1、用定義計(jì)算（證明）用定義計(jì)算（證明）例例用行列式定義計(jì)算用行列式定義計(jì)算000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD 一、計(jì)算（證明）行列式的非零元素分別得到的非零元素分別得到行可能行可能中第中第那么，由那么，由行的元素分別為行的元素分別為中第中第設(shè)設(shè)5 , 4 , 3 , 2 , 1,5 , 4 , 3 , 2 , 1554321554321DaaaaaDppppp解解. 3 , 2; 3 , 2; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 3 , 254321 ppppp. 05,5

2、54321 Dppppp故故元排列也不能組成，元排列也不能組成，一個(gè)一個(gè)在上述可能取的代碼中在上述可能取的代碼中因?yàn)橐驗(yàn)樵u注評注本例是從一般項(xiàng)入手，將行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)本例是從一般項(xiàng)入手，將行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)順序排列，討論列標(biāo)的所有可能取到的值，并注順序排列，討論列標(biāo)的所有可能取到的值，并注意每一項(xiàng)的符號(hào)，這是用定義計(jì)算行列式的一般意每一項(xiàng)的符號(hào)，這是用定義計(jì)算行列式的一般方法方法. 2于零于零還多，則此行列式必等還多，則此行列式必等素比素比階行列式中等于零的元階行列式中等于零的元如果一個(gè)如果一個(gè)nnn 注意注意利用范德蒙行列式計(jì)算利用范德蒙行列式計(jì)算例例計(jì)算計(jì)算利用范德蒙行列式計(jì)算行列式，應(yīng)根據(jù)范德利用范德

3、蒙行列式計(jì)算行列式，應(yīng)根據(jù)范德蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出結(jié)果。式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出結(jié)果。.333222111222nnnDnnnn ，于是得到，于是得到增至增至冪次數(shù)便從冪次數(shù)便從則方則方若提取各行的公因子，若提取各行的公因子，遞升至遞升至而是由而是由變到變到序排列，但不是從序排列，但不是從次數(shù)自左至右按遞升次次數(shù)自左至右按遞升次方冪方冪數(shù)的不同方冪數(shù)的不同方冪中各行元素分別是一個(gè)中各行元素分別是一個(gè)10.1, 10, nnnDn解解.1333122211111!121212nnnnDnnnn 上

4、面等式右端行列式為上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知!.1 !2)!2()!1( !)1()2()24)(23()1()13)(12( !)(!1 nnnnnnnnxxnDjinjin評注評注本題所給行列式各行（列）都是某元本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式列式化成范德蒙行列式

5、用化三角形行列式計(jì)算用化三角形行列式計(jì)算例例計(jì)算計(jì)算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 解解列都加到第一列，得列都加到第一列，得將第將第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin32121212111 提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的將將第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，將將第第倍倍加加到到第第列列的的將將第第)(1,3)(12)(11aaan . )()(11

6、niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23122121111010010001)(評注評注本題利用行列式的性質(zhì)，采用本題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式化零時(shí)一般盡量選含有的行（列）及含零較多化零時(shí)一般盡量選含有的行（列）及含零較多的行（列）；若沒有，則可適當(dāng)選取便于化零的行（列）；若沒有，則可適當(dāng)選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)化為化為1 1；若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則；若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則應(yīng)充分利

7、用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到應(yīng)充分利用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到化為三角形行列式之目的化為三角形行列式之目的，得得提提取取公公因因子子行行中中行行，并并從從第第行行都都加加到到第第、的的第第將將dcbaD 114324用降階法計(jì)算用降階法計(jì)算例例計(jì)算計(jì)算.4abcdbadccdabdcbaD 解解,1111)(4abcdbadccdabdcbaD 列，得列，得列都減去第列都減去第、再將第再將第1432,0001)(4dadbdcdcbcacdcbcbdbabdcbaD 行展開，得行展開，得按第按第1.)(4dadbdccbcacdbcbdbadcbaD ，得得中中提提取取公公因因子

8、子行行行行，再再從從第第行行加加到到第第把把上上面面右右端端行行列列式式第第dcba 112,011)(dadbdccbcacddcbadcbaD 列，得列，得列減去第列減去第再將第再將第12行展開，得行展開，得按第按第1)()( )(22cbdadcbadcba )()(dcbadcbadcbadcba ,001)(4dacbdccbdacddcbadcbaD dacbcbdadcbadcbaD )(評注評注本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行（列）化成只含有一個(gè)非零元素，然后式的某行（列）化成只含有一個(gè)非零元素，然后按此行（列）展開，每展開一次，行列式的

9、階數(shù)按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù)可降低可降低 1階，如此繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接階，如此繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接計(jì)算出來為止（一般展開成二階行列式）這種計(jì)算出來為止（一般展開成二階行列式）這種方法對階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用方法對階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用用拆成行列式之和計(jì)算用拆成行列式之和計(jì)算例例證明證明33()ax by ay bz az bxxyzay bz az bx ax byabyzxaz bx ax by ay bzzxy用遞推法計(jì)算用遞推法計(jì)算例例計(jì)算計(jì)算.21xaaaaxaaaaxaDnn 解解拆拆成成兩兩個(gè)個(gè)行行列列式式之之和和列列把把依依第第Dnna

10、aaaaxaaaaaxaaaaaxaDnn121 .000121xaaaxaaaaxaaaaxann .1121DxaxxxDnnnn 從而從而得得列展開列展開第第右端的第二個(gè)行列式按右端的第二個(gè)行列式按列列加到第加到第倍分別倍分別列的列的將第將第右端的第一個(gè)行列式右端的第一個(gè)行列式,1, 2 , 1)1(, nnn ,0000000001121DxaaxaxaxDnnnn 由此遞推，得由此遞推，得.,2122121212211DxxxaxxxaxxxDDxaxxxDnnnnnnnnnnn 于是于是如此繼續(xù)下去，可得如此繼續(xù)下去，可得DxxxxxaxxxaxxxaxxxDnnnnnnn2314

11、2122121 )(21213142122121xxxaxaxxxxxaxxxaxxxaxxxnnnnnn ).(323112121xxxxxxxxxaxxxnnnn 時(shí)時(shí)，還還可可改改寫寫成成當(dāng)當(dāng)021 xxxn).111(12121xxxaxxxDnnn .1 1 .1,1 1的的遞遞推推關(guān)關(guān)系系列列式式更更低低階階行行列列式式之之間間階階行行，建建立立比比階階更更低低階階的的行行列列式式表表示示比比用用同同樣樣形形式式的的階階行行列列式式時(shí)時(shí)，還還可可以以把把給給定定的的有有之之間間的的遞遞推推關(guān)關(guān)系系階階行行列列式式與與建建立立了了階階行行列列式式表表示示出出來來用用同同樣樣形形式式的

12、的行行列列式式階階質(zhì)質(zhì)把把所所給給的的本本題題是是利利用用行行列列式式的的性性 nnDnDnDnDnnnnn評注評注用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法例例證明證明.coscos21000100000cos210001cos210001cos nDn 證證對階數(shù)對階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法122 ,1212 ,12,1,2,.DD 因?yàn)樗?當(dāng)時(shí) 結(jié)論成立coscoscoscoscosnn 得得展展開開按按最最后后一一行行現(xiàn)現(xiàn)將將的的行行列列式式也也成成立立于于階階數(shù)數(shù)等等于于下下證證對對的的行行列列式式結(jié)結(jié)論論成成立立假假設(shè)設(shè)對對階階數(shù)數(shù)小小于于,.,Dnnn.cos221DDDnnn ,)2cos

13、( ,)1cos( ,21 nDnDnn由歸納假設(shè)由歸納假設(shè);cos)2cos()2cos(cos)2cos()1cos(cos2 nnnnnnDn .結(jié)論成立結(jié)論成立所以對一切自然數(shù)所以對一切自然數(shù)n評注評注.,)1(1,)(, 21同型的行列式同型的行列式是與是與不不否則所得的低階行列式否則所得的低階行列式展開展開列列或第或第行行按第按第不能不能展開展開列列或第或第行行本例必須按第本例必須按第表示表示展開成能用其同型的展開成能用其同型的為了將為了將DnnDDDnnnn .,.,其猜想結(jié)果成立其猜想結(jié)果成立然后用數(shù)學(xué)歸納法證明然后用數(shù)學(xué)歸納法證明也可先猜想其結(jié)果也可先猜想其結(jié)果如果未告訴結(jié)果

14、如果未告訴結(jié)果納法來證明納法來證明可考慮用數(shù)學(xué)歸可考慮用數(shù)學(xué)歸結(jié)論時(shí)結(jié)論時(shí)證明是與自然數(shù)有關(guān)的證明是與自然數(shù)有關(guān)的而要我們而要我們當(dāng)行列式已告訴其結(jié)果當(dāng)行列式已告訴其結(jié)果一般來講一般來講計(jì)算行列式的方法比較靈活，同一行列式可計(jì)算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)用在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式法綜合應(yīng)用在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)對它進(jìn)行變在構(gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)對它進(jìn)行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法換后，再考察它是否能用常用的幾種方法小結(jié)小結(jié)矩陣矩陣一

15、、矩陣的運(yùn)算一、矩陣的運(yùn)算二、逆矩陣的運(yùn)算及證明二、逆矩陣的運(yùn)算及證明三、矩陣的分塊運(yùn)算三、矩陣的分塊運(yùn)算典型例題例例計(jì)算計(jì)算 nnnnnnnnnnnnnnn11111111112一、矩陣的運(yùn)算解解 11111111112nnnn nnnnnnnnnnnnnnn11111111112 111111111122nnnn )1()1()1(12nnnnnnnnnnnnn.,2是冪等矩陣是冪等矩陣所以所以在此例中在此例中AAA nnnnnnnnnnnn111111111. 0)(,)(, AfAEfdcbaA并并驗(yàn)驗(yàn)證證多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的寫寫成成試試將將設(shè)設(shè) 解解,)()(2bcaddadcbaAEf

16、 由此得由此得EbcadAdaAAf)()()(2 例例 1001)()(22bcaddcbadadbccdacbdabbca,0000 . 0)( Af即即例例.)0(的逆矩陣的逆矩陣求求 bcaddcba解解用定義求逆陣用定義求逆陣,43211 xxxxA設(shè)設(shè)得得由由,1EAA 二、逆矩陣的運(yùn)算及證明,10014321 xxxxdcba . 1, 0, 0, 142423131xdxcxbxaxdxcxbxa則有則有 .,4321bcadaxbcadcxbcadbxbcaddx解得解得.11 acbdbcadA注注., 元方程組元方程組矩陣的各列的矩陣的各列的同而常數(shù)項(xiàng)分別為單位同而常數(shù)項(xiàng)

17、分別為單位個(gè)系數(shù)相個(gè)系數(shù)相實(shí)質(zhì)上是求解實(shí)質(zhì)上是求解的逆的逆依定義求依定義求nnA分析分析.,),(,.,11111交交換換律律因因?yàn)闉榫鼐仃囮嚨牡某顺朔ǚú徊粷M滿足足而而不不能能右右乘乘即即得得乘乘這這時(shí)時(shí)將將方方程程兩兩邊邊同同時(shí)時(shí)左左程程方方可可逆逆時(shí)時(shí)才才可可解解這這個(gè)個(gè)矩矩陣陣只只有有程程可可以以不不寫寫出出這這個(gè)個(gè)過過是是否否可可逆逆要要先先考考察察例例如如解解關(guān)關(guān)系系的的位位置置應(yīng)應(yīng)注注意意已已知知矩矩陣陣與與解解矩矩陣陣方方程程時(shí)時(shí)ABAXBAAXAAAABAXX ., 均為可逆矩陣均為可逆矩陣、其中其中解矩陣方程解矩陣方程BACAXBBXABAX 例4例4矩陣方程矩陣方程解解B

18、AX1 BAX1 BCAX11 BAX BXA CAXB .,0,的逆矩陣的逆矩陣并求并求必為可逆矩陣必為可逆矩陣證明證明階可逆矩陣階可逆矩陣都是都是設(shè)設(shè)DBCADnBA 證證.),0det, 0det,(0detdetdet為可逆矩陣為可逆矩陣所以所以均可逆均可逆因?yàn)橐驗(yàn)镈BABABAD ),2 , 1,(,222112111 jinXXXXXDij階矩陣階矩陣均為均為其中其中設(shè)設(shè)例例三、矩陣的分塊運(yùn)算)(000221221111211222112111階單位陣階單位陣是是nEEEXBXCXBXCXAXAXXXXBCADD ,221221111211EXBXCOXBXCOXAEXA依依矩矩陣

19、陣相相等等的的定定義義有有,122112112111BXACBXOXAX 從而得從而得.11111 BACBOAD故故同理可得：同理可得：;,)1(11111 BOBCAADBOCAD則則設(shè)設(shè).,)2(11111 BCAABODOBACD則則設(shè)設(shè): , DBA對分塊矩陣對分塊矩陣均可逆均可逆、設(shè)設(shè).:)2(;)1(.,111BACDADCBAXYZEOBAEZDCBAYEACOEXnEAnDCBA 證明證明求乘積求乘積并且并且階單位陣階單位陣是是是非奇異的是非奇異的階方陣階方陣都是都是設(shè)設(shè)例例 6解解（）根據(jù)分塊矩陣的乘法，得（）根據(jù)分塊矩陣的乘法，得 EOBAEDCBAEACOEXYZ11

20、EOBAEBACDOBA11.1 BACDOOA（）由（）可得（）由（）可得,11BACDABACDOOAXYZ ,ZYXXYZ , 1 ZX而而.1BACDADCBA );(),(ccrrjiji記記作作列列對對調(diào)調(diào)矩矩陣陣的的兩兩行行);(,)(0 kckrkii 記記作作中中的的所所有有元元素素列列乘乘某某一一行行以以數(shù)數(shù)).(,)()( ckcrkrkjiji 記記作作對對應(yīng)應(yīng)的的元元素素上上去去列列倍倍加加到到另另一一行行所所有有元元素素的的列列把把某某一一行行初等變換的定義換法變換換法變換倍法變換倍法變換消法變換消法變換初等變換 逆變換三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是三種初等變

21、換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換同一類型的初等變換)(ccrrjiji)(ccrrjiji)(kckrii )1(1kckrii )(ckcrkrjiji )()(ckcrkrjiji .,BABABA記記作作等等價(jià)價(jià)與與稱稱矩矩陣陣就就矩矩陣陣經(jīng)經(jīng)有有限限次次初初等等變變換換變變成成如如果果矩矩陣陣反身性反身性傳遞性傳遞性對稱性對稱性; AA;,ABBA則則若若.,CACBBA則則若若矩陣的等價(jià)三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣初等矩陣由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣為初等矩陣E).(:,)(),(r

22、rjiAAaAjiEmjiijnmm 行行對對調(diào)調(diào)行行與與第第的的第第把把施施行行第第一一種種初初等等行行變變換換當(dāng)當(dāng)于于對對矩矩陣陣相相左左乘乘階階初初等等矩矩陣陣用用（）換法變換：對調(diào)兩行（列），得初等（）換法變換：對調(diào)兩行（列），得初等矩陣矩陣).(:,),(,ccjiAAAjiEnjin列列對對調(diào)調(diào)列列與與第第第第的的把把施施行行第第一一種種初初等等列列變變換換相相當(dāng)當(dāng)于于對對矩矩陣陣右右乘乘矩矩陣陣階階初初等等矩矩陣陣用用類類似似地地),(jiE（）倍法變換：以數(shù)（非零）乘某行（）倍法變換：以數(shù)（非零）乘某行（列），得初等矩陣列），得初等矩陣);(,)(kriAkAkiEim 行行第

23、第的的乘乘相相當(dāng)當(dāng)于于以以數(shù)數(shù)左左乘乘矩矩陣陣以以).(,)(kciAkAkiEin 列列第第的的乘乘相相當(dāng)當(dāng)于于以以數(shù)數(shù)右右乘乘矩矩陣陣以以k)( kiE（）消法變換：以數(shù)乘某行（列）加到另（）消法變換：以數(shù)乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩陣一行（列）上去，得初等矩陣);(,)(rkrikjAAkijEjim 行行上上加加到到第第以以行行乘乘的的第第相相當(dāng)當(dāng)于于把把左左乘乘矩矩陣陣以以).(,)(ckcjkiAAkijEijn 列列上上加加到到第第以以列列乘乘的的第第相相當(dāng)當(dāng)于于把把右右乘乘矩矩陣陣以以k)(kijE經(jīng)過初等行變換，可把矩陣化為行階梯形矩經(jīng)過初等行變換，可把矩陣化為

24、行階梯形矩陣，其特點(diǎn)是：可畫出一條階梯線，線的下方全陣，其特點(diǎn)是：可畫出一條階梯線，線的下方全為為0 0；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個(gè)元素為非零元，也就是非零行的第后面的第一個(gè)元素為非零元，也就是非零行的第一個(gè)非零元一個(gè)非零元例如例如 00000310000111041211行階梯形矩陣經(jīng)過初等行變換，行階梯形矩陣還可以進(jìn)一經(jīng)過初等行變換，行階梯形矩陣還可以進(jìn)一步化為行最簡形矩陣，其特點(diǎn)是：非零行的第一步化為行最簡形矩陣，其特點(diǎn)是：非零行的第一個(gè)非零元為

25、個(gè)非零元為1 1，且這些非零元所在列的其它元素都，且這些非零元所在列的其它元素都為為0 0例如例如 00000310003011040101行最簡形矩陣對行階梯形矩陣再進(jìn)行初等列變換，可得到對行階梯形矩陣再進(jìn)行初等列變換，可得到矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是：左上角是一個(gè)單位矩矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是：左上角是一個(gè)單位矩陣，其余元素都為陣，其余元素都為0 0例如例如 00000310003011040101ccccccccc214433215334 00000001000001000001矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形.,),(,數(shù)數(shù)梯形矩陣中非零行的行梯形矩陣中非零行的行就是行階就是行階其中其中三個(gè)數(shù)完全確定三個(gè)數(shù)完全

26、確定此標(biāo)準(zhǔn)形由此標(biāo)準(zhǔn)形由化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形換和列變換換和列變換行變行變總可以經(jīng)過初等變換總可以經(jīng)過初等變換矩陣矩陣任何一個(gè)任何一個(gè)rrnmOOOErFnmnm 所有與所有與A A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類中形狀最簡單的個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類中形狀最簡單的矩陣矩陣F定義定義., 2階階子子式式的的稱稱為為矩矩陣陣階階行行列列式式的的位位置置次次序序而而得得到到的的中中所所處處不不改改變變它它們們在在個(gè)個(gè)元元素素行行列列交交叉叉處處的的位位于于這這些些列列行行和和任任取取中中矩矩陣陣在在kAkAkkkAnm 矩陣的秩定義定義

27、. 0).(, 0)(1,0 并并規(guī)規(guī)定定零零矩矩陣陣的的秩秩等等于于記記作作的的秩秩稱稱為為矩矩陣陣數(shù)數(shù)的的最最高高階階非非零零子子式式稱稱為為矩矩陣陣那那么么全全等等于于如如果果存存在在的的話話階階子子式式且且所所有有階階子子式式的的中中有有一一個(gè)個(gè)不不等等于于設(shè)設(shè)在在矩矩陣陣ARArADrDrA ;)(,1rARrA 則則階子式都為零階子式都為零中所有中所有如果如果);()(ARART 定理定理);()(,BRARBA 則則若若行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù)行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù)矩陣秩的性質(zhì)及定理;)(,rARrA 則則階子式階子式中有一個(gè)非零的中有一個(gè)非零的如果如果. )4

28、(; )3(;)( )2(; )1(EAEAnARAA的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形為為單單位位矩矩陣陣的的最最高高階階非非零零子子式式為為 則則階可逆矩陣階可逆矩陣為為若若,nA定理定理定理定理.)(0 nARxAnnm 陣陣的的秩秩充充分分必必要要條條件件是是系系數(shù)數(shù)矩矩有有非非零零解解的的元元齊齊次次線線性性方方程程組組.),( 的的秩秩的的秩秩等等于于增增廣廣矩矩陣陣分分必必要要條條件件是是系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣有有解解的的充充元元非非齊齊次次線線性性方方程程組組bABAbxAnnm 線性方程組有解判別定理齊次線性方程組齊次線性方程組：把系數(shù)矩陣化成行最簡形：把系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，寫出通解矩陣，寫出

29、通解非齊次線性方程組非齊次線性方程組：把增廣矩陣化成行階梯：把增廣矩陣化成行階梯形矩陣，根據(jù)有解判別定理判斷是否有解，若有形矩陣，根據(jù)有解判別定理判斷是否有解，若有解，把增廣矩陣進(jìn)一步化成行最簡形矩陣，寫出解，把增廣矩陣進(jìn)一步化成行最簡形矩陣，寫出通解通解10線性方程組的解法定理定理.,;, 階階初初等等矩矩陣陣相相應(yīng)應(yīng)的的的的右右邊邊乘乘以以相相當(dāng)當(dāng)于于在在施施行行一一次次初初等等列列變變換換對對階階初初等等矩矩陣陣左左邊邊乘乘以以相相應(yīng)應(yīng)的的相相當(dāng)當(dāng)于于在在變變換換施施行行一一次次初初等等行行對對矩矩陣陣是是一一個(gè)個(gè)設(shè)設(shè)nAAmAAnmA 11初等矩陣與初等變換的關(guān)系定理定理., 2121

30、PPPAPPPAll 使使則則存存在在有有限限個(gè)個(gè)初初等等矩矩陣陣為為可可逆逆矩矩陣陣設(shè)設(shè)推論推論.,: BPAQQnPmBAnm 使使得得階階可可逆逆矩矩陣陣及及階階可可逆逆矩矩陣陣存存在在的的充充分分必必要要條條件件是是矩矩陣陣一、求矩陣的秩一、求矩陣的秩二、求解線性方程組二、求解線性方程組三、求逆矩陣的初等變換法三、求逆矩陣的初等變換法四、解矩陣方程的初等變換法四、解矩陣方程的初等變換法典型例題求矩陣的秩有下列基本方法求矩陣的秩有下列基本方法（）計(jì)算矩陣的各階子式，從階數(shù)最高的（）計(jì)算矩陣的各階子式，從階數(shù)最高的子式開始，找到不等于零的子式中階數(shù)最大的一子式開始，找到不等于零的子式中階數(shù)

31、最大的一個(gè)子式，則這個(gè)子式的階數(shù)就是矩陣的秩個(gè)子式，則這個(gè)子式的階數(shù)就是矩陣的秩一、求矩陣的秩（）用初等變換即用矩陣的初等行（或（）用初等變換即用矩陣的初等行（或列）變換，把所給矩陣化為階梯形矩陣，由于階列）變換，把所給矩陣化為階梯形矩陣，由于階梯形矩陣的秩就是其非零行（或列）的個(gè)數(shù)，而梯形矩陣的秩就是其非零行（或列）的個(gè)數(shù)，而初等變換不改變矩陣的秩，所以化得的階梯形矩初等變換不改變矩陣的秩，所以化得的階梯形矩陣中非零行（或列）的個(gè)數(shù)就是原矩陣的秩陣中非零行（或列）的個(gè)數(shù)就是原矩陣的秩第一種方法當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)較高時(shí)，計(jì)第一種方法當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)較高時(shí)，計(jì)算量很大，第二種方法則較為簡單實(shí)用

32、算量很大，第二種方法則較為簡單實(shí)用例例求下列矩陣的秩求下列矩陣的秩.34147191166311110426010021 A解解對對 施行初等行變換化為階梯形矩陣施行初等行變換化為階梯形矩陣A 34147191166311110426010021A 3514721015639010426010021,00000000005213010021B . 2)()(, BRAR因此因此注意注意在求矩陣的秩時(shí)，初等行、列變換可在求矩陣的秩時(shí)，初等行、列變換可以同時(shí)兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成以同時(shí)兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形階梯形當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不相同時(shí)，一當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與

33、未知數(shù)的個(gè)數(shù)不相同時(shí)，一般用初等行變換求方程的解般用初等行變換求方程的解當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同時(shí)，求線當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同時(shí)，求線性方程組的解，一般都有兩種方法：初等行變換性方程組的解，一般都有兩種方法：初等行變換法和克萊姆法則法和克萊姆法則二、求解線性方程組例例求非齊次線性方程組的通解求非齊次線性方程組的通解)1(. 2255, 1222, 132, 123, 1323214321432143214321 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解對方程組的增廣矩陣對方程組的增廣矩陣 進(jìn)行初等行變換，使進(jìn)行初等行變換，使其成為行最簡單形其成為行最簡單形B 202551122

34、2111321112311321B 000002035411132202552045331323425rrrrrrrr 00000001011113220255002022124rrrr 00000000001113202011001012213214rrrrr 00000000001560002110001011221332rrrrr 00000000006165100616701061650016)1(6)1(631323rrrrr.,16567650616161 )1(,43214取任意常數(shù)取任意常數(shù)的通解是的通解是可得方程組可得方程組令自由未知量令自由未知量kkxxxxxkx 由此可知

35、，而方程組由此可知，而方程組(1)中未知中未知量的個(gè)數(shù)是，故有一個(gè)自由未知量量的個(gè)數(shù)是，故有一個(gè)自由未知量.3)()( BRAR4 n . 0323, 0, 022, 04321432143214321xaxxxxxaxxxxxxxxxx例例 當(dāng)取何值時(shí)，下述齊次線性方程組有非當(dāng)取何值時(shí)，下述齊次線性方程組有非零解，并且求出它的通解零解，并且求出它的通解a解法一解法一系數(shù)矩陣的行列式為系數(shù)矩陣的行列式為AaaA32311121211111 3050212010101111 aa2000010010101111 aa)2)(1( aa., 0,21方程組有非零解方程組有非零解時(shí)時(shí)或者或者當(dāng)當(dāng) A

36、aa:,1化成最簡形化成最簡形把系數(shù)矩陣把系數(shù)矩陣時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Aa 10000000001001011323111121211111.,01014321為任意常數(shù)為任意常數(shù)kkxxxxx 從而得到方從而得到方程組的通解程組的通解 00000300101011112323121121211111,2化為化為之變換可把之變換可把由計(jì)算由計(jì)算時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)AAa 0000010010100001.,1010 4321為為任任意意常常數(shù)數(shù)為為從從而而得得到到方方程程組組的的通通解解kkxxxxx aaA32311121211111 3050212010101111aa解法二解法二用初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形

37、用初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形A., 4)(,21解解可可仿仿照照解解法法一一求求出出它它的的非非零零解解此此時(shí)時(shí)方方程程組組有有時(shí)時(shí)或或者者當(dāng)當(dāng) ARaa 2000010010101111aa.,)(,1AEEAEAA 變變成成了了就就原原來來的的時(shí)時(shí)變變成成當(dāng)當(dāng)把把施施行行初初等等行行變變換換只只需需對對分分塊塊矩矩陣陣的的逆逆矩矩陣陣要要求求可可逆逆矩矩陣陣.,1AEEAEA 就就變變成成了了原原來來的的時(shí)時(shí)變變成成當(dāng)當(dāng)把把施施行行初初等等列列變變換換或或者者對對分分塊塊矩矩陣陣三、求逆矩陣的初等變換法例例求下述矩陣的逆矩陣求下述矩陣的逆矩陣 111211120A解解.),(施行初等行

38、變換施行初等行變換作分塊矩陣作分塊矩陣EA 100111010211001120 10011100112001021121rr 11010000112001021113rr 11010011102001021132rr 11010011102021001131)2(rr 110100212121010210011212r 11010021212101025232100121)1(rr.1102121212523211 A注意注意用初等行變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用初等行變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用行變換，其間不能作任何列變換同樣地，用用行變換，其間不能作任何列變換同樣地，用初等列變換求逆矩陣時(shí)，必

39、須始終用列變換，其初等列變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用列變換，其間不能作任何行變換間不能作任何行變換BAX )1(四、解矩陣方程的初等變換法)(BA)(1BAE 初初等等行行變變換換BAX1 BABXA )2( ABE1初初等等列列變變換換BAX1 )(BATT)(1BAETT 初初等等行行變變換換ABX1 BAXTTT)(1 或者或者例例.,2,410011103 XXAAXA求矩陣求矩陣且且設(shè)設(shè) 解解,2XAAX ,2100111012 EA又又,)2(AXEA 1002100100110011012AEA由于由于,322100234010225001 初等行變換初等行變換.322234225

40、 X.,., 21個(gè)個(gè)分分量量稱稱為為第第個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)第第個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)稱稱為為該該向向量量的的分分量量這這維維向向量量數(shù)數(shù)組組稱稱為為所所組組成成的的個(gè)個(gè)有有次次序序的的數(shù)數(shù)iainnaaanin分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量實(shí)向量分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量復(fù)向量向量的定義定義定義 aaaann21,即即稱稱為為列列向向量量維維向向量量寫寫成成列列的的形形式式 aaaannT,21 即即稱稱為為行行向向量量維維向向量量寫寫成成行行的的形形式式向量的相等向量的相等),2 , 1(),(),( 2121nibababbbbaaaaiiTTnTnT 則則設(shè)設(shè)零向量

41、零向量分量全為分量全為0 0的向量稱為零向量的向量稱為零向量), 2 , 1(0niaOaiT ),2 , 1( ,0niaOaiT 中中至至少少有有一一個(gè)個(gè)不不為為負(fù)向量負(fù)向量).,( ,),( 2121aaaaaaaaanTTnT 且且的負(fù)向量記作的負(fù)向量記作向量向量向量加法向量加法),(:),(),(22112121babababababbbbaaaannTTTTnTnT 的加法為的加法為與與向量向量定義定義設(shè)設(shè)),(2211babababannTT 向量減法定義為向量減法定義為向量的線性運(yùn)算數(shù)乘向量數(shù)乘向量),(,21akakakakaknTT 定定義義為為簡簡稱稱數(shù)數(shù)乘乘向向量量稱稱

42、為為向向量量的的數(shù)數(shù)量量乘乘法法的的乘乘積積與與向向量量數(shù)數(shù)向量加法和數(shù)乘向量運(yùn)算稱為向量的向量加法和數(shù)乘向量運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)線性運(yùn)算算，滿足下列八條運(yùn)算規(guī)則：，滿足下列八條運(yùn)算規(guī)則：;)1( 加法交換律加法交換律);()()2( 加法結(jié)合律加法結(jié)合律;,)3( O有有對任一個(gè)向量對任一個(gè)向量;)( ,)4(O 有有存在負(fù)向量存在負(fù)向量對任一個(gè)向量對任一個(gè)向量;1)5( ;)()()6( kllk 數(shù)乘結(jié)合律數(shù)乘結(jié)合律;)()7( kkk 數(shù)乘分配律數(shù)乘分配律.)()8( lklk 數(shù)乘分配律數(shù)乘分配律., 1 ,為零向量為零向量為數(shù)為數(shù)維向量維向量為為其中其中Olkn 除了上述八條運(yùn)算規(guī)

43、則，顯然還有以下性質(zhì)：除了上述八條運(yùn)算規(guī)則，顯然還有以下性質(zhì)：);,0(,0 ) 1(為任意數(shù)為任意數(shù)為數(shù)零為數(shù)零其中其中kOkOO ;, 0,) 2(OkOk 或者或者則或者則或者若若.) 3( xx有唯一解有唯一解向量方程向量方程若干個(gè)同維數(shù)的列（行）向量所組成的集合若干個(gè)同維數(shù)的列（行）向量所組成的集合叫做向量組叫做向量組定義定義.,:2122112121這這個(gè)個(gè)線線性性組組合合的的系系數(shù)數(shù)稱稱為為的的一一個(gè)個(gè)線線性性組組合合稱稱為為向向量量組組向向量量實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)對對于于任任何何一一組組給給定定向向量量組組kkkAakakakkkkaaaAmmmmm 線性組合定義定義.,:22112121

44、線線性性表表示示由由向向量量組組能能這這時(shí)時(shí)稱稱向向量量的的線線性性組組合合是是向向量量組組則則向向量量使使存存在在一一組組實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)如如果果和和向向量量給給定定向向量量組組AbAbakakakbkkkbaaaAmmmm 線性表示定理定理.),(),(2121的的秩秩的的秩秩等等于于矩矩陣陣件件是是矩矩陣陣線線性性表表示示的的充充分分必必要要條條能能由由向向量量組組向向量量baaaBaaaAAbmm 定義定義.,.,:,:2121兩兩個(gè)個(gè)向向量量組組等等價(jià)價(jià)則則稱稱這這能能相相互互線線性性表表示示與與向向量量組組若若向向量量組組線線性性表表示示能能由由向向量量組組則則稱稱向向量量組組線線性性表表

45、示示向向量量組組組組中中的的每每個(gè)個(gè)向向量量都都能能由由若若及及設(shè)設(shè)有有兩兩個(gè)個(gè)向向量量組組BAABABbbbBaaaAsm定義定義., 0,: 22112121否否則則稱稱它它線線性性無無關(guān)關(guān)是是線線性性相相關(guān)關(guān)的的則則稱稱向向量量組組使使為為零零的的數(shù)數(shù)如如果果存存在在不不全全給給定定向向量量組組AakakakkkkaaaAmmmm 線性相關(guān)定理定理.)(;),(,2121mARmaaaAaaamm 是是必必要要條條件件向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)的的充充分分于于向向量量個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)的的秩秩小小條條件件是是它它所所構(gòu)構(gòu)成成的的矩矩陣陣線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充分分必必要要向向量量組組定理定理.,

46、.,:,:)1(12121也也線線性性無無關(guān)關(guān)則則向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組若若反反言言之之也也線線性性相相關(guān)關(guān)量量組組則則向向線線性性相相關(guān)關(guān)若若向向量量組組ABaaaaBaaaAmmm 若若向向量量量量添添上上一一個(gè)個(gè)分分量量后后得得到到向向即即向向量量設(shè)設(shè).), 2 , 1( ,)2(, 111bamjaaabaaajjjrrjjjrjjj .,.,:,:2121也也線線性性相相關(guān)關(guān)則則向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)若若向向量量組組反反言言之之也也線線性性無無關(guān)關(guān)則則向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)組組ABbbbBaaaAmm.,)3(時(shí)時(shí)一一定定線線性性相相關(guān)關(guān)向向量量個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)

47、小小于于當(dāng)當(dāng)維維數(shù)數(shù)維維向向量量組組成成的的向向量量組組個(gè)個(gè)mnnm.,:,:)4(2121且且表表示示式式是是唯唯一一的的線線性性表表示示能能由由向向量量組組必必則則向向量量線線性性相相關(guān)關(guān)向向量量組組而而線線性性無無關(guān)關(guān)設(shè)設(shè)向向量量組組AbbaaaBaaaAmm定義定義滿滿足足個(gè)個(gè)向向量量中中能能選選出出如如果果在在設(shè)設(shè)有有向向量量組組,21aaarAAr;,:)1(210線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組aaaAr,)1(1)2(都都線線性性相相關(guān)關(guān)個(gè)個(gè)向向量量的的話話中中有有如如果果個(gè)個(gè)向向量量中中任任意意向向量量組組 rArA.);(0的秩的秩稱為向量組稱為向量組量個(gè)數(shù)量個(gè)數(shù)最大無關(guān)組所含

48、向最大無關(guān)組所含向簡稱最大無關(guān)組簡稱最大無關(guān)組無關(guān)向量組無關(guān)向量組的一個(gè)最大線性的一個(gè)最大線性是向量組是向量組那么稱向量組那么稱向量組ArAA向量組的秩等價(jià)的向量組的秩相等等價(jià)的向量組的秩相等定理定理 矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩它的行向量組的秩定理定理設(shè)向量組設(shè)向量組B B能由向量組能由向量組A A線性表示，則向量線性表示，則向量組組B B的秩不大于向量組的秩不大于向量組A A的秩的秩推論推論推論推論).()(),()( ,BRCRARCRBACnssmnm 則則設(shè)設(shè)推論推論（最大無關(guān)組的等價(jià)定義）（最大無關(guān)組的等價(jià)定義）設(shè)向量組是

49、向量組的部分組，若向量組設(shè)向量組是向量組的部分組，若向量組線性無關(guān)，且向量組能由向量組線性表示，線性無關(guān)，且向量組能由向量組線性表示，則向量組是向量組的一個(gè)最大無關(guān)組則向量組是向量組的一個(gè)最大無關(guān)組BABABBA.,;,:,VaRVaVbaVbVaV 則則若若則則若若數(shù)數(shù)乘乘兩兩種種運(yùn)運(yùn)算算中中可可以以進(jìn)進(jìn)行行加加法法及及是是指指在在集集合合所所謂謂封封閉閉向量空間定義定義設(shè)設(shè) 為為 維向量的集合，如果集合維向量的集合，如果集合 非空，且非空，且集合集合 對于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集對于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合合 為向量空間為向量空間VVVVn., 2 , 1,121 m

50、iRaxVaaaimiiim 空空間間為為所所生生成成的的向向量量由由向向量量組組一一般般地地定義定義.,212121的的子子空空間間是是就就稱稱若若及及設(shè)設(shè)有有向向量量空空間間VVVVVV .子空間子空間的的都是都是間間維向量所組成的向量空維向量所組成的向量空任何由任何由RVnn子空間定義定義.,)2( ;,)1( ,1212121維維向向量量空空間間為為并并稱稱的的維維數(shù)數(shù)稱稱為為向向量量空空間間的的一一個(gè)個(gè)基基就就稱稱為為向向量量空空間間向向量量組組那那么么線線性性表表示示中中任任一一向向量量都都可可由由線線性性無無關(guān)關(guān)且且滿滿足足個(gè)個(gè)向向量量如如果果為為向向量量空空間間設(shè)設(shè)rVVrVa

51、aaaaVaaaVaaarVrrrr 基與維數(shù).0 . 0,OV量量空空間間只只含含一一個(gè)個(gè)零零向向量量維維向向的的維維數(shù)數(shù)為為那那么么若若向向量量空空間間沒沒有有基基.,的的秩秩的的維維數(shù)數(shù)就就是是向向量量組組組組向向量量組組的的最最大大線線性性無無關(guān)關(guān)的的基基就就是是則則看看作作向向量量組組若若把把向向量量空空間間VVV向向量量空空間間的的構(gòu)構(gòu)造造., 2 , 1,121 riRaxVVVaaairiiir 可可表表示示為為則則的的一一個(gè)個(gè)基基是是向向量量空空間間若若向向量量組組的系數(shù)矩陣和未知量為的系數(shù)矩陣和未知量為記齊次線性方程組記齊次線性方程組)1(, 0, 0, 022112222

52、1211212111 xaxaxaxaxaxaxaxaxanmnmmnnnn向量方程向量方程齊次線性方程組)2(.)1(,21212222111211OAxxxxxaaaaaaaaaAnmnmmnn 式可寫成向量方程式可寫成向量方程則則解向量解向量.)2(,)1(,)1(,1211111212111的的解解它它也也就就是是向向量量方方程程的的解解向向量量稱稱為為方方程程組組則則的的解解為為若若 nnnxxxx解向量的性質(zhì)解向量的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì).)2(,)2(, 2121的解的解是是也也則則的解的解為為若若 xxx.)2(,)2( 11的解的解也是也是則則為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)的解的解為為若若 kx

53、kx 定義定義.)1(,)1(間間的的解解空空稱稱為為齊齊次次線線性性方方程程組組是是一一個(gè)個(gè)向向量量空空間間所所以以集集合合對對向向量量的的線線性性運(yùn)運(yùn)算算封封閉閉則則集集合合合合集集的的全全體體解解向向量量所所組組成成的的為為方方程程組組設(shè)設(shè)SSS定理定理.,)(,rnSrARSOxAnnmnm 的維數(shù)為的維數(shù)為解空間解空間時(shí)時(shí)當(dāng)系數(shù)矩陣的秩當(dāng)系數(shù)矩陣的秩是一個(gè)向量空間是一個(gè)向量空間構(gòu)成的集合構(gòu)成的集合的全體解所的全體解所元齊次線性方程組元齊次線性方程組定義定義.)1( 的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系的的基基稱稱為為方方程程組組解解空空間間S)4()3(, 22112222212111212111b

54、Axbxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn 可寫為向量方程可寫為向量方程非齊次線性方程組非齊次線性方程組向量方程向量方程非齊次線性方程組解向量的性質(zhì)解向量的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì).)5(,)4(, 2121的的解解組組為為對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次線線性性方方程程則則的的解解為為若若OAxxxx .)4(,)5(,)4( 的的解解也也是是方方程程則則解解的的是是方方程程的的解解是是方方程程若若 xxx解向量解向量向量方程向量方程 的解就是方程組的解就是方程組 的解向量的解向量)4()3(（）求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系（）求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系:,)(21可可按按下下面面步步

55、驟驟進(jìn)進(jìn)行行不不妨妨設(shè)設(shè)為為個(gè)個(gè)解解向向量量解解系系含含線線性性無無關(guān)關(guān)的的那那么么方方程程組組的的一一個(gè)個(gè)基基礎(chǔ)礎(chǔ)程程組組中中未未知知數(shù)數(shù)的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)為為而而方方的的秩秩若若齊齊次次線線性性方方程程組組 rnrnnrAROAx 線性方程組的解法第一步：對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，使其第一步：對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，使其變成行最簡形矩陣變成行最簡形矩陣;0000000000100010001,1,21,2, 11, 1 ccccccnrrrnrnrA即即個(gè)個(gè)分分量量的的第第于于是是得得號(hào)號(hào)個(gè)個(gè)分分量量反反列列前前將將第第第第二二步步, 2 , 1, 2, 1:21rrnrrrn ;,2, 11

56、,2,22, 121,1,21, 11 cccccccccnrnnrnrrrrrrrr 第三步：將其余第三步：將其余 個(gè)分量依次組成個(gè)分量依次組成 階階單位矩陣，于是得齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系單位矩陣，于是得齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.100,010,001,2, 12,2,22, 121,1,21, 11 cccccccccnrnnrnrrrrrrrr rn rn （）求非齊次線性方程組的特解（）求非齊次線性方程組的特解.,)()(矩矩陣陣使使其其成成為為行行最最簡簡形形進(jìn)進(jìn)行行初初等等行行變變換換增增廣廣矩矩陣陣那那么么對對數(shù)數(shù)為為而而方方程程組組中中未未知知數(shù)數(shù)的的個(gè)個(gè)的的秩秩若若

57、非非齊齊次次線線性性方方程程組組BnrBRARbAx ,000000000000100010001,1,2,21,21, 11, 1 dccdccdccrnrrrnrnr將上述矩陣中最后一列的前將上述矩陣中最后一列的前 個(gè)分量依次作為個(gè)分量依次作為特解的第特解的第 個(gè)分量，其余個(gè)分量，其余 個(gè)分量全部取個(gè)分量全部取零，于是得零，于是得rrn r , 2 , 1,0021 dddr 即為所求非齊次線性方程組的一個(gè)特解即為所求非齊次線性方程組的一個(gè)特解一、向量組線性關(guān)系的判定一、向量組線性關(guān)系的判定二、求向量組的秩二、求向量組的秩三、向量空間的判定三、向量空間的判定四、基礎(chǔ)解系的證法四、基礎(chǔ)解系的

58、證法五、解向量的證法五、解向量的證法典型例題?,:,21221121其線性組和為零向量其線性組和為零向量也使得也使得的數(shù)的數(shù)是否存在一組不全為零是否存在一組不全為零一個(gè)自然的問題是一個(gè)自然的問題是那么那么零向量零向量一個(gè)特殊向量一個(gè)特殊向量其結(jié)果為向量空間中的其結(jié)果為向量空間中的時(shí)時(shí)線性組合線性組合的結(jié)合物的結(jié)合物量空間中兩種基本運(yùn)算量空間中兩種基本運(yùn)算當(dāng)我們考慮到向當(dāng)我們考慮到向而言的而言的定的向量組定的向量組概念都是針對一個(gè)特概念都是針對一個(gè)特線性相關(guān)與線性無關(guān)的線性相關(guān)與線性無關(guān)的kkkkkkmmmm 一、向量組線性關(guān)系的判定. 0 ,0 ,;,;,.:221121 mmmkkkkkk才

59、才有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)指指的的是是當(dāng)當(dāng)且且僅僅所所謂謂不不存存在在該該向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)則則稱稱若若不不存存在在則則稱稱該該向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)若若存存在在關(guān)關(guān)與與線線性性無無關(guān)關(guān)的的概概念念然然而而然然地地提提出出了了線線性性相相也也就就自自這這樣樣存存在在或或不不存存在在答答案案只只有有兩兩種種.,:,?),(,們們往往往往采采用用反反證證法法我我時(shí)時(shí)在在論論證證某某些些相相關(guān)關(guān)性性問問題題據(jù)據(jù)此此立立的的概概念念一一對對排排中中對對線線性性相相關(guān)關(guān)與與線線性性無無關(guān)關(guān)是是應(yīng)應(yīng)注注意意到到還還此此外外可可由由其其余余向向量量線線性性表表出出意意一一個(gè)個(gè)向向量量不不是是任任即即看看

60、其其中中有有無無某某個(gè)個(gè)向向量量的的概概念念來來體體現(xiàn)現(xiàn)可可以以通通過過線線性性表表出出線線性性相相關(guān)關(guān)與與線線性性無無關(guān)關(guān)還還研究這類問題一般有兩個(gè)方法研究這類問題一般有兩個(gè)方法方法方法1 1從定義出發(fā)從定義出發(fā) 000, 0212222121121112211aaakaaakaaakkkkmnmmmnnmm 令令整理得線性方程組整理得線性方程組)(, 0, 0, 0221122221121221111 kakakakakakakakakammnnnmmmm.,)(.,)(2121線線性性相相關(guān)關(guān)則則有有非非零零解解若若線線性性方方程程組組線線性性無無關(guān)關(guān)則則只只有有唯唯一一零零解解若若線線