1、2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)及答案注意事項(xiàng)：1 .答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2 .回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮 擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3 .考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1 .已知集合 A=1,0,1,2, B=x|x2 E1,則 ApB =A.-1,0,1B,0,1C. -1,1D. 0,1,22,若 z(1+i) =

2、2i ,則 z=A.-1 -iB.-1+iC. 1 -iD. 1+i3.西游記三國(guó)演義水滸傳和紅樓夢(mèng)是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國(guó)古典小說(shuō)四大名著 某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過(guò)西游記或紅樓夢(mèng)的學(xué)生共有90位，閱讀過(guò)紅樓夢(mèng)的學(xué)生共有80位，閱讀過(guò)西游記且閱讀過(guò)紅樓夢(mèng)的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過(guò)西游記的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為A. 0.5B. 0.6C, 0.7D, 0.84 . (1+2x2) (1+x)4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為A.12B.16C.20D.245 .已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項(xiàng)和為15,且a5=3a3+4a1，

3、則a3=A.16B.8C.4D.26 .已知曲線y=aex十xlnx在點(diǎn)(1, ae)處的切線方程為 y=2x+b,則A.a=e,b = -1B.a= e,b=1C.a=e：b =1D.a = e",b=-17 .函數(shù)y = 2在-6,6的圖像大致為2x - 2 公A.C.8 .如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心， ECD為正三角形，平面ECD，平面ABCD, M是線段ED的中點(diǎn)，則A. BM=EN,且直線BM, EN是相交直線B. BM車N,且直線BM, EN是相交直線C. BM=EN,且直線BM, EN是異面直線D. BM在N,且直線BM, EN是異面直線9 .執(zhí)行下邊的程序框圖，

4、如果輸入的名為0.01,則輸出S的值等于2-24B 2-25D- 24O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若PO = PF ,則10 .雙曲線C： - -=1的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在C的一條漸近線上,42 PFO的面積為逑B 逑4.2C. 272D. 3衣11.設(shè)f (x隅定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0,+如)單調(diào)遞減，則A. fB. fC. fD. f12.設(shè)函數(shù)132、(log31) > f (29)> f ( 2飛)42123(log3_!_)>f(23)>f (2W)42321 、(2萬(wàn))f (Q) > f (lOg3-)2242 3、(2飛)> f (27)> f (啕

5、3)224一一 一，冗f (x )=sin( <o x + 一(>0),已知f(x )在【0,2元】有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論:f (x肝(0,2 n)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)f (x X ( 0,2幾)有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)f (x而(0,)單調(diào)遞增10缶的取值范圍是這，29)5 10其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A.B.C.D.、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分。13 .已知 a, b 為單位向量，且 a b=0,若 c =2a J5b ,則 cos(a,c) =Sio14 .記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，QW0, a2 =3a1，則 =.2215. 設(shè)Fi, F2為橢圓

6、C: 土+ L=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若MF1F2為等腰三角形， 36 20則M的坐標(biāo)為.16. 學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)方體 ABCD - AB1C1D1挖去四棱錐O EFGH后所得的幾何體，其中 O為長(zhǎng)方體的中心， E, F, G, H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB = BC = 6 cm, AA1 = 4 cm , 3D打印所用原料密度為 0.9 g/cm3,不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為 g.三、解答題：共 70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，

7、考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共 60分。17. （12 分）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將 200只小鼠隨機(jī)分成 A, B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：頻率聞?dòng)⊙萋驶司郺中高了我解百分:匕匕為困030r 乙居留百分比無(wú)方1國(guó)記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到 P (C)的估計(jì)值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a, b的值；(2)分別估計(jì)甲、乙

8、離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).18. ( 12 分)A C ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,已知asin=bsinA.2(1)求 B；(2)若 ABC為銳角三角形，且 c=1,求 ABC面積的取值范圍.19. (12 分)圖1是由矩形ADEB , RtA ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1 , BE=BF=2, / FBC=60° ,將其沿AB, BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG ,如圖2.(1)證明：圖2中的A, C, G, D四點(diǎn)共面，且平面 ABC,平面BCGE ；(2)求圖2中的二面角B-CG-A

9、 的大小.20. (12 分)已知函數(shù) f (x) =2x3 - ax2 b.(1)討論f (x)的單調(diào)性；(2)是否存在a,b,使得f(x)在區(qū)間0,1的最小值為-1且最大值為1?若存在，求出a,b的所有值;若不存在，說(shuō)明理由 x1 21 .已知曲線C： 丫=-,D為直線y=萬(wàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A, B.(1)證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)：(2)若以E(0, 5)為圓心的圓與直線 AB相切，且切點(diǎn)為線段 AB的中點(diǎn)，求四邊形 ADBE的面積.2(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22 .選彳4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(1

10、0分)如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，A(2,0) , B(T2,-) , C(衣,),D(2,n)，弧AB , BC，CD所在圓 44的圓心分別是(1,0), (1,：), (1,嘰 曲線M1是弧AB，曲線M2是弧BC，曲線M3是弧CD.(1)分別寫(xiě)出M1，M2, M3的極坐標(biāo)方程；(2)曲線M由M1 , M2 , M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|OP |= J3,求P的極坐標(biāo).23 .選彳4-5 :不等式選講(10分)設(shè) x, y, zw R ,且 x + y+ z=1.(1)求(x1)2 +(y+1)2 +(z+1)2 的最小值；一，9991(2)若(x2)2 +(y 1)2+(z a)2 之成立，

11、證明：a <-3 或 a 之1.B,B八.B=cos,故cos= 2sin一222B cos.2由于 ABC為銳角三角形,C 12. D<a<2,2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)-參考答案一、選擇題1 . A 2. D 3. C 4. A 5. C 6. D7. B 8. B 9. C 10. A 11 .二、填空題13. 214. 415. (3, VT5)16. 118.83三、解答題17 .解：(1)由已知得 0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1 -0.05 -0.15-0.70=0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為2X0

12、.15+3 0.20+4 0.30+5 0.20+6 0.10+7 0.05=4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為3X0.05+4 0.10+5 0.15+6 0.35+7 0.20+8 0.15=6.00.A C18 .解：(1)由題設(shè)及正弦定理得sinAsin=sinBsinA.2.AC 因?yàn)?sinA#0,所以 sin=sinB2A C由 A + B+C=180 ,可得 sin2 BB 1因?yàn)?cos #0,故 sin =,因此 B=60 . 22 23(2)由題設(shè)及(1)知 ABC的面積S.abc = a. 4csinA sin 120 VJ31由正弦te理得 a =+ .si

13、nC sin C 2tanC 21故0 VA<90 , 0 <C<90 ,由(1)知 A+C=120 ,所以 30 <C<90 ,故一 2因此， ABC面積的取值范圍是19.解：(1)由已知得 ADA BE, CGtBE,所以AD,CG,故AD , CG確定一個(gè)平面，從而 A, C, G, D四點(diǎn)共面.由已知得 AB_LBE, AB_LBC,故 AB_L 平面 BCGE.又因?yàn)锳BC平面ABC,所以平面ABC，平面BCGE .(2)作EH_LBC,垂足為H.因?yàn)镋HU平面BCGE,平面BCGE _L平面ABC,所以EH _L平面ABC.由已知，菱形BCGE的邊長(zhǎng)為

14、2, /EBC=60°,可求得BH=1, EH= J3 .以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HC的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H二yz,20.則A(T, 1, 0), C(1,0, 0), G(2, 0, 73), CG = ( 1, 0, 73), AC = (2,設(shè)平面ACGD的法向量為n = (x, y, z),則屋 n=°，即;x + &=0,AC n =0, 2x -y =0.所以可取n = (3, 6, -V3).又平面BCGE的法向量可取為 m= (0, 1,0),所以cosn, m)= n m =| n 11m |2因此二面角BCG力的大小為30&

15、#176;.解：(1) f (x) =6x2-2ax = 2x(3x-a).令 f (x)=0,得 乂=0或*=且.3若 a>0,則當(dāng) xW(-°°,0)U'a3T, 0)，儀H時(shí)，f'(x)>0；當(dāng) x 0,al時(shí)，葭)<0.故£(*)在,3(f0), fa, 481單調(diào)遞增 ,3,，在，0,a i單調(diào)遞減;3若a=0, f(x)在(_«,依)單調(diào)遞增;若 a<0,則當(dāng) x,a iU(0,")時(shí)，f'(x)> 0；當(dāng) xwfa,0 |'時(shí)，f'(x)c 0.故 f(x)在

16、33f-o, a ,(0,)單調(diào)遞增，在'-|,0 單調(diào)遞減(2)滿足題設(shè)條件的 a, b存在.(i)當(dāng)aw。時(shí)，由(1)知，f(x)在0, 1單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0, 1的最小值為f(0)=b,最大值為f(1)=2a+b.此時(shí)a, b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b = 1, 2 a + b = 1 ,即a=0, b=1.(ii)當(dāng)a>3時(shí)，由(1)知，f(x)在0, 1單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間0, 1的最大值為f(0)=b,最小值為f (1)=2a+b.此時(shí)a, b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng) 2 a + b = 1, b=1,即a=4, b=1. 一. /a * a3(iii)當(dāng)

17、0<a<3時(shí)，由(1)知，f(x)在0, 1的最小值為f 1=+b ,最大值為b或2 a + b.13 J 273若 一"+b = -1 , b=1,則 a =33/2 ,與 0<a<3 矛盾.273若a- +b = -1 , 2 -a +b =1,則 a =3而或 a = -373 或 a=0,與 0<a<3 矛盾.27綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a=0, b = 1或a=4, b=1時(shí)，f (x)在0, 1的最小值為-1,最大值為1.21.解:A(x1, y ),則 x2 =2y1.y' = x ,所以切線DA的斜率為x1 ,故x1 -tx1 .整理

18、得 2 tx1 -2 y1+1=0.設(shè) B(x2,y2),同理可得 2tx2-2 y2+1=0.故直線AB的方程為2tx-2y 1 =0.所以直線AB過(guò)定點(diǎn)（0,-）.21（2）由（1）得直線AB的萬(wàn)程為y=tx+1.211y = tx _由， 2 2，可得 x2 -2tx 1 = 0.y a2于是 x1+x2=2t, x1x2 = 1, y1 +y2 =t(x1+x2 )+1 = 2t2 +1,| AB |= # +t2 |x1 -x2 =h +t2 x(x1 +x2 2 -4x1x2 =2(t2 +1 ).設(shè)d1,d2分別為點(diǎn)D, E到直線AB的距離，則d1=J?7i, d2 =-J=.t

19、2 1因此，四邊形 ADBE的面積 S =11 AB |(d1 +d2 ) = (t2 +3)Jt2 +1 .設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則M rt,t2+- I.2由于 EM_lAB,而 EM = (t,t2 2 ), AB與向量(1, t)平行，所以 t+(t2 2)t = 0.解得 t=0 或t 1 .當(dāng) t=0時(shí)，S=3;當(dāng)1=±1 時(shí)，S = 472.因此，四邊形ADBE的面積為3或4衣.22.解：（1）由題設(shè)可得，弧AB,BC,CD所在圓的極坐標(biāo)方程分別為P = 2cos9，P = 2sin9，P =2cos9. . _-1,- TT. _-'兀 - 3 兀所以M1的極坐標(biāo)萬(wàn)程為 P = 2cos 0 <6 <- , M2的極坐標(biāo)萬(wàn)程為 P = 2sin<6 <I 4 JU 4 ),.八八/3兀一八 一M3的極坐標(biāo)方程為 P = -2cos日 <0 &l