1、常寧二中2012屆理科數(shù)學(xué)周練（十）一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1、若，則是的（ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 2、如圖是導(dǎo)函數(shù)的圖像，則下列命題錯(cuò)誤的是 （ ）A導(dǎo)函數(shù)在處有極小值B導(dǎo)函數(shù)在處有極大值C函數(shù)處有極小值D函數(shù)處有極小值3、將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如右圖所示，則該幾何體的左視圖為 （ ）4、已知橢圓 的一個(gè)焦點(diǎn)是圓的圓心,且短軸長(zhǎng)為8 ，則橢圓的左頂點(diǎn)為 （ ）A B C D5的展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)是（ ）A B C15 D6、已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且A、B、C三點(diǎn)共線（O為該直線外一點(diǎn)），則

2、（ ） A 2009 B C D7若雙曲線與直線無(wú)交點(diǎn)，則離心率的取值范圍是（ ） A B CD 8、已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有，則的最小值為( )A B C D 二填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)的橫線上。一、選做題（請(qǐng)考生在第9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分）9在直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)）在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，曲線的方程為sin，則與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 。10已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a2b3c9，求的最大值_11如圖所示，分

3、別延長(zhǎng)圓內(nèi)接四邊形ABCD兩組對(duì)邊相交于E和F兩點(diǎn)，如果E30°，F(xiàn)50°，那么A_.二、必做題（1216題）12有5名畢業(yè)生站成一排照相，若甲乙兩人之間恰有1人，則不同站法有 13、設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，若（為虛數(shù)單位）則的值為_14、若實(shí)數(shù)滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_15如右圖所示，某一平行線法優(yōu)選問(wèn)題中的圖，則圖中mn_.16、對(duì)于任意正整數(shù)j，k，定義，如.對(duì)于任意不小于2的正整數(shù)m、n，則= ； =_三、解答題（本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17(本小題滿分l2分)已知函數(shù)(R ) （）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間； () 內(nèi)

4、角的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，若 且試判斷的形狀，并說(shuō)明理由18（本小題滿分12分） 將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣湫∏蛟谡麄€(gè)下落過(guò)程中它將3次遇到黑色障礙物，最后落入袋或袋中已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是（）求小球落入袋中的概率；（）在容器入口處依次放入2個(gè)小球，記落入袋中的小球個(gè)數(shù)為，試求的分布列和的數(shù)學(xué)期望19（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD，底面為直角梯形，且AD=2，AB=BC=1，PA=（）設(shè)M為PD的中點(diǎn)，求證：平面PAB；（）若二面角BPCD的大小為150°，求此四棱錐的體積.AMDCBP

5、20（本小題滿分13分）已知數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，且當(dāng)時(shí)，（）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明對(duì)于任意的正整數(shù)，都有成立21（本小題滿分13分）已知橢圓：上的一動(dòng)點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最短距離為，且右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離等于短半軸的長(zhǎng)() 求橢圓的方程；() 過(guò)點(diǎn)(，)的動(dòng)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得無(wú)論如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由22. （本小題滿分13分）已知函數(shù)（）求證：存在定點(diǎn)，使得函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（）定義，其中且，求；（）對(duì)于（）

6、中的，求證：對(duì)于任意都有三、解答題16解：（），.故函數(shù)的最小正周期為；遞增區(qū)間為(Z )6分（）解法一：，即9分由余弦定理得：，即，故（不合題意，舍）或11分因?yàn)?，所以ABC為直角三角形.12分解法二：，即9分由正弦定理得：，或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（不合題意，舍） 11分所以ABC為直角三角形. 12分17解：（）當(dāng)且僅當(dāng)小球一直向左落下或一直向右落下時(shí)小球才會(huì)落入袋中，故 5分（）記“小球落入袋中”為事件，“小球落入袋中”為事件，則事件與事件 為對(duì)立事件，從而 8分顯然，的取值為0、1、2，且； 的分布列為012p故 12分（或由隨機(jī)變量，故）18解法一：（）證明：取PA的中點(diǎn)N，連結(jié)BN、NM

7、，在PAD中，且；又，且，所以MNBC，即四邊形BCMN為平行四邊形，.又平面PAB，平面PAB，故平面PAB. 5分（）如圖，連結(jié)AC，則二面角BPCD的大小等于二面角BPCA的大小與二面角DPCA的大小的和. 由知，又，所以平面PAC，即平面P平面PAC，所以二面角DPCA的大小為90°. 于是二面角BPCA的大小為60°，過(guò)B作于E，過(guò)E作于F，連結(jié)BF，由三垂線定理知為二面角BPCA的平面角. 9分在RtABC中，又易知PBC為Rt，且，解得 11分所以四棱錐PABCD的體積為 12分AEDCBPFAMDCBPN解法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB、AD、AP所在直線為x

8、、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，）. 2分（）由M為PD中點(diǎn)知M的坐標(biāo)為（0，1，），所以.又平面PAB的法向量可取為，而，即.又平面PAB，所以平面PAB. 6分AMDCBPxyz（）設(shè)平面PBC的法向量為. 不妨取，則， 又設(shè)平面PCD的法向量為. 不妨取，則 . 9分由的方向可知，解得 11分所以四棱錐PABCD體積為 12分19（）證明：當(dāng)時(shí)， 所以 又由，可推知對(duì)一切正整數(shù)均有， 數(shù)列是等比數(shù)列 分（）解：由（）知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為4， 當(dāng)時(shí)，又， 分 （）證明：當(dāng)時(shí)，此時(shí) ， 又， 分 ， 當(dāng)時(shí)，

9、 1分又因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)都有所以單調(diào)遞增，即，所以對(duì)于任意的正整數(shù)，都有成立 分20解： ()設(shè)橢圓的焦距為，則由題設(shè)可知，解此方程組得，. 所以橢圓C的方程是. 5分()解法一：假設(shè)存在點(diǎn)T（u, v）. 若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，將它代入橢圓方程，并整理，得設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，則 因?yàn)榧八?9分當(dāng)且僅當(dāng)恒成立時(shí)，以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T，所以解得此時(shí)以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T（0，1）. 11分當(dāng)直線l的斜率不存在，l與y軸重合，以AB為直徑的圓為也過(guò)點(diǎn)T（0，1）.綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1），滿足條件. 13分解法二：若直線l與y軸重合，則以AB為直徑的圓是 若直線l垂直于y軸，則以AB為直徑的圓是 7分由解得.由此可知所求點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）. 8分事實(shí)上點(diǎn)T（0，1）就是所求的點(diǎn). 證明如下：當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l與y軸重合時(shí)，以AB為直徑的圓為，過(guò)點(diǎn)T（0，1）； 當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程，并整理，得設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為，則 10分因?yàn)?，所以，即以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T（0，1）. 綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1）滿足條件. 13分21解：（）顯然函數(shù)定義域?yàn)椋?，1）. 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a, b），則由對(duì)