1、電 磁 學(xué)講 授 提 綱中學(xué)生物理奧林匹克競(jìng)賽靜靜 電電 場(chǎng)場(chǎng)一、庫侖定律一、庫侖定律二、電場(chǎng)二、電場(chǎng) 電場(chǎng)強(qiáng)度高斯定理電場(chǎng)強(qiáng)度高斯定理三、電勢(shì)三、電勢(shì) 電勢(shì)能電勢(shì)能 電場(chǎng)能量電場(chǎng)能量四、有導(dǎo)體時(shí)的靜電場(chǎng)問題四、有導(dǎo)體時(shí)的靜電場(chǎng)問題五、電容器五、電容器 六、電介質(zhì)簡(jiǎn)介六、電介質(zhì)簡(jiǎn)介一、庫侖定律一、庫侖定律1、定律表述和公式（、定律表述和公式（注意：注意：靜止、真空、點(diǎn)電荷靜止、真空、點(diǎn)電荷）1222101241rrqqF0 = 8.8510-12 C2 N-1 m-2 ( F/m)稱為真空電容率。稱為真空電容率。K=1/40靜止靜止: 兩電荷相對(duì)于觀察者靜止。兩電荷相對(duì)于觀察者靜止。真空真空:

2、 在電介質(zhì)中公式要修正。在電介質(zhì)中公式要修正。點(diǎn)電荷：點(diǎn)電荷：電荷線度與電荷間距比較。電荷線度與電荷間距比較。例：例： 在在坐標(biāo)系中，點(diǎn)電荷坐標(biāo)系中，點(diǎn)電荷 q1以速度以速度 v 沿沿x軸軸運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)電荷運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)電荷 q2 不動(dòng)。不動(dòng)。T=0時(shí)刻時(shí)刻 q1正處在正處在坐標(biāo)系的原點(diǎn)坐標(biāo)系的原點(diǎn)O。試求。試求q1 作用在作用在q2上的力。上的力。解：解： 取取坐標(biāo)系隨點(diǎn)電荷坐標(biāo)系隨點(diǎn)電荷 q1一起運(yùn)動(dòng)。一起運(yùn)動(dòng)。在在系中點(diǎn)電荷系中點(diǎn)電荷 q1的產(chǎn)生的是靜電場(chǎng)的產(chǎn)生的是靜電場(chǎng)3013014)(4rzky jxiqrrqE0B由相對(duì)論電場(chǎng)變換公式，在由相對(duì)論電場(chǎng)變換公式，在坐標(biāo)系中，點(diǎn)電荷坐標(biāo)系中，點(diǎn)電

3、荷 q1的電磁場(chǎng)為：的電磁場(chǎng)為：3014rxqEExx3014)(ryqBvEEzyy3014)(rzqBvEEyzz 由洛倫茲變換得由洛倫茲變換得yy xxzz )()1()()(22222222222222222222222222crvrcvxcvzyxzyxzyxzyxr23)()1()1 (422222201crvrcvrcvqEEqF22、庫侖力的求算、庫侖力的求算（注意：（注意：矢量性、疊加原理矢量性、疊加原理）。）。iiinirrqqF412010rrdqqF4200疊加原理疊加原理:例：例：電荷均勻分布的半球面對(duì)球心處電荷均勻分布的半球面對(duì)球心處Q(0)的庫倫力：的庫倫力：co

4、s4120RSQFi)(4120RRSQF0204cos41QSRQF04E例例 如圖如圖15-2所示，在所示，在x0的空間各點(diǎn)，有沿的空間各點(diǎn)，有沿x軸正方向的電場(chǎng)，其中，軸正方向的電場(chǎng)，其中，xd 區(qū)區(qū)域是非勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度域是非勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E 的大小隨的大小隨x增大而增大，即增大而增大，即E=bx. b為已知量為已知量(b0)；在在xd 的區(qū)域是勻強(qiáng)電強(qiáng)，場(chǎng)強(qiáng)的區(qū)域是勻強(qiáng)電強(qiáng)，場(chǎng)強(qiáng)E=bd.x0的空間中的空間中的分布對(duì)稱，場(chǎng)強(qiáng)的方向沿的分布對(duì)稱，場(chǎng)強(qiáng)的方向沿x軸的負(fù)方向一電子軸的負(fù)方向一電子(質(zhì)量為質(zhì)量為m、電量為、電量為-e，e0)。在在 x=2.5d 處沿處沿 y 軸正方向以

5、初速軸正方向以初速V 開始運(yùn)動(dòng)開始運(yùn)動(dòng)，求：求： (1) 電子的電子的 x 方向分運(yùn)動(dòng)的周期；方向分運(yùn)動(dòng)的周期； (2) 電子運(yùn)動(dòng)的軌跡與電子運(yùn)動(dòng)的軌跡與 y 軸的各個(gè)交點(diǎn)中，任意兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間距離軸的各個(gè)交點(diǎn)中，任意兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間距離。maebd 212123atd ebmt31dmebatvd31解解 3、帶電體在庫侖力作用下的運(yùn)動(dòng)。、帶電體在庫侖力作用下的運(yùn)動(dòng)。 kxebxFmebmkdvdAd2222Ttt4132ebmT22632TtebmtTt64123ebmebmttT3234)( 431VebmVTl)332 (212cos21ttAxcostAvsin例例例例 半徑為半徑為R

6、、質(zhì)量、質(zhì)量m 分布均勻的細(xì)園環(huán)上分布不能移動(dòng)的正電荷，總電量分布均勻的細(xì)園環(huán)上分布不能移動(dòng)的正電荷，總電量為為Q。(1)知電荷在環(huán)直徑知電荷在環(huán)直徑AOB上作勻速直線運(yùn)動(dòng)上作勻速直線運(yùn)動(dòng),求園環(huán)上的電荷分布；求園環(huán)上的電荷分布；(2)如圖如圖,將將Q1=kQ放在距環(huán)心放在距環(huán)心r1處處,若若Q2、Q1、Q三者都靜止不動(dòng)，求三者都靜止不動(dòng)，求Q2的大小和的大小和位置位置;（3）讓）讓Q1 、Q2 固定不動(dòng)并變符號(hào)。使環(huán)沿固定不動(dòng)并變符號(hào)。使環(huán)沿x軸移小距離軸移小距離x后靜止釋放，后靜止釋放，試討論環(huán)的運(yùn)動(dòng)。試討論環(huán)的運(yùn)動(dòng)。 環(huán)環(huán)球面球面 0)(22121211rrQQrQQ0222211rQQ

7、rQQ0)(22121222rrQQrQQkrrrQQ222211)(112krrQkkQrrQ2121222) 1(21)1 (Rrk1k r1R ； Q10、Q2R）(r0)Qqi0)S(011電荷求和內(nèi)對(duì)因此有因此有QEr0214SSiiSiiErSESESE24同理求得球內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度為同理求得球內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度為半徑為半徑為R的均勻帶電球體內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度的均勻帶電球體內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度rrQE42003034rrRQrE（rR）（rR）半徑半徑R的的無限長(zhǎng)均勻圓柱體（單位長(zhǎng)帶電荷無限長(zhǎng)均勻圓柱體（單位長(zhǎng)帶電荷）解：作與帶電圓柱體共軸的、半徑為解：作與帶電圓柱體共軸的、半徑為 r 柱形高斯面，柱

8、形高斯面，由高斯定理得由高斯定理得rE02上底下底側(cè)面iiiiiSiiSESESESEhqrhESESESiii00112內(nèi)側(cè)面?zhèn)让鎰t得則得（rR）柱內(nèi)柱內(nèi)上底下底側(cè)面iiiiiSiiSESESESE220012RhrqrhESESESiii內(nèi)側(cè)面?zhèn)让?02RrE（r R）無限大均勻帶電平（單位面積帶電荷無限大均勻帶電平（單位面積帶電荷） kE220由柱外電場(chǎng)強(qiáng)度公式知：線密度為由柱外電場(chǎng)強(qiáng)度公式知：線密度為的的無限長(zhǎng)直線電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度為無限長(zhǎng)直線電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度為rE02請(qǐng)同學(xué)們自己用高斯定理證明上式請(qǐng)同學(xué)們自己用高斯定理證明上式 再論再論電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理-以典型電荷分布以典型

9、電荷分布的的場(chǎng)強(qiáng)疊加場(chǎng)強(qiáng)疊加例例 例例 3rrqkE3rrqkE)(3_3rrrrkqEEEarrarr)11()11(333_3arrrrrkqEcosarrcos arr（1 1）球外）球外(r(rR)R)的場(chǎng)強(qiáng)的場(chǎng)強(qiáng)cos2asvqcos2asvcoscos20asqa20aaRRaqap033343422式中式中(2)球內(nèi)球內(nèi)(r 0)的帶電粒子從的帶電粒子從Z處沿處沿OZ軸正方向射向軸正方向射向兩圓環(huán)。已知粒子剛好能穿過兩個(gè)圓環(huán)。試畫出粒子的動(dòng)能兩圓環(huán)。已知粒子剛好能穿過兩個(gè)圓環(huán)。試畫出粒子的動(dòng)能Ek 隨隨Z 的變化圖線的變化圖線，并求出與所畫圖線相應(yīng)的，并求出與所畫圖線相應(yīng)的D 所

10、滿足的條件；所滿足的條件；2、若粒子初始時(shí)刻位于坐標(biāo)原點(diǎn)、若粒子初始時(shí)刻位于坐標(biāo)原點(diǎn)Z0處，現(xiàn)給粒子一沿處，現(xiàn)給粒子一沿Z軸方向的速度（軸方向的速度（大小不限），試盡可能詳細(xì)討論粒子可能做怎樣的運(yùn)動(dòng)。不計(jì)重力的作用。大小不限），試盡可能詳細(xì)討論粒子可能做怎樣的運(yùn)動(dòng)。不計(jì)重力的作用。 解：解： 1、Z軸上軸上Z處的電勢(shì)為處的電勢(shì)為222221)(1)(1)()()(DzRDzRkQzVzVzV2)()()0(2221DRkQzVzVV雙峰時(shí)雙峰時(shí)V（0）為極小值；單峰時(shí)）為極小值；單峰時(shí)V（0）為極大值。現(xiàn)在求雙峰、單峰）為極大值?，F(xiàn)在求雙峰、單峰的條件。的條件。Z 較小時(shí)有較小時(shí)有3! 3)2

11、)(1(2! 2) 1(1)1 (xnnnxnnnxnx用了公式：22522222222222222)()2()0()(D3-2DRkQ)(zDRDRkQVDRzDRzzV略去略去 z 的的 3 次以上次以上的高次項(xiàng)的高次項(xiàng)得得（）干22222222221222222122)2D(83)2D(211 DR1)2D1DR1D(DRzzDRzzDRzzzR由此可知：由此可知：為雙峰。為極小值，時(shí)，)()0(2zVVRD 為單峰。為極大值，時(shí)，)()0(2zVVRD 設(shè)粒子的初動(dòng)能為設(shè)粒子的初動(dòng)能為Ek0，則粒子在，則粒子在Z軸軸 上的動(dòng)能為上的動(dòng)能為)(0zqVEEkk2、也分兩種情況討論：、也分

12、兩種情況討論： 極小。，這時(shí)，電勢(shì)曲線是雙峰)0(,2VRD 遠(yuǎn)。電勢(shì)能峰高運(yùn)動(dòng)到無限，粒子穿越電勢(shì)能峰高若粒子初動(dòng)能)(max0zqVEk。為平衡位置做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，粒子以當(dāng)電勢(shì)能峰間往返運(yùn)動(dòng)，則粒子在兩電勢(shì)能峰高若粒子初動(dòng)能0)()(max0max0zzqVEzqVEkk兩環(huán)兩環(huán) 在在 z 軸上的電場(chǎng)強(qiáng)度為軸上的電場(chǎng)強(qiáng)度為EzDzRDzDzRDzkQEEzEz)()()(232232221（1）)3D1DR)R2Dz1 ()(D)(222322232223222322DRzDDRzR干（）（2）（2）式代入（）式代入（1）式得）式得zDRRDkQzDRDRkQzEz252222252222)

13、(24)(42)()042(22 DR2522222252222)(24)(24)()(DRmRDkqQzDRRDkqQzqEzFz)24()(2222522RDkqQDRmT子在原點(diǎn)不穩(wěn)定平衡。，勢(shì)能曲線是單峰，粒2RD （2）例例解解1球碰球碰3球，球，2球在對(duì)稱位置，對(duì)球在對(duì)稱位置，對(duì)1、3球的影響相同：故球的影響相同：故Qq211QQ2121球碰球碰2球：球：Qq41 1QQ4131球碰球碰4球，設(shè)球，設(shè)1球帶電球帶電Q1,4球帶電球帶電Q4，則：，則：rQkrQkrQkaQkU432112aQkrQkrQkrQkU432142QQQ4141解得：解得：2) 12(1 8)(2) 12

14、(1 81raQaraQQ2) 12(1 8)(2) 12(1 84raQaraQQ設(shè)設(shè)1球碰接地后的電量為球碰接地后的電量為q1：這時(shí)：這時(shí)1球的電勢(shì)球的電勢(shì)U1=0，即，即 0243211rQkrQkrQkaqkU241851rQaq流入大地的電流為：流入大地的電流為：)4(1 8223raQ241852) 12(1 8Q11rQaraQqQ大地4.電勢(shì)能電場(chǎng)能量電勢(shì)能電場(chǎng)能量 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷q在電場(chǎng)中在電場(chǎng)中a點(diǎn)的電勢(shì)能：設(shè)無限遠(yuǎn)處為電勢(shì)能零點(diǎn)，則點(diǎn)的電勢(shì)能：設(shè)無限遠(yuǎn)處為電勢(shì)能零點(diǎn)，則iaiaalEqqUW（1）自能和相互作用能）自能和相互作用能兩點(diǎn)電荷兩點(diǎn)電荷 的相互作用能為的相互作用能

15、為122101141rqqUqW122102241rqqUqW三個(gè)點(diǎn)電荷三個(gè)點(diǎn)電荷 的相互作用能為的相互作用能為1221041rqqW2332041rqq3113041rqq電勢(shì)能屬于電荷系統(tǒng)的電勢(shì)能屬于電荷系統(tǒng)的相互作用能相互作用能N個(gè)點(diǎn)電荷個(gè)點(diǎn)電荷 的相互作用：兩兩不重復(fù)配對(duì)，將各對(duì)點(diǎn)電荷的相互作用能求和。的相互作用：兩兩不重復(fù)配對(duì)，將各對(duì)點(diǎn)電荷的相互作用能求和。問題問題： 把把-2e 移至無限移至無限遠(yuǎn)處外力作的功？遠(yuǎn)處外力作的功？棱邊電荷配棱邊電荷配12對(duì)：對(duì)：面對(duì)角電荷線配面對(duì)角電荷線配12對(duì)：對(duì)：體對(duì)角線電荷配體對(duì)角線電荷配4對(duì)：對(duì)：aeW2014112aeW24112202aeW

16、3414203aeW232044184321WWWWW總電勢(shì)總電勢(shì) 能：能：心角電荷配心角電荷配8對(duì)：對(duì)：lpmem1860,21iiiUqiqiiUiql兩個(gè)質(zhì)子和兩個(gè)正電子分別固定在一邊長(zhǎng)為兩個(gè)質(zhì)子和兩個(gè)正電子分別固定在一邊長(zhǎng)為其分布如圖所示。現(xiàn)同時(shí)釋放這四個(gè)粒子，估算四個(gè)粒子相距甚遠(yuǎn)時(shí)，各自其分布如圖所示?，F(xiàn)同時(shí)釋放這四個(gè)粒子，估算四個(gè)粒子相距甚遠(yuǎn)時(shí)，各自約為電子質(zhì)量約為電子質(zhì)量(正電子質(zhì)量正電子質(zhì)量)的的說明說明: 帶電粒子系統(tǒng)的相互作用能帶電粒子系統(tǒng)的相互作用能(將帶電粒子從無限原處移到當(dāng)前位置所將帶電粒子從無限原處移到當(dāng)前位置所其中其中為第為第個(gè)點(diǎn)電荷的電量，個(gè)點(diǎn)電荷的電量，電荷在

17、電荷在解：當(dāng)兩個(gè)質(zhì)子和兩個(gè)正電子分別固定在于一邊長(zhǎng)為解：當(dāng)兩個(gè)質(zhì)子和兩個(gè)正電子分別固定在于一邊長(zhǎng)為的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上時(shí)，系統(tǒng)的相互作用勢(shì)能為的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上時(shí)，系統(tǒng)的相互作用勢(shì)能為的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，速度的大小。質(zhì)子質(zhì)量速度的大小。質(zhì)子質(zhì)量倍。倍。增加的能量增加的能量)為為為其它為其它處產(chǎn)生的電勢(shì)。處產(chǎn)生的電勢(shì)。leklek22422例例 由于正電子質(zhì)量遠(yuǎn)小于質(zhì)子質(zhì)量，近似地，可以認(rèn)為當(dāng)正電子跑的足夠由于正電子質(zhì)量遠(yuǎn)小于質(zhì)子質(zhì)量，近似地，可以認(rèn)為當(dāng)正電子跑的足夠遠(yuǎn)時(shí)，質(zhì)子還基本保持原位，這樣近似有遠(yuǎn)時(shí)，質(zhì)子還基本保持原位，這樣近似有l(wèi)ekvmleklekee221

18、222422222242lmkeveelmke vvmlekpppp2 ,2122222最后，兩個(gè)質(zhì)子分開，有最后，兩個(gè)質(zhì)子分開，有202218EkEwrr上式是一個(gè)普遍適用的表達(dá)式，只要空間某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度已知，則上式是一個(gè)普遍適用的表達(dá)式，只要空間某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度已知，則 電場(chǎng)的總能量：電場(chǎng)的總能量：iiriiiivEvwW2021kEr82該處單位體積內(nèi)的電場(chǎng)能量就等于該處單位體積內(nèi)的電場(chǎng)能量就等于 （3）電場(chǎng)能量密度）電場(chǎng)能量密度 電場(chǎng)能量電場(chǎng)能量：電勢(shì)能是定域在電場(chǎng)中的，電勢(shì)能是定域在電場(chǎng)中的，電勢(shì)能（靜電能）相互作用能自能電勢(shì)能（靜電能）相互作用能自能自能：帶電體各部分電荷間的相互作用

19、能自能：帶電體各部分電荷間的相互作用能電場(chǎng)能量密度：電場(chǎng)能量密度：有電場(chǎng)的地方就有能量有電場(chǎng)的地方就有能量 例例(27復(fù)復(fù))、如圖所示，兩個(gè)固定的均勻帶電球面，所帶電荷、如圖所示，兩個(gè)固定的均勻帶電球面，所帶電荷量分別為量分別為Q和和-Q（Q0），半徑分別為），半徑分別為R和和R/2，小球面與大球面，小球面與大球面內(nèi)切于內(nèi)切于C點(diǎn)，兩球面球心點(diǎn)，兩球面球心O和和O的連線的連線MN沿豎直方向。在沿豎直方向。在MN與與兩球面的交點(diǎn)兩球面的交點(diǎn)B、O和和C處各開有足夠小的孔，因小孔損失的電荷處各開有足夠小的孔，因小孔損失的電荷量忽略不計(jì)量忽略不計(jì),有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為m，帶電荷量為，帶電荷量為q(q

20、0)的質(zhì)點(diǎn)自的質(zhì)點(diǎn)自MN線上線上離離B點(diǎn)距離為點(diǎn)距離為R的的A點(diǎn)豎直上拋，設(shè)靜電力常量為點(diǎn)豎直上拋，設(shè)靜電力常量為k，重力加速度，重力加速度為為g。 1要使質(zhì)點(diǎn)從要使質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)上拋后能夠到達(dá)點(diǎn)上拋后能夠到達(dá)B點(diǎn)，所需的最小初動(dòng)點(diǎn)，所需的最小初動(dòng)能為多少能為多少?； 2要使質(zhì)點(diǎn)從要使質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)上拋后能夠到達(dá)點(diǎn)上拋后能夠到達(dá)O點(diǎn)，在不同條點(diǎn)，在不同條件下所需的最小初動(dòng)能各為多少件下所需的最小初動(dòng)能各為多少?1質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在AB應(yīng)作減速運(yùn)動(dòng)應(yīng)作減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在設(shè)質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的最小初動(dòng)點(diǎn)的最小初動(dòng)能為能為Ek0，則根據(jù)能量守恒則根據(jù)能量守恒有有解解252230RkqQRkqQEmgRRkqQRkqQk(

21、1)RkqQmgREk3070(2)2質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在BO的運(yùn)動(dòng)有三種可能情況：的運(yùn)動(dòng)有三種可能情況：作加速運(yùn)動(dòng)，若qkqQmg29R4(1)RkqQmgREk3070(3)外球面在外球面在B B點(diǎn)的場(chǎng)力？點(diǎn)的場(chǎng)力？作減速運(yùn)動(dòng)，若qkqQmg22R(2)252220RkqQRkqQERmgRkqQRkqQk(4)RkqQmgREk011120(5)(3) 2249Q4RkqQmgRkq若先減速，再加速，先減速，再加速，即有一平衡點(diǎn)即有一平衡點(diǎn)D。 要略大一點(diǎn)要略大一點(diǎn)2)2(xRkqQmg2RmgkqQx(6)質(zhì)點(diǎn)能夠到達(dá)質(zhì)點(diǎn)能夠到達(dá)O點(diǎn)點(diǎn)的條件為的條件為252)2(20RkqQRkqQExRmg

22、xRkqQRkqQk(7)由由(6)、(7)兩式可得質(zhì)點(diǎn)能到達(dá)兩式可得質(zhì)點(diǎn)能到達(dá)O點(diǎn)的最小初動(dòng)能為點(diǎn)的最小初動(dòng)能為kmgqQRkqQmgREk2019250(8)要略大一點(diǎn)要略大一點(diǎn)例例(27決決)、如圖，兩塊大金屬板、如圖，兩塊大金屬板A和和B沿豎直方向平行沿豎直方向平行放置，相距為放置，相距為d，兩板間加有恒定電壓，兩板間加有恒定電壓U，一表面涂有，一表面涂有金屬膜的乒乓球垂吊在兩板之間，其質(zhì)量為金屬膜的乒乓球垂吊在兩板之間，其質(zhì)量為m，輕推乒，輕推乒乓球，使之向其中一金屬板運(yùn)動(dòng)，乒乓球與該板碰撞后乓球，使之向其中一金屬板運(yùn)動(dòng)，乒乓球與該板碰撞后返回，并與另一板碰撞，如此不斷反復(fù)假設(shè)乒乓球

23、與返回，并與另一板碰撞，如此不斷反復(fù)假設(shè)乒乓球與兩板的碰撞為非彈性碰撞，其恢復(fù)系數(shù)為兩板的碰撞為非彈性碰撞，其恢復(fù)系數(shù)為e，乒乓球與，乒乓球與金屬板接觸的時(shí)間極短，并在這段時(shí)間內(nèi)達(dá)到靜電平衡，金屬板接觸的時(shí)間極短，并在這段時(shí)間內(nèi)達(dá)到靜電平衡，達(dá)到靜電平衡時(shí)，乒乓球所帶的電荷量達(dá)到靜電平衡時(shí)，乒乓球所帶的電荷量q與兩極板之間與兩極板之間電勢(shì)差的關(guān)系可表示為電勢(shì)差的關(guān)系可表示為 q =C0U，其中，其中C0為一常量，為一常量，同時(shí)假設(shè)乒乓球半徑遠(yuǎn)小于兩金屬板間距同時(shí)假設(shè)乒乓球半徑遠(yuǎn)小于兩金屬板間距d，乒乓球上，乒乓球上的電荷不影響金屬板上的電荷分布；連接乒乓球的繩子的電荷不影響金屬板上的電荷分布；

24、連接乒乓球的繩子足夠長(zhǎng)，乒乓球的運(yùn)動(dòng)可近似為沿水平方向的直線運(yùn)動(dòng)：足夠長(zhǎng)，乒乓球的運(yùn)動(dòng)可近似為沿水平方向的直線運(yùn)動(dòng)：乒乓球第一次與金屬板碰撞時(shí)的初動(dòng)能可忽略，空氣阻乒乓球第一次與金屬板碰撞時(shí)的初動(dòng)能可忽略，空氣阻力可忽略試求力可忽略試求1、乒乓球運(yùn)動(dòng)過程中可能獲得的最大動(dòng)能。、乒乓球運(yùn)動(dòng)過程中可能獲得的最大動(dòng)能。2、經(jīng)過足夠長(zhǎng)時(shí)間后，通過外電路的平均電流。、經(jīng)過足夠長(zhǎng)時(shí)間后，通過外電路的平均電流。解：解： 1、根據(jù)題意，乒乓球與金屬板第一次碰撞前其動(dòng)能和速度分別為、根據(jù)題意，乒乓球與金屬板第一次碰撞前其動(dòng)能和速度分別為01kE01v (1) (2)Ucq0 (3)01kE01v (4) (5)

25、第一次碰撞前第一次碰撞前剛碰后第第二二次碰撞前次碰撞前2012UcqUEEkK (6)mEvk 222 (7)第第二二次碰撞次碰撞后后22evv 222222222121kkEevmemvE (8) (9)第第三三次碰撞前次碰撞前20223)1 (UceqUEEkK (10)mEvk332mEevvk3332 (11)第第三三次碰撞次碰撞后后 (12)322322332121kkEevmemvE (13)第第四四次碰撞次碰撞前前204234)1 (UceeqUEEkK (14)mEvk 442 (15)以此類推，以此類推，第第n次碰撞次碰撞前、后動(dòng)能分別為前、后動(dòng)能分別為202)1(220)2

26、(22111 UceeUceeEnnkn (17) (16)202)1(2220)2(22211 1 UceeeUceeeEnnkn N趨于無窮大，則趨于無窮大，則20211UceEkn20221UceeEkn (18) (19)202max11UceEEkk (20)2、經(jīng)過足夠長(zhǎng)時(shí)間時(shí)、經(jīng)過足夠長(zhǎng)時(shí)間時(shí)(即即n )后后 ，乒乓球在某一次與金屬板碰撞后和下一次，乒乓球在某一次與金屬板碰撞后和下一次碰撞前的速度分別為碰撞前的速度分別為meceUmEvk)1 (2220mecUmEvk)1 (22202vvdt (24) (23) (22) (21)mecedUctqI)1 (2)1 (020四

27、、有導(dǎo)體時(shí)的靜電場(chǎng)問題四、有導(dǎo)體時(shí)的靜電場(chǎng)問題1導(dǎo)體靜電平衡的條件和性質(zhì)導(dǎo)體靜電平衡的條件和性質(zhì) 導(dǎo)體表面附近的場(chǎng)強(qiáng)導(dǎo)體表面附近的場(chǎng)強(qiáng)2有導(dǎo)體時(shí)靜電問題的處理方法有導(dǎo)體時(shí)靜電問題的處理方法法一：求法一：求 E、Usqq22141sqq22132121)(qS 243)(qS )(204321kEA)(204321kEB例例解解 (1) UUUUDBCDAC31(2) UUUDBAC310DBU(3) 214365 03)(4531dk 。 UdKUUDBAC91341 UdKUCD92343 3254求得求得312132433165Qbaq0)(bqQbqaqkUa)(ar bQkU )(br

28、 rQkU )(bra)()(bQrqkbqQbqrqkU)(br rqQkU)(brabQkU 法二：鏡像法法二：鏡像法 唯一性定理：唯一性定理：電荷分布電荷分布給定，滿足給定邊界條件的解是唯一的。給定，滿足給定邊界條件的解是唯一的。靜電勢(shì)方程靜電勢(shì)方程(泊松方程泊松方程)： U2邊值關(guān)系：邊值關(guān)系： ttEE21)(21UU fnnEE1122)(122fnUnU以上邊值關(guān)系對(duì)導(dǎo)體有：以上邊值關(guān)系對(duì)導(dǎo)體有： U=U=常量常量 f f= =E En n平面組合平面組合平面鏡像平面鏡像qaRqaRb2 例例:求求q受的力和受的力和P點(diǎn)的電勢(shì)點(diǎn)的電勢(shì).)()(416)()()(4)()(4224

29、4235244222222222222kqRddRdRddqdqdqkbdqqbdqqdqkFdRdRdRdRdRb2 解解:找鏡像電荷找鏡像電荷qdq受的力為受的力為qdRq球面與平面組合球面與平面組合球面鏡像球面鏡像21221)cos2(rddrr)(4321rqrqrqrqkU2122222cos)(2)(dRrdRrr21224)cos2(rddrrdRb2qdRq2122223cos)(2)(dRrdRrr)cos21cos2cos2cos21(222222224224rddrrrdRrrdRrddrkqUdRdRdRdRarrU)(0)1 (2222RddRdqdsQ球面例例 用電

30、像法求解空間各處的電場(chǎng)強(qiáng)度用電像法求解空間各處的電場(chǎng)強(qiáng)度22RQkEPr當(dāng)當(dāng)R趨于無窮時(shí)，有趨于無窮時(shí)，有202RQkEEP則則000222EkERQ令令r) (330prrprkEEzQbp2QRaQ Rab2zQRap223zEazEakzQRap4120300323 cos3) (303033030zkEarkEarkEprrprkEErraEraEcos3)1(33033cos3)(000EarErcos)21(cos3cos)1(03333033EraraEraEr1、求像電荷的電量和離球心的距離、求像電荷的電量和離球心的距離b；2、求原電荷、求原電荷q受的力；受的力；3、求、求A點(diǎn)

31、的電場(chǎng)點(diǎn)的電場(chǎng) 強(qiáng)度，當(dāng)強(qiáng)度，當(dāng) r a 時(shí)時(shí)A 點(diǎn)電場(chǎng)的表達(dá)式，點(diǎn)電場(chǎng)的表達(dá)式，a 取取什么極限值時(shí)什么極限值時(shí)A點(diǎn)的點(diǎn)的 電場(chǎng)電場(chǎng) 強(qiáng)度為零強(qiáng)度為零(球完全屏蔽球完全屏蔽q 的電場(chǎng)的電場(chǎng))。圖圖a圖圖b5、求、求q與球面上電荷的相互作用靜電能；球面上感應(yīng)電荷間的相互作用靜電能與球面上電荷的相互作用靜電能；球面上感應(yīng)電荷間的相互作用靜電能懸掛著，懸掛點(diǎn)至球心的距離為懸掛著，懸掛點(diǎn)至球心的距離為 l l，不計(jì)重力。求電荷不計(jì)重力。求電荷q q小振動(dòng)的頻率。小振動(dòng)的頻率。例：例：4、如圖、如圖b所示，點(diǎn)電荷電量為所示，點(diǎn)電荷電量為q ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m ，用長(zhǎng)為，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線的細(xì)線和系統(tǒng)的總相

32、互作用靜電能。和系統(tǒng)的總相互作用靜電能。解：解：1、B點(diǎn)的電勢(shì)為點(diǎn)的電勢(shì)為0)(41120rqrqUBcos2222aRaRrcos2221bRbRr)cos2()(cos222222RbbRqqRaaRB點(diǎn)為球面上的任意點(diǎn)，即對(duì)任何點(diǎn)為球面上的任意點(diǎn)，即對(duì)任何 角上式恒等，故必有：角上式恒等，故必有：)()(22222bRqqaRRbqqRa2)(aRb2qaRq2、感應(yīng)電荷對(duì)、感應(yīng)電荷對(duì) q的作用力為：的作用力為：2222020)(41)(41RaRaqbaqqF3、A點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為：點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為：raRaraRqrqE )(414122020當(dāng)當(dāng)ra 時(shí)有時(shí)有rraRaaRqrrqaR

33、rraRraaRqrrqE4)(24)1 ( )1 (414130220222020當(dāng)當(dāng) a 趨于趨于R時(shí)，時(shí)，A點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為零，金屬球屏蔽了點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為零，金屬球屏蔽了A點(diǎn)的電場(chǎng)。點(diǎn)的電場(chǎng)。4、A點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為：點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為：作用在作用在q 上的力為：上的力為：2222020)(41)(41RaRaqbaqqFcos222lLlLa22222220)cos2(cos241RlLlLlLlLRqF 由右圖知由右圖知sinsinaL)sin()cos2(cos24122222220RlLlLlLlLRqF 上式中上式中 角可用角可用 角表示如下：角表示如下：)sincos2arcsin()sina

34、rcsin(22LllLLaL單擺的運(yùn)動(dòng)方程為：?jiǎn)螖[的運(yùn)動(dòng)方程為：FmL 當(dāng)當(dāng) 很小很小(小振動(dòng)小振動(dòng))時(shí)有：時(shí)有：sin1cos則：則：LlLaL)1 (aL將這些關(guān)系式公代入單擺運(yùn)動(dòng)方程得：將這些關(guān)系式公代入單擺運(yùn)動(dòng)方程得：0)1 ()(412222022aLRaRaqdtdmL)(141)()1 (14022022LllmLRLlqaLmLRaRdq5、設(shè)球面上的感應(yīng)電荷有、設(shè)球面上的感應(yīng)電荷有j 個(gè)，個(gè)，電量為電量為qj，j = 1、2、3、。則。則q q與感應(yīng)電荷的相互作用靜電能為與感應(yīng)電荷的相互作用靜電能為)(4)(4220201RaRqbaqqw感應(yīng)電荷間的相互作用靜電能為：感應(yīng)

35、電荷間的相互作用靜電能為：njjjrrqbrq1)(841214121412141212202010101102RaRqbaqqarqqbrqqrrqqwNiiiniiiNiNijjjiji當(dāng)當(dāng) r r 與某與某 r ri i重合時(shí)有重合時(shí)有0arqbrqNiNijjjijirrqqw11024121nijjijjirrqbrq1系統(tǒng)總的電勢(shì)能為：系統(tǒng)總的電勢(shì)能為：)(8(42202)220221RaRqRaRqwww五、電容器五、電容器1電容器電容的計(jì)算電容器電容的計(jì)算計(jì)算公式：計(jì)算公式：UqC方法：設(shè)方法：設(shè)q 求求U U C=q/ U U。 kdsdsC40)(40abkabababC例

36、例 求圖示孤立導(dǎo)體的電容求圖示孤立導(dǎo)體的電容kRUq 1RRRbqqRRq21221222112RbRRbqqbRRq3223122231123112nnnqbRRq左邊左邊兩式兩式相除得相除得122nnbRRbUQC現(xiàn)在導(dǎo)體形狀復(fù)雜，設(shè)現(xiàn)在導(dǎo)體形狀復(fù)雜，設(shè)Q難求難求U，故用鏡像法求解，故用鏡像法求解設(shè)導(dǎo)體的電勢(shì)為設(shè)導(dǎo)體的電勢(shì)為U，用鏡像法來求，用鏡像法來求Q。0121)2() 1(nnnqqq1441qq1551qq nqqnn1) 1() 1( 11)4131211 (22nnqqQkRUq2ln22ln212ln2kRUQC)1( nnnqRqb) 2() 1() 1(nnnqRqb)

37、2() 1(2) 1(2nnnnqRqRRqRq例例 球心放電荷球心放電荷q，球電位為，球電位為U0，在球心對(duì)的對(duì)稱點(diǎn)放，在球心對(duì)的對(duì)稱點(diǎn)放-q可可使地電位為零，用使地電位為零，用-q 對(duì)球面的像電荷對(duì)球面的像電荷q1保持球電位為保持球電位為U0，再，再 q1對(duì)地面的像電荷，如此一直進(jìn)行下去，最終球電位保持對(duì)地面的像電荷，如此一直進(jìn)行下去，最終球電位保持U0，地電位保持為零。，地電位保持為零。004aUqrqqbaq21bab221qabaqababqbbaq22212211244222222212242222abbabababbab 球上總電荷為：球上總電荷為： 21qqqQ)421 (42

38、2200 ababaaU)11 (4220 rrraCbar2簡(jiǎn)單電容電路簡(jiǎn)單電容電路:用串并聯(lián)公式用串并聯(lián)公式.復(fù)雜無源電容網(wǎng)絡(luò)的等效電容復(fù)雜無源電容網(wǎng)絡(luò)的等效電容復(fù)雜電容電路復(fù)雜電容電路: (1)對(duì)稱性分析對(duì)稱性分析,對(duì)稱點(diǎn)可短路對(duì)稱點(diǎn)可短路.(2)星星 三角變換三角變換3212112CCCCCC3213223CCCCCC3211331CCCCCC231231312323121CCCCCCCC311231312323122CCCCCCCC121231312323123CCCCCCCCYY2電容儲(chǔ)能公式電容儲(chǔ)能公式:221CUW CQW22QUW21例由例由n個(gè)單元組成的電容器網(wǎng)絡(luò)，每一單元

39、由三個(gè)電容器連接而成，其中個(gè)單元組成的電容器網(wǎng)絡(luò)，每一單元由三個(gè)電容器連接而成，其中兩個(gè)電容器的電容都示兩個(gè)電容器的電容都示3C，另一電容器的電容為，另一電容器的電容為2C，如圖所示，圖中，如圖所示，圖中a、b為網(wǎng)絡(luò)的輸入端，為網(wǎng)絡(luò)的輸入端，a、b為輸出端今在網(wǎng)絡(luò)的輸入端為輸出端今在網(wǎng)絡(luò)的輸入端ab間加一恒定間加一恒定的電壓的電壓U,在輸出端在輸出端a、b間接入一電容為間接入一電容為C的電容器。的電容器。1、求從第、求從第k(kn)個(gè)單元輸入端起，后面所有電容器貯存的總電能；個(gè)單元輸入端起，后面所有電容器貯存的總電能；2、先把第一個(gè)單元輸出端與后面的網(wǎng)絡(luò)斷開，再除去電源，并把它的輸入、先把第一

40、個(gè)單元輸出端與后面的網(wǎng)絡(luò)斷開，再除去電源，并把它的輸入端短路，端短路，求這時(shí)構(gòu)成第一單元的三個(gè)電容器貯存的總電能求這時(shí)構(gòu)成第一單元的三個(gè)電容器貯存的總電能解：解：1、由電容串并聯(lián)公式知、由電容串并聯(lián)公式知CCk11221)31()31(31UUUUkkkk CQCqCqCqW22122216313212213212、第一個(gè)單元與后面電路、第一個(gè)單元與后面電路斷開后除去電源，第一單斷開后除去電源，第一單元電容器上電荷分布如圖元電容器上電荷分布如圖(a)所示，設(shè)所示，設(shè)ab短路后電荷短路后電荷分布如圖（分布如圖（b）所示，則）所示，則031 qqQQQqq313221QQQqq3132320323

41、321321CqCqCquuu求得：求得：Qq711Qq2142Qq7132)1(22)31(2121CUUCWkkkk3含源電容器電路問題含源電容器電路問題求：求：1、電容上的電壓和電量；、電容上的電壓和電量；2、若、若H點(diǎn)與點(diǎn)與B點(diǎn)短路，求點(diǎn)短路，求C2的電量。的電量。Fcccc14321VUVUVUVU16,12,8,44321R電阻例例解解 1、將圖、將圖 a 電路壓成平面圖電路壓成平面圖 b ，可看出電流通路為，可看出電流通路為AEHGOBA。回路電流?；芈冯娏?RRUUI3414以以A點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，圖中其余各點(diǎn)電勢(shì)分別為點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，圖中其余各點(diǎn)電勢(shì)分別為)(33VRRUB)(60

42、VU )(10 VUG)(13 VUH)( 1VUD)(16 VUE)(11VUF各電容器上的電壓和電量分別為各電容器上的電壓和電量分別為)( 11VUUUGFC)(52VUUUFEC)(53VUUUDOC)( 14VUUUADC)(10161CQC)(10562CQC)(10563CQC)(10164CQC 2、將、將H、B兩點(diǎn)短路得兩個(gè)分回路兩點(diǎn)短路得兩個(gè)分回路HGOBH和和HEABH。 HEABH回路中的電流為回路中的電流為)(824VUUUABRRUI824)(164VUUUAE)(0 VUUFE)(1682VUUUAF02CQ例例111UCq 222UCq nnnUCq 0321 UUU111CqU 222CqU nnnCqU 02211 nnCqCqCq22112121UCUCqqqqnnnnnnnnUCUCqqqq111133223232UCUCqqqq 221112UCUCqq332223UCUCqq33111UCUCq nnnUCUCqq111niinIiniiUCUCCq111111011niiniICUUCq111111niiUU1niiCC111令令CUUCq111CUUCq222CUUCqnnn 例例求：求：1、開關(guān)閉合、開關(guān)閉合N次三電容器的電壓；次三電容器的