1、2019年遼寧省沈陽市高考數(shù)學三模試卷（文科）、選擇題：本題共 12小題，每小題 5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有 項是符合題目要求的1 . （5分）已知i為虛數(shù)單位,則i+i2+i3+i2019等于（）A. iB . 1C. - iD. T2. （5分）已知集合 A= （x, y） |x+yW2, x, yCN,則A中元素的個數(shù)為（）A. 1B . 5C. 6D,無數(shù)個3. （5 分）“k=” 是“直線 l： y=k （x+2）與圓 x2+y2= 1 相切”的（）A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4. （5分）若非零向量滿足|4|二|4

2、|, （2a+b）*b=0,則g, %的夾角為（）c 5nC- i.5.（5分）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a1+a4+a7= 2 %,貝U tan ( a3+a5)的值為(6.A.（5分）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長都相等，其外接球的表面積是4 71,則其側(cè)棱長為（）A. 一B ,337. （5分）九章算術(shù)中有如下問題:C.V2D“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何?其大意：“已知直角三角形兩直角邊分別為5步和12步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步?現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是（）.2冗_ 3口一 .一 .3nA . lB _ .C I -D. I -

3、152015208. （5分）已知函數(shù)f （x） = x3-2x+1 + ex-三，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).若 f （aT） +f eK（2a2） W2,則實數(shù)a的取值范圍是（）A -1 . . BC 1 , _ D. | 一1 ,9. （5分）如圖，在正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，底面邊長為 2,直線CCi與平面ACDi所成角的正弦值為,則正四棱柱的高為（）3A. 2B. 3C. 4D. 510. 5 5 分）已知函數(shù) f （x） = Asin （ wx+（j）?e 兇（A0, 0, 0V（f）bcB . acbC. cabD. cba12. （5分）已知拋物線 C: y2=2

4、px （p0）的焦點為F,且F到準線l的距離為2,直線I/l-my-q區(qū)二0與拋物線C交于P，Q兩點（點P在x軸上方），與準線l交于點R,若|QF|=3,則包返 APRFB 二B- TC AC- 7D.1irca? l / “； 1 N m 0二、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分. 2冗-13. （5分）已知球。的內(nèi)接圓錐體積為 不一，其底面半徑為1,則球。的表面積為14. （5分）下列三個命題在“ _”處都缺少同一個條件，補上這個條件使其構(gòu)成真命題（其中l(wèi), m為直線，a, 3為平面），則此條件是 1i_Lm ? l / a； ml a ? l /。J15. (5分)若雙曲線 C

5、: a可3=1 (a0, b0)的一條漸近線被圓 x2+ (y+2) 2= 4所 a2 b2截得的弦長為2,雙曲線C的離心率為 .16. (5分)數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn= 2 - 1,則數(shù)列bn= an _ 7an+6的最小值 為.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第2223題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17. (12 分)在 ABC 中，角A、B、C 的對邊分別為a、b、c,且?t足a2c= b(a2+c2-b2)(其中bwc)(I )求證：A= 2B;(n)若 f (x) = sinx+cosx,求 f (

6、 B)的取值范圍.18. (12分)某網(wǎng)絡(luò)平臺從購買該平臺某課程的客戶中，隨機抽取了100位客戶的數(shù)據(jù)，并將這100個數(shù)據(jù)按學時數(shù)，客戶性別等進行統(tǒng)計，整理得到如表;學時數(shù)5, 10)10, 15)15, 20)20, 25)25, 30)30, 35)35, 40)男性181299642女性24827134(1)根據(jù)上表估計男性客戶購買該課程學時數(shù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)；(2)從這100位客戶中，對購買該課程學時數(shù)在20以下的女性客戶按照分層抽樣的方式隨機抽取7人，再從這7人中隨機抽取2人，求這2人購買的學時數(shù)都不低于 15的概 率.(3)將

7、購買該課程達到 25學時及以上者視為“十分愛好該課程者”，25學時以下者視，為“非十分愛好該課程者” .請根據(jù)已知條件完成以下 2X2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9% 的把握認為“十分愛好該課程者”與性別有關(guān)？非十分愛好該課程者十分愛好該課程者合計男性女性合計100附： 猿 2 =n(adf -) n = a+b+c+d (a+b) Cc+d) (a+c) (b+d)2.、P (K ko)0.1000.0500.0250.0100.001ko2.7063.8415.0246.63510.82819. (12分)如圖，四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面 PAB，底面ABC

8、D, E為PC上的點，且 BE，平面 APC(1)求證：平面 FAD，平面PBC;(2)當三棱錐P-ABC體積的最大值；2220. (12分)設(shè)橢圓E:三+J=1 (ab0)的左、右焦點分別為 Fl, F2,過Fi的直a2 b2線交橢圓于A, B兩點，若橢圓E的離心率為 工，4ABF2的周長為16.2(I )求橢圓E的方程；(n)設(shè)不經(jīng)過橢圓的中心而平行于弦AB的直線交橢圓E于點C, D,設(shè)弦AB, CD的中點分別為M, N.證明：O, M, N三點共線.21. (12分)已知函數(shù)f G)=( a為常數(shù)).(1)討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)g (x) = xf (x)有兩個不同的極

9、值點，求實數(shù) a的取值范圍.選考題：共10分，請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做則按所做的第一題計分 .選 修4-4坐標系與參數(shù)方程選講22. (10分)在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C: psin2 0= 2acos 0 (a0),過點P (-2, -4)的直線l的參數(shù)方程為2的解集；(2)若二次函數(shù)y=x2+2x+3與函數(shù)y=f(x)的圖象恒有公共點，求實數(shù)m的取值范圍.2019年遼寧省沈陽市高考數(shù)學三模試卷（文科）參考答案與試題解析、選擇題：本題共 12小題，每小題 5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有項是符合題目要求的【解答】

10、解：i+i2+i3+ i2019Cl-i2019)1 -1=iQ+i)-21-i = Cl-i)(l+i) - 22 .【解答】解：依題意，因為集合A = （x,y）|x+yW2,x,yCN,所以當x= 0時，y=0, y= 1或y=2,此時有3個元素（0, 0）, （0, 1）, （0, 2） S;當x= 1時，y=0,或y = 1,此時有2個元素（1, 0）, （1, 1） 6;當x= 2時，y=0,此時只有（2, 1） CA.綜上集合A有6個元素，3.【解答】解：當女當時，直線1轉(zhuǎn)換為 廠哼金-2）,所以：圓心（0, 0）到直線的距離d= lQ-Q-21 =i = r正+(付2所以直線與

11、園相切.直線與園相切.則：圓心（0, 0）到直線 kx- y+2k= 0的距離d= 產(chǎn) =r=1,Vl+k2解得：k= 土鳥,故：“片氏 是“直線1： y= k（x+2）與圓x2+y2=1相切”的充分不必要條件.4 .【解答】 解：非零向量a, 滿足I a l=|b I, （2a+b）-b=0,可得：2 ab+b =0,可得2cos近b= 一1,所以取 b=故選：D .5 .【解答】 解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得ai+a4+a7= 3a4= 2兀，解得 a4=,而 a3+a5= 2a4 = WH,33 .tan (a3+a5)= tan q =3故選：A.6 .【解答】解：三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相

12、垂直，所以它的外接球就是它擴展為正方體的外 接球，因為外接球的表面積是 4兀，所以球的半徑為1所以正方體的對角線的長為：2,所以側(cè)棱長為一 .3故選：B.7 .【解答】解：直角三角形的斜邊長為遙可/二13,設(shè)內(nèi)切圓的半徑為 r,則5-r+12- r=13,解得r=2.2內(nèi)切圓的面積為兀=4兀)，豆子落在內(nèi)切圓外部的概率p=i - - = 1-22L,yXX12 15故選：C.8 .【解答】解：令 g (x) = f (x) 1 = x3- 2x+ex-, xCR.eK則g ( - x) = - g (x),g (x)在R上為奇函數(shù).gz ( x) = 3x2- 2+ex+-0+2 -2=0,

13、ex函數(shù)g (x)在R上單調(diào)遞增.f (a-1) +f (2a2) w 2,化為：f (a - 1) - 1+f (2a2) - 10,即 g (a - 1) +g (2a2) （1,1, 2）, L-2K+az=0a- n *CC 1aX故 cosv n, CC =*1 HHCCJ直線CCi與平面ACDi所成角的正弦值為2 1 =一,斛得：a=4.V2Z+4 故選：C.10.【解答】 解：f (x)的圖象關(guān)于y軸對稱,k）, 幾1- f (x)為偶函數(shù)，()=k tt+ , . f (x) = Acoswx?e X, .f (0) = A=2,f(1) =f (3) = 0, cosw r

14、= cos3cq? 1 = 0, 1- cosw= cos3co= 0,取 co =_H_,則 e e32A w=兀.故選：B.11 .【解答】 解：7 a= 10g2018V201 10g2018y2018 =，2b= 10g2019V1og2019V2O19 =,2c= 20182019 1 , c ab.故選：C.12 .【解答】解：如圖所示，拋物線C: y2=2px(p0)的焦點為F,且F到準線l的距離為2,p = 2.2) y = 4x.|QF|=3=xq+1 ,解得xq= 2.y J4 K化為:x2- ( 4m2+2優(yōu)) x+5= 0.2xp= 5,斛得xp=,Saprf I PR

15、 I Xp+1 $+1 T2二、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分._ :, 一，八八 一，27113【解答】解：由圓錐體積為 號,其底面半徑為1 ,可求得圓錐的高為2,設(shè)球半徑為R,可得方程:R2- ( R - 2) 2= 1,解得R=l, 4.5球=4冗噓=智,故答案為：, , 一 .414.【解答】解：l / m, m/ a?l /a 或 l?a,由 l?a?l/ a； l? a , m? a , l / m? l / a； l,m, m a ? l / a 或 l?a,由 l? a ? l / a.故答案為：l?a.215【解答】解：雙曲線C:三 a2三=1 (a0, b0)

16、的一條漸近線 bx+ay= 0被圓x2+ b2(y+2) 2=4所截得的弦長為2,可得：4( 2a解得 4a2= 3c2,可得 e=3IVa2+b2a 3故答案為：一316 .【解答】解：由Sn=2n1,得ai = Si = 1,當 n2 時，/二-$口7:2瞑一2曰+1 二21，ai = 1適合上式,貝U bn= an 7an+6 =當加=4時(耳1)冠(心)2告二-6故答案為：-6.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題,每個試題考生都必須作答.第2223題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17 .【解答】 解：(I)證明：a2c= b (a2+c2b

17、2),由余弦定理可得：a2c=b?2accosB,，a=2bcosB,由正弦定理可得：sinA= 2sinBcosB,即 sinA=sin2B, A, B為三角形內(nèi)角，可得 A=2B,或A+2B =兀，;若 A+2B = Tt,又 A+B+C= Tt,可得 B=C,即 b= c,矛盾. .A=2B.得證.(n ) f (x) = sinx+cosx= Jsin (x+2L),，f (B)=血sin ( B+4 A=2B,可得：BC (0, ),可得 B+ C (工，至)，可得 sin (B+) C (244441,.f (B) = V2sin ( B+) (1, &.418 .【解答】解：(1

18、)由題意知，在100位購買該課程的客戶中，男性客戶購買該課程學時數(shù)的平均值為一 1 一 一 一 一 一 八一 八一 八一一 X= (7.5X 18+12.5X 12+17.5X 9+22.5X 9+27.5X 6+32.5X4+37.5X 2) =16.92;所以估計男性客戶購買該課程學時數(shù)的平均值為16.92.(2)設(shè)“所抽取的2人購買的學時數(shù)都不低于15為事件A,依題意按照分層抽樣的方式分別在學時數(shù)為5, 10), l0, 15), 15, 20)的女性客戶中抽取1人(設(shè)為a), 2人(設(shè)為A, B)4人，(設(shè)為ci, C2, C3, C4),從7人中隨機抽取2人所包含的基木事件為：aA,

19、 aB, aci, ac2, ac3, ac4, AB, Aci, AC2, Ac3, Ac4, Bci, BC2, Bc3, Bc4, cic2,C1C3, cic4, c2c3, c2c4, c3c4,共 21 種，其中事件 A所包含的基本事件為： cic2, cic3, cic4, c2c3, c2c4, c3c4,共6個,則事件A發(fā)生的概率P=.21 7（3）依題意得2X2列聯(lián)表如下非十分愛好該課程者十分愛好該課程者合計男性481260女性162440合計6436100(a+b) (c+d) (arf-c) (b+d)16.667 10.828.100(48X 24-16X12)264

20、X 36X60X40故有99.9%6的把握認為“十分愛好該課程者”與性別有關(guān).19 .【解答】（1）證明：二.四邊形 ABCD為正方形，BCXAB,又側(cè)面PABL底面 ABCD,側(cè)面 PABA底面 ABCD = AB, BC?平面ABCD ,BC，平面 PAB,又 AP?面 FAB,APXBC,. BE，平面 APC, AP?面 PAC,AFXBE,又 BCABE=B, BC?平面 PBC, BE?平面 PBC, APXW PBC,又 AP?面 FAD,平面PAD，平面PBC.（2）解：由（1）可知 PAL平面 PBC,故PAXPB,Vp-abc=VapbPA *PB,求三棱錐P-ABC體積的

21、最大值，只需求 PAX PB的最大值.令 PA=x, PB = y,貝U x2+y2= 42xy,故 xyW2,.VP-ABg番當且僅當產(chǎn)產(chǎn)迎即PA二PB二加時，VpABC的最大值為春.20 .【解答】（I）解：由題意知，4a=16, a=4.又 e=L,c = 2, b = V16_4 =2V3, 222橢圓E的方程為16 12 1（n）證明：當直線 AB、CD的斜率不存在時，由橢圓的對稱性知，中點 M, N在x軸上，O, M,N三點共線;當直線AB,CD的斜率存在時，設(shè)其斜率為k,且設(shè)A（xi,yi）,B（X2,y2）,M （3,161216122222yy同理可得Im二4k，koM = koN,所以 O,M, N三點共線.21.【解答】解：（1）函數(shù)的定義域為（0, +8）,其導數(shù)Fx 2分）（x） 0,函數(shù)在（0, +8）上單調(diào)遞增;3分)(x) = 0,解得K上,2）上單調(diào)遞增，