1、小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽模擬題2二、有規(guī)律的數(shù)列習(xí)題二1、找出以下各個(gè)數(shù)列的規(guī)律，在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。(1)3，12，27，48，75，( )；(2)3，26，111，324，755，1518，2751，( )；(3)2，10，10，66，26，218，50，514，82，1002，( )，( )；(4)0.25，0.4，0.5，1.6，0.75，3.6，1，6.4，( )，( )。2、239被某數(shù)除，所得的商與除數(shù)相同，余數(shù)比除數(shù)少1，求出余數(shù)來。3、在一個(gè)兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字中間加一個(gè)0，那么所得的3位數(shù)是原數(shù)的7倍，求這個(gè)兩位數(shù)。4、一個(gè)兩位數(shù)，把它的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字交換位置后所得的兩位數(shù)比

2、原數(shù)多18，求出這個(gè)兩位數(shù)來。5、由算式，求出x，y，z代表什么數(shù)。6、六年級(jí)有甲乙丙丁4個(gè)班，不算甲班，其余3班一共有147人，不算丁班，其余3個(gè)班共有144人，乙丙兩班人數(shù)之和與甲丁兩班人數(shù)之和相等，求4個(gè)班共有多少人？7、計(jì)算下式的值：(1+)×(+)-(1+)×(+)。8、(第7題的推廣)設(shè)n3是一個(gè)自然數(shù)，計(jì)算下式的值：(1+)×(+)-(1+ +)×(+)。9、有9個(gè)不同的自然數(shù)，從小到大排成一行，相加的和為61，如果去掉其中最小的和最大的數(shù)，剩下7個(gè)數(shù)的和是49，求在原來排列的次序中，第三個(gè)數(shù)是多少？10、計(jì)算。11、一個(gè)分?jǐn)?shù)在約分前分子分

3、母的和為108，如果分子加上15，分母加上12再作約分，恰好得到，求原來的分?jǐn)?shù)化成最簡分?jǐn)?shù)應(yīng)是多少？12、連結(jié)圓周上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，直徑正好就是經(jīng)過圓心的弦。一個(gè)圓被一條直徑和一條弦劃分，最多可分成4個(gè)區(qū)域。一個(gè)圓被2條直徑和一條弦劃分，最多可分成7個(gè)區(qū)域。那么，一個(gè)圓若被一百條直徑和一條弦來分，最多可分成多少個(gè)區(qū)域呢？13、3個(gè)三角形最多可把整個(gè)平面分成多少個(gè)區(qū)域？4個(gè)三角形呢？10個(gè)三角形呢？14、仿照例6的方法計(jì)算13+23+33+n3。15、10條直線最多可以把平面分成幾部分？習(xí)題二提示及部分解答1、(1)仿例1(1)題的方法即可；(2)反復(fù)用例1(1)題的做法，直到找出規(guī)律為止

4、；(3)這是由兩個(gè)數(shù)列湊合而成的，對(duì)每個(gè)數(shù)列用上述方法；(4)它也是由兩個(gè)數(shù)列合成的，做法與上一小題同。2、解法一：因?yàn)樯膛c除數(shù)相同，所以商與除數(shù)的乘積是一個(gè)平方數(shù)，而且這個(gè)平方數(shù)一定不超過239(想一想理由是什么？)。然后判斷不超過239的平方數(shù)中，哪個(gè)平方數(shù)是符合題目要求的(這里要用到除法中除數(shù)與余數(shù)的大小關(guān)系)。由此即可求出除數(shù)。解法二：設(shè)除數(shù)是x，那么根據(jù)條件，并把除法改用乘法(想想怎樣用乘法對(duì)除法作驗(yàn)算)寫出來就可得到239=x2+x-1。等式兩邊都加1得239+1=x2+x，這就是x(x+1)=240。把這個(gè)式看成是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積是240，你應(yīng)該知道怎樣求x了。3、設(shè)這個(gè)兩位數(shù)

5、為ab，a是十位數(shù)字，b是個(gè)位數(shù)字，那么這個(gè)兩位數(shù)可以寫成10a+b。同理，中間加一個(gè)0所得的3位數(shù)可以寫成100a+b。于是由題給條件可列出下面的式子，100a+b=7(10a+b)，從而100a+b-b-70a=70a+7b-b-70a，這就是30a=6b，因此b=5a。注意到a、b只能取小于10的數(shù)即可求出它們的值。4、注意兩位數(shù)ab與ba分別可表示成10a+b以及10b+a，然后按題意列式求解。5、這種幾個(gè)字母輪換出現(xiàn)的式子通常用加法去做，即把3個(gè)式子的左邊和右邊分別相加，這就得到4x+4y+4z=44，由此即可求出x+y+z的值。6、根據(jù)條件列出以下式子：由，兩式推出丁=甲+3，代入

6、式得2甲=乙+丙-3 把式兩邊都乘以2得2甲+2乙+2丙=288 用式代替式中的2甲，就可求出乙+丙的值。再利用式就可求出四班人數(shù)總和。7、算式里有4個(gè)括號(hào)，4個(gè)括號(hào)中共同有的是+，就設(shè)a=+，題目中的式子就變成(1+a)×(a+)-(1+a+)×a，利用分配律兩次(參考(2.8)式的計(jì)算過程)就可以算出它的值。8、做法與上題同，只不過這次應(yīng)假設(shè)a=+，于是原式變?yōu)?1+a)×(a+)-(1+a+)×a。9、注意其中最小與最大的兩個(gè)數(shù)的和是61-49=12。由此再利用2+3+4+5+6+7+8+9+10=54比61小推出，最小，最大兩數(shù)只可能是1和11。

7、最后注意1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66。剩下的推理由你自己完成。10、此題與第7、8兩題類同，千萬不要直接計(jì)算。注意到分子、分母中四個(gè)數(shù)的共同點(diǎn)，可以設(shè)a=9876543210，于是原式變?yōu)?，用分配律把分母的值算出來即可?1、假設(shè)約分前分子為a，分母為b，那么由題意得到a+b=108 (1)= (2)注意到(2)式就是b+12=2×(a+15)，即有b+12-2a-12=2a+2×15-2a-12，這就是b-2a=18。 (3)(1)式表示a與b的和是108，而(3)式表示b比a的2倍還多18，現(xiàn)在求a，b就容易了。12、解法一：先研究3條直徑和1條

8、弦最多可把圓分成幾個(gè)區(qū)域，結(jié)論是10個(gè)，再由數(shù)列4，7，10，的規(guī)律求出問題的答案。解法二：先考慮一百條直徑把圓分成多少個(gè)區(qū)域(注意每加一條不同的直徑，劃分的區(qū)域多出2個(gè))，然后再添上一條弦，看它能增加最多多少個(gè)區(qū)域。13、注意先研究一個(gè)及兩個(gè)三角形的情形。方法與上題類似。14、先證明對(duì)任何自然數(shù)n有(n+1)4=n4+4n3+6n2+4n+1，(1)由此推出(n+1)4-n4=4n4+6n2+4n+1。(2)然后利用(2)式分別取n為1，2，n-1，n得出n個(gè)等式。把這些等式左、右兩邊分別相加，然后利用(2.15)式及關(guān)于前n個(gè)自然數(shù)的和的公式就得出要求的計(jì)算公式了。詳細(xì)過程參見例6。另解：此題還有一個(gè)特殊的解法。直接計(jì)算可得13 =12； 13+23 =32；13+23+33 =62；13+23+33+43=102；13+23+33+43+53=152； 注意到數(shù)列1，3，6，10，15， (1)它的規(guī)律是：其中第n個(gè)數(shù)等于1+