1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 | | | | | | | | | 密 | | | | | | | | | 封 | | | | | | | | | 線 | | | | | | | | | |得分閱卷人一、單項選擇題 (每小題3分，共30分)1、設，下列集族中,上的拓撲是 （ ）. 2、已知，拓撲,則=（ ） 3、在實數(shù)空間中，有理數(shù)集的邊界是 （ ） Q R -Q R 4、在實數(shù)空間中，區(qū)間的內部是 （ ） 5、設是一個拓撲空間，A,B 是的子集,則下列關系中錯誤的是（ ） 6、離散空間的任一子集為 ( ) 開集 閉集 即開又閉 非開非閉 共 6 頁，第 2 頁共 6 頁，第 1 頁 點集拓撲試題

2、樣卷A7、設是拓撲空間的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射8、在實數(shù)空間R中，下列集合是開集的是（ ） 整數(shù)集Z 有理數(shù)集 無理數(shù)集 整數(shù)集Z的補集9、設,是的拓撲，,則的子空間的拓撲為 ( ) 10、設，拓撲,則的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為 （ ） 1 2 3 4 得分閱卷人二、填空題 (每小題4分，共20分)1、 設,則的平庸拓撲為 ;2、 每一個球形的鄰域都是 開集 3、若拓撲空間有一個可數(shù)稠密子集，則稱是一個 可分空間 ；4、若任意個拓撲空間,都具有性質,則積空間也具有性質，則性質稱為 有限可積性 ; 5、是拓撲空間到的一個映射，如果它是

3、一個滿射，并且的拓撲是對于映射而言的商拓撲，則稱是一個 商映射 ; 一二三四總 分 |得分閱卷人四、證明題（每小題6分，共30分）2、設是從連通空間到拓撲空間的一個連續(xù)映射.則是的一個連通子集.證明：如果是的一個不連通子集，則存在的非空隔離子集使得 3分于是是的非空子集，并且：所以是的非空隔離子集 此外，這說明不連通，矛盾.從而是的一個連通子集.4、設X是一個含有不可數(shù)多個點的可數(shù)補空間.證明X不滿足第一可數(shù)性公理. 證明：若滿足第一可數(shù)公理，則在處,有一個可數(shù)的鄰域基，設為V x ,因為X是可數(shù)補空間，因此對,是的一個開鄰域，從而 ,使得. 于是, 3分由上面的討論我們知道： 因為是一個不可

4、數(shù)集，而是一個可數(shù)集，矛盾.從而X不滿足第一可數(shù)性公理. 得分閱卷人三、名詞解釋（每小題4分，共20分）1、 同胚映射：設和是兩個拓撲空間.如果是一個一一映射，并且和 都是連續(xù)映射，則稱是一個同胚映射或同胚.2、不連通空間3、拓撲4、導集5、度量 | | | | | | | | 密 | | | | | | | | | 封 | | | | | | | | | 線 線 | | | | | | | |共 6 頁，第 4 頁共 6 頁，第 3 頁 | | | 3、設是拓撲空間的一個連通子集, 證明: 如果和是的兩 個無交的開集使得,則或者,或者.證明：因為是的開集，從而是子空間的開集.又因中，故 由于是的連通子集,則中必有一個是空集. 若,則;若,則 | | | | | | | | 密 | | | | | | | | | 封 | | |