1、1.2.1 線性空間及其基本性質(zhì)線性空間及其基本性質(zhì)1.2.2 向量的線性相關(guān)性向量的線性相關(guān)性1.2.3 線性空間的維數(shù)線性空間的維數(shù) 線性空間是線性代數(shù)的中心內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)矩線性空間是線性代數(shù)的中心內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)矩陣論的重要基礎(chǔ)，它是幾何空間的抽象和推廣陣論的重要基礎(chǔ)，它是幾何空間的抽象和推廣 在解析幾何中討論的三維向量，它們的加法和數(shù)在解析幾何中討論的三維向量，它們的加法和數(shù)量乘法可以描述一些幾何和力學(xué)問題的有關(guān)屬性為量乘法可以描述一些幾何和力學(xué)問題的有關(guān)屬性為了研究一般線性方程組解的理論，我們把三維向量推了研究一般線性方程組解的理論，我們把三維向量推廣為廣為n維向量，定義了維向量，定義

2、了n維向量的加法和數(shù)量乘法運算，維向量的加法和數(shù)量乘法運算，討論了向量空間中的向量關(guān)于線性運算的線性相關(guān)性，討論了向量空間中的向量關(guān)于線性運算的線性相關(guān)性，完滿地闡明了線性方程組的解的理論完滿地闡明了線性方程組的解的理論 現(xiàn)在現(xiàn)在把把n n維向量抽象成集合中的元素，撇開向量及其維向量抽象成集合中的元素，撇開向量及其運算的具體含義，運算的具體含義，把集合對加法和數(shù)量乘法的封閉性及運把集合對加法和數(shù)量乘法的封閉性及運算滿足的規(guī)則抽象出來，就形成了抽象的線性空間的概念，算滿足的規(guī)則抽象出來，就形成了抽象的線性空間的概念，這種抽象將使我們進一步研究的線性空間的理論可以在相這種抽象將使我們進一步研究的線

3、性空間的理論可以在相當(dāng)廣泛的領(lǐng)域內(nèi)得到應(yīng)用當(dāng)廣泛的領(lǐng)域內(nèi)得到應(yīng)用 事實上，線性空間的理論與方法己滲透到自然科學(xué)事實上，線性空間的理論與方法己滲透到自然科學(xué)與工程技術(shù)的許多領(lǐng)域，同時對于我們深刻理解和掌握與工程技術(shù)的許多領(lǐng)域，同時對于我們深刻理解和掌握線性方程組理論和矩陣代數(shù)也有非常重要的指導(dǎo)意義線性方程組理論和矩陣代數(shù)也有非常重要的指導(dǎo)意義1.2.1 線性空間及其基本性質(zhì)線性空間及其基本性質(zhì)定義定義1.2.11.2.1 設(shè)V 是一個非空集合，P 是一個數(shù)域。在V上定義了一種代數(shù)運算，稱為加法加法，記為“+”；定義了P 與V 到V 的一種代數(shù)運算，稱為數(shù)量乘法數(shù)量乘法（簡稱數(shù)乘），記為“”。如果

4、加法與數(shù)量乘法滿足如下規(guī)則：;0),(0)3(都有一元素中任對于稱為零元素中有一個元素在VV;),(0,)4(記為的負(fù)元素稱為使得中的元素都有中每一個元素對于VV;1)5(;)()()6(kmmk；) 1 ();()()2(;)()7(mkmk,)()8(kkk其中k，m是P中的任意數(shù)，是V中的任意元素，則稱V為數(shù)域P上的線性空間線性空間。問題問題: :數(shù)域數(shù)域P上的線性空間上的線性空間V關(guān)于加法和數(shù)乘兩種關(guān)于加法和數(shù)乘兩種運算是否運算是否封閉封閉?為什么為什么?備注備注1:1:1.線性空間的實質(zhì)線性空間的實質(zhì): : 是定義了加法和數(shù)乘的集合是定義了加法和數(shù)乘的集合,集集合在這兩種運算下是封閉

5、的合在這兩種運算下是封閉的.2.V中所定義的加法及數(shù)乘運算統(tǒng)稱為V的線性運算線性運算.在不致產(chǎn)生混淆時，將數(shù)域P上的線性空間簡稱為線性空間3.不管不管V V的元素如何，當(dāng)?shù)脑厝绾危?dāng)P P為實數(shù)域為實數(shù)域R R時，則稱時，則稱V V為為實線性空間實線性空間; ;當(dāng)當(dāng)P P為復(fù)數(shù)域為復(fù)數(shù)域C C時時, ,就稱就稱V V為復(fù)線性空間為復(fù)線性空間備注備注2. 2. 向量向量( (線性線性) )空間中的元素稱為空間中的元素稱為向量向量, , 但但不一定是有序數(shù)組不一定是有序數(shù)組. .備注備注3. 3. 判別線性空間的方法判別線性空間的方法: : 一個集合一個集合, , 對對于定義的加法和數(shù)乘運算不封

6、閉于定義的加法和數(shù)乘運算不封閉, , 或者運算不或者運算不滿足八條性質(zhì)的任一條滿足八條性質(zhì)的任一條, , 則此集合就不能構(gòu)成則此集合就不能構(gòu)成線性空間線性空間. . (1) 如果在一個集合上定義的加法和乘數(shù)運算是通如果在一個集合上定義的加法和乘數(shù)運算是通常實數(shù)間的加常實數(shù)間的加, 乘運算乘運算, 則只需檢驗運算的封閉性則只需檢驗運算的封閉性.線性空間的判定方法線性空間的判定方法: : 例例1: 實數(shù)域上的全體實數(shù)域上的全體m n矩陣矩陣, 對矩陣的加法和對矩陣的加法和數(shù)乘運算構(gòu)成實數(shù)域數(shù)乘運算構(gòu)成實數(shù)域R上的線性空間上的線性空間, 記作記作Rm n. Rm n中的向量中的向量(元素元素)是是m

7、 n矩陣矩陣. 例例3: 次數(shù)等于次數(shù)等于n 的多項式再添上零多項式的全體對的多項式再添上零多項式的全體對于通常的多項式加法于通常的多項式加法, 數(shù)乘多項式的乘法是否構(gòu)成線數(shù)乘多項式的乘法是否構(gòu)成線性空間性空間？n2. :P x例表示數(shù)域P上次數(shù)小于n的一元多項式再添上零多項式的全體。按通常的多項式加法和數(shù)與多項式的乘法構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間。 例例4: 在區(qū)間在區(qū)間a, b上全體實連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合上全體實連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合記為記為Ca, b, 對函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的數(shù)量乘法對函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的數(shù)量乘法, 構(gòu)構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間成實數(shù)域上的線性空間. (2) (2) 一個集合一個集合

8、, , 如果定義的加法和乘數(shù)運算不是通如果定義的加法和乘數(shù)運算不是通常的實數(shù)間的加常的實數(shù)間的加, , 乘運算乘運算, , 則必需檢驗是否滿足八條線則必需檢驗是否滿足八條線性運算規(guī)律性運算規(guī)律. . 例例5: 正實數(shù)的全體記作正實數(shù)的全體記作R+, 在其中定義加法及乘在其中定義加法及乘數(shù)運算為數(shù)運算為:a b = ab, a = a , ( R, a, b R+)驗證驗證R+對上述加法與乘數(shù)運算構(gòu)成對上述加法與乘數(shù)運算構(gòu)成(實數(shù)域?qū)崝?shù)域R上的上的)線線性空間性空間.證明證明: 對任意對任意a, b R+, R, a b = ab R+, a = a R+,所以對所以對R+上定義的加法與乘數(shù)運算

9、封閉上定義的加法與乘數(shù)運算封閉. 下面驗證八條線性運算規(guī)律下面驗證八條線性運算規(guī)律: 對任意對任意a, b, c R+, k, l R, (1) a b = a b = b a = b a ;(2) (a b) c = (a b) c = (a b)c= a(b c) = a (b c) =a (b c) ;(3) 存在零元存在零元1 R+, 對任意對任意a R+, 有有a 1=a 1=a;(4) 對任一元素對任一元素a R+, 存在負(fù)元素存在負(fù)元素a-1 R+, 有有a a1= a a1 =1;(5) 1 a = a1 = a ;(6) k (l a) = k al = (al)k = ak

10、 l = (k l) a;(7) k (a b) = k (a b) = (a b)k = ak bk(8) (k+l) a = ak+l = ak al= ak bk = k a k b;所以所以, R+對所定義的運算構(gòu)成線性空間對所定義的運算構(gòu)成線性空間.= ak al = k a l a . 直接由定義直接由定義1.2.1，可以證明線性空間的，可以證明線性空間的一些基本性質(zhì)。一些基本性質(zhì)。 從上述線性空間例子中可以看到，許多常見的研究對象都可以在線性空間中作為向量來研究另外應(yīng)理解加法和數(shù)乘分別是V中的一個二元運算和數(shù)域P與V中元素間的運算，要求運算滿足定義1.2.1中的八條性質(zhì)，它們已不

11、再局限在數(shù)的加法、乘法不再局限在數(shù)的加法、乘法的概念中備注備注 3:3: 定理定理1.2.1 設(shè)V是數(shù)域 P上的線性空間，則(1) V 中零元素是唯一的；(2) V 中任一元素的負(fù)元素是唯一的；;) 1( , 00, 00)3(k。或者那么如果0, 0, 0)4(kk利用負(fù)元素，定義線性空間中的減法：)(證明證明: 假設(shè)假設(shè)01, 02是線性空間是線性空間V中的兩個中的兩個零元素零元素.(1). 零元素是唯一的零元素是唯一的.則對任何則對任何 V有有, + 01 = , + 02 = ,由于由于01, 02 V, 則有則有 02+01=02, 01+02=01.所以所以01=01+02=02+

12、01=02.2. 負(fù)元素是唯一的負(fù)元素是唯一的.證明證明: 見課本見課本證明證明: 因為因為 + 0 =1 + 0 3. 0 = 0; (1) = ; 0 = 0.則由零元素的唯一性得則由零元素的唯一性得: 0 =0= .= 1 = (1+0) 因為因為 + (1) =1 + (1) =1+(1) = 0 =0.則由負(fù)元素的唯一性得則由負(fù)元素的唯一性得: (1) = . 0 = +(1) = +( ) = 0 = 0.= +( ) 4. 如果如果 = 0, 則則 = 0 或或 = 0.證明證明: 如果如果 0, , 0011 又又那么那么, .1)1(1 所以所以, = 0. 故結(jié)論成立故結(jié)論

13、成立. 定義定義1.2.2 設(shè)V 是數(shù)域P上的線性空間，W 是 V 的一個非空子集，如果對W 中任意兩個向 量，以及任意 ，都有 則稱W 是凸集凸集。W)1 (101.2.2 向量的線性相關(guān)性向量的線性相關(guān)性定義定義1.2.31.2.3 設(shè)V 是數(shù)域 P 上的線性空間，) 1(,21rr是V中一組向量，rkkk,21是數(shù)域P中的數(shù)。如果V 中向量可以表示為rrkkk2211則稱可由r,21線性表示線性表示，或稱是r,21的線性組合線性組合。1.1.零向量是任何一組向量的線性組合零向量是任何一組向量的線性組合. .2.2.向量組中任何一個向量都是此向量組的向量組中任何一個向量都是此向量組的線性組

14、合線性組合. .備注備注 3:3: 定義定義1.2.4 設(shè) 與 是線性空 間V 中兩個向量組，如果 中每個向 量都可由向量組 線性表示，則稱向 量組 可以由向量組 線性表示。r,21s,21r,21s,21r,21s,21如果向量組 與向量組 可以互相線性表示，則稱向量組 與向量組 是等價等價的。r,21r,21s,21s,21向量組之間的等價具有如下性質(zhì)：向量組之間的等價具有如下性質(zhì)：（1） 自反性：每一個向量組都與它自身等價；（2） 對稱性：如果向量組 與 等價，那么向量組 也與 等價；（3） 傳遞性：若向量組 與 等價，且向量組 與 等價， 則向量組 與 等價。r,21s,21t,21s

15、,21r,21r,21s,21s,21t,21r,21定義定義1.2.5 設(shè)V 是數(shù)域 P 上的線性空間， 是V 中一組向量，如果存在r個不全為零的數(shù) P，使得則稱 線性相關(guān)線性相關(guān)；) 1(,21rrrkkk,2102211rrkkkr,21r,21如果向量組 不線性相關(guān)，就稱為線性無關(guān)線性無關(guān)。1. 1. 單個非零向量必單個非零向量必 線性無關(guān)線性無關(guān). .2. 2. 含有零向量的向量組必含有零向量的向量組必 線性相關(guān)線性相關(guān).3. 3. 兩個向量線性相關(guān)兩個向量線性相關(guān), ,則對應(yīng)分量成比例則對應(yīng)分量成比例. .備注備注 4:4:例例4:4:2 2100100,0000100001R 線

16、性空間上一組矩陣是線性無關(guān)的。定理定理1.2.2 設(shè)V 為數(shù)域 P上的線性空間.(1) V 中一個向量線性相關(guān)的充分必要條件 是 =0；(2) V 中一組向量 線性相關(guān) 的充分必要條件是其中有一個向量是其余 向量的線性組合。)2(,21rr 定理定理1.2.3 設(shè)V 為數(shù)域 P上的線性空間，如果 V 中向量組 線性無關(guān)，并且可由 向量組線性表示，則 。r,21s,21sr 推論推論1.2.1 兩個等價的線性無關(guān)向量組必含有相同個數(shù)的向量。 定理定理1.2.4 設(shè)線性空間V 中向量組 線性無關(guān)，而向量組 線性相關(guān)，則可由 線性表示，并且表示法是唯一的。r,21,21rr,21定義定義1.2.6

17、設(shè) 是線性空間V 中一組向量，如果 中存在 r 個線性無關(guān)的向量 ，并且 中任一向量都可由向量組線性表示，則稱向量組 為向量組 的極大線性無關(guān)組極大線性無關(guān)組，數(shù) r 稱為向量組 的秩秩，記為 s,21s,21), 1,1 (,21rjsijiiirs,21riii,21s,21riii,21s,21rranks,211.2.3 線性空間的維數(shù)線性空間的維數(shù)定義定義1.2.7 如果線性空間V 中有 n 個線性無關(guān)的向量，但是沒有更多數(shù)目的線性無關(guān)向量，則稱V 是 n 維維的，記為 dim(V )=n；如果在 V 中可以找到任意多個線性無關(guān)的向量，則稱V 是無限維無限維的。 定理定理1.2.5

18、如果在線性空間V 中有 n 個線性無 關(guān)的向量 ，并且V 中任一 向量都 可由 線性表示，則dim(V )=n。n,21n,211.3 基基 與與 坐坐 標(biāo)標(biāo) 定義定義1.3.1 設(shè)V 為數(shù)域 P上的 n 維線性空間，V 中 n 個線性無關(guān)的向量 稱為V 的一組基一組基。設(shè) 是V 中任一向量，則可唯一地表示為基 的線性組合： n,21n,21) 1 . 3 . 1 (2211nnxxx其中系數(shù) 稱為在基 下的坐坐標(biāo)標(biāo)，記為 或 。nxxx,21n,21),(21nxxxTnxxx),(21我們經(jīng)常將(1.3.1)改寫為)2 . 3 . 1 (),(21212211nnnnxxxxxx不是數(shù)字而

19、是向量。元素分塊矩陣，其可視為其中nnn,1),(2121 1). 任一向量在同一基下坐標(biāo)唯一任一向量在同一基下坐標(biāo)唯一. .)0 , 1 , 3(,)2 , 3 , 6(,)5 , 3 , 1 () 1 , 7 , 3(3213下的坐標(biāo)在基中向量求TTTTxxxxR例例1.1.注注1:1:2).2).基中每一元素是向量不是數(shù)字基中每一元素是向量不是數(shù)字. . 定理定理1.3.1 在 n 維線性空間V中，任意一個線性無關(guān)的向量組 都可以擴充成V 的一組基.r,21證明證明 如果 ，則 是V 的一組基。 下面設(shè) 。此時V 中必有一個向量 不能由 線性表示；否則由定理1.2.5有 dim(V )=

20、r，這與 dim(V )=n 矛盾。因此， 線性無關(guān)。如果 ，則 是V 的一組基。如果 ，則V 中必有一個向量 不能由 線性表示，從而 線性無關(guān)。依次下去，可得線性無關(guān)的向量組 nr r,21nr 1r,21121,rnr1nr1121,r2121,r2121,rpr,2121其中 。這個向量組就是V 的一組基。npr 在 n 維線性空間V 中，任意 n 個線性無關(guān)的向量都可取作V 的基。 設(shè) 與 是 n 維線性空間V 的兩組基，它們之間有如下關(guān)系：n,21n,21) 3 . 3 . 1 (22112222112212211111nnnnnnnnnnttttttttt)4 . 3 . 1 ()

21、,(),(2122221112112121nnnnnnnnttttttttt.,2121212222111211的過渡矩陣到基稱為由基階矩陣nnnnnnnntttttttttTn2). 過渡距陣一般求法過渡距陣一般求法: ),(),(),(),(11111nnnnTT得由(1). (1). 注注 2.2.1) . 過渡距陣過渡距陣T是可逆的是可逆的. .,)5 , 4 , 3(,)4 , 3 , 2(,) 1 , 2 , 1 () 1 , 0 , 1 (,) 1, 0 , 1 (,) 1 , 1 , 1 (3213213矩陣求從前基到后基的過渡與中的兩組基設(shè)TTTTTTR例例2.2.(2).(2).中介法中介法 適當(dāng)選取適當(dāng)選取V中標(biāo)準(zhǔn)基或簡單基作為中介中標(biāo)準(zhǔn)基或簡單基作為中介, 通過中通過中介基的中介作用介基的中介作用, 容易求出從中介基到兩過渡矩容易求