1、定義定義3.13.1設(shè)函數(shù)在點的某設(shè)函數(shù)在點的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義個領(lǐng)域內(nèi)有定義. .)(xfy 0 x(1)(1)如果對于該領(lǐng)域內(nèi)任意的如果對于該領(lǐng)域內(nèi)任意的總有，則稱為函數(shù)的總有，則稱為函數(shù)的極大值，并且稱點是的極大值點極大值，并且稱點是的極大值點. . )(0 xxx)()(0 xfxf)(0 xf)(xf)(xf0 x3.4.1 3.4.1 函數(shù)的極值函數(shù)的極值總有總有 ，則稱，則稱 為函數(shù)為函數(shù)的極小值，并且稱點是的極小值，并且稱點是 的極小值點的極小值點. .)(0 xxx)()(0 xfxf)(0 xf)(xf)(xf0 x(2)(2)如果對于該領(lǐng)域內(nèi)任意的如果對于該領(lǐng)域內(nèi)任意的函數(shù)

2、的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值極值，極大值與極小值值點統(tǒng)稱為極值點，極大值與極小值值點統(tǒng)稱為極值點. .3.4.1 3.4.1 函數(shù)的極值函數(shù)的極值定理定理3.53.5( (極值存在的必要條件極值存在的必要條件) )如果如果在點處取得極值且在點處可導(dǎo)在點處取得極值且在點處可導(dǎo), ,則則 . .)(xf0 x0)(0 xf0 x3.4.1 3.4.1 函數(shù)的極值函數(shù)的極值(1) (1) 由正變負，則是極大值點；由正變負，則是極大值點；)(xf 0 x(2)(2)由負變正，則是極小值點；由負變正，則是極小值點；)(xf 0 x(3)(3)不改變符號，則不是極值點不

3、改變符號，則不是極值點. .)(xf 0 x定理定理3.63.6( (極值判別法極值判別法)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在點的鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)在點的鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)( (允許不允許不存在存在) )，當(dāng)由小增大經(jīng)過點時，若，當(dāng)由小增大經(jīng)過點時，若0 xx)(0 xf 0 x)(xf3.4.1 3.4.1 函數(shù)的極值函數(shù)的極值例例1 1求函數(shù)的極值求函數(shù)的極值32) 1() 1()(xxxf解解223) 1() 1(3) 1)(1(2)(xxxxxf)3322() 1)(1(2xxxx) 15() 1)(1(2xxx，令，解得，令，解得，. .得到三個駐點，沒有導(dǎo)數(shù)不存在的點得到三個駐點，沒有導(dǎo)數(shù)不存在的點. .

4、0)( xf1x51x1x3.4.1 3.4.1 函數(shù)的極值函數(shù)的極值x1x15 x)(xf)(xf) 1,()51, 1(1)32, 0(1), 1(51000000無極值無極值12534563極大值極大值0極小值極小值3.4.1 3.4.1 函數(shù)的極值函數(shù)的極值由表可見函數(shù)的極大值為，由表可見函數(shù)的極大值為，極小值為極小值為12534563)51(f0) 1 (f例例2 2求函數(shù)的極值求函數(shù)的極值32) 1(32)(xxxf解解)111 (32) 1(3232)(331xxxf3311132xx，3.4.1 3.4.1 函數(shù)的極值函數(shù)的極值當(dāng)時，不存在當(dāng)時，不存在1x)(xf 0)( xf

5、2x令，解得令，解得 . .x31x113x)(xf )(xf) 1 ,()2 , 1 (1), 2( 20032極大值極大值31極小值極小值03.4.1 3.4.1 函數(shù)的極值函數(shù)的極值函數(shù)極大值為，極小值為函數(shù)極大值為，極小值為32) 1 (f31)2(f定理定理3.7(3.7(極值判別法極值判別法)設(shè)函數(shù)在設(shè)函數(shù)在點點 處有二階導(dǎo)數(shù)，且，處有二階導(dǎo)數(shù)，且，存在，存在，)(xf0 x0)(0 xf0)(0 xf3.4.1 3.4.1 函數(shù)的極值函數(shù)的極值(1)(1)若，則函數(shù)在點處若，則函數(shù)在點處取得極大值；取得極大值；0)(0 xf)(xf0 x(2)(2)若，則函數(shù)在點若，則函數(shù)在點

6、處處取得極小值；取得極小值；0)(0 xf)(xf0 x(3)(3)若，則不能判斷是否若，則不能判斷是否是極值是極值. .0)(0 xf)(0 xf3.4.1 3.4.1 函數(shù)的極值函數(shù)的極值因此，當(dāng)時，第二判別法失效，因此，當(dāng)時，第二判別法失效，只能用第一判別法判斷只能用第一判別法判斷. .0)(0 xf3.4.1 3.4.1 函數(shù)的極值函數(shù)的極值0)(0 xf)(xf對于的情形：可能是極大值，對于的情形：可能是極大值，可能是極小值，也可能不是極值可能是極小值，也可能不是極值例如例如4)(xxf0)( xf0)0(f ， ，是極大值；，是極大值；4)(xxg0)0( g0)0(g， ，是極小

7、值；，是極小值；3)(xx 0)0( 0)0(，但不是極值，但不是極值例例3 3求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值193)(23xxxxf解解，)3)(1(3963)(2xxxxxf令，解得，令，解得，. .0)( xf1x3x66)( xxf，所以是極大值，所以是極大值點點. .的極大值為的極大值為. .012) 1( f1x)(xf6) 1(f3.4.1 3.4.1 函數(shù)的極值函數(shù)的極值，所以是極小值點，所以是極小值點. .的極小值為的極小值為. .012)3( f3x26)3(f求函數(shù)極值的步驟：求函數(shù)極值的步驟：3.4.1 3.4.1 函數(shù)的極值函數(shù)的極值求出各極值點的函數(shù)值求出各極值點的函數(shù)

8、值. .分別考察每一個駐點或?qū)?shù)不存在的分別考察每一個駐點或?qū)?shù)不存在的點是否為極值點點是否為極值點, ,是極大值點還是極小值點；是極大值點還是極小值點；3.4.1 3.4.1 函數(shù)的極值函數(shù)的極值解方程，求出在定義域解方程，求出在定義域內(nèi)的所有駐點；內(nèi)的所有駐點；)(xf0)( xf求的導(dǎo)數(shù)；求的導(dǎo)數(shù)；)(xf )(xf)(xf找出在定義域內(nèi)所有導(dǎo)數(shù)不存在找出在定義域內(nèi)所有導(dǎo)數(shù)不存在的點；的點；對于一個閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)對于一個閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù), ,它的它的最大值、最小值只能在極值點或端點上取得最大值、最小值只能在極值點或端點上取得因此因此, ,只要求出函數(shù)的所有極值和端點值，只要求出函數(shù)

9、的所有極值和端點值，它們之中最大的就是最大值，最小的就是最小它們之中最大的就是最大值，最小的就是最小值值. .)(xf)(xf3.4.2 3.4.2 函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)的最大值與最小值3.4.2 3.4.2 函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)的最大值與最小值求出在內(nèi)的所有駐點和一階求出在內(nèi)的所有駐點和一階導(dǎo)數(shù)不存在的連續(xù)點，并計算各點的函數(shù)值導(dǎo)數(shù)不存在的連續(xù)點，并計算各點的函數(shù)值. . )(xf),(ba)(af)(bf求出端點的函數(shù)值和求出端點的函數(shù)值和. .求最大值和最小值的方法如下：求最大值和最小值的方法如下：比較前面求出的所有函數(shù)值，其中最比較前面求出的所有函數(shù)值，其中最大的就是在上的最大

10、值大的就是在上的最大值, , 最小的最小的就是在上的最小值就是在上的最小值. .)(xfM)(xf,ba,bam例例4 4求函數(shù)求函數(shù)在上的最大值與最小值在上的最大值與最小值. .11243)(234xxxxf3 , 3令，解得令，解得 ，0)( xf1x0 x2x3.4.2 3.4.2 函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)的最大值與最小值解解xxxxf241212)(230)2)(1(12xxx計算出，計算出，4) 1(f1)0(f31)2(f再算出，再算出，244)3(f28)3(f3.4.2 3.4.2 函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)的最大值與最小值比較這五個函數(shù)值，得出在比較這五個函數(shù)值，得出在上的最大

11、值為，最小值為上的最大值為，最小值為. .)(xf3 , 3244)3(f31)2(f比較這五個函數(shù)值，得出在比較這五個函數(shù)值，得出在 上上的最大值為的最大值為 ，最小值為，最小值為. .)(xf2 , 211)2(f2) 1(f解解) 1)(1(444)(3xxxxxxf，令，解得，令，解得，0)( xf1x0 x1x計算出，計算出，3)0(f2) 1(f再算出，再算出，11)2(f3.4.2 3.4.2 函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)的最大值與最小值例例5 5求函數(shù)在求函數(shù)在上的最大值與最小值上的最大值與最小值. .32)(24xxxf2 , 2例例6 6求函數(shù)在求函數(shù)在上的最大值與最小值上的最

12、大值與最小值. .1)(3 xxf3 , 1令，解得，令，解得，0)( xf0 x計算出，計算出，1)0(f再計算出，再計算出，0) 1(f28)3(f解解23)(xxf，3.4.2 3.4.2 函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)的最大值與最小值 比較以上三個函數(shù)值得出比較以上三個函數(shù)值得出 在在 上的最大值為上的最大值為 ，最小值為，最小值為 . .)(xf3 , 128)3(f0) 1(f事實上，有，故是單事實上，有，故是單調(diào)增加的，單調(diào)函數(shù)的最大值和最小值都發(fā)調(diào)增加的，單調(diào)函數(shù)的最大值和最小值都發(fā)生在區(qū)間的端點處生在區(qū)間的端點處. .03)(2xxf)(xf3.4.2 3.4.2 函數(shù)的最大值與最

13、小值函數(shù)的最大值與最小值特別值得指出的是：特別值得指出的是： 在一個區(qū)間在一個區(qū)間( (有有限或無界，開或閉限或無界，開或閉 ) )內(nèi)可導(dǎo)且只有一個駐點內(nèi)可導(dǎo)且只有一個駐點，并且這個駐點是的唯一極值點，那，并且這個駐點是的唯一極值點，那)(xf0 x)(xf么，當(dāng)是極大值時，就是在該么，當(dāng)是極大值時，就是在該區(qū)間上的最大值；當(dāng)是極小值時，區(qū)間上的最大值；當(dāng)是極小值時，就是在該區(qū)間上的最小值在應(yīng)用問題就是在該區(qū)間上的最小值在應(yīng)用問題中往往遇到這樣的情形這時可以當(dāng)作極值中往往遇到這樣的情形這時可以當(dāng)作極值問題來解決，不必與區(qū)間的端點值相比較問題來解決，不必與區(qū)間的端點值相比較)(0 xf)(0 x

14、f)(xf)(0 xf)(0 xf)(xf3.4.2 3.4.2 函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)的最大值與最小值解解設(shè)窗框的寬為設(shè)窗框的寬為 ，則長為，則長為 . .m xm)36(21xxxx例例7 7欲用長的鋁合金料加工一日字欲用長的鋁合金料加工一日字形窗框，問它的長和寬分別為多少時，才能使形窗框，問它的長和寬分別為多少時，才能使窗戶面積最大，最大面積是多少？窗戶面積最大，最大面積是多少？m63.4.2 3.4.2 函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)的最大值與最小值)2 , 0(,233)36(212xxxxxy于是窗戶的面積于是窗戶的面積令，求得駐點，令，求得駐點，0 y1x3.4.2 3.4.2 函數(shù)

15、的最大值與最小值函數(shù)的最大值與最小值xy33因為，所以是極大值點因為，所以是極大值點. .由于在區(qū)間由于在區(qū)間(0(0，2)2)內(nèi)有唯一的極大值，則內(nèi)有唯一的極大值，則這個極大值就是最大值這個極大值就是最大值. . 03 y1xy于是得到，窗戶的寬為，長為于是得到，窗戶的寬為，長為時，窗戶的面積最大，最大面積為時，窗戶的面積最大，最大面積為m1m23)m(23) 1 (2y1.1.最大利潤問題最大利潤問題例例8 8某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其固定成本為某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其固定成本為3 3萬元，每生產(chǎn)一百件產(chǎn)品，成本增加萬元，每生產(chǎn)一百件產(chǎn)品，成本增加2 2萬元萬元Rq其總收入其總收入( (單位：萬元單

16、位：萬元) )是產(chǎn)量是產(chǎn)量( (單單位：百件位：百件) )的函數(shù)的函數(shù). .2215qqR，求達到最大利潤時的產(chǎn)量求達到最大利潤時的產(chǎn)量3.4.3 3.4.3 最大值與最小值在經(jīng)濟問題中的應(yīng)用舉例最大值與最小值在經(jīng)濟問題中的應(yīng)用舉例解解利潤函數(shù)為利潤函數(shù)為22133qqCRLqL3，令，得令，得 ( (百件百件).).0L3q，所以當(dāng)時，函數(shù)取，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，因為是唯一的極值點，所以就是最得極大值，因為是唯一的極值點，所以就是最大值點大值點. .01)3( L3q即產(chǎn)量為即產(chǎn)量為300300件時取得最大利潤件時取得最大利潤. .3.4.3 3.4.3 最大值與最小值在經(jīng)濟問題中的應(yīng)用舉例最大值與最小值在經(jīng)濟問題中的應(yīng)用舉例2.2.最小成本問題最小成本問題例例9 9 已知某個企業(yè)的成本函數(shù)為已知某個企業(yè)的成本函數(shù)為2530923qqqC，其中成本其中成本( (單元：千元單元：千元) )，產(chǎn)量，產(chǎn)量( (單位：噸單位：噸) )，求平均可變成本，求平均可變成本( (單位：千單位：千元元) )的最小值的最小值Cqy3.4.3 3.4.3 最大值與最小值在經(jīng)濟問題中的應(yīng)用舉例最大值與最小值在經(jīng)濟問題中的應(yīng)用舉例解解平均可變成本平均可變成本309252qqqCy，92 qy，令，得令，得( (噸噸).).0 y5 . 4