1、1根軌跡及其用根軌跡及其用第第7 7次次電子信箱：電子信箱：手手 機(jī)：機(jī)q根軌跡的根是閉環(huán)特征根根軌跡的根是閉環(huán)特征根q軌跡是閉環(huán)特征根隨著參數(shù)變化而變軌跡是閉環(huán)特征根隨著參數(shù)變化而變化的軌跡！化的軌跡！) 1()()(ssKsHsGKssK) s (R) s (C) s (20Kss) s (D2Ks4121212, 14/1K2/121 ss01s1s2K K0 0時(shí)時(shí)4/10 K兩個(gè)負(fù)實(shí)根兩個(gè)負(fù)實(shí)根K K值增加值增加相對靠近移動相對靠近移動離開負(fù)實(shí)軸，分別離開負(fù)實(shí)軸，分別s=-1/2 s=-1/2 直線向上和向下移動。直線向上和向下移動。 K4/1一對共軛復(fù)根一

2、對共軛復(fù)根從根軌跡看系統(tǒng)的動態(tài)性能從根軌跡看系統(tǒng)的動態(tài)性能q是否有是否有考察系統(tǒng)是否考察系統(tǒng)是否q主導(dǎo)極點(diǎn)的主導(dǎo)極點(diǎn)的觀察觀察，主導(dǎo)極點(diǎn)，主導(dǎo)極點(diǎn)離虛軸距離考察離虛軸距離考察從根軌跡看系統(tǒng)的穩(wěn)定性從根軌跡看系統(tǒng)的穩(wěn)定性根軌跡是否進(jìn)入根軌跡是否進(jìn)入s平面的右半平面？平面的右半平面？從根軌跡看系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能從根軌跡看系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能系統(tǒng)的型號？系統(tǒng)的型號？0) s (H) s (G1) s (D1) s (H) s (G根軌跡方程根軌跡方程mm個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn)n n個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn)（n n mm）1)ps ()zs (K) s (H) s (Gn1iim1ii1pszsKn1iim1ii幅值條件幅值條件1

3、1）幅值條件不但與開環(huán)零、極點(diǎn)）幅值條件不但與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)，還與開環(huán)根軌跡增益有關(guān)；有關(guān)，還與開環(huán)根軌跡增益有關(guān)；2 2）必要條件）必要條件n1iim1ii) 1k2()ps ()zs (幅角條件（幅角條件（k k=0,1,2, =0,1,2, ） 1 1）幅角條件只與開環(huán)零、極點(diǎn)）幅角條件只與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)有關(guān)2 2）充要條件）充要條件根軌跡方程就是閉環(huán)特征方程！根軌跡方程就是閉環(huán)特征方程！凡是滿足幅角條件的點(diǎn)凡是滿足幅角條件的點(diǎn)一定是根軌跡上的點(diǎn)！一定是根軌跡上的點(diǎn)！n1iim1ii) 1k2 ()ps ()zs (幅角條件（幅角條件（k k=0,1,2, =0,1,2, ） p1p

4、21()s p 2()s p S1S211ssK幅值條件幅值條件2sK K2 2幅值條幅值條件成立件成立！不是根軌跡上的一點(diǎn)不是根軌跡上的一點(diǎn)27212, 1js根軌跡上的一點(diǎn)根軌跡上的一點(diǎn) S S平面上的某一點(diǎn)平面上的某一點(diǎn)s s是根軌跡上的點(diǎn)，則幅值是根軌跡上的點(diǎn)，則幅值條件條件成成立；立；S S平面上的任一點(diǎn)平面上的任一點(diǎn)s s滿足幅值條件，該點(diǎn)卻滿足幅值條件，該點(diǎn)卻不一定不一定是是根軌跡上的點(diǎn)。根軌跡上的點(diǎn)。幅值條件是必要條件幅值條件是必要條件)js)(js)(T/1s ( s)/1s (K) 1sT2sT)(1sT( s) 1s(K) s (H) s (Gdndn122221221T

5、T/KK2nT/122dT112T/1pdn4, 3jp/11z)()ps ()zs ()s (H)s (G432141i1i11ii11開環(huán)極點(diǎn)（開環(huán)極點(diǎn)（“”）p p1 1=0=0開環(huán)零點(diǎn)（開環(huán)零點(diǎn)（“”）! !幅角均以反時(shí)針方向進(jìn)行。幅角均以反時(shí)針方向進(jìn)行。如果幅角條件成立，則如果幅角條件成立，則s s1 1即根軌跡上的一個(gè)點(diǎn)。即根軌跡上的一個(gè)點(diǎn)。 1 1開開環(huán)零點(diǎn)至環(huán)零點(diǎn)至s s1 1的幅角的幅角 1 1、 2 2、 3 3、 4 4：開環(huán)：開環(huán)極點(diǎn)至極點(diǎn)至s s1 1的幅角。的幅角。由幅值條件由幅值條件114131211zspspspssKq1iif1iiG222221222221G

6、)ps ()zs (K) 1sTsT)(1sT(s) 1ss)(1s(K) s (G前向通道根軌跡增益前向通道根軌跡增益221221TTKKGGh1jjl1jjH)ps ()zs (K) s (H反饋通道根軌跡增益反饋通道根軌跡增益前向通道增益前向通道增益h1jjl1jjq1iif1ii)ps ()zs ()ps ()zs (K) s (H) s (GHGKKK izjzipjp開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益前向通道零點(diǎn)前向通道零點(diǎn)反饋通道零點(diǎn)反饋通道零點(diǎn)前向通道極點(diǎn)前向通道極點(diǎn)反饋通道極點(diǎn)反饋通道極點(diǎn)f1il1jjiq1ih1jjif1ih1jjiG)zs ()zs (K)ps ()p

7、s ()ps ()zs (K) s (H) s (G1) s (G) s (mm個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn)(m=f + l )(m=f + l )n n個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn)(n= q + h) (n= q + h) mm個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn)(m=f + l )(m=f + l )n n個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn)(n= q + h)(n= q + h)filjjiqihjjifihjjiGzszsKpspspszsKs111111)()()()()()()(3 3）閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益）閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益= =開環(huán)系統(tǒng)前向通道的根軌跡增益。開環(huán)系統(tǒng)前向通道的根軌跡增益。1 1）閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)）閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)= =前向通道的零點(diǎn)前向通道的零點(diǎn)

8、+ +反饋通道的極點(diǎn)；反饋通道的極點(diǎn)；2 2）閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)與開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)、零點(diǎn)以及根軌跡）閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)與開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)、零點(diǎn)以及根軌跡 增益均有關(guān)；增益均有關(guān)； ！根軌跡法：由開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，不通過！根軌跡法：由開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，不通過解閉環(huán)特征方程找出閉環(huán)極點(diǎn)。解閉環(huán)特征方程找出閉環(huán)極點(diǎn)。單位反饋系統(tǒng)單位反饋系統(tǒng)（1 1）閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益就等于開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益；）閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益就等于開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益；（2 2）閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)就是開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)。）閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)就是開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)。HGKKK 一、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)一、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)二、根軌跡分支數(shù)二、根軌

9、跡分支數(shù)三、根軌跡的連續(xù)性和對稱性三、根軌跡的連續(xù)性和對稱性四、實(shí)軸上的根軌跡四、實(shí)軸上的根軌跡五、根軌跡的漸近線五、根軌跡的漸近線六、根軌跡的分離點(diǎn)六、根軌跡的分離點(diǎn) 七、根軌跡的起始角和終止角七、根軌跡的起始角和終止角八、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)八、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)九、閉環(huán)特征方程根之和與根之積九、閉環(huán)特征方程根之和與根之積根軌跡起始于開環(huán)極根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)幅值條件幅值條件miiniizspsK110Ks s值必須趨近于值必須趨近于某個(gè)開環(huán)極點(diǎn)某個(gè)開環(huán)極點(diǎn)根軌跡起始于根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)開環(huán)極點(diǎn)Ks s值必須趨近于值必須趨近于某個(gè)開環(huán)零點(diǎn)某個(gè)開環(huán)零點(diǎn)根軌跡

10、終止于根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)開環(huán)零點(diǎn)n n階系統(tǒng)，根軌跡有階系統(tǒng)，根軌跡有n n個(gè)起始點(diǎn)，個(gè)起始點(diǎn)，系統(tǒng)根軌跡有系統(tǒng)根軌跡有n n個(gè)分支個(gè)分支2 2）實(shí)際物理系統(tǒng)，開環(huán)極點(diǎn)一般多于開環(huán)零點(diǎn)，）實(shí)際物理系統(tǒng)，開環(huán)極點(diǎn)一般多于開環(huán)零點(diǎn)， 即即 n n mm。 mm條終止于開環(huán)零點(diǎn)（有限值零點(diǎn)條終止于開環(huán)零點(diǎn)（有限值零點(diǎn)) )；（n nmm）條根軌跡分支終止于（）條根軌跡分支終止于（n nmm）個(gè)無）個(gè)無限遠(yuǎn)零點(diǎn)。限遠(yuǎn)零點(diǎn)。1 1）系統(tǒng)特征方程的階次為）系統(tǒng)特征方程的階次為n n次次特征方程有特征方程有n n個(gè)根個(gè)根 K K變化變化( (0 0到到 ),),n n個(gè)根隨著變化個(gè)根隨著變化n n條根軌跡

11、。條根軌跡。幾階系統(tǒng)？幾階系統(tǒng)？幾條根軌跡？幾條根軌跡？從哪里出發(fā)？從哪里出發(fā)？終止于何處？終止于何處？根軌跡是連續(xù)曲線，且對稱于實(shí)軸。根軌跡是連續(xù)曲線，且對稱于實(shí)軸。閉環(huán)特征方程的根在開環(huán)零極點(diǎn)已定的情況下閉環(huán)特征方程的根在開環(huán)零極點(diǎn)已定的情況下：各根分別是各根分別是K K的連續(xù)函數(shù)；的連續(xù)函數(shù)；特征方程的根為實(shí)根或共軛復(fù)數(shù)根。特征方程的根為實(shí)根或共軛復(fù)數(shù)根。僅需先畫出僅需先畫出S S平面上半平面上半部和實(shí)軸上的根軌跡，部和實(shí)軸上的根軌跡，下半部由鏡象求得。下半部由鏡象求得。如果實(shí)軸上某一區(qū)段的右邊的實(shí)數(shù)開如果實(shí)軸上某一區(qū)段的右邊的實(shí)數(shù)開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為

12、奇數(shù)，則該區(qū)段實(shí)軸必是根軌跡。區(qū)段實(shí)軸必是根軌跡。51ii11ii11)ps ()zs ()s (H)s (G180) 12()()(11ksHsG開環(huán)零點(diǎn)：開環(huán)零點(diǎn)：z z1 1開環(huán)極點(diǎn)：開環(huán)極點(diǎn)：p p1 1、p p2 2、p p3 3、p p4 4、p p5 5每對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)所提供每對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)所提供的幅角之和為的幅角之和為360360；s s1 1左邊所有位于實(shí)軸上的每一個(gè)極點(diǎn)或零點(diǎn)所提供的幅角為左邊所有位于實(shí)軸上的每一個(gè)極點(diǎn)或零點(diǎn)所提供的幅角為0 0。s s1 1右邊所有位于實(shí)軸上的每一個(gè)極右邊所有位于實(shí)軸上的每一個(gè)極點(diǎn)或零點(diǎn)所提供的幅角為點(diǎn)或零點(diǎn)所提供的幅角為180180； ？

13、已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定實(shí)軸上的根軌跡。已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定實(shí)軸上的根軌跡。22)3s)(2s (s)6s)(4s)(1s (K) s (G-1-1，-2 -2 右側(cè)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù)右側(cè)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù)=3=3。-4-4，-6 -6 右側(cè)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù)右側(cè)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù)=7=7。654321oj平面s表示兩重極點(diǎn)根軌跡根軌跡的漸近線的漸近線mnka180) 12(mnzpm1iin1iia沿著沿著漸近線漸近線趨于無限遠(yuǎn)處，趨于無限遠(yuǎn)處，漸近線也對稱于實(shí)軸（包括與實(shí)軸重合）。漸近線也對稱于實(shí)軸（包括與實(shí)軸重合）。漸近線與實(shí)軸的傾角（漸近線與實(shí)軸的傾角（k=k=0 0，1 1，2 2，） ：漸

14、近線與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值：漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值：1)()()()(111111nniinmmiimniimiispsszsKpszsKsHsG證明證明1111Kszsspsmmiimnniin長除法長除法111KszpsmnmiiniimnKK時(shí)，時(shí)，s s，取前兩項(xiàng)，取前兩項(xiàng)改寫為模和相角的形式改寫為模和相角的形式)12(111kjmnmiiniimneKszps兩邊開（兩邊開（n nmm）次方）次方mnkjmnmnmiiniieKszps)12(11111牛頓二項(xiàng)式定理展開，由于牛頓二項(xiàng)式定理展開，由于s s，忽略分母為，忽略分母為s s的二次冪和二次冪以上的二次冪和二次冪以上各項(xiàng)各項(xiàng)m

15、nkjmnimiinieKszpmns)12(11111aeKeKmnzpsmn1amn)1k2( jmn1n1iin1iimnka180) 12(mnzpm1iin1iia1 1）當(dāng)）當(dāng)k k值取不同值時(shí)，值取不同值時(shí)， a a 有（有（n nmm）個(gè)值，而）個(gè)值，而 a a不變；不變；mnka180) 12(2 2）根軌跡在）根軌跡在s s時(shí)的漸近線為時(shí)的漸近線為（n nmm）條與實(shí)軸交點(diǎn)為）條與實(shí)軸交點(diǎn)為 a a 、傾角、傾角 a a為的為的一組射線。一組射線。mnzpm1iin1iia說明說明已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定根軌跡的漸近線。已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定根軌跡的漸近線。)

16、5s)(1s ( s)4s ( K) 1s2 . 0)(1s ( s) 1s25. 0(K) s (G漸近線與實(shí)軸正方向的夾角：漸近線與實(shí)軸正方向的夾角：三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：0 0、-1-1、-5-5 一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)：一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)：-4-4n-m=3-1=2n-m=3-1=2漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)：漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)：113)4()5() 1()0(mnzpm1iin1iiamn180) 1k2(a270、900a根軌跡的漸近線例一根軌跡的漸近線例一已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定根軌跡的漸近線。已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定根軌跡的漸近線。)2s2s)(4s ( s) 1s (K) s (G2四

17、個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：四個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：0 0、-1+j-1+j、-1-j-1-j、-4-4一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)：一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)：-1-1 n-m=4-1=3n-m=4-1=3漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)：漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)：3514) 1()4() j1() j1()0(mnzpm1iin1iia漸近線與實(shí)軸正方向的夾角：漸近線與實(shí)軸正方向的夾角：mn180) 1k2(a300、180、600a根軌跡的漸近線例二根軌跡的漸近線例二平面s4351j1j根軌跡根軌跡的分離點(diǎn)的分離點(diǎn) 分離點(diǎn)（或會合點(diǎn)）分離點(diǎn)（或會合點(diǎn)）：根軌跡在：根軌跡在S S平面某一點(diǎn)相遇后又立即分開。平面某一點(diǎn)相遇后又立即分開。分離點(diǎn)必然是為分離點(diǎn)必然是為D(s

18、)D(s)某一數(shù)值時(shí)的某一數(shù)值時(shí)的重根點(diǎn)重根點(diǎn)。njjbmiibpz11111 1、 b b坐標(biāo)值由分式方程解出坐標(biāo)值由分式方程解出0dsdK2 2、由、由 極值點(diǎn)求解極值點(diǎn)求解 b b 坐標(biāo)值由坐標(biāo)值由 解出解出 b b 4/1 KK2/121 ss必要條件：當(dāng)解得多個(gè)必要條件：當(dāng)解得多個(gè)s s值時(shí)，其中值時(shí)，其中kk值為正值為正實(shí)數(shù)時(shí)才有效。實(shí)數(shù)時(shí)才有效。0) s ( K0) K, s (D3 3、重根法求解、重根法求解 b b) s (B) s (AK) s (BK) s (A) K, s (D由由 解出解出 b b 0ds) s (dB) s (Ads) s (dA) s (B b b

19、坐標(biāo)值由分式方程解出坐標(biāo)值由分式方程解出njjmiipszsKsHsG11)()()()(miinjjzsKpssD110)()()(根軌跡在根軌跡在S S平面上相遇并有重根，設(shè)重根為平面上相遇并有重根，設(shè)重根為s s1 1，根據(jù)代數(shù)中，根據(jù)代數(shù)中的重根條件，有的重根條件，有 miinjjzsKpssD111110)()()(0)()()(1111111miinjjzsKpsdsdsDdsdmiinjjzsKps1111)()(miinjjzsdsdKpsdsd111111)()(或或miimiinjjnjjzszsdsdpspsdsd1111111111)()()()(miinjjzsdsd

20、psdsd111111)(ln)(ln兩式相除兩式相除miinjjzsdsdpsdsd111111)ln()ln(或或njjmiipszs111111即得即得解出解出s s1 1，即為分離點(diǎn)，即為分離點(diǎn) b b已知某一系統(tǒng)的開環(huán)零極點(diǎn)分布，試概略畫出其根軌跡。已知某一系統(tǒng)的開環(huán)零極點(diǎn)分布，試概略畫出其根軌跡。規(guī)則規(guī)則1 1、2 2、3 3根軌跡有三條分支，分別起始于開環(huán)根軌跡有三條分支，分別起始于開環(huán)極點(diǎn)極點(diǎn)0 0、2 2、3 3，終止于一個(gè)開環(huán)，終止于一個(gè)開環(huán)有限零點(diǎn)有限零點(diǎn)1 1和二個(gè)無限零點(diǎn)。和二個(gè)無限零點(diǎn)。根軌跡對稱于實(shí)軸。根軌跡對稱于實(shí)軸。規(guī)則規(guī)則4 4實(shí)軸上實(shí)軸上0 0到到1 1和

21、和2 2到到3 3兩個(gè)區(qū)域段為根軌跡兩個(gè)區(qū)域段為根軌跡規(guī)則規(guī)則5 5根軌跡有兩條漸近線（根軌跡有兩條漸近線（n nmm2), 2), 令令k k=0=0 902180180) 12(mnka22) 1()3()2(0mnzpm1iin1iia規(guī)則規(guī)則6 6在實(shí)軸上有根軌跡分離點(diǎn)，且在區(qū)段在實(shí)軸上有根軌跡分離點(diǎn)，且在區(qū)段2 2到到3 3之間之間 31210111bbbb47. 2b902180b由由 極值點(diǎn)求解極值點(diǎn)求解 b b 假定假定s s點(diǎn)沿實(shí)軸自點(diǎn)沿實(shí)軸自p p2 2點(diǎn)移向點(diǎn)移向p p1 1點(diǎn)點(diǎn), ,kk增益：從零開始逐漸增大，增益：從零開始逐漸增大， 到達(dá)到達(dá) b b點(diǎn)時(shí)為最大，點(diǎn)時(shí)為

22、最大， 逐漸減小，逐漸減小， 到到p p1 1點(diǎn)時(shí)點(diǎn)時(shí)kk為零。為零。根軌跡分離點(diǎn)處所對應(yīng)的根軌跡分離點(diǎn)處所對應(yīng)的kk增增益具有極值益具有極值 0)()(11miiniizspsdsddsdK？！取在根軌跡上的解。？！取在根軌跡上的解。分離點(diǎn)（或會合點(diǎn)）分離點(diǎn)（或會合點(diǎn)）處的根軌跡的會合角處的根軌跡的會合角（或分離角）（或分離角）l) 1k2(b會合（或分離）的會合（或分離）的根軌跡的條數(shù)根軌跡的條數(shù)分離點(diǎn)上的根軌跡的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角分離點(diǎn)上的根軌跡的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角例例)204)(4()()(2ssssKsHsG規(guī)則規(guī)則1 1、2 2、3 3、4 4 根軌跡對稱于實(shí)軸，根

23、軌跡對稱于實(shí)軸， 有四條根軌跡分支，分別起有四條根軌跡分支，分別起始于極點(diǎn)始于極點(diǎn)0 0，4 4和和2 2j j4 4，終，終止于無限遠(yuǎn)零點(diǎn)。止于無限遠(yuǎn)零點(diǎn)。 實(shí)軸上實(shí)軸上0 04 4區(qū)段為根軌跡。區(qū)段為根軌跡。 輻角條件輻角條件 p p3 3、p p4 4的連接線的連接線為根軌跡為根軌跡)ps ()ps (21)ps (4)ps (3n1iim1ii) 1k2()ps ()zs ()204)(4()()(2ssssKsHsG13545180) 12(，mnka根據(jù)規(guī)則根據(jù)規(guī)則5 5 根軌跡有四條漸近線根軌跡有四條漸近線24)2()2()4(0mnzpm1iin1iia0)204)(4(1)(

24、)(12ssssKsHsG)80368()204)(4(2342ssssssssK0)8072244(23sssdsdK根據(jù)規(guī)則根據(jù)規(guī)則6 6求根軌跡的分離點(diǎn)求根軌跡的分離點(diǎn)21b45. 223, 2jbp3p3、p4p4的連接線上的連接線上七、根軌跡的起始角和終止角七、根軌跡的起始角和終止角起始角起始角 p p : :從開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)出發(fā)從開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)出發(fā)的一支根軌跡，在該極點(diǎn)處根的一支根軌跡，在該極點(diǎn)處根軌跡的切線與實(shí)軸之間的夾角。軌跡的切線與實(shí)軸之間的夾角。根軌跡起始角的一般計(jì)算式根軌跡起始角的一般計(jì)算式(0(0360360 ) )nji1iijm1iijjp)pp()zp() 1k2(k

25、 k0 0，1 1， 終止角終止角 z z: :進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處根軌跡的切線與實(shí)軸之間處根軌跡的切線與實(shí)軸之間的夾角。的夾角。mji1iijn1iijjz)zz()pz() 1k2(根軌跡終止角一般計(jì)算式根軌跡終止角一般計(jì)算式(0(0360360 ) ) 根軌跡上，靠近起點(diǎn)根軌跡上，靠近起點(diǎn)p p1 1處取一點(diǎn)處取一點(diǎn)s s1 1相角方程相角方程) 12()()()()(31211111kpspspszss s1 1p p1 1)(11ps 起始角起始角 p p)pp()pp()zp() 1k2(3121111p)5 . 15 . 0)(5 . 15 . 0)(5 . 2()

26、2)(2)(5 . 1()()(jsjsssjsjssKsHsG起始點(diǎn)起始點(diǎn)p p1 10 0、p p2 2、3 30.5+0.5+j j1.5 1.5 、 p p4 42.52.5終止點(diǎn)終止點(diǎn)z z1 11.51.5、z z2 2，3 3 2 2j j、實(shí)軸上實(shí)軸上0 01.51.5和和2.52.5兩區(qū)段是根軌跡兩區(qū)段是根軌跡37905 .10859195 .56) 1k2()pp()pp()pp()zp()zp()zp() 1k2(4232123222122p792p取取k k0 0793p281793603pp p3 3和和p p2 2為共軛復(fù)數(shù)，為共軛復(fù)數(shù)，根軌跡起始角對稱。根軌跡起始

27、角對稱?；蚧?p901175 .63121199153) 1k2()zz ()zz ()pz ()pz ()pz ()pz () 1k2(3212423222122z5 .1492z5 .1493z取取k k1 1z z2 2和和z z3 3為共軛復(fù)數(shù)為共軛復(fù)數(shù)，根軌跡，根軌跡終止角對稱。終止角對稱。根軌跡根軌跡與虛軸的交點(diǎn)與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸相交根軌跡與虛軸相交閉環(huán)特征方程有純虛根、系統(tǒng)閉環(huán)特征方程有純虛根、系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界。處于穩(wěn)定邊界。1 1）應(yīng)用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界的臨界值）應(yīng)用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界的臨界值KK， 由由KK值求出相應(yīng)的值求出相應(yīng)的 值值2 2）代數(shù)法

28、）代數(shù)法js 0)()(1jHjG0)()(1Im0)()(1RejHjGjHjG代入特征方程代入特征方程聯(lián)立求解，聯(lián)立求解，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 值和相應(yīng)的值和相應(yīng)的臨界臨界KK值。值。系統(tǒng)的系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù) 求根軌跡與虛軸的交求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)點(diǎn) 。)2)(1()()(sssKsHsG閉環(huán)特征方程閉環(huán)特征方程023)2)(1(23KsssKsss0123ssss3631kk02k系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界KK值：值：K=6K=6陣列中陣列中s s2 2行元素構(gòu)成輔助方程行元素構(gòu)成輔助方程0632s2js例子：根軌跡例子：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)與虛軸的交點(diǎn) js

29、 代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程0)2()3()(2)( 3)(3223jKKjjj032K02326K九、閉環(huán)特征方程根之和與根之積九、閉環(huán)特征方程根之和與根之積系統(tǒng)閉環(huán)特征多項(xiàng)式系統(tǒng)閉環(huán)特征多項(xiàng)式ninnnnnimiiniiasasasassszsKps11221111)()()(z zi i 開環(huán)零點(diǎn)開環(huán)零點(diǎn)s si i閉環(huán)極點(diǎn)閉環(huán)極點(diǎn)p pi i開環(huán)極點(diǎn)開環(huán)極點(diǎn)11asniinnniias) 1(1閉環(huán)特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）與特征方程閉環(huán)特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）與特征方程的系數(shù)關(guān)系：的系數(shù)關(guān)系：niiniips111 1）(n-m)(n-m) 2 2時(shí)，根之和與根軌跡增

30、益時(shí)，根之和與根軌跡增益KK無關(guān)，是個(gè)常數(shù)，無關(guān)，是個(gè)常數(shù)， 且有且有2 2）根之和不變）根之和不變KK增大，一些根軌跡分支向左移動，則增大，一些根軌跡分支向左移動，則 一定會相應(yīng)有另外一些根軌跡分支向右移動。一定會相應(yīng)有另外一些根軌跡分支向右移動。)22)(3()2(3)()(2sssssKsHsG根軌跡增益根軌跡增益K=3KK=3K。根軌跡對稱于實(shí)軸，有四條根軌跡分支分別起始根軌跡對稱于實(shí)軸，有四條根軌跡分支分別起始于開環(huán)極點(diǎn)于開環(huán)極點(diǎn)0 0，3 3，1 1j j，終止于零點(diǎn)，終止于零點(diǎn)2 2和另和另外三個(gè)無限遠(yuǎn)零點(diǎn)。外三個(gè)無限遠(yuǎn)零點(diǎn)。實(shí)軸上區(qū)段實(shí)軸上區(qū)段0 02 2和和3 3為根軌跡。為根軌跡。根軌跡有三條漸近線（根軌跡有三條漸近線（n nmm3 3），與實(shí)軸的傾角為），與實(shí)軸的傾角為3180) 12(ka取取k k0 0、1 16060、6060、180180114)2()1130(jja漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)為漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)為系統(tǒng)特征方程系統(tǒng)特征方程02)6(85234KsKsss01234sssss234506) 6(51851