個(gè)隨機(jī)誤的差可以看成一個(gè)隨機(jī)誤差差ijN(0,2) . .這樣一來這樣一來, ,可以假定可以假定X Xijij具有下述數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式具有下述數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式: : 為了今后方便起見為了今后方便起見, ,把參數(shù)的形式改變一下把參數(shù)的形式改變一下, ,并記并記 稱稱為一般平均為一般平均, ,i i為因子為因子A A的第的第i i 個(gè)水平的效應(yīng)個(gè)水平的效應(yīng). . Xij= i+ ij,i=1,2,.,r;j=1,2,.,ni其中諸其中諸ijN(0,2),且相互獨(dú)立且相互獨(dú)立. .要檢驗(yàn)的假設(shè)是要檢驗(yàn)的假設(shè)是

8、H0:1=2=r 在這樣的改變下在這樣的改變下, ,單因子方差分析模型中的數(shù)據(jù)結(jié)單因子方差分析模型中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式可以寫成構(gòu)式可以寫成: :所要檢驗(yàn)的假設(shè)可以寫成所要檢驗(yàn)的假設(shè)可以寫成: : 為了導(dǎo)出檢驗(yàn)假設(shè)的統(tǒng)計(jì)量為了導(dǎo)出檢驗(yàn)假設(shè)的統(tǒng)計(jì)量, ,下面我們分析一下下面我們分析一下什么是引起諸什么是引起諸X Xijij 波動(dòng)的原因波動(dòng)的原因. . 平方和分解公式平方和分解公式：引起諸引起諸X Xijij 波動(dòng)的原因有兩個(gè)波動(dòng)的原因有兩個(gè): :一一個(gè)是假設(shè)個(gè)是假設(shè)H H0 0為真時(shí)為真時(shí), ,諸諸X Xijij的波動(dòng)純粹是隨機(jī)性引起的的波動(dòng)純粹是隨機(jī)性引起的; ;另一個(gè)可能是假設(shè)另一個(gè)可能是假設(shè)H H

9、0 0不真而引起的不真而引起的. .因而我們就想用一因而我們就想用一個(gè)量來刻劃諸個(gè)量來刻劃諸X Xijij之間的波動(dòng)之間的波動(dòng), ,并把引起波動(dòng)的兩個(gè)原并把引起波動(dòng)的兩個(gè)原因用另兩個(gè)量表示出來因用另兩個(gè)量表示出來, ,這就是方差分析中常用的平這就是方差分析中常用的平方和分解法方和分解法. .1.2 1.2 統(tǒng)計(jì)分析統(tǒng)計(jì)分析其中交叉乘積項(xiàng)其中交叉乘積項(xiàng)下面我們來看各式的意義下面我們來看各式的意義 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造:對(duì)于各組樣本有對(duì)于各組樣本有因此因此 一般一般, ,當(dāng)當(dāng)FFFF0.010.01時(shí)時(shí), ,稱因子的影響高度顯著稱因子的影響高度顯著, ,記為記為“* * *”;”;當(dāng)當(dāng)

10、F F0.010.01FFFF0.050.05時(shí)時(shí), ,稱因子的影響顯著稱因子的影響顯著, ,記為記為“* *”; ”; 當(dāng)當(dāng)F FF F0.050.05時(shí)時(shí), ,稱因子無顯著影響稱因子無顯著影響, ,即認(rèn)為因子各水平間無差即認(rèn)為因子各水平間無差異異. . 檢驗(yàn)過程：檢驗(yàn)過程：1.3 1.3 方差分析表方差分析表 例例: :為尋求適應(yīng)本地區(qū)的高產(chǎn)油菜品種為尋求適應(yīng)本地區(qū)的高產(chǎn)油菜品種, ,今選了五種不今選了五種不同品種進(jìn)行試驗(yàn)同品種進(jìn)行試驗(yàn), ,每一品種在四塊試驗(yàn)田上得到在每一塊每一品種在四塊試驗(yàn)田上得到在每一塊田上的畝產(chǎn)量如下田上的畝產(chǎn)量如下: : 我們要研究的問題是諸不同品種的平均畝產(chǎn)量我

11、們要研究的問題是諸不同品種的平均畝產(chǎn)量是否有顯著差異是否有顯著差異. . 解解:先列表計(jì)算先列表計(jì)算例: 下面給出了隨機(jī)選取的, 用于計(jì)算器的四種類型的電路的響應(yīng)時(shí)間(以毫秒計(jì)). 表: 電路的響應(yīng)時(shí)間類型I類型II類型III類型IV152220184021332716 17151826182219這里試驗(yàn)的指標(biāo)是電路的響應(yīng)時(shí)間這里試驗(yàn)的指標(biāo)是電路的響應(yīng)時(shí)間. 電路類型為因素電路類型為因素. 這一因素這一因素有四個(gè)水平有四個(gè)水平, 試驗(yàn)的目的是要考察各類型電路對(duì)響應(yīng)時(shí)間的影試驗(yàn)的目的是要考察各類型電路對(duì)響應(yīng)時(shí)間的影響響.設(shè)四種類型電路的響應(yīng)時(shí)間的總體均為正態(tài), 且各總體方差相同, 但參數(shù)均未知

12、. 又設(shè)各樣本相互獨(dú)立. 解解 分別以m1,m2,m3,m4記類型I,II,III,IV四種電路響應(yīng)時(shí)間總體的平均值. 我們需檢驗(yàn)(a=0.05)H0:m1=m2=m3=m4,H1:m1,m2,m3,m4不全相等.現(xiàn)在n=18, s=4, n1=n2=n3=5, n4=3,試驗(yàn)號(hào)12345和和平方類型I1915222018948836類型II204021332714119881類型III 1617151826928464類型IV182219593481ST,SA,SE的自由度依次為17,3,14 表:方差分析表方差來源 平方和自由度均方F值顯著性因素318.983106.333.76*誤差39

13、5.461428.25總和714.4417因因F0.95(3, 14)=3.343.76 F0.99(3, 14)=5.56, 故認(rèn)為各類型電路故認(rèn)為各類型電路的響應(yīng)時(shí)間有顯著差異的響應(yīng)時(shí)間有顯著差異.1.4. 單因素方差分析的單因素方差分析的Matlab實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)單因素方差分析單因素方差分析:anova1調(diào)用格式調(diào)用格式:(1) p=anova1(X)(2) p=anova1(X,group)(3) p=anova1(X,group,displayopt)(4) p,table=anova1(.)(5) p,table,stats=anova1(.)（2） p=anova1(X,group)輸

14、入：輸入：X是一個(gè)向量，從第一個(gè)總體的樣本到第是一個(gè)向量，從第一個(gè)總體的樣本到第r個(gè)總體個(gè)總體的樣本依次排列，的樣本依次排列，group是與是與X有相同長(zhǎng)度的向量，表示有相同長(zhǎng)度的向量，表示X中的元素是如何分組的中的元素是如何分組的. group中某元素等于中某元素等于i,表示表示X中中這個(gè)位置的數(shù)據(jù)來自第這個(gè)位置的數(shù)據(jù)來自第i個(gè)總體個(gè)總體.因此因此group中分量必須取正整中分量必須取正整數(shù)，從數(shù)，從1直到直到r.（1）p=anova1(X) %比較比較X中各列數(shù)據(jù)的均值是否相中各列數(shù)據(jù)的均值是否相等。等。此時(shí)輸出的此時(shí)輸出的p是零假設(shè)成立時(shí)，數(shù)據(jù)的概率，是零假設(shè)成立時(shí)，數(shù)據(jù)的概率，當(dāng)當(dāng)p0

15、.05稱差異是顯著的，當(dāng)稱差異是顯著的，當(dāng)p X=2.1650 3.6961 1.5538 3.6400 4.95511.6268 2.0591 2.2988 3.8644 4.20111.0751 3.7971 4.2460 2.6507 4.23481.3516 2.2641 2.3610 2.7296 5.86170.3035 2.8717 3.5774 4.9846 4.9438; p=anova1(X)p =5.9952e-005例例. 某水產(chǎn)研究所為了比較四種不同配合飼料對(duì)魚的某水產(chǎn)研究所為了比較四種不同配合飼料對(duì)魚的飼喂效果，選取了條件基本相同的魚飼喂效果，選取了條件基本相同的魚

16、20尾，隨機(jī)分尾，隨機(jī)分成四組，投喂不同飼料，經(jīng)一個(gè)月試驗(yàn)以后，各組成四組，投喂不同飼料，經(jīng)一個(gè)月試驗(yàn)以后，各組魚的增重結(jié)果列于下表。魚的增重結(jié)果列于下表。表表 飼喂不同飼料的魚的增（單位：飼喂不同飼料的魚的增（單位：10g）飼料魚的增重（xij）A131.927.931.828.435.9A224.825.726.827.926.2A322.123.627.324.925.8A427.030.829.024.528.5四種不同飼料對(duì)魚的增重效果是否顯著四種不同飼料對(duì)魚的增重效果是否顯著 ？解：這是單因素均衡數(shù)據(jù)的方差分析，解：這是單因素均衡數(shù)據(jù)的方差分析，Matlab程序如下：程序如下：A=

17、31.927.931.828.435.9 24.825.726.827.926.2 22.123.627.324.925.8 27.030.829.024.528.5; %原始數(shù)據(jù)輸入原始數(shù)據(jù)輸入 B=A; % 將矩陣轉(zhuǎn)置將矩陣轉(zhuǎn)置,Matlab中要求各列為不同水平中要求各列為不同水平p=anova1(B) 運(yùn)行后得到一表一圖，表是方差分析表（重要）；圖是運(yùn)行后得到一表一圖，表是方差分析表（重要）；圖是各列數(shù)據(jù)的盒子圖，離盒子圖中心線較遠(yuǎn)的對(duì)應(yīng)于較大的各列數(shù)據(jù)的盒子圖，離盒子圖中心線較遠(yuǎn)的對(duì)應(yīng)于較大的F值，較小的概率值，較小的概率p.Source方差來源SS平方和df自由度MS均方差F統(tǒng)計(jì)量P

18、值Columns(因素A組間)SSAr-1SS/(r-1)7.140.0029Error誤差（組內(nèi)）SSEn-rSS/(n-r)Total總和SSTn-1表中所列出的各項(xiàng)意義如下：表中所列出的各項(xiàng)意義如下：因?yàn)橐驗(yàn)閜=0.0029FFF0.990.99時(shí)時(shí), ,稱因子的影響高度顯著稱因子的影響高度顯著, ,記為記為“* * *”;”;當(dāng)當(dāng)F F0.990.99FFFF0.950.95時(shí)時(shí), ,稱因子的影響顯著稱因子的影響顯著, ,記為記為“* *”; ”; 當(dāng)當(dāng)F FF F0.950.95時(shí)時(shí), ,稱因子無顯著影響稱因子無顯著影響, ,即認(rèn)為因子各水平間無差異即認(rèn)為因子各水平間無差異. . 例

19、例:為了考察蒸餾水的為了考察蒸餾水的pH值和硫酸銅溶液濃度對(duì)化值和硫酸銅溶液濃度對(duì)化驗(yàn)血清中白蛋白與球蛋白的影響驗(yàn)血清中白蛋白與球蛋白的影響,對(duì)蒸餾水的對(duì)蒸餾水的pH值值(A)取了取了4個(gè)不同水平個(gè)不同水平,對(duì)硫酸銅溶液濃度對(duì)硫酸銅溶液濃度(B)取了取了3個(gè)不同個(gè)不同水平水平,在不同水平組合在不同水平組合(Ai,Bj)下各測(cè)一次白蛋白與球蛋白下各測(cè)一次白蛋白與球蛋白之比之比,其結(jié)果列于計(jì)算表的左上角其結(jié)果列于計(jì)算表的左上角.試檢驗(yàn)兩因子對(duì)化驗(yàn)結(jié)試檢驗(yàn)兩因子對(duì)化驗(yàn)結(jié)果有無顯著差異果有無顯著差異.解解查查F-分布表得分布表得:F0.95(3,6)= 4.76, F0.95(2,6)= 5.14 ,

20、 F0.99(3,6)=9.78, F0.99(2,6)=10.9,由此可知由此可知FA F0.99(3,6); FB F0.99(2,6).所以因子所以因子A及因子及因子B的不同水平對(duì)化驗(yàn)結(jié)果有高度顯著影響的不同水平對(duì)化驗(yàn)結(jié)果有高度顯著影響.2.3 有交互作用的雙因子方差分析有交互作用的雙因子方差分析11,00ijrsijijAiBj稱 為一般平均為因子 的第 個(gè)水平的效應(yīng)為因子 的第 個(gè)水平的效應(yīng) 它們滿足關(guān)系式其中其中n=rst 仍然用平方和分解的思想來給出檢驗(yàn)用的統(tǒng)計(jì)量，先仍然用平方和分解的思想來給出檢驗(yàn)用的統(tǒng)計(jì)量，先引入下述記號(hào)：引入下述記號(hào)：由此可知由此可知總的偏差平方和可作如下的

21、分解總的偏差平方和可作如下的分解:其中各偏差平方和表達(dá)式如下其中各偏差平方和表達(dá)式如下: 各偏差平方和的意義各偏差平方和的意義: : S SE E表示試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差表示試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差, ,稱為誤差平方和稱為誤差平方和; ; S SA A除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外, ,還反映了還反映了因子因子A A的效應(yīng)間的差異的效應(yīng)間的差異, ,稱為因子稱為因子A A的偏差平方和的偏差平方和; ; S SB B除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外, ,還反映了還反映了因子因子B B的效應(yīng)間的差異的效應(yīng)間的差異

22、, ,稱為因子稱為因子B B的偏差平方和的偏差平方和; ; S SA AB B除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外, ,還反還反映了交互效應(yīng)的差異所引起的波動(dòng)映了交互效應(yīng)的差異所引起的波動(dòng), ,稱為交互作用的偏稱為交互作用的偏差平方和差平方和. . 同無交互作用的情況類似可得同無交互作用的情況類似可得: 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及顯著性檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及顯著性檢驗(yàn): 這就是用來檢驗(yàn)假設(shè)這就是用來檢驗(yàn)假設(shè)H01,H02,H03,的統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)量.按照顯著性假按照顯著性假設(shè)檢驗(yàn)程序設(shè)檢驗(yàn)程序,對(duì)給定的顯著性水平對(duì)給定的顯著性水平, 當(dāng)當(dāng)FAF1-(r-1,rs(t-1)時(shí)拒絕時(shí)

23、拒絕H01; 當(dāng)當(dāng)FBF1-(s-1,rs(t-1)時(shí)拒絕時(shí)拒絕H02; 當(dāng)當(dāng) FABF1-(r-1)(s-1),rs(t-1)時(shí)拒絕時(shí)拒絕H03. 具體的計(jì)算過程具體的計(jì)算過程,各偏差平方和的計(jì)算也可用下面簡(jiǎn)化的各偏差平方和的計(jì)算也可用下面簡(jiǎn)化的表達(dá)式表達(dá)式,且可列成一張計(jì)算表和方差分析表且可列成一張計(jì)算表和方差分析表. 一般一般,當(dāng)當(dāng)FF0.99時(shí)時(shí),稱因子的影響高度顯著稱因子的影響高度顯著,記為記為“*”;當(dāng)當(dāng)F0. 99FF0.95時(shí)時(shí),稱因子的影響顯著稱因子的影響顯著,記為記為“*”;當(dāng)當(dāng)FF0.95時(shí)時(shí), 稱因稱因子無顯著影響子無顯著影響,即認(rèn)為因子各水平間無差異即認(rèn)為因子各水平間

24、無差異. 例例:在某化工生產(chǎn)中為了提高收率在某化工生產(chǎn)中為了提高收率,選了三種不同濃度選了三種不同濃度,四種不四種不同溫度做試驗(yàn)同溫度做試驗(yàn).在同一濃度與同一溫度組合下各做二次試驗(yàn)在同一濃度與同一溫度組合下各做二次試驗(yàn),其其收率數(shù)據(jù)如下而計(jì)算表所列收率數(shù)據(jù)如下而計(jì)算表所列(數(shù)據(jù)均已減去數(shù)據(jù)均已減去75).試檢驗(yàn)不同濃度試檢驗(yàn)不同濃度,不同溫度以及它們間的交互作用對(duì)收率有無顯著影響不同溫度以及它們間的交互作用對(duì)收率有無顯著影響.解解:查表知查表知F0.95(2,12)=3.89, F0.99(2,12)=6.93; F0.95(3,12)=3.49, F0.99(3,12)=5.95; F0.9

25、5(6,12)=3.00, F0.99(6,12)=4.81.由此知由此知F0.95FA F0.99,而而FBF0.95,FABF0.95.故濃度不同將對(duì)故濃度不同將對(duì)收率產(chǎn)生顯著影響收率產(chǎn)生顯著影響;而溫度和交互作用的影響都不顯著而溫度和交互作用的影響都不顯著.2.4. 雙因素的方差分析的雙因素的方差分析的MATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn) 在在Matlab中雙因素的方差分析命令如下：中雙因素的方差分析命令如下：雙因素方差分析雙因素方差分析:anova2調(diào)用格式調(diào)用格式:(1) p=anova2(X)(2) p=anova2(X,reps)(3) p=anova2(X,reps,displayopt)(4

26、) p,table=anova1(.)(5) p,table,stats=anova1(.) 在在Matlab中雙因素有交互作用的方差分析命令如下：中雙因素有交互作用的方差分析命令如下：p,t,s=anova2(X,resp)其中輸入其中輸入X是一個(gè)矩陣；是一個(gè)矩陣；resp表示試驗(yàn)的重復(fù)次數(shù)輸出的表示試驗(yàn)的重復(fù)次數(shù)輸出的p值有三個(gè)，分別為各行、各列以及交互作用的概率值有三個(gè)，分別為各行、各列以及交互作用的概率.若若p0.05,有顯著差異有顯著差異若若p X=5.5 4.5 3.55.5 4.5 4.06.0 4.0 3.06.5 5.0 4.07.0 5.5 5.07.0 5.0 4.5;

27、p=anova2(X,3)p =0.0000 0.0001 0.7462Friday, March 18, 2022MATLAB和R軟件83例例 一火箭使用了一火箭使用了4種燃料，種燃料，3種推進(jìn)器作射程試驗(yàn)，種推進(jìn)器作射程試驗(yàn)，每種燃料與每種推進(jìn)器的組合各發(fā)射火箭每種燃料與每種推進(jìn)器的組合各發(fā)射火箭2次，次，得到結(jié)果如下：得到結(jié)果如下：B1B2B3A158.2,52.6 56.2,41.265.3,60.8A249.1,42.854.1,50.551.6,48.4A360.1,58.370.9,73.239.2,40.7A475.8,71.5 58.2,51.048.7,41.4試在水平試在

28、水平0.05下，檢驗(yàn)不同燃料（因素下，檢驗(yàn)不同燃料（因素A）、）、不同推進(jìn)器（因素不同推進(jìn)器（因素B ）下的射程是）下的射程是否有顯著差異？交互作用是否顯著？否有顯著差異？交互作用是否顯著？84解解 編寫程序如下：編寫程序如下：clc,clearx0=58.2,52.6 56.2,41.2 65.3,60.849.1,42.8 54.1,50.5 51.6,48.460.1,58.3 70.9,73.2 39.2,40.775.8,71.5 58.2,51.0 48.7,41.4;x1=x0(:,1:2:5);x2=x0(:,2:2:6);for i=1:4x(2*i-1,:)=x1(i,:)

29、;x(2*i,:)=x2(i,:);endp=anova2(x,2)求得求得p=0.0035 0.0260 0.001，表明各試驗(yàn)均值相等的概率都，表明各試驗(yàn)均值相等的概率都為小概率，故可拒絕均值相等假設(shè)。即認(rèn)為不同燃料（因?yàn)樾「怕?，故可拒絕均值相等假設(shè)。即認(rèn)為不同燃料（因素素A）、不同推進(jìn)器（因素）、不同推進(jìn)器（因素B）下的射程有顯著差異，）下的射程有顯著差異，交互作用也是顯著的。交互作用也是顯著的。例例某高校為了解數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)專業(yè)低年級(jí)、高年級(jí)、研究生某高校為了解數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)專業(yè)低年級(jí)、高年級(jí)、研究生在人文社科知識(shí)方面差異，各選在人文社科知識(shí)方面差異，各選4 4名學(xué)生考試，成績(jī)?nèi)缦旅麑W(xué)生考