1、 誤差理論與數(shù)據(jù)處理誤差理論與數(shù)據(jù)處理空間科學(xué)與物理學(xué)院實(shí)驗(yàn)中心空間科學(xué)與物理學(xué)院實(shí)驗(yàn)中心2014.032014.03實(shí)驗(yàn)的任務(wù)實(shí)驗(yàn)的任務(wù) 1.1.選用合適儀器和采取正確測量方選用合適儀器和采取正確測量方法、運(yùn)算方法法、運(yùn)算方法, ,將測量將測量誤差誤差減至最小減至最小. . 2.2.求出在測量條件下求出在測量條件下, ,被測量量的被測量量的最最近真值近真值. . 3.3.估算最近真值的可靠程度估算最近真值的可靠程度, ,即估算即估算近真值的近真值的不確定度不確定度并科學(xué)表達(dá)出來并科學(xué)表達(dá)出來. .不給出不確定度的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是無價(jià)不給出不確定度的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是無價(jià)值的值的. .第一節(jié)第一節(jié) 測量與誤

2、差測量與誤差1.測量與國際單位制測量與國際單位制（1）直接測量）直接測量（等精度與非等精度）（等精度與非等精度）如：用米尺測長度、用天平測如：用米尺測長度、用天平測質(zhì)量；質(zhì)量； 間接測量：如：伏安法測電阻、旋轉(zhuǎn)液體法測重力加速度等。間接測量：如：伏安法測電阻、旋轉(zhuǎn)液體法測重力加速度等。（2）七個(gè)基本國際單位：長度）七個(gè)基本國際單位：長度-米米 m、質(zhì)量、質(zhì)量-千克千克 kg、時(shí)間、時(shí)間-秒秒 s、物質(zhì)、物質(zhì)的量的量-摩爾摩爾 mol、電流、電流-安培安培 A、溫度、溫度-開爾文開爾文 K、發(fā)光強(qiáng)度、發(fā)光強(qiáng)度-坎德拉坎德拉 cd2.誤差誤差誤差誤差定義定義：測量值與測量值與真值真值之差之差x =

3、 x x0稱稱“絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差”E =x0（100%）稱稱“相對(duì)誤差相對(duì)誤差”x 在在相同的測量相同的測量中，用絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差評(píng)價(jià)測中，用絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差評(píng)價(jià)測量結(jié)果的優(yōu)劣都是可行的。但是在具有可比性的量結(jié)果的優(yōu)劣都是可行的。但是在具有可比性的不同不同測量測量中，只有采用相對(duì)誤差才能進(jìn)行合理評(píng)價(jià)。中，只有采用相對(duì)誤差才能進(jìn)行合理評(píng)價(jià)。 例如例如: :在測量條件相同的情況下，對(duì)兩個(gè)長度進(jìn)行在測量條件相同的情況下，對(duì)兩個(gè)長度進(jìn)行測量：測量：真值真值測量值測量值絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差 相對(duì)誤差相對(duì)誤差 1m 1.002m2mmE10.2%100m99.95m5cmE20.05%顯而易見，后者的測量

4、比前者要好得多。顯而易見，后者的測量比前者要好得多。 真值是一個(gè)客觀理想概念，一般不可能知道。？真值是一個(gè)客觀理想概念，一般不可能知道。？真值概念的變通：真值概念的變通： 1.理論真值：理想條件下的理論導(dǎo)出值可以作為真值。理論真值：理想條件下的理論導(dǎo)出值可以作為真值。 2.約定真值：公認(rèn)的一些常數(shù)，約定真值：公認(rèn)的一些常數(shù)，NA、c、e、h。 3.相對(duì)真值：用精確度高一個(gè)數(shù)量級(jí)的儀器測量值。相對(duì)真值：用精確度高一個(gè)數(shù)量級(jí)的儀器測量值。 4.近真值：多次測量的算術(shù)平均值，可視為真值的最佳近真值：多次測量的算術(shù)平均值，可視為真值的最佳估計(jì)值。估計(jì)值。xxnxnii101011limxxnii誤差是

5、不可避免的，真誤差是不可避免的，真值是測不出的。值是測不出的。如：米如：米 - 公制長度基準(zhǔn)公制長度基準(zhǔn)光在真空中光在真空中1s時(shí)間內(nèi)傳播距離的時(shí)間內(nèi)傳播距離的1/299792485第二節(jié)第二節(jié) 誤差分類誤差分類1.系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差特征：特征：A.有規(guī)律，自成系統(tǒng)有規(guī)律，自成系統(tǒng);B.可以消除?？梢韵?，儀器誤差，儀器誤差 ，理論（方法）誤差，理論（方法）誤差 ，環(huán)境和條件誤差，環(huán)境和條件誤差 ，個(gè)人誤差，個(gè)人誤差2.偶然偶然(隨機(jī)隨機(jī))誤差誤差特征：特征：A.隨機(jī)產(chǎn)生，無規(guī)律；隨機(jī)產(chǎn)生，無規(guī)律；B.不能消不能消除除,誤差大小與符號(hào)隨機(jī)變化誤差大小與符號(hào)隨機(jī)變化,偶然誤差也有其必然性。偶然

6、誤差也有其必然性。 .環(huán)境原因環(huán)境原因 .個(gè)人原因個(gè)人原因隨機(jī)誤差不能用修正或采取某種技術(shù)措施的辦法來消除。隨機(jī)誤差不能用修正或采取某種技術(shù)措施的辦法來消除。3.粗大誤差粗大誤差明顯超出統(tǒng)計(jì)規(guī)律預(yù)期值，應(yīng)予剔除明顯超出統(tǒng)計(jì)規(guī)律預(yù)期值，應(yīng)予剔除過失及錯(cuò)誤不屬于誤差范圍！過失及錯(cuò)誤不屬于誤差范圍！系統(tǒng)誤差包括：系統(tǒng)誤差包括：誤讀、誤算、視差、刻度誤差、磨損誤差、接觸力誤誤讀、誤算、視差、刻度誤差、磨損誤差、接觸力誤差、熱變形誤差差、熱變形誤差等。等。彈點(diǎn)集中，但偏離靶彈點(diǎn)集中，但偏離靶心心系統(tǒng)誤差大系統(tǒng)誤差大彈點(diǎn)分散彈點(diǎn)分散偶然誤差大偶然誤差大彈點(diǎn)集中于靶心彈點(diǎn)集中于靶心系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差和偶然誤差

7、都小和偶然誤差都小,與被測量真與被測量真值之間的一致程度高。值之間的一致程度高。打靶的類比打靶的類比 精密度精密度 準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度 精確度精確度指出下列情況包含哪些誤差？指出下列情況包含哪些誤差？ 千分尺零點(diǎn)不準(zhǔn)；千分尺零點(diǎn)不準(zhǔn)； 游標(biāo)卡尺的游標(biāo)不均勻；游標(biāo)卡尺的游標(biāo)不均勻； 水銀溫度計(jì)毛細(xì)管不均勻；水銀溫度計(jì)毛細(xì)管不均勻； 忽略空氣浮力對(duì)稱量的影響；忽略空氣浮力對(duì)稱量的影響； 不良習(xí)慣引起的讀數(shù)誤差；不良習(xí)慣引起的讀數(shù)誤差； 電表的接入誤差；電表的接入誤差； 磁電系電表中永久磁鐵的磁場減弱；磁電系電表中永久磁鐵的磁場減弱； 電源電壓不穩(wěn)定引起的測量值的起伏。電源電壓不穩(wěn)定引起的測量值的起伏。第

8、三節(jié)第三節(jié) 系統(tǒng)誤差的處理系統(tǒng)誤差的處理1. 系統(tǒng)誤差的分類系統(tǒng)誤差的分類（1）可定系統(tǒng)誤差可定系統(tǒng)誤差特點(diǎn)：大小和正負(fù)是確定或按可知的規(guī)律變化的。特點(diǎn)：大小和正負(fù)是確定或按可知的規(guī)律變化的。（2）未定系統(tǒng)誤差未定系統(tǒng)誤差 測量結(jié)果必然存在誤差，應(yīng)予以說明測量結(jié)果必然存在誤差，應(yīng)予以說明特點(diǎn)：它是按某種規(guī)律變化的，但我們無法確定其規(guī)律。特點(diǎn)：它是按某種規(guī)律變化的，但我們無法確定其規(guī)律。2. 對(duì)系統(tǒng)誤差的處理方法對(duì)系統(tǒng)誤差的處理方法 (1) 設(shè)法消除、減弱可定系統(tǒng)誤差，或?qū)y量結(jié)果進(jìn)行修正。設(shè)法消除、減弱可定系統(tǒng)誤差，或?qū)y量結(jié)果進(jìn)行修正。 (2) 無法消除未定系統(tǒng)誤差，只好在測量結(jié)果中合理地表

9、達(dá)出來。無法消除未定系統(tǒng)誤差，只好在測量結(jié)果中合理地表達(dá)出來。儀器自身的誤差是一種典型的未定系統(tǒng)誤差。儀器自身的誤差是一種典型的未定系統(tǒng)誤差。1.隨機(jī)誤差的產(chǎn)生：隨機(jī)誤差的產(chǎn)生： 由測量過程中的一些偶然的或不確定的因素產(chǎn)生的。由測量過程中的一些偶然的或不確定的因素產(chǎn)生的。2.隨機(jī)誤差服從的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：隨機(jī)誤差服從的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：第四節(jié)第四節(jié) 隨機(jī)誤差的處理隨機(jī)誤差的處理 多次測量時(shí)，測量的偶然誤差服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，比多次測量時(shí)，測量的偶然誤差服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，比如服從正態(tài)分布、平均分布、三角分布、梯形分布、矩形如服從正態(tài)分布、平均分布、三角分布、梯形分布、矩形分布規(guī)律等分布規(guī)律等。 在相同條件下

10、，對(duì)同一物理量在相同條件下，對(duì)同一物理量 X 進(jìn)行等精度多次測量，進(jìn)行等精度多次測量，則各次測量的則各次測量的誤差誤差為為 i = xi - x0 得得 x1 , x2 , x3 ,xn, 設(shè)真值為設(shè)真值為x0 xxnxnii101則各次測量的則各次測量的偏差偏差為為 vi = xi - x 當(dāng)測量次數(shù)較多時(shí)，各測量列可能有如下分布規(guī)律當(dāng)測量次數(shù)較多時(shí)，各測量列可能有如下分布規(guī)律: (誤差誤差)F (出現(xiàn)頻率出現(xiàn)頻率)0f()0 +d 正態(tài)分布正態(tài)分布測量次數(shù)測量次數(shù) 時(shí)時(shí)f() 誤差的概率密度分布函數(shù)誤差的概率密度分布函數(shù) 抵償性抵償性 對(duì)稱性對(duì)稱性 單峰性單峰性其中其中 標(biāo)準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差

11、1d-f22221)(ef22221)(ef 683. 0dfpf()0- 3. 標(biāo)準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差niixxn120)(1 )(n概率 表示物理量A任做一次測量時(shí)，測量誤差落在- + 之間的可能性為68.3%大則數(shù)據(jù)分散，誤差大，大則數(shù)據(jù)分散，誤差大，精密度低。精密度低。小則數(shù)據(jù)集中，誤差小，精小則數(shù)據(jù)集中，誤差小，精密度高。密度高。f()0大小注意：注意： 并不是一個(gè)具體測量誤差值，并不是一個(gè)具體測量誤差值，它表示在相同條件下進(jìn)行多次測量后的隨它表示在相同條件下進(jìn)行多次測量后的隨機(jī)誤差概率分布情況，是按一定置信概率機(jī)誤差概率分布情況，是按一定置信概率給出的隨機(jī)誤差變化范圍的一個(gè)評(píng)定參量，給出

12、的隨機(jī)誤差變化范圍的一個(gè)評(píng)定參量，具有統(tǒng)計(jì)意義。具有統(tǒng)計(jì)意義。是評(píng)定所得測量列可靠是評(píng)定所得測量列可靠程度高低的指標(biāo)。程度高低的指標(biāo)。用用、2和和3標(biāo)志測量值的可信程度時(shí)，其置信概率是標(biāo)志測量值的可信程度時(shí)，其置信概率是不同的：不同的：兩個(gè)問題：兩個(gè)問題：（1）實(shí)際上測量只能是有限次測量；）實(shí)際上測量只能是有限次測量；（2）真值是不知道的。）真值是不知道的。 ？niixxn120)(1 6. 平均值的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差 ?(平均值也有離散性平均值也有離散性) 1()(12nnxxSniix4. 測量列的測量列的平均值平均值nxxnii1稱為測量列稱為測量列X的平均值的平均值?？梢暈榭梢暈?/p>

13、x0的最佳估計(jì)值的最佳估計(jì)值(近真值近真值)。 5.測量列的測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差S （Standard Deviation ）1)(12nxxSniixnSSxx二者關(guān)系：二者關(guān)系：. .貝塞爾公式貝塞爾公式 標(biāo)準(zhǔn)偏差反映了數(shù)據(jù)集的離散程度，標(biāo)準(zhǔn)偏差反映了數(shù)據(jù)集的離散程度，數(shù)值越小，離散程度越小。數(shù)值越小，離散程度越小。當(dāng)測量次數(shù)有限時(shí)，可用其標(biāo)準(zhǔn)偏差當(dāng)測量次數(shù)有限時(shí)，可用其標(biāo)準(zhǔn)偏差S作為標(biāo)準(zhǔn)誤差作為標(biāo)準(zhǔn)誤差 的估算值的估算值, S = 。niixxn120)(1 xS的統(tǒng)計(jì)意義：的統(tǒng)計(jì)意義：0 x落在落在xxSxSx到 間的可能性為間的可能性為 68.3%落在落在 間的可能性為間的可能性

14、為 95.5%xxSxSx2 2到xxSxSx3 3到 間的可能性為間的可能性為 99.7%落在落在平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差 在本實(shí)驗(yàn)課中，為了提高測量數(shù)據(jù)的可置信度，采用第在本實(shí)驗(yàn)課中，為了提高測量數(shù)據(jù)的可置信度，采用第二種二種 或第三種規(guī)范或第三種規(guī)范即將即將 擴(kuò)大擴(kuò)大2-3倍，故倍，故 n=(5-10)次次，表示表示用測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差表示平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差用測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差表示平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，就能使，就能使置信概率提高到置信概率提高到95%以上。以上。xSx2_xSx3_xxxSnnSnS 0 x0 xxS參考參考P11標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差S的計(jì)算途徑的計(jì)算途徑按按 mode鍵切換到

15、鍵切換到SD（統(tǒng)計(jì)模式）（統(tǒng)計(jì)模式） shift clr 1 是清除所有數(shù)據(jù)（如果以前是清除所有數(shù)據(jù)（如果以前輸入過）輸入過） 然后輸入數(shù)據(jù)。比如輸入然后輸入數(shù)據(jù)。比如輸入 25 41 37 就按就按 25 DT（dt就是就是M+按鍵按鍵 在在AC上面）上面） 每個(gè)數(shù)據(jù)都輸入后，每個(gè)數(shù)據(jù)都輸入后， 可以按可以按AC 然后按然后按shift 1（或（或2） 找到找到標(biāo)準(zhǔn)差的選項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)差的選項(xiàng) 然后然后= 。在在Excel中實(shí)現(xiàn)計(jì)算：打開中實(shí)現(xiàn)計(jì)算：打開Excel表格，把要計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方差的數(shù)據(jù)復(fù)制進(jìn)表格，把要計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方差的數(shù)據(jù)復(fù)制進(jìn)去，然后，去，然后，“插入函數(shù)插入函數(shù)”，在對(duì)話框中的選擇類別后面，選

16、擇，在對(duì)話框中的選擇類別后面，選擇“統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)”，再在下面的框中，選擇函數(shù)里面，選擇再在下面的框中，選擇函數(shù)里面，選擇“STDEV”，然后確認(rèn)，最后用，然后確認(rèn)，最后用鼠標(biāo)選中要計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方差的一組數(shù)據(jù)，然后確認(rèn)，就可以得到結(jié)果。鼠標(biāo)選中要計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方差的一組數(shù)據(jù)，然后確認(rèn)，就可以得到結(jié)果。只考慮隨機(jī)誤差的測量結(jié)果的表示只考慮隨機(jī)誤差的測量結(jié)果的表示(測量次數(shù)在測量次數(shù)在5-10之間時(shí)之間時(shí))%1003_xSESxSxxxxx平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差都用函數(shù)計(jì)算器中的統(tǒng)計(jì)功能來處理平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差都用函數(shù)計(jì)算器中的統(tǒng)計(jì)功能來處理1)(12nxxSniix)(3206. 01)()(45555.1871121

17、gnmmSgmnmniimnii例例1 1用用天平測質(zhì)量天平測質(zhì)量m（單位：（單位：g g）：）：187.9, 187.2, 187.5, 187.1, 187.0, 187.3, 187.8, 187.6, 187.7187.9, 187.2, 187.5, 187.1, 187.0, 187.3, 187.8, 187.6, 187.7。下面計(jì)算測量誤差：下面計(jì)算測量誤差： （ mS和和m可用函數(shù)計(jì)算器求出）可用函數(shù)計(jì)算器求出）(187.5 0.4)0.4100%100%=0.18%187.5mmmm SgSEm例例2 用溫度計(jì)對(duì)某個(gè)不變溫度等精度重復(fù)測量用溫度計(jì)對(duì)某個(gè)不變溫度等精度重復(fù)測量,測得值測得值 (i=1,2,3,n)列列于表中