1、學(xué)習(xí)文檔僅供參考第六章 空間解析幾何與向量代數(shù)本章的主要內(nèi)容是向量和空間圖形的方程表示.要求熟練掌握向量的各種運(yùn)算并理解其幾何意義；熟練掌握常用的曲面方程.這些內(nèi)容都是學(xué)習(xí) 多元微積分的前提.在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，讀者應(yīng)多做一些畫(huà)圖練習(xí)，以培養(yǎng) 自己的空間想象力.一、向量代數(shù)1 1 .具有大小和方向的量稱(chēng)為 向量,只有大小的量稱(chēng)為 數(shù)量實(shí)數(shù).向-量可以用有向線段AB來(lái)表示.2 2 .向量 的長(zhǎng)度稱(chēng)為向量的 模，記為丨丨；模為 1 1 的向量稱(chēng)為 單位向量；長(zhǎng)度為零的向量稱(chēng)為 零向量，記為 0 0 .兩個(gè)向量的夾角，規(guī)定03 3.與 x x、y y、z z 三個(gè)坐標(biāo)軸同方向的單位向量分別記為i、j j

2、、k,稱(chēng)為基本單位向量.4 4 .非零向量a分別與 x x、y y、z z 三個(gè)坐標(biāo)軸正向的夾角，稱(chēng)為a的方向角；cos ,COS ,COS稱(chēng)為a的方向余弦.5 5 .假設(shè) 分別在 x x、y y、z z 三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為a,b,c，則ai bj ck，記為a,b,c，稱(chēng)為向量的坐標(biāo)；對(duì)于給定的點(diǎn)Mi(x- yi，zj、M2(x2, y2,z2)，貝yM1M2區(qū)xji (y2%)j (22zjk x?為心z.學(xué)習(xí)文檔 僅供參考6 6 向量的線性運(yùn)算1 1 加法交換律2 2 加法結(jié)合律(3 3 數(shù)量乘法結(jié)合律4 4 數(shù)量乘法對(duì)于數(shù)量加法的分配律5 5 數(shù)量乘法對(duì)于向量加法的分配律7 7 向量

3、的數(shù)量積是 與 的夾角數(shù)量積滿(mǎn)足以下運(yùn)算律：1 1交換律8 8 向量的向量積足：給定向量及數(shù)量 ，可定義向量的加法及數(shù)量乘法統(tǒng)稱(chēng)為向量的 線性運(yùn)算 ，滿(mǎn)足運(yùn)算律：給定向量 與 ，它們的數(shù)量積定義為| | | | cos，其中)；)，其中 與 是數(shù)量；2 2結(jié)合律( ( ? ? ) ) ( ( )?)?(?() ) ，其中 是數(shù)量；3 3 分配律()?給定兩個(gè)向量和 ，它們的 向量積 定義為一個(gè)向量， 記為，滿(mǎn)學(xué)習(xí)文檔 僅供參考i i| | | sin，其中 是 與 的夾角；學(xué)習(xí)文檔僅供參考法則.角.于是可推知向量積滿(mǎn)足以下運(yùn)算律i i反交換律( () )；2 2結(jié)合律 ( () )()()()

4、()，其中是數(shù)量；3 3左分配律()右分配律()9 9 . 向量及其坐標(biāo)的有關(guān)公式給定向量ai,a2,3B,bi,b2,及數(shù)量，則i i ai,a2, a3,3ibi, a2b2,asbs2 2I II |cosiiii的方向垂直于 與 所在的平面，并且與符合右手印0a2b2a3b3，其中是兩個(gè)向量的夾學(xué)習(xí)文檔僅供參考5 5 與垂直的充分必要條件是？0，即aibi32b233b3aia3bib3平行的充要條件是它們a?b1b23ibij32b2對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)成比例k33b331bi魚(yú)b2a2b2a3b30i學(xué)習(xí)文檔僅供參考6 6 丨假設(shè)ai, a2, a3 0稱(chēng)為單位化向量，它表.空間中的曲面與曲

5、線標(biāo)都滿(mǎn)足方程；反之，方程的解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在F(x,y, z)0所表示的曲面.兩個(gè)方程Fi(x, y,z) 0和F2(x,y,z)要條件是它們?yōu)橥夥匠?2 2 .空間中的曲線 C C 可以看作兩個(gè)曲面的交線，它的一般方程為F (x, y,z)0G(x,y, z)0 xx(t)空間曲線 C C 也可表示為參數(shù)方程yy(t)a t b zz(t)3 3 .旋轉(zhuǎn)面方程一條平面曲線 C C 繞它所在平面的一條直:線L L 旋轉(zhuǎn)周所生成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)面.曲線 C C 稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面的 母線，直線 L L 稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲示與同方向的單位向量.并有ai_2 2 2 2 a1a2a3a1a22 2a2a3

6、a32a22a3cos , cos , cos 其中cos ,cos ,cos是 的方向余弦.i i.給定曲面S及三元方程F (x,y, z).如果曲面 S S 上的點(diǎn)的坐S S 上，則稱(chēng) S S 為方程0表示同一個(gè)曲面的充分必學(xué)習(xí)文檔僅供參考面的旋轉(zhuǎn)軸.可得其它坐標(biāo)面上的曲線繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)面方程.4 4 .柱面方程行于 x x 軸和 y y 軸的柱面.5 5 .曲線在坐標(biāo)面上的投影Fi(x, y, z) 0在空間曲線的方程C :F2(x y z) 0中，經(jīng)過(guò)同解變形分別消去變量x,y, z,則可得到 C C 在 yozyoz、xozxoz、xoyxoy 平面上的投影曲線， 分別為:F(y,z

7、) 0 G(x,z) 0 H(x,y) 0 x 0；y 0；z 0-三、空間中的平面與直線方程yozyoz 平面上的曲線 C C :f(y,z)0 x 0f (、,X2y2, z) 0；繞 y y 軸的旋轉(zhuǎn)面方程為繞z軸的旋轉(zhuǎn)面方程為f(y,x2z2)0.類(lèi)似平行于定直線 L L 并沿定曲線C移動(dòng)的直線l所生成的曲面稱(chēng)為 柱面，動(dòng)直線I在移動(dòng)中的每一個(gè)位置稱(chēng)為柱面的母線，曲線C稱(chēng)為柱面的準(zhǔn)線.以 xoyxoy 平面上的曲線 C C :f(x,y)0為準(zhǔn)線，母線平行于 z z 軸的柱面方程為f(x,y) .同理方程g(y,z)0和h(x,z) 分別表示母線平學(xué)習(xí)文檔僅供參考1 1 .平面方程學(xué)習(xí)

8、文檔僅供參考1 1點(diǎn)法式：給定空間中的點(diǎn)Po(Xo,yo,Zo)及非零向量n A,B,C, 則經(jīng)過(guò)點(diǎn)Po與n垂直的平面方程為A(x Xo) B(y yo) C(z Zo)0，n 稱(chēng)為平面的法向量.2 2一般式：Ax By Cz D 0，其中A, B,C不全為零.3 3截距式: 4 4兩個(gè)平面之間的關(guān)系 設(shè)兩個(gè)平面n1與n2的法向量依次為 n1A1, B1,C1和n2A2,B2,C2.n1與n2的夾角規(guī)定為它們法向量的夾角取銳 角.這時(shí)| n？n2|I AiA2B1B2C1C2|cos|n11 |n214AB1C7 TABld2 2 .直線方程 1 1一般式：將直線表示為兩個(gè)平面的交線A1x B

9、1y C1z D10A2xB2y C2z D20L經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(x,y,z0)且與方向向量v l,m,n0平兩個(gè)平面平行的充要條件是:AC1A2B2C2兩個(gè)平面垂直的充要條件是:B1B2C1C202 2 丨假設(shè)直線AA2學(xué)習(xí)文檔僅供參考行，則L的方程為夾角取銳角.于是| v1?v2111112m1m2mn21|vi1 1 v2111min；J；m；n；3 3 .直線與平面的關(guān)系x X。yyozzi)i) 對(duì)稱(chēng)式：1mnXXoItiiii) )參數(shù)式：yy。m tt zZnt3 3 兩條直線之間的關(guān)系設(shè)兩條直線L Li和L L2方向向量分別為規(guī)定為它們方向向量的設(shè)直線 L L 的方向向量為v1,m

10、,n,平面n的法向量為nA,B,C. L L 與n的夾角規(guī)定為L(zhǎng)與它在n上投影直線 LL的夾角銳Vili，mi, nJ,V2l2，m2, n?, L Li與 L L2的夾角L Li與 L L2平行的充要條件是L Li與 L L;垂直的充要條件是1 1112lil；m min nim m2n n2mi學(xué)習(xí)文檔僅供參考角.這時(shí)W?nW?n | |1A|1A mBmB nCnC | |v|v| |n|n | | 、i i2 2m m2n n2 A A2B B2C C2*L與n垂直的充要條件是1 m nABCsinsin學(xué)習(xí)文檔僅供參考L L 與n平行的充要條件是IA mB nC 0.四、二次曲面由三元二次方程所表示的曲面統(tǒng)稱(chēng)為 二次曲面.通常使用截痕法來(lái)判斷二次曲面的形狀.一些常用的二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)形式如下.1 1.球面：球心在點(diǎn)po(xo,yo,zo)半徑為R的2 2球面方程為(XX。)(y yo)(z Zo)例如，球心在原點(diǎn)半徑為R的球面方程為2 2 .橢球面:2x2 , 2a2Z2c其中例如，42y2o,b2y93z2o, c2Z116，12Z2R2圖2 2丨.圖2學(xué)習(xí)文檔