1、*26.1.5用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式1.1.根據(jù)題目準(zhǔn)確分析已知條件根據(jù)題目準(zhǔn)確分析已知條件, ,確定二次函數(shù)的解析式確定二次函數(shù)的解析式.(.(重點(diǎn)重點(diǎn)) )2.2.利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.(.(重點(diǎn)重點(diǎn)) )一、二次函數(shù)的一般式一、二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)求解的關(guān)鍵是求出待定系數(shù)求解的關(guān)鍵是求出待定系數(shù)a,b,ca,b,c的值的值, ,方法是根據(jù)已知條件方法是根據(jù)已知條件, ,列出關(guān)于列出關(guān)于a,b,ca,b,c的的_,_,求出求出a,b,c,a,b,c,然后寫出二次函數(shù)解析式然后寫出二次函

2、數(shù)解析式. .方程組方程組二、二次函數(shù)的頂點(diǎn)式二、二次函數(shù)的頂點(diǎn)式拋物線拋物線頂點(diǎn)與對(duì)稱軸的位置頂點(diǎn)與對(duì)稱軸的位置y=axy=ax2 2頂點(diǎn)在頂點(diǎn)在_,_,對(duì)稱軸為對(duì)稱軸為_軸的拋物線軸的拋物線y=axy=ax2 2+k+k頂點(diǎn)在頂點(diǎn)在_軸軸, ,對(duì)稱軸為對(duì)稱軸為_軸的拋物線軸的拋物線y=a(x-h)y=a(x-h)2 2頂點(diǎn)在頂點(diǎn)在_軸軸, ,對(duì)稱軸平行于對(duì)稱軸平行于y y軸的拋物線軸的拋物線y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k 頂點(diǎn)為頂點(diǎn)為(_(_，_),_),對(duì)稱軸平行于對(duì)稱軸平行于y y軸的拋物線軸的拋物線原點(diǎn)原點(diǎn)y yy yy yx xh hk k ( (打打“”或或“”)

3、”)(1)(1)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)拋物線經(jīng)過原點(diǎn), ,則可設(shè)其解析式為則可設(shè)其解析式為y=axy=ax2 2. .( )( )(2)(2)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式, ,只要知道圖象上三個(gè)點(diǎn)的只要知道圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可坐標(biāo)即可. .( )( )(3)(3)拋物線拋物線y=a(x+h)y=a(x+h)2 2+k+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k).(h,k).( )( )(4)(4)若拋物線的頂點(diǎn)在直線若拋物線的頂點(diǎn)在直線y=xy=x上上, ,則可以設(shè)其解析式為則可以設(shè)其解析式為y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+h.+h.( )( )知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn) 1 1 利

4、用三點(diǎn)坐標(biāo)確定二次函數(shù)的一般式利用三點(diǎn)坐標(biāo)確定二次函數(shù)的一般式【例【例1 1】如圖如圖, ,拋物線拋物線y=xy=x2 2+bx+c+bx+c經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn), ,并與并與x x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)A(2,0).A(2,0).(1)(1)求此拋物線的解析式求此拋物線的解析式. .(2)(2)寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸. .(3)(3)若拋物線上有一點(diǎn)若拋物線上有一點(diǎn)B,B,且且S SOABOAB=3,=3,求點(diǎn)求點(diǎn)B B的坐標(biāo)的坐標(biāo). .【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】(1)(1)把把(0,0),(2,0)(0,0),(2,0)代入解析式代入解析式b,cb,c的值的值拋物拋物線解析式

5、線解析式. .(2)(2)配方成頂點(diǎn)式配方成頂點(diǎn)式頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸. .(3)(3)OABOAB的面積的面積點(diǎn)點(diǎn)B B的縱坐標(biāo)的縱坐標(biāo)代入拋物線解析式代入拋物線解析式點(diǎn)點(diǎn)B B的橫的橫坐標(biāo)坐標(biāo)點(diǎn)點(diǎn)B B的坐標(biāo)的坐標(biāo). .【自主解答】【自主解答】(1)(1)把把(0,0),(2,0)(0,0),(2,0)代入代入y=xy=x2 2+bx+c,+bx+c,得得 解得解得解析式為解析式為y=xy=x2 2-2x.-2x.(2)y=x(2)y=x2 2-2x=(x-1)-2x=(x-1)2 2-1,-1,頂點(diǎn)為頂點(diǎn)為(1,-1),(1,-1),對(duì)稱軸為直線對(duì)稱軸為直線x=1.x=1.c

6、042b0，b2c0 ，(3)(3)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)B B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(a,b),(a,b),則則 2|b|=3,2|b|=3,b=3b=3或或b=-3.b=-3.頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為-1,-3-1(-1,-3-1(或或x x2 2-2x=-3-2x=-3時(shí)時(shí),x,x無解無解),b=3,),b=3,xx2 2-2x=3,-2x=3,解得解得x x1 1=3,x=3,x2 2=-1,=-1,點(diǎn)點(diǎn)B B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3,3)(3,3)或或(-1,3).(-1,3).12【總結(jié)提升】【總結(jié)提升】確定二次函數(shù)一般式的四步驟確定二次函數(shù)一般式的四步驟1.1.設(shè)設(shè): :設(shè)二次函數(shù)解析式為設(shè)二次函數(shù)解析

7、式為y=axy=ax2 2+bx+c(a0).+bx+c(a0).2.2.列列: :根據(jù)題意列方程組根據(jù)題意列方程組. .3.3.解解: :解方程組解方程組. .4.4.定定: :確定二次函數(shù)解析式確定二次函數(shù)解析式. .知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn) 2 2 利用頂點(diǎn)式確定二次函數(shù)解析式利用頂點(diǎn)式確定二次函數(shù)解析式【例【例2 2】(2013(2013安徽中考安徽中考) )已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),(1,-1),且過原點(diǎn)且過原點(diǎn)(0,0),(0,0),求該函數(shù)的解析式求該函數(shù)的解析式. .【解題探究】【解題探究】1.1.二次函數(shù)頂點(diǎn)式的形式是什么二次函數(shù)頂點(diǎn)式的形式是

8、什么? ?請(qǐng)根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)將題中二次請(qǐng)根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)將題中二次函數(shù)寫成頂點(diǎn)式的形式函數(shù)寫成頂點(diǎn)式的形式. .提示提示: :二次函數(shù)頂點(diǎn)式的形式為二次函數(shù)頂點(diǎn)式的形式為y=y=_. .題中二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是題中二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,-1),y(1,-1),y=_.=_.2.2.將原點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述解析式求得將原點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述解析式求得a a并寫出解析式并寫出解析式. .提示提示: :二次函數(shù)圖象過原點(diǎn)二次函數(shù)圖象過原點(diǎn),_=0,=0,解得解得a=a=_. .二次函數(shù)的解析式為二次函數(shù)的解析式為y y=_.=_.a(x-h)a(x-h)2 2+k(a0)+k(a0)a(x-1)a(x-

9、1)2 2-1-1a-1a-11 1(x-1)(x-1)2 2-1-1【互動(dòng)探究】【互動(dòng)探究】還可以用什么方法求該二次函數(shù)的解析式還可以用什么方法求該二次函數(shù)的解析式? ?提示提示: :根據(jù)頂點(diǎn)及對(duì)稱性根據(jù)頂點(diǎn)及對(duì)稱性, ,與與x x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0),(2,0),把這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入一般式求解把這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入一般式求解. .【總結(jié)提升】【總結(jié)提升】用頂點(diǎn)式求解析式的三種情況用頂點(diǎn)式求解析式的三種情況1.1.已知頂點(diǎn)坐標(biāo)已知頂點(diǎn)坐標(biāo). .2.2.已知對(duì)稱軸或頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)已知對(duì)稱軸或頂點(diǎn)的橫坐標(biāo). .3.3.已知二次函數(shù)的最大已知二次函數(shù)的最大( (小小)

10、 )值或頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)值或頂點(diǎn)的縱坐標(biāo). .題組一題組一: :利用三點(diǎn)坐標(biāo)確定二次函數(shù)的一般式利用三點(diǎn)坐標(biāo)確定二次函數(shù)的一般式1.1.若若y=axy=ax2 2+bx+c(a0),+bx+c(a0),則由表格中信息可知?jiǎng)t由表格中信息可知y y與與x x之間的函數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式是關(guān)系式是( () )A.y=xA.y=x2 2-4x+3-4x+3B.y=xB.y=x2 2-3x+4-3x+4C.y=xC.y=x2 2-3x+3-3x+3 D.y=x D.y=x2 2-4x+8-4x+8x x-1-10 01 1axax2 21 1axax2 2+bx+c+bx+c8 83 3【解析】【解析】選選A

11、.A.觀察表格可得方程組觀察表格可得方程組 解得解得即即y=xy=x2 2-4x+3.-4x+3.222a 11a1b1c8a 0b 0c3（）（），a1b4c3 2.2.已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=-2xy=-2x2 2, ,怎樣平移這個(gè)函數(shù)的圖象怎樣平移這個(gè)函數(shù)的圖象, ,才能使它經(jīng)才能使它經(jīng)過過(0,1)(0,1)和和(1,6)(1,6)兩點(diǎn)兩點(diǎn)? ?寫出平移后的函數(shù)解析式寫出平移后的函數(shù)解析式. .【解析】【解析】設(shè)設(shè)y=-2xy=-2x2 2+bx+c,+bx+c,把把(0,1),(1,6)(0,1),(1,6)代入代入, ,得得c=1,-2+b+c=6,c=1,-2+b+c=6,解

12、得解得b=7.b=7.平移后的函數(shù)解析式為平移后的函數(shù)解析式為y=-2xy=-2x2 2+7x+1.+7x+1.原拋物線的頂點(diǎn)為原拋物線的頂點(diǎn)為(0,0),(0,0),新拋物線的頂點(diǎn)為新拋物線的頂點(diǎn)為將原二次函數(shù)將原二次函數(shù)y=-2xy=-2x2 2的圖象先向右平移的圖象先向右平移 個(gè)單位個(gè)單位, ,再向上平移再向上平移 個(gè)單位個(gè)單位, ,可得可得y=-2xy=-2x2 2+7x+1+7x+1的圖象的圖象. .7 57( ,).48578743.3.二次函數(shù)圖象過二次函數(shù)圖象過A,C,BA,C,B三點(diǎn)三點(diǎn), ,點(diǎn)點(diǎn)A A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(-1,0),(-1,0),點(diǎn)點(diǎn)B B的坐標(biāo)的坐標(biāo)為為(4

13、,0),(4,0),點(diǎn)點(diǎn)C C在在y y軸正半軸上軸正半軸上, ,且且AB=OC.AB=OC.(1)(1)求點(diǎn)求點(diǎn)C C的坐標(biāo)的坐標(biāo). .(2)(2)求二次函數(shù)的解析式求二次函數(shù)的解析式. .【解析】【解析】（1 1）AA（-1-1，0 0），），B B（4 4，0 0）, ,AO=1AO=1，OB=4OB=4，AB=AO+OB=1+4=5AB=AO+OB=1+4=5，OC=5OC=5，即點(diǎn)，即點(diǎn)C C的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（0 0，5 5）. .（2 2）設(shè)圖象經(jīng)過）設(shè)圖象經(jīng)過A A，C C，B B三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a

14、0），由于這個(gè)函數(shù)圖象過點(diǎn)（），由于這個(gè)函數(shù)圖象過點(diǎn)（0 0，5 5），），可以得到可以得到c=5c=5，又由于該圖象過點(diǎn)（，又由于該圖象過點(diǎn)（-1-1，0 0），（），（4 4，0 0），），則則 解方程組，得解方程組，得所求的函數(shù)解析式為所求的函數(shù)解析式為y=- xy=- x2 2+ x+5.+ x+5.ab50,16a4b50,5a,415b,4 541544.4.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,30,3）, ,（-3,0-3,0）, ,（2,-52,-5），），且與且與x x軸交于軸交于A,BA,B兩點(diǎn)兩點(diǎn). .（1 1）試確定此二次函數(shù)的解析式）試確定此二次函

15、數(shù)的解析式. .（2 2）判斷點(diǎn)）判斷點(diǎn)P P（-2,3-2,3）是否在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上）是否在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上? ?如果在如果在, ,請(qǐng)求出請(qǐng)求出PABPAB的面積的面積; ;如果不在如果不在, ,試說明理由試說明理由. .【解析】【解析】（1 1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）, ,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,30,3）, ,（-3,0-3,0）, ,（2,-52,-5）, , 解得解得所以所以y=-xy=-x2 2-2x+3.-2x+3.（2 2）- -（-2-2）2 2-2-2（-2-2）+3

16、=-4+4+3=3,+3=-4+4+3=3,點(diǎn)點(diǎn)P P（-2,3-2,3）在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上）在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上. .令令-x-x2 2-2x+3=0,-2x+3=0,得得x x1 1=-3,x=-3,x2 2=1,=1,與與x x軸的交點(diǎn)為（軸的交點(diǎn)為（-3,0-3,0）, ,（1,01,0）. .S SPABPAB = = 4 43=6.3=6.c3,9a3bc0,4a2bc5, a1,b2,c3, 12題組二題組二: :利用頂點(diǎn)式確定二次函數(shù)解析式利用頂點(diǎn)式確定二次函數(shù)解析式1.1.下列二次函數(shù)中下列二次函數(shù)中, ,圖象以直線圖象以直線x=2x=2為對(duì)稱軸且經(jīng)過點(diǎn)為對(duì)稱軸且經(jīng)過點(diǎn)

17、(0,1)(0,1)的的是是( () )A.y=(x-2)A.y=(x-2)2 2+1 B.y=(x+2)+1 B.y=(x+2)2 2+1+1C.y=(x-2)C.y=(x-2)2 2-3-3 D.y=(x+2) D.y=(x+2)2 2-3-3【解析】【解析】選選C.C.根據(jù)以直線根據(jù)以直線x=2x=2為對(duì)稱軸可知選項(xiàng)為對(duì)稱軸可知選項(xiàng)A,CA,C符合符合, ,再根再根據(jù)圖象經(jīng)過點(diǎn)據(jù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1)(0,1)知選項(xiàng)知選項(xiàng)C C符合符合. .2.2.將拋物線將拋物線y=2xy=2x2 2-12x+16-12x+16繞它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)繞它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180180, ,所得拋物線所得拋物線的解析式是

18、的解析式是( () )A.y=-2xA.y=-2x2 2-12x+16-12x+16B.y=-2xB.y=-2x2 2+12x-16+12x-16C.y=-2xC.y=-2x2 2+12x-19+12x-19D.y=-2xD.y=-2x2 2+12x-20+12x-20【解析】【解析】選選D.y=2xD.y=2x2 2-12x+16=2(x-3)-12x+16=2(x-3)2 2-2,-2,所以其頂點(diǎn)坐標(biāo)為所以其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-2),(3,-2),旋轉(zhuǎn)后頂點(diǎn)不變旋轉(zhuǎn)后頂點(diǎn)不變, ,開口方向向下開口方向向下, ,所以其解析式為所以其解析式為y=y=-2(x-3)-2(x-3)2 2-2=-2x

19、-2=-2x2 2+12x-20.+12x-20.3.3.拋物線拋物線y = axy = ax2 2+bx+c+bx+c與與x x軸的交點(diǎn)為軸的交點(diǎn)為(-1,0),(3,0),(-1,0),(3,0),其形狀與其形狀與拋物線拋物線y=-2xy=-2x2 2相同相同, ,則拋物線的解析式為則拋物線的解析式為( () )A.y=-2xA.y=-2x2 2-x+3-x+3 B.y=-2x B.y=-2x2 2+4x+5+4x+5C.y=-2xC.y=-2x2 2+4x+8+4x+8 D.y=-2x D.y=-2x2 2+4x+6+4x+6【解析】【解析】選選D.D.由已知可設(shè)該拋物線的解析式為由已知

20、可設(shè)該拋物線的解析式為y=-2(x-h)y=-2(x-h)2 2+k,+k,當(dāng)當(dāng)x=-1x=-1時(shí)時(shí),y=-2(h+1),y=-2(h+1)2 2+k=-2h+k=-2h2 2-4h-2+k=0;-4h-2+k=0;當(dāng)當(dāng)x=3x=3時(shí)時(shí),y=-2(3-h),y=-2(3-h)2 2+k=-2h+k=-2h2 2+12h-18+k=0,+12h-18+k=0,可得可得16h-16=0,h=1,16h-16=0,h=1,即即-2-4-2+k=0,k=8,-2-4-2+k=0,k=8,因此有因此有y=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2+8,+8,即即y=-2xy=-2x2 2+4x+6.+4x+6.4.4.如圖如圖, ,已知拋物線的圖象如圖所示已知拋物線的圖象如圖所示, ,則該拋物線的解析式是