1、電腦處理的數(shù)值數(shù)據(jù)多數(shù)帶有小數(shù)，小數(shù)點在電腦中通常有 兩種表示方法，一種是約定所有數(shù)值數(shù)據(jù)的小數(shù)點隱含在某 一個固定位置上，稱為定點表示法，簡稱定點數(shù)；另一種是 小數(shù)點位置可以浮動，稱為浮點表示法，簡稱浮點數(shù)。1.定點數(shù)表示法(fixed-point)所謂定點格式，即約定機器中所有數(shù)據(jù)的小數(shù)點位置是固定 不變的。在電腦中通常采用兩種簡單的約定：將小數(shù)點的位 置固定在數(shù)據(jù)的最高位之前，或者是固定在最低位之后。一 般常稱前者為定點小數(shù)，后者為定點整數(shù)。定點小數(shù)是純小數(shù)，約定的小數(shù)點位置在符號位之后、有效 數(shù)值局部最高位之前。假設(shè)數(shù)據(jù)x的形式為x= x0.x1x2xn (其中x0為符號位，x1xn是

2、數(shù)值的有效局部， 也稱為尾 數(shù)，x1為最高有效位)，那么在電腦中的表示形式為：一般說來，如果最末位 xn = 1，前面各位都為0 ,貝擻的絕 對值最小，即|x|min = 2-n。如果各位均為1，那么數(shù)的絕對 值最大，即|x|max =1-2-n 。所以定點小數(shù)的表示范圍是：2- n < | x | < 1 - 2- n定點整數(shù)是純整數(shù)，約定的小數(shù)點位置在有效數(shù)值局部最低 位之后。假設(shè)數(shù)據(jù)x的形式為x = x0 x1x2 -xn 其中x0為符 號位，x1xn是尾數(shù)，xn為最低有效位，那么在電腦中的 表示形式為：定點整數(shù)的表示范圍是:1 < | x | < 2n - 1當

3、數(shù)據(jù)小于定點數(shù)能表示的最小值時，電腦將它們作0處理，稱為下溢；大于定點數(shù)能表示的最大值時，電腦將無法表示，稱為上溢，上溢和下溢統(tǒng)稱為溢出。電腦采用定點數(shù)表示時，對于既有整數(shù)又有小數(shù)的原始數(shù)據(jù)，需要設(shè)定一個比例因子，數(shù)據(jù)按其縮小成定點小數(shù)或擴大成定點整數(shù)再參加運算，運算結(jié)果，根據(jù)比例因子，復(fù)原成實際數(shù)值。假設(shè)比例因子選擇不當，往往會使運算結(jié)果產(chǎn)生溢 出或降低數(shù)據(jù)的有效精度。用定點數(shù)進行運算處理的電腦被稱為定點機。2. 浮點數(shù)表示法 (floating-point number)與科學(xué)計數(shù)法相似，任意一個 J進制數(shù)N，總可以寫成N = J E X M式中 M 稱為數(shù) N 的尾數(shù) (mantissa

4、) ，是一個純小數(shù)； E 為 數(shù)N的階碼(exponent),是一個整數(shù)，J稱為比例因子J E的 底數(shù)。這種表示方法相當于數(shù)的小數(shù)點位置隨比例因子的不 同而在一定范圍內(nèi)可以自由浮動，所以稱為浮點表示法。底數(shù)是事先約定好的 (常取2) ，在電腦中不出現(xiàn)。 在機器中表 示一個浮點數(shù)時，一是要給出尾數(shù)，用定點小數(shù)形式表示。 尾數(shù)局部給出有效數(shù)字的位數(shù)，因而決定了浮點數(shù)的表示精 度。二是要給出階碼，用整數(shù)形式表示，階碼指明小數(shù)點在 數(shù)據(jù)中的位置，因而決定了浮點數(shù)的表示范圍。浮點數(shù)也要 有符號位。因此一個機器浮點數(shù)應(yīng)當由階碼和尾數(shù)及其符號 位組成：E1 E2 E3MrLtttt階符階碼尾符尾數(shù)其中ES表

5、示階碼的符號，占一位，E1En為階碼值，占n位， 尾符是數(shù)N的符號，也要占一位。當?shù)讛?shù)取2時，二進制 數(shù)N的小數(shù)點每右移一位，階碼減小1，相應(yīng)尾數(shù)右移一位；反之，小數(shù)點每左移一位，階碼加1，相應(yīng)尾數(shù)左移一位。假設(shè)不對浮點數(shù)的表示作出明確規(guī)定，同一個浮點數(shù)的表示 就不是唯一的。例如 11.01也可以表示成0.011012-3,0.1101 X2-2等等。為了提高數(shù)據(jù)的表示精度，當尾數(shù)的值 不為0時，其絕對值應(yīng)大于等于 0.5，即尾數(shù)域的最高有效 位應(yīng)為1，否那么要以修改階碼同時左右移小數(shù)點的方法，使 其變成這一要求的表示形式，這稱為浮點數(shù)的規(guī)格化表示。當一個浮點數(shù)的尾數(shù)為 0時，不管其階碼為何值

6、，或者當階 碼的值遇到比它能表示的最小值還小時，不管其尾數(shù)為何值， 電腦都把該浮點數(shù)看成 0值，稱為機器零。浮點數(shù)所表示的范圍比定點數(shù)大。假設(shè)機器中的數(shù)由8位二進制數(shù)表示包括符號位：在定點機中這8位全部用來表示 有效數(shù)字包括符號；在浮點機中假設(shè)階符、階碼占3位，尾符、尾數(shù)占5位，在此情況下，假設(shè)只考慮正數(shù)值，定點機小數(shù)表示的數(shù)的范圍是0.0000000到0.1111111 ，相當于十進制數(shù)的0到127 /128，而浮點機所能表示的數(shù)的范圍那么是2 - 11 X0.0001到211 X0.1111，相當于十進制數(shù)的1 /128到7.5。顯然，都用8位，浮點機能表示的數(shù)的范圍比定點機大得多。盡管浮

7、點表示能擴大數(shù)據(jù)的表示范圍，但浮點機在運算過程中，仍會出現(xiàn)溢出現(xiàn)象。下面以階碼占3位，尾數(shù)占5位各包括1位符號位為例，來討論這個問題。圖2-1給出了相應(yīng)的規(guī)格化浮點數(shù)的數(shù)值表示范圍。上溢區(qū)可表示的F溢岡可表示的上溢區(qū)|負數(shù)區(qū)域 |正數(shù)區(qū)域|tfft-2?X0 111 1-2'?X0 00012'3 X0. 0001 X 0. 1111圖2-1規(guī)格化浮點數(shù)分布示意圖圖2-1中，“可表示的負數(shù)區(qū)域和“可表示的正數(shù)區(qū)域 及“0，是機器可表示的數(shù)據(jù)區(qū)域；上溢區(qū)是數(shù)據(jù)絕對值 太大，機器無法表示的區(qū)域；下溢區(qū)是數(shù)據(jù)絕對值太小，機 器無法表示的區(qū)域。假設(shè)運算結(jié)果落在上溢區(qū)，就產(chǎn)生了溢 出錯誤，使得結(jié)果不能被正確表示，要停