1、般四邊形常用的輔助線1、連對角線構造三角形【例1】 已知：如圖（1）,在四邊形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=13,AD=12,B 90 .求四邊形ABCD勺面積。分析：由B 90 , AB=3,BC=4聯(lián)想至IJ連結AC利用勾股定理解得 AC=5,又AD=12,CD=13由勾股定理的逆定理有DAC為直角，從而S四邊形ABCD S ABC S ACD °22324225解：連結 AC ,在 Rt ABC 中，AC 2 AB 2 BC 2CD 13, AD 12222AD 2 AC 2 CD 2ACD是直角三角形,S四邊形ABCD S ABCACDDAC 901八八 1八八AB

2、? BC AD ? AC2212 5362、延長對邊構造三角形【例2】 如圖（2）,在四邊形ABC時A 60 , B D 90 , BC 2, CD=3,IVI則AB等于多少?分析： A 60 , B 90，如果延長AD.BC即可出現30角的直角三角形,從而把四邊形問題轉化為三角形只是解決。解：延長ABCAD交BC的延長線于點90CG在RtADC2CD,A906, BG60BCABG中，設 AB3即 AB 、333x,CG 則AGGG 302x, BGE -,0；13x 8B F用(3)DC求證13、化為三角形和特殊四邊形【例3】 在四邊形ABCm，AD=3,BC 3V3 ,BD=7,BAD

3、120 , ABC 90 .如圖(3),求：CD 的長和AB的長解加昨_M3交助的延長線于E.DE _3c于F 丁 AABC = 90 °二四邊形EBFD是矩形J.DE =4FC =BC -BF =t叵則口產為月C的中垂線j. AE =-.ID =-DE =aAE 二工二£F17 7n(2)v£3 =BD DE，=小9 -7=:t mts = no °4連對角線轉化A B C D E F 360分析：要證此六角只和為360 ,想到四邊形的內角和為360 ,故轉化為一個四邊形的四個內角,由圖很容易想到連結BE5延長邊的轉化歡迎下載證明:連結BE1CBE D

4、EBCDEBAABCCAABCAABECD, 1DCBEDDEF FCBEDEB DEFFBEFF 360【例5】 如圖（5）,在六邊形ABCDE中A B C D E F 120。求證：AB+BC=EF+ED分析：由題意知各角都為120 ,想到它的外角為60 ,如果延長各邊，能得 到等邊三角形，又由求證AB+BC=EF+ED到延長所涉及的邊構成線段；當題中涉 及到120 ,60 ,45 ,30等特殊角時，常想到把他們轉化到特殊三角形中，如等邊三角形、直角三角形等。證明；分別延長和反向延長CD,左；得到AP01工 4AF -1800- ZZL4F = 180° - 120口 ; 60&

5、#176;同理XFP 二 60。二/2二 60。/. ZF = £PAF = NAFF即AFAF為等邊三角形同理3c23歐均為等邊三角形，城理也為等邊三角形/ PO = PR=AP = PE：BC = BO.DE =監(jiān)貝IJP© -PA=RP-PF 即X。= F&AS + BQ = FE + REj. AB + BC=EF¥ED6、過一邊兩端點作對邊的垂線，把平行四邊形轉化為矩形和直角三角形問題【例6】 如圖（8）,已知點P是矩形ABCM.¥!，一點，PA=3,PB=4,PC=5求 PD的長。e2一F分析：利用已知條件，可過P分別作兩組對邊;/I

6、（的平行線，構造直角三角形借助勾股定理解決問* 日I輔（fi） 題。7、延長一邊中點與頂點連線，把平行四邊形轉化為三角形【例7】 已知如圖（9）,正方形ABCm，E、F分別是CD DA的中點，BE與CF交于P點。求證：AP=AB分析：F為AB的中點，若延長CF 交BA延長線于點K ,則有CDF KAF ,故 AK=CD=ABf利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證題。證明；延長CF交區(qū)的延長線于點K二四邊形四8為正方形，CDtAK/ Z1 = Z又 r ZD 二 £DAK二 90t= AF:. CDF =資W 產i-AK = 8= ABvC£ = -CD.DF -AD

7、- CE = DF ，1-CE = -CD.DF =-AD :.CE = DF 7'7谷一餐丁 ZBCD = £D = 90： BC = CDA5C£ = 3CDF.21 =Z2V 21 + ZJ= 90°二 Z2 + Z3 = 90°二 一 CPB = 902 ZBPF = 90°二”二W酥二 AB8、把對角線交點與一邊中點連結，構造三角形中位線【例8 已知：如圖（11）, OABCD1 一，中，AN=BNBE -BC , NE父 BD于點 F。 3求 BF:BQ分析：N為AB的中點，若連結AC與BD交于點O,則ON為ABC的中位線，

8、利用對 應線段成比例，則結論可證解：連結AC交BD于點O,連結ON.四邊形ABCD為平行四邊形 AO-1 - BE BFAN BNON一BC,-2 ON FO1八八BFBE -BC BE: ON 2:3,3FOBF 1BD 5OC, BOOD2BF 23BO 5BD歡迎下載9、把以一邊中點為端點的線段延長，構造全等三角形【例9】如圖（12）,過正方形ABCD勺頂點B作BE/AC,1且 AE=AC又 CF/AE。求證： BCF - AEB。32分析：由 BE/AC,CF/AE,AE=AC知四邊形 AEFC是菱形，連結BD,作AH BE垂足為H點，根據正方形的一些性質可以知道，四邊形 AHB比正方

9、形，1 一 1 .從而 AH AO -AC AE,可得 E ACF 30, BCF 15 22證明：連結 BD交AC于O,作AH BE交BE于H在正方形 ABCD 中，AC BD, AO BO又BEAC,AH BE1BO BE,四邊形AOBH為正萬形AH AO -AC2AE ACAEH 30BE/AC, AE/CF 四邊形 ACFE 是菱形，AEF ACF 30AC是正方形的對角線ACB 45 , BCF 151 BCF AEB 2、新知探索 例1已知，如圖：在梯形 ABCD, AD/ BC EF與MNS相垂直平分，E、F、MN分別為AD BC BD. AC的中點.求證：AB=CD.例2.如圖，已知：正方形 ABCD中，E是BC邊上的一點，AF平分/ EAD.求證：AE=DF+BE.歡迎下載C例3.如圖，在梯形 ABCDfr, AD/ BC(BO ADD , E、F分別是對角線BD AC的中點.求證：EF=1 (BCAD)2歡迎下載CE2.如圖，在正方形 ABCD中，/ EAF=45,AHL EF,垂足為 H,求證：AH=AB.練習