1、第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)第第2節(jié)節(jié) 機(jī)器人的雅克比矩陣機(jī)器人的雅克比矩陣第第3節(jié)節(jié) 雅克比矩陣的性質(zhì)雅克比矩陣的性質(zhì)第五章 微分運(yùn)動(dòng)與雅可比矩陣第第2節(jié)節(jié) 機(jī)器人的雅克比矩陣機(jī)器人的雅克比矩陣第第3節(jié)節(jié) 雅克比矩陣的性質(zhì)雅克比矩陣的性質(zhì)第五章 微分運(yùn)動(dòng)與雅可比矩陣2:18機(jī)器人研究所3第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1. 微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分運(yùn)動(dòng)微分運(yùn)動(dòng): 指機(jī)器人的微小運(yùn)動(dòng)（推導(dǎo)不同桿件指機(jī)器人的微小運(yùn)動(dòng)（推導(dǎo)不同桿件間的速度關(guān)系），而微分關(guān)系是指微分運(yùn)動(dòng)與間的速度關(guān)系），而微分關(guān)系是指微分運(yùn)動(dòng)與速度之間的關(guān)系。速度之間的關(guān)系。機(jī)械手的變換

2、主要包括機(jī)械手的變換主要包括平移變換平移變換、旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換、。將變換的變量進(jìn)行微分就可以表示為。將變換的變量進(jìn)行微分就可以表示為微分平微分平移移和和微分旋轉(zhuǎn)微分旋轉(zhuǎn)。2:18機(jī)器人研究所4第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1. 微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分平移微分平移100010Trans(,)0010001xyxyzzddd ddd100010Trans( , , )0010001xyx y zz2:18機(jī)器人研究所5第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1. 微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分旋轉(zhuǎn)微分旋轉(zhuǎn)00Rot(, )00001Kxxyxzzxyx

3、yzyyzyxxzyyzxzzk k versck k versk sk k versk sk k versk sk k versck k versk sk k versk sk k versk sk k verscd000limsind ; limcos1; lim 1 cos02:18機(jī)器人研究所6第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1. 微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分旋轉(zhuǎn)微分旋轉(zhuǎn)1dd0d1d0Rot(,d )dd100001Kzyzxyxkkkkkk2:18機(jī)器人研究所7第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1. 微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分平移和微分旋轉(zhuǎn)用微分平移和

4、微分旋轉(zhuǎn)表示坐標(biāo)系之間的變換用微分平移和微分旋轉(zhuǎn)表示坐標(biāo)系之間的變換 已知坐標(biāo)系已知坐標(biāo)系T，相對(duì)于，相對(duì)于參考坐標(biāo)系參考坐標(biāo)系變換變換T + dT 可表示為可表示為 從上式解出從上式解出dT (微分變換矩陣微分變換矩陣)Rot(,d )dTrans(,)TKTTxyzddddTrans(,)Rot(,d )KTITxyzd dd2:18機(jī)器人研究所8第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1. 微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分平移和微分旋轉(zhuǎn)用微分平移和微分旋轉(zhuǎn)表示坐標(biāo)系之間的變換用微分平移和微分旋轉(zhuǎn)表示坐標(biāo)系之間的變換 已知坐標(biāo)系已知坐標(biāo)系T，相對(duì)于，相對(duì)于T坐標(biāo)系坐標(biāo)系變換變換T + dT 可表

5、示為可表示為 從上式解出從上式解出dTdTrans(Rot(,d,)TKTTxyzdddRot(,d )dTrans(,)TKITxyzdddT2:18機(jī)器人研究所9第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1. 微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分平移和微分旋轉(zhuǎn)用微分平移和微分旋轉(zhuǎn)表示坐標(biāo)系之間的變換用微分平移和微分旋轉(zhuǎn)表示坐標(biāo)系之間的變換將微分平移和微分旋轉(zhuǎn)帶入到將微分平移和微分旋轉(zhuǎn)帶入到 和和 中：中：T1dd0d1d0dd1001000010010000100100001001000010ddd0ddd0000010zyzxyxzyxzxyyxzxyzkkkkkkkkdkkdkkdddd 2:18

6、機(jī)器人研究所10第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1. 微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分平移和微分旋轉(zhuǎn)用微分平移和微分旋轉(zhuǎn)表示坐標(biāo)系之間的變換用微分平移和微分旋轉(zhuǎn)表示坐標(biāo)系之間的變換n繞矢量繞矢量 K 的微分旋轉(zhuǎn)的微分旋轉(zhuǎn) 等價(jià)于等價(jià)于分別繞三個(gè)坐標(biāo)軸分別繞三個(gè)坐標(biāo)軸 x，y，z 分別旋轉(zhuǎn)分別旋轉(zhuǎn) (弧度弧度) ，即，即d,xyz d,d,dxxyyzzkkk帶入到帶入到中中0000000zyxzxyyxzddd 2:18機(jī)器人研究所11第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1. 微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分平移和微分旋轉(zhuǎn)用微分平移和微分旋轉(zhuǎn)表示坐標(biāo)系之間的變換用微分平移和微分旋轉(zhuǎn)表示坐標(biāo)系之

7、間的變換n同理可得同理可得T0000000TTTzyxTTTTzxyTTTyxzddd 2:18機(jī)器人研究所12第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1. 微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分平移和微分旋轉(zhuǎn)剛體或坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)矢量剛體或坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)矢量寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：相對(duì)于相對(duì)于T坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)矢量坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)矢量,xyzxyzd dd TdDxyzxyzddd dDTTT微分平移矢量微分平移矢量dijkxyzddd微分旋轉(zhuǎn)矢量微分旋轉(zhuǎn)矢量ijkxyz2:18機(jī)器人研究所13第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1. 微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分平移和微分旋轉(zhuǎn)例題例題1：已知坐

8、標(biāo)系：已知坐標(biāo)系A(chǔ)和對(duì)基坐標(biāo)系的微分平和對(duì)基坐標(biāo)系的微分平移與微分旋轉(zhuǎn)分別為移與微分旋轉(zhuǎn)分別為求微分變換求微分變換 dA00110100501000001A100.5dijk00.10ijk2:18機(jī)器人研究所14第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1. 微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分平移和微分旋轉(zhuǎn)解：解：由由 ，則，則0000000zyxzxyyxzddd 000.1100000.1000.50000 dTT d AA 2:18機(jī)器人研究所15第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1. 微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分平移和微分旋轉(zhuǎn)解：解：000.110011000001005d0.1000.5

9、01000000000100.1010000000.10.50000A2:18機(jī)器人研究所16第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)2. 微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換微分運(yùn)動(dòng)矢量微分運(yùn)動(dòng)矢量 D 在不同坐標(biāo)系中的表示是不同在不同坐標(biāo)系中的表示是不同的，在一個(gè)坐標(biāo)系中的微分運(yùn)動(dòng)給出后，如何的，在一個(gè)坐標(biāo)系中的微分運(yùn)動(dòng)給出后，如何求出在另一個(gè)坐標(biāo)系中的微分運(yùn)動(dòng)？求出在另一個(gè)坐標(biāo)系中的微分運(yùn)動(dòng)？DDAB2:18機(jī)器人研究所17第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)2. 微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換由于由于dTTTT 1TTT 0000000zyxzxyyxzddd 000

10、1Txxxxyyyyzzzznoapnoapnoap2:18機(jī)器人研究所18第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)2. 微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換矩陣相乘，可得矩陣相乘，可得又由又由 的定義式的定義式0000000 a op nd n a np od o o np ad aT T0000000TTTzyxTTTTzxyTTTyxzddd 2:18機(jī)器人研究所19第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)2. 微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換兩矩陣對(duì)應(yīng)元素相等兩矩陣對(duì)應(yīng)元素相等式中，式中，R為旋轉(zhuǎn)變換矩陣；為旋轉(zhuǎn)變換矩陣；S(p)矩陣為矩陣為 TTTddRR S pRTT

11、0Rxxxyyyzzznoanoanoa 000S pzyzxyxpppppp2:18機(jī)器人研究所20第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)2. 微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換例題例題2：已知坐標(biāo)系：已知坐標(biāo)系A(chǔ)和對(duì)基坐標(biāo)系的微分平和對(duì)基坐標(biāo)系的微分平移與微分旋轉(zhuǎn)分別為移與微分旋轉(zhuǎn)分別為求對(duì)坐標(biāo)系求對(duì)坐標(biāo)系A(chǔ)的等價(jià)微分平移和微分旋轉(zhuǎn)。的等價(jià)微分平移和微分旋轉(zhuǎn)。00110100501000001A100.5dijk00.10ijk2:18機(jī)器人研究所21第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)2. 微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換解：旋轉(zhuǎn)矩陣解：旋轉(zhuǎn)矩陣R為為S(p)矩陣為矩

12、陣為001100010Rxxxyyyzzznoanoanoa 00050001005100S pzyzxyxpppppp2:18機(jī)器人研究所22第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)2. 微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換解：先求矩陣解：先求矩陣 -RTS(p) T0100050010001001051001005100005R S p 2:18機(jī)器人研究所23第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)2. 微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換解：再帶入公式中解：再帶入公式中 TTT010001010001510000.51000050.5100001000.10000010.100

13、0010000ddRR S pRAA 02:18機(jī)器人研究所24第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)2. 微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換解：對(duì)坐標(biāo)系解：對(duì)坐標(biāo)系A(chǔ)的等價(jià)微分平移和微分旋轉(zhuǎn)分的等價(jià)微分平移和微分旋轉(zhuǎn)分別為別為00.51dijkA0.100ijkA2:18機(jī)器人研究所25第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)2. 微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換解：下面來驗(yàn)證例題解：下面來驗(yàn)證例題1所求結(jié)果所求結(jié)果由由 ，則，則先求先求dTTTd AAA00000000.10.5000.101000000000AAAzyxAAAAzxyAAAyxzddd 2:18機(jī)器人研究

14、所26第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)2. 微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換解：下面來驗(yàn)證例題解：下面來驗(yàn)證例題1所求結(jié)果所求結(jié)果由由 ，則，則dTTTd AAA00110000000.1011005000.10.50000010000.101000.10.50001000d00000AAA第第1節(jié)節(jié) 機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)第第3節(jié)節(jié) 雅克比矩陣的性質(zhì)雅克比矩陣的性質(zhì)第五章 微分運(yùn)動(dòng)與雅可比矩陣2:18機(jī)器人研究所28第第2節(jié)節(jié) 機(jī)器人的雅克比矩陣機(jī)器人的雅克比矩陣1. 雅克比矩陣的定義雅克比矩陣的定義操作臂的操作臂的雅克比矩陣雅克比矩陣: 為操作速度與關(guān)節(jié)速度的為操

15、作速度與關(guān)節(jié)速度的線性關(guān)系。線性關(guān)系。操作臂的運(yùn)動(dòng)方程操作臂的運(yùn)動(dòng)方程n代表操作空間代表操作空間 X 與關(guān)節(jié)空間與關(guān)節(jié)空間 q 之間的位移關(guān)系之間的位移關(guān)系將上式兩邊對(duì)時(shí)間將上式兩邊對(duì)時(shí)間 t 求導(dǎo)，得出求導(dǎo)，得出q與與X的微分關(guān)的微分關(guān)系系 XX q2:18機(jī)器人研究所29第第2節(jié)節(jié) 機(jī)器人的雅克比矩陣機(jī)器人的雅克比矩陣1. 雅克比矩陣的定義雅克比矩陣的定義n 稱為機(jī)器人末端在操作空間的稱為機(jī)器人末端在操作空間的廣義速度廣義速度， 為為關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)速度速度； 為為 的偏導(dǎo)數(shù)矩陣，稱為的偏導(dǎo)數(shù)矩陣，稱為雅克比矩陣雅克比矩陣。 XJ q qXq J q6 n XJ q q XJ q qtt DJ q

16、qd2:18機(jī)器人研究所30第第2節(jié)節(jié) 機(jī)器人的雅克比矩陣機(jī)器人的雅克比矩陣1. 雅克比矩陣的定義雅克比矩陣的定義例題例題1：nR-P平面機(jī)械手如圖所示，有兩個(gè)關(guān)節(jié)，一個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)平面機(jī)械手如圖所示，有兩個(gè)關(guān)節(jié)，一個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)節(jié)()，一個(gè)移動(dòng)關(guān)節(jié)，一個(gè)移動(dòng)關(guān)節(jié) ( r ) 。運(yùn)動(dòng)方程為。運(yùn)動(dòng)方程為cossinxryr2:18機(jī)器人研究所31第第2節(jié)節(jié) 機(jī)器人的雅克比矩陣機(jī)器人的雅克比矩陣1. 雅克比矩陣的定義雅克比矩陣的定義例題例題1：n 將方程兩邊對(duì)時(shí)間將方程兩邊對(duì)時(shí)間 t 求導(dǎo)，得到操作速度與關(guān)節(jié)速度求導(dǎo)，得到操作速度與關(guān)節(jié)速度之間的關(guān)系之間的關(guān)系sincoscossinxrryrr 2:18機(jī)

17、器人研究所32第第2節(jié)節(jié) 機(jī)器人的雅克比矩陣機(jī)器人的雅克比矩陣1. 雅克比矩陣的定義雅克比矩陣的定義例題例題1：n表示成矢量形式表示成矢量形式n 為末端抓手的操作速度矢量；為末端抓手的操作速度矢量； 為關(guān)節(jié)速度矢量；為關(guān)節(jié)速度矢量； 為為雅克比矩陣雅克比矩陣。sincoscossinxrryrr XJ qTXxyTqrsincoscossinJrrsincoscossinxrryr 2:18機(jī)器人研究所33第第2節(jié)節(jié) 機(jī)器人的雅克比矩陣機(jī)器人的雅克比矩陣1. 雅克比矩陣的定義雅克比矩陣的定義例題例題1：n由式由式 ，可以解出關(guān)節(jié)速度，可以解出關(guān)節(jié)速度 稱為稱為逆雅克比矩陣逆雅克比矩陣。XJ q

18、q1qJX221Jy rx rx ry r2:18機(jī)器人研究所34第第2節(jié)節(jié) 機(jī)器人的雅克比矩陣機(jī)器人的雅克比矩陣1. 雅克比矩陣的定義雅克比矩陣的定義例題例題1：n當(dāng)當(dāng) 時(shí)，逆矩陣時(shí)，逆矩陣 不存在，與操作速度不存在，與操作速度 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)速度的關(guān)節(jié)速度 可能變?yōu)椴桓F大?？赡茏?yōu)椴桓F大。n這種形位稱為這種形位稱為奇異狀態(tài)奇異狀態(tài)。 奇異狀態(tài)奇異狀態(tài)0r q0J 1JX2:18機(jī)器人研究所35第第2節(jié)節(jié) 機(jī)器人的雅克比矩陣機(jī)器人的雅克比矩陣1. 雅克比矩陣的定義雅克比矩陣的定義例題例題2：平面：平面2R機(jī)械手，有機(jī)械手，有兩個(gè)平行的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，運(yùn)動(dòng)兩個(gè)平行的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為學(xué)方程為將等

19、式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)：將等式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)：11212coscos()xLL11212sinsin()yLL(x, y)2:18機(jī)器人研究所36第第2節(jié)節(jié) 機(jī)器人的雅克比矩陣機(jī)器人的雅克比矩陣1. 雅克比矩陣的定義雅克比矩陣的定義例題例題2：112122121112122122sinsinsincoscoscoslllxllly XJ q1121221211212212sinsinsincoscoscosJllllll2:18機(jī)器人研究所37第第2節(jié)節(jié) 機(jī)器人的雅克比矩陣機(jī)器人的雅克比矩陣1. 雅克比矩陣的定義雅克比矩陣的定義例題例題2：判斷機(jī)器人的判斷機(jī)器人的奇異狀態(tài)奇異狀態(tài)當(dāng)當(dāng) 或或 時(shí)，時(shí)， ，機(jī)器人處于奇異狀態(tài)。，機(jī)器人處于奇異狀態(tài)。1121221212211212212sinsinsinsincoscoscosJllll llll2020J 2:18機(jī)器人研究所38第第2節(jié)節(jié) 機(jī)器人的雅克比矩陣機(jī)器人的雅克比矩陣2. 雅克比矩陣的求法雅克比矩陣的求法1212vJJJnnqqq 1121161JJJJ6Jn2:18機(jī)器人研究所39第第2節(jié)節(jié) 機(jī)器人的雅克比矩陣機(jī)器人的雅克比矩陣2. 雅克比矩陣的求法雅克比矩陣的求法對(duì)于移動(dòng)關(guān)