1、三角形中位線定理的證明及其教學(xué)說明以下內(nèi)容作者為：青島第四中學(xué)楊瀚書老師一、 三角形中位線定理的幾種證明方法法1： 如圖所示，延長(zhǎng)中位線DE至F，使 ，連結(jié)CF，則 ，有AD FC，所以FC BD，則四邊形BCFD是平行四邊形，DF BC。因?yàn)?，所以DE 法2：如圖所示，過C作 交DE的延長(zhǎng)線于F，則 ，有FC AD，那么FC BD，則四邊形BCFD為平行四邊形，DF BC。因?yàn)?，所以DE     法3：如圖所示，延長(zhǎng)DE至F，使 ，連接CF、DC、AF，則四邊形ADCF為平行四邊形，有AD CF，所以FC BD，那么四邊形BCFD為平行四邊形，DF BC。因

2、為 ，所以DE 法4：如圖所示，過點(diǎn)E作MNAB，過點(diǎn)A作AMBC，則四邊形ABNM為平行四邊形，易證，從而點(diǎn)E是MN的中點(diǎn)，易證四邊形ADEM和BDEN都為平行四邊形，所以DE=AM=NC=BN，DEBC，即DE。法5：如圖所示，過三個(gè)頂點(diǎn)分別向中位線作垂線二、教學(xué)說明1、三角形中位線定理的另外一種猜想過程：“二維”轉(zhuǎn)化為“一維”在引導(dǎo)學(xué)生探索三角形中位線定理時(shí)，由于學(xué)生畫出中位線后，就不難直觀地發(fā)現(xiàn)平行關(guān)系，難的是發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，我聯(lián)想到在此之前認(rèn)識(shí)線段中點(diǎn)時(shí)的一道典型例題，挖掘它與原有知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，從而作如下探索引導(dǎo)。如圖，A為線段BC(或線段BC的延長(zhǎng)線)上的任意一點(diǎn)，D、E分別是AB

3、、AC的中點(diǎn)，線段DE與BC有什么關(guān)系？圖： 如果點(diǎn)A不在直線BC上，圖形如何變化？上述結(jié)論仍然成立嗎?圖：說明：學(xué)生觀察（幾何畫板制作的）課件演示：當(dāng)ABC的頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到直線BC上時(shí),中位線DE也運(yùn)動(dòng)到BC上，這樣由“二維”轉(zhuǎn)化為“一維”，學(xué)生就不難猜想性質(zhì)的兩方面，特別是數(shù)量關(guān)系，而想到去度量、驗(yàn)證和猜想，水到渠成.如果教師直接叫學(xué)生去度量角度和長(zhǎng)度，是強(qiáng)扭的瓜不甜.2、教學(xué)重點(diǎn)：本課重點(diǎn)是掌握和運(yùn)用三角形中位線定理。第一，要知道中位線定理的作用：可以證明兩條直線平行及線段的倍分關(guān)系，計(jì)算邊長(zhǎng)或中位線的長(zhǎng)。第二，要知道中位線定理的使用形式，如： DE是ABC的中位線 DEBC，第

4、三，讓學(xué)生通過部分題目進(jìn)行訓(xùn)練，進(jìn)而掌握和運(yùn)用三角形中位線定理。題1 如圖4.11-7，RtABC，BAC90°，D、E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CA延長(zhǎng)線上，F(xiàn)DAB.(1)求證：AFDE；(2)若AC6，BC10，求四邊形AEDF的周長(zhǎng).分析 本題是考查知識(shí)點(diǎn)較多的綜合題，它不但考查應(yīng)用三角形中位線定理的能力，而且還考查應(yīng)用直角三角形和平行四邊形有關(guān)性質(zhì)的能力。(1)要證AFDE，因?yàn)樗鼈儎偤檬撬倪呅蔚囊唤M對(duì)邊，這就啟發(fā)我們?cè)O(shè)法證明AEDF是平行四邊形.因?yàn)镈E是三角形的中位線，所以DEAC.又題給條件FDAB，而在RtABC中，因AE是斜邊上的中線，故AEEB.從而EABB

5、.于是EABFDA.故得到AEDF.所以四邊形AEDF為平行四邊形. (2)要求四邊形AEDF的周長(zhǎng)，關(guān)鍵在于求AE和DE，AEBC5，DEAC3.證明：(1)D、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，DEAC，即DEAFRtABC中，BAC90°，BEECEAEBBC，EABB又FDAB，EABFDAEADF，AEDF為平行四邊形AFDE(2)AC6，BC10，DEAC3，AEBC5四邊形AEDF的周長(zhǎng)2(AE+DE)2(3+5)16 題2 如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA和CD分別與EF的延長(zhǎng)線交于K、H。求證：BKECHE.分析 本題考查

6、三角形中位線的構(gòu)造方法及應(yīng)用、平行線的性質(zhì).由中點(diǎn)想到中位線，又要把結(jié)論聯(lián)系起來，既要使中位線的另一端點(diǎn)處一理想的位置，又使需證明的角轉(zhuǎn)移過來，可考慮，連BD，找BD中點(diǎn)G，則EG、FG分別為BCD、DBA的中位線，于是得到了解題方法.考慮到結(jié)論輔助線不要亂作，取中點(diǎn)比作平行線好.證明：連BD并取BD的中點(diǎn)G，連FG、GE在DAB和BCD中F是AD的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)FGAB且FGAB，EGDC且EGDCBKEGFE，CHEGEFABCD FGEGGFEGEF BKECHE 題3 如圖， ABCD為等腰梯形，ABCD，O為AC、BD的交點(diǎn)，P、R、Q分別為AO、DO、BC的中點(diǎn)，A

7、OB60°。求證：PQR為等邊三角形.分析 本題考查三角形中位線定理、等邊三角形判定方法、直角三角形斜邊中線定理。利用條件可知PRAD，能否把PQ、RQ與AD(BC)聯(lián)系起來成為解題的關(guān)鍵，由于AOB60°，ODOC，則ODC為等邊三角形，再由R為OD中點(diǎn)，則BRC90°，QR就為斜邊BC的中線.證明：連RC，四邊形ABCD為等腰梯形且ABDCADBC ADCBCD又DC為公共邊 ADCBCDACDBDC ODC為等腰三角形DOCAOB60° ODC為等邊三角形R為OD的中點(diǎn)ORC90°DRC(等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高)Q為BC的中

8、點(diǎn) RQBCAD同理PQBCAD在OAD中 P、R分別為AO、OD的中點(diǎn)PRAD PRPQRQ故PRQ為等邊三角形 3、教學(xué)難點(diǎn)：本課難點(diǎn)是三角形中位線定理的證明，證明方法的關(guān)鍵在于如何添加輔助線教師可以在證明思路上進(jìn)行引導(dǎo)、啟發(fā)，避免生硬地將輔助線直接作出來讓學(xué)生接受。例如，教師可以啟發(fā)學(xué)生：要證明一條線段的長(zhǎng)等于另一條線段的長(zhǎng)的一半，可將較短的線段延長(zhǎng)一倍，或者截取較長(zhǎng)的線段的一半。上面的這種輔助線的作法可以概括為“短延長(zhǎng)、長(zhǎng)截短”，這種輔助線的作法還可以用于證明線段和、差、倍、分等方面。證明線段的和、差、倍、分常用的證明策略：1，  長(zhǎng)截短：要證明一條線段等

9、于另外兩條線段的和與差，可在長(zhǎng)線上截取一部分等于另兩條線段中的一條，然后再證明另一部分等于剩下的一條線段的長(zhǎng)。（角也亦然）2，  短延長(zhǎng)：要證明一條線段等于另外兩條線段的和與差，可先延長(zhǎng)較短的一條線段，得到兩條線段的和，然后再證明其與長(zhǎng)的線段相等。（角也這樣）3，  加倍法：要證明一條線段等于另一條線段的2倍或1/2，可加倍延長(zhǎng)線段，延長(zhǎng)后使之為其2倍，再證明與另一條線段相等。（角也這樣）4，  折半法：要證明一條線段等于另一條線段的2倍或1/2，也可取長(zhǎng)線段的中點(diǎn)，再證明其中之一與另一條線段相等。（角也可用）5，  代數(shù)運(yùn)算推理法：這種方法是利用代數(shù)運(yùn)算證明線段或角的和、差、倍、分。6，  相似三角形及比例線段法：利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理論證。題1（短延長(zhǎng)）：如圖所示，在正方形ABCD中，P、Q分別為BC、CD上的點(diǎn)。 （1）若PAQ=45°，求證：PB+DQ=PQ。 （2）若PCQ的周長(zhǎng)等于正方形周長(zhǎng)的一半，求證：PAQ=45° 證明：（1）延長(zhǎng)CB至E，使BE=DQ，連接AE。 四邊形ABCD是正方形 ABE=ABC=D=90°，AB=AD 在ABE和ADQ中 AB=AD，ABE=D，BE=DQ （2