1、3.2.1 幾類(lèi)不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型從容說(shuō)課通過(guò)前面一節(jié)課的學(xué)習(xí)我們對(duì)不同類(lèi)型的增長(zhǎng)函數(shù)的增長(zhǎng)的差異具有了一定的感性認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上，本節(jié)課主要利用信息技術(shù)從圖、表兩方面首先對(duì)具體函數(shù)y=2x，y=x2，y=log2x 的增長(zhǎng)的差異性進(jìn)行比較.在比較函數(shù) y=2x, y=x2的增長(zhǎng)的差異性時(shí)，分別選擇了三個(gè)不同的步長(zhǎng)進(jìn) 行研究，這樣就更能反映了這兩類(lèi)函數(shù)的增長(zhǎng)的特點(diǎn)，在教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生體會(huì)到為什么要選擇三種不同的步長(zhǎng)加以研究，能讓學(xué)生在解決具體問(wèn)題時(shí)可以針對(duì)不同的情況進(jìn)行合理的選擇.在比較幕函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)的差異性時(shí)又利用了類(lèi)比的方法.然后將結(jié)論推廣到了一般的指數(shù)函數(shù) y=ax(a 1)，對(duì)數(shù)

2、函數(shù) y=logax (a 1)，幕函數(shù) y=xn(n0)在區(qū)間(0，+ 的增長(zhǎng)的 差異性，即存在一個(gè) xo,當(dāng) xxo時(shí)，axxnlogax，充分體現(xiàn)了 “指數(shù)爆炸”“直線(xiàn)上升” “對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”的特點(diǎn).在教學(xué)時(shí)，結(jié)合教材內(nèi)容向?qū)W生滲透從具體到一般、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法， 對(duì)培養(yǎng)學(xué)生全面分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力是很有幫助的三維目標(biāo)一、知識(shí)與技能1. 借助信息技術(shù)，利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，以及幕函數(shù)的增長(zhǎng)差異.2.從具體函數(shù)的增長(zhǎng)的差異性，推廣到了一般指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，以及幕函數(shù)的增長(zhǎng)的差 異性.二、過(guò)程與方法1. 自主學(xué)習(xí)，了解三類(lèi)函數(shù)增長(zhǎng)的差異性的比較方法2. 探究與

3、活動(dòng)，在教師的指引下通過(guò)特殊函數(shù)的增長(zhǎng)差異，推廣到一般性的結(jié)論三、情感態(tài)度與價(jià)值觀培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)以及從具體到一般，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情教學(xué)重點(diǎn)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的增長(zhǎng)的差異性教學(xué)難點(diǎn)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的增長(zhǎng)的差異性的比較教具準(zhǔn)備多媒體課件、投影儀、計(jì)數(shù)器.教學(xué)過(guò)程一、創(chuàng)設(shè)情景，弓 I 入新課師：通過(guò)上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們應(yīng)對(duì)幾類(lèi)不同增長(zhǎng)類(lèi)型的函數(shù)的增長(zhǎng)差異有了一個(gè)感性的認(rèn)識(shí)，你們知道這些不同增長(zhǎng)類(lèi)型函數(shù)的增長(zhǎng)的差異性具體體現(xiàn)在哪里嗎？生：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)等幾類(lèi)不同增長(zhǎng)的函數(shù)的增長(zhǎng)差異：一次函數(shù)是直線(xiàn)上升，指數(shù)函數(shù)是“指數(shù)爆炸”增長(zhǎng)，對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)是一

4、個(gè)比較平緩的增長(zhǎng)師：這節(jié)課我們?cè)趯?duì)這些不同增長(zhǎng)類(lèi)型的函數(shù)的增長(zhǎng)差異具有一定感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，把這些函數(shù)作一個(gè)具體的比較，得岀一般性的結(jié)論二、講解新課我們知道，指數(shù)函數(shù) y=ax(a 1)，對(duì)數(shù)函數(shù) y=logax (a 1)，幕函數(shù) y=xn(n0)在區(qū) 間(0，+8)上都是增函數(shù)，那么這種差異的具體情況到底是怎樣的呢？我們不妨先以函數(shù)y=2x,2y=x，y=log2x 為例進(jìn)行研究.(利用投影儀投影出表格一)x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4y=2x2y=xy=log2X師：先請(qǐng)同學(xué)們利用計(jì)算器計(jì)算岀以步長(zhǎng)為 0.4 的自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)表表x0.20.61.01.4

5、1.82.22.63.03.4y=2x1.1491.51622.6393.4824.5956.063810.5562y=x0.040.3611.963.244.846.76911.56y=log2X2.3220.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766據(jù)表在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)岀三個(gè)函數(shù)的圖象（如下圖），從圖象可以看岀：雖然他們都是增函數(shù)，但是他們的增長(zhǎng)速度是不同的，顯然指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度是急劇上升，而 對(duì) 數(shù) 函 數(shù)的增長(zhǎng)速度非常平緩.師：根據(jù)圖象計(jì)算不等式 Iog2xv2xx2與不等式 logzxvX x2，有時(shí) 2x 1）和幕函數(shù) y=xn（n 0），通過(guò)探

6、索可以發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間（0，+ %）上，無(wú)論 n 比 a 大多少，盡管在 x 的一定變化范圍內(nèi)，ax會(huì)小于 xn，但由于 ax的增長(zhǎng)快于 xn的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)X0,當(dāng) xx0時(shí)，就會(huì)有 axxn.【例 1】1995 年我國(guó)人口總數(shù)是 12 億.如果人口的自然年增長(zhǎng)率控制在1.25%，問(wèn)哪一年我國(guó)人口總數(shù)將超過(guò) 14 億.分析：仔細(xì)閱讀題目，認(rèn)真審題，題目中問(wèn)的是哪一年我國(guó)人口總數(shù)超過(guò)14 億，根據(jù)題意，找岀人口總數(shù) y 與年數(shù) x 的函數(shù)關(guān)系，列岀相應(yīng)的函數(shù)模型.解：設(shè) x 年后我國(guó)人口總數(shù)為 y,則有 y=12 ( 1+0.0125 )X,依題意，得 y 14,即 12 ( 1+0.012

7、5 )x 14,x14即(1+0.0125 ) 一12兩邊取對(duì)數(shù)，得 xlg1.0125 Ig14 Ig12.所以 xlg14g12 12.4.Ig1.125答：13 年后，即 2008 年我國(guó)人口總數(shù)將超過(guò)14 億.注意：也可利用 y=14，即 12 ( 1+0.0125 )x=14 來(lái)解題，但需注意的是根據(jù)實(shí)際情況如何 來(lái)取近似值.仿照對(duì) y=2x和 y=x2的增長(zhǎng)的差異性的比較，請(qǐng)同學(xué)們借助計(jì)數(shù)器，通過(guò)圖象，對(duì)y=x2和y=log2X 的增長(zhǎng)情況進(jìn)行比較.可以得岀這樣的結(jié)論：在區(qū)間(0，+ 上，總有 x2 log2x.因此同樣可以得岀一般性的結(jié)論：一般地，對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù) y=logax (

8、a 1)和幕函數(shù) y=xn( n 0)，通過(guò)探索可以發(fā)現(xiàn)，在區(qū) 間(0，+ %)上，隨著 x 的增大，logax 增長(zhǎng)的越來(lái)越慢，圖象就像是漸漸地與x 軸平行一樣，盡管在 x 的一定變化范圍內(nèi)，logax 可能會(huì)大于 xn，但由于 logax 的增長(zhǎng)慢于 xn的增長(zhǎng)，因此總存 在一個(gè) X0，當(dāng)x X0時(shí)，就會(huì)有 logax xn.通過(guò)以上的比較，結(jié)合圖表一，我們可以得岀：在區(qū)間(0，+8)上，總有 x2log2x；并且當(dāng) x4 時(shí)，總有 2xx2，所以當(dāng) x4 時(shí)，總有 2xx2 log2x.綜上所述，在區(qū)間(0，+X)上，盡管函數(shù) y=ax(a 1 )，y=logax (a 1)， y=xn

9、(N 0) 都是增函數(shù)，但是它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在同一個(gè)檔次上，隨著x 的增大，y=ax(a 1)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)y=xn(n 0)的增長(zhǎng)速度，而y=logax (a 1)的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來(lái)越慢.因此，總會(huì)存在一個(gè)X0,當(dāng) xx0時(shí)，axxn logax.三、 課堂練習(xí)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作岀下列函數(shù)的圖象，并比較它們的增長(zhǎng)情況.(課本 P119練習(xí))(1) y=0.1ex 100, x 1 , 10；(2) y=20lnx+100 , x1, 10;(3) y=20 x, x 1, 10.答案：由圖象可以看到，函數(shù)(1)以“爆炸”式的速度增長(zhǎng)；函數(shù)(2)增長(zhǎng)緩慢，并漸漸趨于穩(wěn)定；函數(shù)(3)以穩(wěn)定的速率增加.四、 課堂小結(jié)本節(jié)課我們主要利用“從具體到一般、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法”，通過(guò)對(duì)幾個(gè)特殊函數(shù)(y=2X, y=x2, y=log2x)的增長(zhǎng)