1、1第六章：期權(quán)定價(jià)的連續(xù)模型第一節(jié)連續(xù)時(shí)間股票模型第二節(jié)離散模型第三節(jié)連續(xù)模型的分析第四節(jié)Black-Scholes模型第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo)第六節(jié)看漲期權(quán)與看破跌期權(quán)平價(jià)第七節(jié)二叉樹模型和連續(xù)時(shí)間模型第八節(jié)幾何布朗運(yùn)動(dòng)股價(jià)模型應(yīng)用的注意事項(xiàng)2022-3-232 保羅薩繆爾森在1965年首次提出： ttttdSS dtS dB（5-1）tSttB股票在時(shí)刻的價(jià)格常量服從布朗運(yùn)動(dòng)。 其中：31826年英國植物學(xué)家布朗（1773-1858）用顯微鏡觀察懸浮在水中的花粉時(shí)發(fā)現(xiàn)的。后來把懸浮微粒的這種運(yùn)動(dòng)叫做布朗運(yùn)動(dòng)布朗運(yùn)動(dòng)。 2022-3-234 S Tt10tSeS1tkkSe

2、S若表示 T 時(shí)刻的股價(jià)則根據(jù)二叉樹模型，在一個(gè)給定時(shí)間間隔2022-3-235Tk t 0k tkSeS 0TkS TSeS于是令Tk t 這表明k個(gè)小時(shí)間段的共同影響等同于相應(yīng)大時(shí)間段的影響。2022-3-236上式是下列微分方程的解：dSSdt0( )TS TeS（5-2）2022-3-2371(0,1)ZNc在式（5-1）中，如果令0即可得到上述微分方程，這是一個(gè)確定性的公式。然而，股價(jià)并不具有公式（5-2）所示的可預(yù)測性和確定性。令隨機(jī)變量(0,1)ZN定義110cZtSeeS其中，為常數(shù)2022-3-2381kcZtkkSeeS23,kSSS,(0,1),1,2,iiZ iid Z

3、Nik于是，可得股價(jià)序列即設(shè)（5-3）2022-3-239于是得： 10kiicZk tkSeeS（5-4）與式（5-2）相比有什么特點(diǎn)？包含了隨機(jī)項(xiàng)，因此更接近實(shí)際！2022-3-2310terkiicZete該模型有一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，包含了隨機(jī)變量；但存在一個(gè)不足之處，即有兩個(gè)不確定項(xiàng)。第一個(gè)漂移項(xiàng)來自中的，其作用類似于債券第二個(gè)漂移項(xiàng)來自于當(dāng)然希望期望的所有的漂移來自于一個(gè)方面，即和貨幣基金市場中的利率2022-3-23111S21/210cZctSeeS為能對(duì)模型進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變換，并對(duì)不確定性進(jìn)行合并。對(duì)進(jìn)行重新定義：為什么？2022-3-23122exp(/2)1EcZc 10tE SeS于

4、是22ccZE ee 隨機(jī)變量Z 的一個(gè)重要等式（5-5）第二個(gè)因素表示的隨機(jī)變量的漂移率為零2022-3-23131kkiiWZ0,kWNk若令：則：,0,1 ,1,2,iiZ iidZNik且因?yàn)椋?1/20kiicZkck tkSeeS進(jìn)一步2022-3-23140Sk tekcWe2/2kce式（5-6）的分析：股票的初始價(jià)格；漂移因子（復(fù)利因子）；隨機(jī)因子；修正因子。2/20kcWk tkckSeeeS則（5-6）2022-3-231521/210cWtcSeeeS1S特別注意：模型（5-6）盡管也是一種離散模型，但比二叉樹模型具有更豐富的意義。因?yàn)樵试S取任何正值為什么？2022-3

5、-231621exp(/2)1EcWc10tSeS 當(dāng)時(shí)是否否！1702004006008001000120000.511.522.533.544.501,0.10,0.40,1Sct 180510152025303540455000.511.522.533.542022-3-2319 式（5-6）中將時(shí)間分成小的增量，并考慮步運(yùn)行的影響，一段固定的時(shí)間 可以分成許多小時(shí)間段。 事實(shí)上，針對(duì)同樣的時(shí)間，可以分成不同的個(gè)區(qū)間。 應(yīng)該注意到：隨著的增加，的方差 會(huì)增加。為了使得的總方差獨(dú)立于，需要對(duì)常量 隨 進(jìn)行調(diào)整。tkTk t TkkkWkkcWkkc2022-3-2320可以在和之間建立一個(gè)

6、關(guān)系式，使得的方差等于kcW2Tkc即令：222()()kkVar cWc Var Wc kT于是式（5-6）2/20TWTTTSS eee其中(0, )TWNT2022-3-2321對(duì)數(shù)正態(tài)模型（對(duì)數(shù)正態(tài)模型（為什么？為什么？） 2/20TWTTSS e （5-7）：表明長期趨勢；：表明波動(dòng)率。這兩個(gè)參數(shù)如何影響股價(jià)？220204060801001201401600.70.80.911.11.21.31.402040608010012014016002468100204060801001201401600.811.21.41.61.8202040608010012014016011.21.4

7、1.61.822.22.40,10,0.50.5,11,12311.11.21.31.41.51.61.71.81.9200.511.522.5311.11.21.31.41.51.61.71.81.92012345611.11.21.31.41.51.61.71.81.920123411.11.21.31.41.51.61.71.81.9202468102022-3-232420exp/2ttSSBt（5-8）式中，), 0(tNBt由此得到的就是股價(jià)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型（GBM）。方程（5-1）的解（幾何布朗運(yùn)動(dòng)）式（5-8）與具有連續(xù)時(shí)間變量T的離散模型（5-7）相同。方程（5-1）是一個(gè)

8、SDE，一般SDE沒有簡潔的封閉形式的解。2022-3-2325tBSStt2ln20ttNtBt222,22特別注意：目的：對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)2022-3-2326波動(dòng)率漂移率t(0,1, )i iniS幾何布朗運(yùn)動(dòng)參數(shù)估計(jì)：思路：用樣本均值和方差來代替總體的均值和方差若已知在一段較長時(shí)間0,T內(nèi)的股價(jià)數(shù)據(jù) ，這段時(shí)間由n個(gè)長度相等的子區(qū)間所構(gòu)成，如果已知第個(gè)子區(qū)間末的股價(jià)，則樣本觀測值有n+12022-3-2327 iiiSSUlnln112/2iiittUBBt計(jì)算時(shí)間序列值：由于（5-9）第一步第一步2022-3-232811,0,iiiittttBB iidBBNt且 22/2E UtV

9、ar Ut應(yīng)該注意到：于是，理論上2022-3-2329樣本均值：niiUnU11樣本方差：niiUUnS12211Ut2/2t2根據(jù)式（5-9）的觀測值的均值為方差為。第二步2022-3-2330解方程： 2/222tStU得 /2/2tStSU第三步2022-3-2331 一般經(jīng)驗(yàn)法則是設(shè)定度量波動(dòng)率的時(shí)期等于將應(yīng)用波動(dòng)率所對(duì)應(yīng)的時(shí)期。 2022-3-2332習(xí)題：以下是包鋼股票2007年3月20日到2007年3月23日半小時(shí)價(jià)，請(qǐng)以天為時(shí)間單位計(jì)算。和3月20日3月21日3月22日3月23日5.225.275.35.65.185.225.285.685.25.295.315.695.25

10、5.265.435.695.245.275.465.675.245.275.465.615.245.275.535.685.245.265.565.682022-3-2333假設(shè)：假設(shè)：證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即和和為常數(shù)；為常數(shù)；允許賣空；允許賣空；沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的；沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的；在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付；在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付；不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的；證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的；在衍生證券有效期內(nèi)，無

11、風(fēng)險(xiǎn)利率在衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)。為常數(shù)。歐式期權(quán)，股票期權(quán)，看漲期權(quán)歐式期權(quán)，股票期權(quán)，看漲期權(quán) 2022-3-23340SV( )N xX由Black-Scholes公式，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格210dNXedNSVr（5-10） xXPxN式中股票現(xiàn)價(jià)期權(quán)價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格距離到期的時(shí)間2022-3-233520121ln/2 SXrddd 是否注意到，這一公式中沒有出現(xiàn)漂移率： 參數(shù)是投資者在短時(shí)間后獲得的預(yù)期收益率，依附于某種股票的衍生證券的價(jià)值一般獨(dú)立于。 參數(shù)是股票價(jià)格波動(dòng)率。2022-3-2336Black-Scholes定價(jià)系統(tǒng)在完全市場中得到期權(quán)價(jià)

12、格與漂移率無關(guān)，被稱為風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法，無套利是這種定價(jià)的基本假設(shè)。 Black-Scholes方程的結(jié)果認(rèn)為，由于在方程中消掉了漂移項(xiàng)，而漂移項(xiàng)代表人們對(duì)證券價(jià)格未來變化的預(yù)期，也即證券的風(fēng)險(xiǎn)期望收益率。因此，這意味著期權(quán)的價(jià)格與人們對(duì)證券價(jià)格未來變化的預(yù)測無關(guān)，投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好并不影響期權(quán)價(jià)格。2022-3-2337從BS微分方程中我們可以發(fā)現(xiàn)：衍生證券的價(jià)值決定公式中出現(xiàn)的變量為標(biāo)的證券當(dāng)前市價(jià)（S）、時(shí)間（t）、證券價(jià)格的波動(dòng)率（）和無風(fēng)險(xiǎn)利率r，它們?nèi)际强陀^變量，獨(dú)立于主觀變量風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。而受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。由此我們可

13、以利用BS公式得到的結(jié)論，作出一個(gè)可以大大簡化我們的工作的風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)：在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。2022-3-2338所謂風(fēng)險(xiǎn)中性，即無論實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)如何，投資者都只要求無風(fēng)險(xiǎn)利率回報(bào)。風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)的結(jié)果：投資者進(jìn)入了一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險(xiǎn)利率所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。盡管風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了求解布萊克舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但BS發(fā)現(xiàn)，通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。也就是說，我們在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中得到的期權(quán)結(jié)論，適合于現(xiàn)實(shí)世界。2022-3-2339應(yīng)該注

14、意的是：實(shí)際期權(quán)交易中，很多看漲期權(quán)是通過競價(jià)市場而非理論公式定價(jià)。2022-3-2340習(xí)題：若某日某股票的相關(guān)數(shù)據(jù)如下，求V0801000.80.050.29SXr2022-3-2341一、修正的模型主要思路：讓模型定價(jià)等于市價(jià)rbeaS 資產(chǎn)組合：a股價(jià)格為S0的股票現(xiàn)金b則投資額為：baS 00 （5-11）經(jīng)過時(shí)間后，投資的資金將變?yōu)椋?022-3-2342bSaeerr00aSSaeerr00SSeaerr（5-12）用無風(fēng)險(xiǎn)利率r 貼現(xiàn)得于是2022-3-234300SSeEr00reE對(duì)式（5-12）兩邊求期望，則如果下列條件成立則 （5-13）Eer0 （5-14）由此，即使

15、a值變化，上式總是成立。2022-3-2344SSS采用股價(jià)模型代替真正股價(jià)，方差保持不變 ，且滿足下式0rSeE SEer0于是對(duì)于任何用來復(fù)制的投資組合，存在下式現(xiàn)在的問題是，是否存在這樣的？2022-3-2345如果令mBeSS0 （5-15）于是000rBmrSeE SSeE S e2022-3-2346()1Bm rE e2/2mr即為什么？2/02rBeSS因此，修正的股價(jià)模型為： （5-16）2022-3-2347 修正模型看上去與GBM模型非常接近，但其與股價(jià)模型是完全不同的模型，因?yàn)樵撃Ｐ椭泄蓛r(jià)的增長率被人為設(shè)低了。2022-3-2348二、期望值對(duì)歐式看漲期權(quán)：2/20TB

16、rTTSS eXSEeVTrT將式（5-16）代入得2022-3-2349TrZTTeSS2/02(0,1)ZNTTZB代替2/20TZrTrTVeES eX若則用于是2022-3-2350dxeXTrxTSeVxrT22022/exp2根據(jù)期望的概念如何求積分？2022-3-2351三、兩個(gè)積分20exp/20STxrTX200ln2XrTSxT由求得2022-3-235220220exp/22xrTxeVSTxrTXedx202001(1()()2xxXedxXN xXNx 將上述積分展開成兩部分第二部分2022-3-2353202201exp22xxSTxrT edx202201expe

17、xp22xxSrTTx edx022201expexp2222xxTTSrTdx第一部分2022-3-2354Txy變量代換，則 022022221exp22212xTyxTxTTdxeedx2201TeN xT2022-3-2355所以積分式的第二項(xiàng)等于00rTSe NxT000012rTrTVS NxTXeNxS N dXeN d將上述第一項(xiàng)和第二項(xiàng)的結(jié)果代入，得2022-3-2356201202ln2ln2SrTXdTSrTXdT其中2022-3-2357金融產(chǎn)品今天的價(jià)值，應(yīng)該等于未來收入的貼現(xiàn)： 其中，由于風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)， E是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望值。所有的利率都使用無風(fēng)險(xiǎn)利率：包括期

18、望值的貼現(xiàn)率和對(duì)數(shù)正態(tài)分布中的期望收益率。 要求解這個(gè)方程，關(guān)鍵在于到期的股票價(jià)格ST，我們知道它服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，且其中所有的利率應(yīng)用無風(fēng)險(xiǎn)利率，因此，()max(,0)r T tTceESX2ln ln()(),2TSSrTtTt2022-3-2358上式的右邊求值是一個(gè)積分過程，求得：N（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù)（即這個(gè)變量小于x的概率）。這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式 21221ln( /)(/2)()ln( /)(/2)()S XrTtdTtS XrTtddTtTt()12()()r T tcSN dXeN d2022-3-2359 首先，N(d2)是在風(fēng)險(xiǎn)中

19、性世界中ST大于X的概率，或者說是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。因此，這個(gè)公式就是未來收益期望值的貼現(xiàn)。2022-3-2360其次， 是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。最后，從金融工程的角度來看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成資產(chǎn)或無價(jià)值看漲期權(quán)（Asset-or-noting call option）多頭和現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)（cash-or-nothing option）空頭，SN(

20、d1)是資產(chǎn)或無價(jià)值看漲期權(quán)的價(jià)值， -e-r(T-t)XN(d2)是X份現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)空頭的價(jià)值。 )(1dN2022-3-2361資產(chǎn)或無價(jià)值看漲期權(quán)：如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期時(shí)低于執(zhí)行價(jià)格，該期權(quán)沒有價(jià)值；如果高于執(zhí)行價(jià)格，則該期權(quán)支付一個(gè)等于資產(chǎn)價(jià)格本身的金額，因此該期權(quán)的價(jià)值為e-r(T-t)STN(d1)= SN(d1)現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)：如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期時(shí)低于執(zhí)行價(jià)格，該期權(quán)沒有價(jià)值；如果高于執(zhí)行價(jià)格，則該期權(quán)支付1元， 由于期權(quán)到期時(shí)價(jià)格超過執(zhí)行價(jià)格的概率為N(d2) ，1份現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)的現(xiàn)值為-e-r(T-t)N(d2) 。2022-3-2362歐式看漲期

21、權(quán)的價(jià)格與歐式看跌期權(quán)的價(jià)格有關(guān)若賣空一份帶拋補(bǔ)的看漲期權(quán)以S 的價(jià)格買入一股股票以C 的價(jià)格賣出一份看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)為X同時(shí)又買了一份價(jià)格為P 的看跌期權(quán)，執(zhí)行價(jià)為X（到期時(shí)間和執(zhí)行價(jià)與看漲期權(quán)相同）2022-3-2363,SXSX若則到期收益為X若則到期收益為XCPS頭寸的成本XeCPSrrCPSeX則當(dāng)期于是2022-3-2364rPCSeX,rPCSeXSPC如果則通過買賣存在套利機(jī)會(huì) XeSdXNedSNPrr2121dXNedSNPr 對(duì)于具有與歐式看漲期權(quán)定價(jià)相同參數(shù)的歐式看跌期權(quán)定價(jià)平價(jià)公式將歐式看漲期權(quán)定價(jià)的Black-Scholes公式代入，得：即2022-3-236520

22、22-3-2366 :ecepacacYYYY歐式看漲期權(quán)的價(jià)格過程歐式看跌期權(quán)的價(jià)格過程記號(hào)美式看漲期權(quán)的價(jià)格過程美式看跌期權(quán)的價(jià)格過程附：期權(quán)的簡單特征2022-3-2367 0, 0, 0,eacceappYtYttTYtYt 命題1:對(duì)于0,T 上具有相同執(zhí)行價(jià)格q的歐式和美式期權(quán)，存在附：期權(quán)的簡單特征2022-3-2368 , 0, , ,r T teecpaacpYtS tYtqetTYtS tYtq命題2:若在0,T 上，相應(yīng)的股票無紅利配發(fā)，則存在：附：期權(quán)的簡單特征2022-3-2369 , 0, ,r T tecr T tepYtS tqetTYtqeS t命題3:若在0

23、,T 上，相應(yīng)的股票無紅利配發(fā)，則存在：附：期權(quán)的簡單特征2022-3-2370 ,0, ) , 0, r T tacapYtS tqetTYtqS ttT命題4:若在0,T 上，相應(yīng)的股票無紅利配發(fā)，則存在：附：期權(quán)的簡單特征2022-3-2371 eaccYtYt推論1:若在0,T 上，相應(yīng)的股票無紅利配發(fā)，則美式看漲期權(quán)不應(yīng)提前執(zhí)行。推論2:若在0,T 上，相應(yīng)的股票無紅利配發(fā)，對(duì)于相同執(zhí)行價(jià)格和相同到期日的美式和歐式看漲期權(quán)存在：附：期權(quán)的簡單特征2022-3-2372T 1r TSqe命題5:在0,T 上，相應(yīng)的股票無紅利配發(fā)，如果在美式看跌期權(quán)有效的有效期內(nèi)的某個(gè)存在則該美式看跌期

24、權(quán)應(yīng)該在時(shí)刻執(zhí)行。附：期權(quán)的簡單特征2022-3-2373 r T teecpYtqeYtS t命題6:若在0,T 上，相應(yīng)的股票無紅利配發(fā)，則歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格滿足：習(xí)題:若看漲和看跌期權(quán)的行權(quán)價(jià)不同，則這一關(guān)系該如何表達(dá)？附：期權(quán)的簡單特征2022-3-2374 r T taacpS tqYtYtS tqe命題7:若在0,T 上，相應(yīng)的股票無紅利配發(fā)，則美式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格滿足：附：期權(quán)的簡單特征2022-3-2375 , 00, ,kkr ttkt tskr T tecr T tr T tepr T teecpD t sD etsTtTttS tD t TqeYtS tD t

25、TD t TqeS tYtqeYtYtS tD t Tqe 當(dāng),則對(duì)于歐式看漲和看跌期權(quán),存在命題8:若在0,T 上，相應(yīng)的股票有紅利配發(fā)，記：附：期權(quán)的簡單特征2022-3-2376 , 0, ,max,krtact Tr T tapr T taacptTttS tD tqeYtS tD t TD t TqeS tYtqS tD t TqYtYtS tqe當(dāng),則對(duì)于美式看漲和看跌期權(quán),存在附：期權(quán)的簡單特征2022-3-2377111 , 0,11, 1,kkkr ttkt tsiijjjr s tr skk inD t sD etsTt tst tijnsTD eq est 則:(1)如果

26、對(duì)于或存在則對(duì)應(yīng)的美式看漲期權(quán)與其在時(shí)刻 執(zhí)行,不如在更早的時(shí)刻 執(zhí)行.特別地 若(), 1,.nnr T tr T tnnTTD eq eTt即時(shí)刻 不是付息日 且存在則與其在時(shí)刻 執(zhí)行 不如在 之前的瞬間執(zhí)行命題9:若標(biāo)的股票在0,T 上的，相應(yīng)的股票有紅利配發(fā)，記：附：期權(quán)的簡單特征2022-3-2378111,11, 1,(), 1knniijjjr s tr skk inr T tr T tnt tst tijnsTD eq estTTD eq et (2)如果對(duì)于或存在則對(duì)應(yīng)的美式看跌期權(quán)與其在時(shí)刻 執(zhí)行,不如在更晚的時(shí)刻 執(zhí)行.特別地 若即時(shí)刻 不是付息日 且存在則與其在時(shí)刻,.nT之前的瞬間執(zhí)行 不如在到期時(shí)刻 執(zhí)行附：期權(quán)的簡單特征2022-3-237912122112, 0eecceeccYqYqqqYqYqqq命題10:對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)相同,到期日相同的兩份歐式看漲期權(quán)和若則12121212, 0eeppeeppYqYqqqYqYqqq命題11:對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)相同,到期日相同的兩份歐式看跌期權(quán)和若則附：期權(quán)的簡單特征2022-3-2380 12121212() ,1-, 01 , 1 1eecpeeec