1、九年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（數(shù)學(xué)）2017 年 12 月第二十一章一元二次方程22.1 一元二次方程知識(shí)點(diǎn)一 一元二次方程的定義等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元） ，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下幾點(diǎn)： 只含有一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)是2；是整式方程。知識(shí)點(diǎn)二 一元二次方程的一般形式一般形式：ax2bxc0(a0) 其中， ax 2是二次項(xiàng)， a 是二次項(xiàng)系數(shù)；bx 是一次項(xiàng)， b 是一次項(xiàng)系數(shù)； c 是常數(shù)項(xiàng)。知識(shí)點(diǎn)三 一元二次方程的根使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過(guò)程中驗(yàn)根

2、的依據(jù)。22.2 降次 解一元二次方程22.2.1 配方法知識(shí)點(diǎn)一 直接開(kāi)平方法解一元二次方程（1） 如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是非負(fù)數(shù)，可以直接開(kāi)平方。一般地，對(duì)于形如x2a(a0) 的方程，根據(jù)平方根的定義可ax2a解得 x1.（2） 直接開(kāi)平方法適用于解形如x2p 或（ mxa）2p(m0) 形式的方程，如果 p0，就可以利用直接開(kāi)平方法。（3） 用直接開(kāi)平方法求一元二次方程的根，要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。（4） 直接開(kāi)平方法解一元二次方程的步驟是：移項(xiàng)；使二次項(xiàng)系數(shù)或含 有未知數(shù)的式子的平方項(xiàng)

3、的系數(shù)為1；兩邊直接開(kāi)平方， 使原方程變?yōu)閮蓚€(gè)一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程的根。知識(shí)點(diǎn)二 配方法解一元二次方程通過(guò)配成完全平方形式來(lái)解一元二次方程的方法，叫做配方法， 配方的目的是降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解。配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移、二除、三配、四開(kāi)。（1） ） 把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2） ） 方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)；（3） ） 方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式；（4） ） 若等號(hào)右邊為非負(fù)數(shù)，直接開(kāi)平方求出方程的解。22.2.2 公式法知識(shí)點(diǎn)一 公式法解一元二次方程（1） ） 一般地，對(duì)于一元二次方程ax 2bxc0(

4、 a0) ，如果 b24 ac0 ，那么方程的兩個(gè)根為xbb22a4ac，這個(gè)公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式， 我們可以由一元二方程的系數(shù)a,b,c 的值直接求得方程的解， 這種解方程的方法叫做公式法。（2） 一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax 2bxc0( a0) 的過(guò)程。（3） 公式法解一元二次方程的具體步驟： 方程化為一般形式：ax2bxc0(a0) ，一般 a 化為正值 確定公式中 a,b,c 的值，注意符號(hào)； 求出 b24ac 的值； 若b 24ac0 則把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解， b24ac0 ，則方程

5、無(wú)實(shí)數(shù)根。知識(shí)點(diǎn)二 一元二次方程根的判別式式子 b 24ac 叫做方程ax2bxc0(a0) 根的判別式，通常用希臘字母 表示它，即b24ac ,0 ，方程ax2bxc0(a0) 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根一元二次方程根的判別式=0 ，方程ax 2bxc0(a0) 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根0，方程ax2bxc0(a0) 無(wú)實(shí)數(shù)根22.2.3 3 因式分解法知識(shí)點(diǎn)一 因式分解法解一元二次方程（1） ） 把一元二次方程的一邊化為0，而另一邊分解成兩個(gè)一次因式的積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。（2） ） 因式分解法的詳細(xì)步驟： 移項(xiàng)，將所有的項(xiàng)都移到左邊，右邊化為0； 把方

6、程的左邊分解成兩個(gè)因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； 令每一個(gè)因式分別為零，得到一元一次方程； 解一元一次方程即可得到原方程的解。知識(shí)點(diǎn)二 用合適的方法解一元一次方程方法名稱(chēng)理論依據(jù)適用范圍直接開(kāi)平方法平方根的意義形如x 2p 或（ mxn ）2p(p0)配方法完全平方公式所有一元二次方程公 式 法 因式分解法配方法當(dāng) ab=0，則b=0a=0或所有一元二次方程一邊為 0，另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的積的一元二次方程。22.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（了解）若一元二次方程x 2pxq0 的兩個(gè)根為 x1 ,x2則有x1x2p , x x12q若 一 元 二

7、次 方 程 ax2bxc0(a0) 有 兩 個(gè) 實(shí) 數(shù) 根 x1， x2則 有xbc1x2, x x12aa22.3 實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程知識(shí)點(diǎn)一 列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：（1） 審：是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量以及它們之間的等量關(guān)系。（2） 設(shè)：是指設(shè)元，也就是設(shè)出未知數(shù)。（3） 列：就是列方程，這是關(guān)鍵步驟 ,一般先找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等含義， 然后列代數(shù)式表示這個(gè)相等關(guān)系中的各個(gè)量， 就得到含有未知數(shù)的等式，即方程。（4） 解：就是解方程，求出未知數(shù)的值。（5） 驗(yàn)：是指檢驗(yàn)方程的解是否保證實(shí)際問(wèn)題有意義，符合題意。（6） 答：寫(xiě)出答案

8、。知識(shí)點(diǎn)二 列一元二次方程解應(yīng)用題的幾種常見(jiàn)類(lèi)型（1） ） 數(shù)字問(wèn)題三個(gè)連續(xù)整數(shù)：若設(shè)中間的一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為 x-1，x+1 。三個(gè)連續(xù)偶數(shù)（奇數(shù)） ：若中間的一個(gè)數(shù)為 x，則另兩個(gè)數(shù)分別為 x-2,x+2。三位數(shù)的表示方法：設(shè)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為a,b,c，則這個(gè)三位數(shù)是 100a+10b+c.（2） ） 增長(zhǎng)率問(wèn)題設(shè)初始量為 a，終止量為 b，平均增長(zhǎng)率或平均降低率為x，則經(jīng)過(guò)兩次的增長(zhǎng)或降低后的等量關(guān)系為（3） ）利潤(rùn)問(wèn)題a(1x)2b利潤(rùn)問(wèn)題常用的相等關(guān)系式有：總利潤(rùn)=總銷(xiāo)售價(jià) -總成本；總利潤(rùn) =單位利潤(rùn)×總銷(xiāo)售量；利潤(rùn) =成本×利潤(rùn)率（4）

9、 ）圖形的面積問(wèn)題 根據(jù)圖形的面積與圖形的邊、 高等相關(guān)元素的關(guān)系， 將圖形的面積用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，建立一元二次方程。第二十二章 二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)的定義1. 二次函數(shù)的定義 ：一般地， 形如yax2bxc（ a ，b ，c 是常數(shù)， a0 ）的函數(shù)， 叫做二次函數(shù)其中 a 是二次項(xiàng)系數(shù)， b 是一次項(xiàng)系數(shù)， c 是常數(shù)項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)拋物線的三要素：開(kāi)口、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)2. 二次函數(shù) ya xh2k 的圖象與性質(zhì)（ 1）二次函數(shù)基本形式2yax 的圖象與性質(zhì)： a 的絕對(duì)值越大， 拋物線的開(kāi)口越?。?2） yax2c 的圖象與性質(zhì)： 上加下減（ 3）ya x

10、h2的圖象與性質(zhì)： 左加右減（ 4）二次函數(shù)2ya xhk 的圖象與性質(zhì)3. 二次函數(shù) yax 2bxc 的圖像與性質(zhì)（1）當(dāng)a0 時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為 xb，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2ab4acb2，2a4 a當(dāng) xb 2a時(shí)，y 隨 x 的增大而減小； 當(dāng) x2b時(shí)，y 隨 x 的增大而增大； 當(dāng) xb 2a2a時(shí)， y 有最小值4acb4abb4 acb 2（2）當(dāng) a0 時(shí)，拋物線開(kāi)口向下， 對(duì)稱(chēng)軸為 x，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2a，2a4a當(dāng) xb 2a時(shí)，y 隨 x 的增大而增大； 當(dāng) x2b時(shí)，y 隨 x 的增大而減??； 當(dāng) xb 2a2a時(shí)， y 有最大值4acb4a4. 二次函數(shù)常見(jiàn)方法指導(dǎo)（

11、 1）二次函數(shù)yax2bxc 圖象的畫(huà)法畫(huà)精確圖五點(diǎn)繪圖法（列表 - 描點(diǎn)- 連線）利用配方法將二次函數(shù)2yaxbxc 化為頂點(diǎn)式2ya( xh)k ，確定其開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)，左右對(duì)稱(chēng)地描點(diǎn)畫(huà)圖.畫(huà)草圖抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，與x 軸的交點(diǎn)，頂點(diǎn) .（2） ）二次函數(shù)圖象的平移平移步驟： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式2ya xhk ，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo) h ，k； 可以由拋物線 yax 2 經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)钠揭频玫?。具體平移方法如下：y=ax 2向上(k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k |個(gè)單位y=ax 2+k向右(h>0)【或左 ( h<

12、0)】平移|k|個(gè)單位y=a(x-h)2向右(h>0) 【或左 (h<0) 】平移 |k|個(gè)單位向上(k>0) 【或下 (k<0) 】平移|k|個(gè)單位向上(k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|個(gè)單位向右(h>0)【或左 (h<0)】平移 |k|個(gè)單位y=a(x-h)2+k平移規(guī)律：概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減” （3） ）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式一般式：. 已知圖象上三點(diǎn)或三對(duì) （ x, y），的值，通常選擇一般式 .頂點(diǎn)式：. 已知圖象的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式.交點(diǎn)式：. 已知圖象與 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、 ，通常選擇交點(diǎn)式 .（

13、4） ）求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法公式法： yax2bxc2a xb 2a4acb 4a2，頂點(diǎn)是（b4ac，2 a4a2b ），對(duì)稱(chēng)軸是直線 xb .2a配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為ya xh 2k 的形式，得到頂點(diǎn)為( h , k ) ，對(duì)稱(chēng)軸是直線 xh .運(yùn)用拋物線的對(duì)稱(chēng)性： 由于拋物線是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形， 所以對(duì)稱(chēng)軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).（5） ）拋物線yax2bxc 中，a,b, c 的作用 a 決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與 y b 和a 共同決定拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置ax 2 中的 a 完全一樣 .由于拋物線 yax

14、 2bxc 的對(duì)稱(chēng)軸是直線 xb ，故2 a如果 b0 時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為 y 軸；如果 ba如果 ba0 （即 a 、b 同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y 軸左側(cè)；0 （即 a 、b 異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y 軸右側(cè). c 的大小決定拋物線 yax 2bxc 與 y 軸交點(diǎn)的位置當(dāng) x0 時(shí)， yc，所以拋物線 yax2bxc 與 y 軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（ 0， c ），故如果 c如果 c0 ，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；0 , 與 y 軸交于正半軸；如果 c0 , 與 y 軸交于負(fù)半軸 .知識(shí)點(diǎn)三：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系5. 函數(shù) yax 2bxc ，當(dāng) y0 時(shí)，得到一元二次方程ax2bxc0 ，那么一元二次方程的

15、解就是二次函數(shù)的圖象與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖象與x 軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況 .(1) 當(dāng)二次函數(shù)的圖象與實(shí)根；x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)， 這時(shí)，則方程有兩個(gè)不相等(2) 當(dāng)二次函數(shù)的圖象與 x 軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)， 這時(shí)，則方程有兩個(gè)相等實(shí)根； (3) 當(dāng)二次函數(shù)的圖象與實(shí)根.通過(guò)下面表格可以直觀地觀察到二次函數(shù)圖象和一元二次方程的關(guān)系：x 軸沒(méi)有交點(diǎn)， 這時(shí)，則方程沒(méi)有的圖象方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解解方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解的解6. 拓展：關(guān)于直線與拋物線的交點(diǎn)知識(shí)（ 1） y 軸與拋物線 yax 2bxc 得交點(diǎn)為 (0, c) .（ 2 ）與 y 軸平行的 直線 x

16、h 與拋物 線 yax 2bxc 有且 只有一 個(gè) 交點(diǎn)( h ,ah 2bhc ).（3） ）拋物線與 x 軸的交點(diǎn)二次函數(shù) yax 2bxc 的圖像與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x 、 x ，是對(duì)12應(yīng)一元二次方程ax 2bxc0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 . 拋物線與 x 軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與 x 軸相交；有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在 x軸上）0拋物線與 x 軸相切；沒(méi)有交點(diǎn)0拋物線與 x 軸相離.（4） 平行于 x 軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同（ 3）一樣可能有 0 個(gè)交點(diǎn)、 1 個(gè)交點(diǎn)、 2 個(gè)交點(diǎn). 當(dāng)有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為 k

17、，則橫坐標(biāo)是數(shù)根.ax2bxck 的兩個(gè)實(shí)（5） 一次函數(shù) ykxn k0 的圖像 l 與二次函數(shù) yax 2bxc a0 的圖ykxn像G 的交點(diǎn)，由方程組2yaxbxc的解的數(shù)目來(lái)確定：方程組有兩組不同的解時(shí)l 與G 有兩個(gè)交點(diǎn) ;方程組只有一組解時(shí)l 與 G 只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解時(shí)l 與 G 沒(méi)有交點(diǎn) .（6） 拋物線與 x 軸兩交點(diǎn)之間的距離： 若拋物線yax 2bxc 與 x 軸兩交點(diǎn)為 A x ，0 ， Bx ，0，由于x 、 x 是方程ax 2bxc0 的兩個(gè)根，故1212x1x2b , xa1x2cax1x2x1x22x1x224x1x22ba4cab24acaaAB知識(shí)點(diǎn)

18、四：利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題7. 利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題， 要建立數(shù)學(xué)模型， 即把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再 利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問(wèn)題 . 在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義 .利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是：(1) 建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；(2) 把實(shí)際問(wèn)題中的一些數(shù)據(jù)與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)；(3) 用待定系數(shù)法求出拋物線的關(guān)系式；(4) 利用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.第二十三章旋轉(zhuǎn)23.1 圖形的旋轉(zhuǎn)知識(shí)點(diǎn)一 旋轉(zhuǎn)的定義在平面內(nèi)，把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O 轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，就叫

19、做圖形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn) O 叫做旋轉(zhuǎn)中心， 轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)的三要素。知識(shí)點(diǎn)二 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的特征：（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2） ）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3） ）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。理解以下幾點(diǎn)：（1） ）圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2） ）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等。（3） ）圖形的大小和形狀都沒(méi)有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置。知識(shí)點(diǎn)三 利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：（1）任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，它是利

20、用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。步驟可分為： 連：即連接圖形中每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心； 轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過(guò)一定角度（作旋轉(zhuǎn)角） 截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)； 接：即連接到所連接的各點(diǎn)。23.2 中心對(duì)稱(chēng)知識(shí)點(diǎn)一 中心對(duì)稱(chēng)的定義中心對(duì)稱(chēng)：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)或中心對(duì)稱(chēng)，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱(chēng)中心 。注意以下幾點(diǎn)：中心對(duì)稱(chēng)指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系；只有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心； 繞對(duì)稱(chēng)中心旋轉(zhuǎn)180°兩個(gè)圖形能夠完全重合。知識(shí)點(diǎn)二 作一個(gè)圖形關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖形要作出一個(gè)圖形關(guān)于某

21、一點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的圖形， 關(guān)鍵是作出該圖形上關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。 最后將對(duì)稱(chēng)點(diǎn)按照原圖形的形狀連接起來(lái)， 即可得出成中心對(duì)稱(chēng)圖形。知識(shí)點(diǎn)三 中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)有以下幾點(diǎn)：（1） ）關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，并且都被對(duì)稱(chēng)中心平分；（2） ） 關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形能夠互相重合，是全等形；（3） ） 關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段平行（或共線）且相等。知識(shí)點(diǎn)四 中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱(chēng)中心。知識(shí)點(diǎn)五 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中，

22、 如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， 它們的坐標(biāo)符號(hào)相反， 即點(diǎn) p（x,y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（ -x,-y）。第二十四章 圓24.1 圓24.1.1 圓知識(shí)點(diǎn)一 圓的定義圓的定義：第一種：在一個(gè)平面內(nèi)，線段 OA 繞它固定的一個(gè)端點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn) A 所形成的圖形叫作圓。 固定的端點(diǎn) O 叫作圓心， 線段 OA 叫作半徑。第二種：圓心為 O，半徑為 r 的圓可以看成是所有到定點(diǎn) O 的距離等于定長(zhǎng) r的點(diǎn)的集合。比較圓的兩種定義可知： 第一種定義是圓的形成進(jìn)行描述的， 第二種是運(yùn)用集合的觀點(diǎn)下的定義，但是都說(shuō)明確定了定點(diǎn)與定長(zhǎng)，也就確定了圓。知識(shí)點(diǎn)二 圓的相關(guān)概念（1） ） 弦：連接圓上任

23、意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫作直徑。（2） ） ?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。（3） ） 等圓：等夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。（4） ） 等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。弦是線段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中， 只有在同圓或等圓中完全重合的弧才是等弧，而不是長(zhǎng)度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直徑知識(shí)點(diǎn)一 圓的對(duì)稱(chēng)性圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸。知識(shí)點(diǎn)二 垂徑定理CABMD（ 1）垂徑定理： 垂直于弦的直徑平分弦， 并且平分弦所對(duì)的兩條弧。 如圖所示， 直徑為 C

24、D， AB 是弦，且 CDAB ，AMBM垂足為 MACBCADBD垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧如上圖所示，直徑 CD 與非直徑弦 AB 相交于點(diǎn) M，CDAB AMBMACBCADBD注意：因?yàn)閳A的兩條直徑必須互相平分， 所以垂徑定理的推論中， 被平分的弦必須不是直徑，否則結(jié)論不成立。24.1.3 弧、弦、圓心角知識(shí)點(diǎn) 弦、弧、圓心角的關(guān)系（1） 弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。（2） 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等， 那么它們所對(duì)應(yīng)的其余的各組量也相等。（3）

25、注意不能忽略同圓或等圓這個(gè)前提條件，如果丟掉這個(gè)條件，即使圓心角相等，所對(duì)的弧、弦也不一定相等，比如兩個(gè)同心圓中，兩個(gè)圓心角相同，但此時(shí)弧、弦不一定相等。24.1.4 圓周角知識(shí)點(diǎn)一 圓周角定理（1） ） 圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。（2） ） 圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)弦是直徑。（3） ） 圓周角定理揭示了同弧或等弧所對(duì)的圓周角與圓心角的大小關(guān)系?！巴』虻然?”是不能改為 “同弦或等弦 ”的，否則就不成立了，因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的圓周角有兩類(lèi)。知識(shí)點(diǎn)二 圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)圓內(nèi)接多邊

26、形：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。24.2 點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系24.2.1 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 知識(shí)點(diǎn)一 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1） 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)三種。（2） 用數(shù)量關(guān)系表示：若設(shè) O 的半徑是 r，點(diǎn) P 到圓的距離 OP=d，則有：dr；點(diǎn) p 在圓上d=r；點(diǎn) p 在圓內(nèi)點(diǎn) P 在圓外知識(shí)點(diǎn)二 過(guò)已知點(diǎn)作圓（1） ） 經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)的圓dr。以點(diǎn) A 外的任意一點(diǎn)（如點(diǎn) O）為圓心，以 OA 為半徑作圓即可，這樣的圓可以作無(wú)數(shù)個(gè)。（2）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)

27、的圓以線段 AB的垂直平分線上的任意一點(diǎn)（如點(diǎn)O）為圓心，以 OA（或 OB） 為半徑作圓即可，這樣的圓可以作無(wú)數(shù)個(gè)。（2） ） 經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓 經(jīng)過(guò)在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓 不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓， 即經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作圓， 且只能作一個(gè)圓。 如經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A 、B、C 作圓， 作法：連接 AB 、BC（或 AB 、AC 或 BC、AC ）并 作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點(diǎn) O，以點(diǎn) O 為圓心，以 OA（或 OB、OC）的長(zhǎng)為半徑作圓即可，這樣的圓只能作一個(gè)。知識(shí)點(diǎn)三 三角形的外接圓與外心（1） 經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這

28、個(gè)圓叫做三角形的外接圓。（2） 外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心。知識(shí)點(diǎn)四 反證法（1） 反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過(guò)推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。（2） 反證法的一般步驟： 假設(shè)命題的結(jié)論不成立； 從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等相矛盾的結(jié)論； 由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得出原命題正確。24.2.2 直線和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一 直線與圓的位置關(guān)系（1） ）直線與圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種。（2） ） 直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示若設(shè) O

29、的半徑是 r，直線 l 與圓心 0 的距離為 d，則有：直線 l和 O相交d r；直線 l和 O相切d= r；直線 l和 O相離d r 。知識(shí)點(diǎn)二 切線的判定和性質(zhì)（1） ） 切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2） 切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。（3） 切線的其他性質(zhì)：切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；切線到圓心的距離等于半 徑；經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)； 必過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。知識(shí)點(diǎn)三 切線長(zhǎng)定理（1） ） 切線長(zhǎng)的定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。（2） 切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引

30、圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。（3） 注意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線， 是不能度量的；切線長(zhǎng)是一條線段的長(zhǎng)， 這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)是在圓外一點(diǎn)， 另一個(gè)是切點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)四 三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心（1）三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。(2) 三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。(3) 注意：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，所以當(dāng)三角形的內(nèi)心已知時(shí)，過(guò)三角形的頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角。24.2.3 圓和圓的位置關(guān)系 知識(shí)點(diǎn)一 圓與圓的位置

31、關(guān)系（ 1） 圓與圓的位置關(guān)系有五種： 如果兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相離，包括外離和內(nèi)含兩種； 如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相切，包括內(nèi)切和外切兩種； 如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相交。（2） 圓與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系來(lái)表示：若設(shè)兩圓圓心之間的距離為d，兩圓的半徑分別是 r1 r2,且 r1 r2，則有 兩圓外離d r1+r2 兩圓外切d=r1+r2 兩圓相交r2-r1dr1+r2 兩圓內(nèi)切d=r2-r1 兩圓內(nèi)含dr2-r124.3 正多邊形和圓知識(shí)點(diǎn)一 正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形與圓的關(guān)系非常密切，把圓分成n（ n 是大于 2 的自然數(shù)）等份，

32、 順次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓。正多邊形的中心：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識(shí)點(diǎn)二 正多邊形的性質(zhì)（1） ） 正 n 邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成2n 個(gè)全等的直角三角形。（2） ） 所有的正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，每個(gè)正n 邊形共有 n 條對(duì)稱(chēng)軸，每條對(duì)稱(chēng)軸都經(jīng)過(guò)正 n 邊形的中心；當(dāng)正 n 邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時(shí)，這個(gè)正 n 邊形也是中心對(duì)

33、稱(chēng)圖形，正 n 邊形的中心就是對(duì)稱(chēng)中心。（3） 正 n 邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于 （ n24.4 弧長(zhǎng)和扇形面積2） 180n，中心角和外角相等， 等于360n知識(shí)點(diǎn)一 弧長(zhǎng)公式 ln R180在半徑為 R 的圓中， 360°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓的周長(zhǎng)C=2 R，所以 n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式 lnn R2 R。知識(shí)點(diǎn)二 扇形面積公式360180在半徑為 R 的圓中， 360°的圓心角所對(duì)的扇形面積就是圓的面積SR2 ，所n R 2以圓心角為 n°的扇形的面積為S扇形。360比較扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式發(fā)現(xiàn)：S扇形nR2n R1 R1 lR所以 S扇形1 lR360180222知識(shí)點(diǎn)三 圓錐的側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面積是曲面， 沿著圓錐的一條母線將圓錐的側(cè)面展開(kāi)， 容易得到圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為 r，那么這個(gè)扇形的半徑為 l，扇形的弧長(zhǎng)為 2 ，r因此圓