1、第一章：函數(shù)、極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)1、導(dǎo)數(shù)公式arctanx'=11+x2；arcsinx'=11-x2；arccosx'=-11-x2ax'=axlna；tanx'=sec2x；x'=xx；xx'=1+lnxxx；2、等價無窮?。簒0 1-cosx12x2, ln1+xx, ex-1x, 1+x-1x, tanxx+x33+2x5153、間斷點(diǎn)的定義：第一類間斷點(diǎn)：左右極限都存在； 可去間斷點(diǎn)：左右極限相等； 跳躍間斷點(diǎn)：左右極限不相等；第二類間斷點(diǎn)：左右極限至少有一個不存在； 無窮間斷點(diǎn)：至少有一個極限為； 振蕩間斷點(diǎn)：至少有一個為振蕩不

2、存在；4、兩個重要極限：limx0sinxx=1；limx1+1xx=e；第二章：導(dǎo)數(shù)與微分1、導(dǎo)數(shù)公式定義：f'x0=limx0fx0+x-fx0x=limx0yx=limxx0fx-fx0x-x0； 反函數(shù)求導(dǎo)法則：函數(shù)x=fy，反函數(shù)為y=f-1x，則f-1x'=1f'y；2、半角和倍角公式：sin2 x=1-cos2x2；cos2 x=1+cos2x2；sin2x=2sinxcosx；cos2x=2cos2x-1=1-2sin2 x=cos2x-sin2 x；第三章：微分中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1、漸近線方程：limxx0fx=，其中x0為一個奇點(diǎn)，此時存在垂直漸近線

3、：x=x0；limxfx=c，則存在水平漸近線：y=c；a=limxfxx ; b=limxfx-ax y=ax+b；此為一般漸近線；2、曲率：k=y''1+y'232；3、微積分中值定理：介值定理：若fx在a,b上連續(xù)，則必存在k, mkM，使得f=k, a,b.零值定理：若fx在a,b上連續(xù)，且fafb<0，則至少存在一點(diǎn)a,b，使得f=0.Fermat定理：如果函數(shù)fx為a,b上的一個可微函數(shù)，如果存在一個a,b， 為fx的一個局部極大或者極小點(diǎn)，那么f'=0；Rolle定理：如果函數(shù)fx為a,b上的一個可微函數(shù)，且有fa=fb，則必 有f'

4、=0; a,b；Rolle定理證明：令xa,b; fxm,M; 若M=m fx=C f'x=0；C為常數(shù)； 若Mm，則必然存在M或者m至少有一個不等于fa； 假設(shè)Mfa=fb；則必然存在一個a,b；使得f=M； 因?yàn)橐褬?gòu)成一個局部極大點(diǎn)，所以f'=0；Rolle定理推論：若存在一個 念eta/'et/a,b，且f>fa; f>fb；則必然 存在一個最大點(diǎn)a,b; ，使得f=M；因此f'=0；拉格朗日乘子法：z=fx1,x2,xn; s.t. gx1,x2,xn=c; L=fx1,x2,xn-gx1,x2,xn-cL'=0;L'=0;L

5、x1'=0;Lxn'=0；拉格朗日（Lagrange）中值定理：fx在a,b處連續(xù)，在a,b處可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)a,b；fb-fa=f'b-a柯西定理：fb-fagb-ga=f'g' g'0；積分中值定理：若函數(shù)fx在a,b處連續(xù)，gx在a,b處可積且不變號，則至少存在一點(diǎn)a,b abfxgxdx=fabgxdx設(shè)M與m分別是函數(shù)fx在區(qū)間a,b上的最大值與最小值，則有：mb-aabfxdxMb-a第四章：一元積分學(xué)1、積分求解方法： 三角函數(shù)替換法： 含有a2-x2因子的，可令x=asin；三角法則：1-sin2=cos2； 含有a2+x2因

6、子的，可令x=atan；三角法則：sec2x=1+tan2x； 含有x2-a2因子的，可令x=asec；三角法則：sec2x-1=tan2x；魏爾斯特拉斯替換：令t=tanx2 sinx=2t1+t2 , cosx=1-t21+t2 , dx=21+t2dt； 周期函數(shù)求積分：aa+sinxdx=0sinxdx=0sinxdx=2； 特殊函數(shù)代換：1x1+x2=1x-x1+x2；2、常用積分公式：1a2-x2dx=arcsinxa+C；1a2+x2dx=1aarctanxa+C；1a2-x2dx=12alna+xa-x+C, x<a；xa+bx2dx=12blna+bx2+C；sec2x

7、dx=tanx+C；cscxdx=lntanx2+C；tanxdx=-lncosx+C；02sinnxdx=02cosnxdx=n-1nn-3n-2122n2k,kNn-1nn-3n-223n2k-1,kN；xeaxdx=eaxa2ax-1+C；3、三角加法公式：sinx±y=sinxcosy±sinycosx y=4, 22sinx±cosxcosx±y=cosxcosysinxsiny y=4, 22cosxsinx4、微積分的幾何問題： 切線和法線： 曲線y=fx在點(diǎn)x0,y0處的切線方程為：y-y0=f'x0x-x0；法線方程為：y-y0

8、=1-f'x0x-x0；與切線垂直的方程并非一定是法線方程，因?yàn)榭赡懿贿^x0,y0； 旋轉(zhuǎn)體的體積： 旋轉(zhuǎn)體截面積Ax=f2x； 設(shè)R為曲線y=fx在區(qū)間a,b上與x軸之間的區(qū)域，繞x軸旋轉(zhuǎn)R；得到的物體體積由下面公式給出：Vx=abf2xdx； 設(shè)R為曲線y=fx在區(qū)間a,b上與x軸之間的區(qū)域，繞y軸旋轉(zhuǎn)R；得到的物體體積由下面公式給出：Vy=ab2xfxdx；若要求曲線與y軸所圍成的區(qū)域，則只需先求出反函數(shù)，按如上方法求解； 由f1x,f2x兩曲線圍成區(qū)域，繞x軸旋轉(zhuǎn)，則體積為Vx=abf22x-f12xdx 直線：與原點(diǎn)距離為p，法線與x軸正向夾角為的直線方程為：r=pcos-；

9、 圓的一般方程：x2+y2+2ax+2by+c=0； 圓的極坐標(biāo)方程： 圓的邊通過原點(diǎn)；r=2Rcos-0；y=x2 r=sincos 2 球體的參數(shù)方程：x=rsincosy=rsinsinz=rcos , 0,2 , 0,表示弦與x軸的夾角，表示弦與z軸的夾角，以球心非原點(diǎn)的軸為坐標(biāo)平面，應(yīng)用圓的極坐標(biāo)方程作為r的取值范圍；此外，球體體積為43R3.第五章：向量代數(shù)和空間解析幾何1、向量代數(shù)的基本概念a=x,y,z a=x2+y2+z2；M1M2=x2-x1,y2-y1,z2-z1；AB=x1x2+y1y2+z1z2；A×B=ijkx1y1z1x2y2z2； 向量A,B的夾角，記

10、作A,B；cosA,B=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22cos=xx2+y2 sin =yx2+y2=sin =x2+y22-x2x2+y22、點(diǎn)到直線和平面的距離點(diǎn)到平面的距離：點(diǎn)Px0,y0,z0到平面: Ax+By+Cz+D=0的距離為：d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2 點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)Px0,y0,z0到直線x-x1l=y-y1m=z-z1n的距離為：d=P0P1×SS3、兩平面關(guān)系1: A1x+B1y+C1z+D1=0 , n1=A1,B1,C12: A2x+B2y+C2z+D2=0 , n2=A2,B2,C2 平行關(guān)

11、系：12n1n2n1×n2=0A1A2=B1B2=C1C2 垂直關(guān)系：12 n1n2 n1n2=0 A1A2+B1B2+C1C2=04、過點(diǎn)Px0,y0,z0，且法向量為n=A,B,C的平面方程為：Ax-x0+By-y0+Cz-z0=05、直線方程式： 直線的一般方程式，即兩平面的交線：1: A1x+B1y+C1z+D1=0 , n1=A1,B1,C12: A2x+B2y+C2z+D2=0 , n2=A2,B2,C2S=n1×n2=l,m,n過點(diǎn)Px0,y0,z0，且方向向量為S=l,m,n的直線方程為：標(biāo)準(zhǔn)式方程：x-x0l=y-y0m=z-z0n參數(shù)式方程：x=x0+l

12、ty=y0+mtz=z0+nt過兩點(diǎn)的直線方程：P0x0,y0,z0 , P1x1,y1,z1x-x0x1-x0=y-y0y1-y0=z-z0z1-z0 兩直線相互垂直：l1l2 S1S2 S1S2=0 l1l2+m1m2+n1n2=0兩直線相互平行：l1l2S1S2S1×S2=0l1l2=m1m2=n1n26、點(diǎn)到直線的距離： 獲得直線的方向向量S=l,m,n； 以此向量為法向量，做過點(diǎn)平面方程； 求該平面與該直線的交點(diǎn)； 求兩點(diǎn)間的距離；7、過直線，且與平面垂直的平面方程： 求直線的方向向量； 求平面的法向量； 求能同時垂直于直線向量、平面法向量的向量； 以該向量為法向量，求得直

13、線上的一點(diǎn)，做平面方程；8、平面束：通過定直線的所有平面的全體 直線方程：1: A1x+B1y+C1z+D1=02: A2x+B2y+C2z+D2=0平面束方程： A1x+B1y+C1z+D1+A2x+B2y+C2z+D2=09、旋轉(zhuǎn)面及其方程：一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，旋轉(zhuǎn)曲線和定直線依次叫做旋轉(zhuǎn)面的母線和軸； 設(shè)有xOy面上的曲線L:fx,y=0z=0； 則繞x軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)面方程為fx,±y2+z2=0； 則繞y軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)面方程為f±x2+z2,y=0；第六章：多元函數(shù)微分學(xué)1、 全導(dǎo)數(shù)：y=fx,w,z;w=gx;z

14、=hx； 先對x,w,z求全微分：dy=yxdx+ywdw+yzdz； 再對x求微商：dydx=yx+ywdwdx+yzdzdx；2、向量全微分：u=a,b，兩元可微函數(shù)fx,y在點(diǎn)P處有fuP=fxP×aa2+b2+fyP×ba2+b2dfP=fxPdx+fyPdy第七章 無窮級數(shù)1、冪級數(shù)的收斂半徑：冪級數(shù)n=0anx-x0n滿足：limnan+1an=, limnnan=.則R=1為冪級數(shù)的收斂半徑，x0-R,x0+R為冪級數(shù)的收斂區(qū)間；2、 兩個重要級數(shù)： 幾何級數(shù)：設(shè)a和q是常數(shù)，且a0，則n=1aqn當(dāng)q<1時收斂；當(dāng)q1時發(fā)散；p級數(shù)：n=11np，當(dāng)p

15、>1時收斂；當(dāng)p1時發(fā)散；3、判別法： 萊布尼茲判別法：設(shè)交錯級數(shù)n=1-1n-1un滿足：unun+1；可通過un=fn，然后對fx求導(dǎo)，獲得其單調(diào)性，求得；limnun=0. 則n=1-1n-1un收斂，且其和滿足0,u1.絕對收斂：滿足級數(shù)n=1an收斂；條件收斂：滿足n=1an收斂，而n=1an發(fā)散；絕對收斂則級數(shù)一定收斂，故一般先判斷其絕對級數(shù)的收斂性； 若兩級數(shù)n=1un和n=1vn均收斂，則n=1un±vn=n=1un±v=1vn也收斂； 若兩級數(shù)，一個收斂，一個發(fā)散，則n=1un±vn發(fā)散； 若兩級數(shù)均發(fā)散，則n=1un±vn不能確

16、定其斂散性，必須具體討論； 比較判別法：正項(xiàng)級數(shù)U=n=1un和V=n=1vn.當(dāng)n>N時，unkvn，k是正常數(shù)，則V收斂，U也收斂；而U發(fā)散，V則發(fā)散；因此，要證明其收斂的，要找比它大的數(shù)；要證明其發(fā)散的，要找比它小的數(shù)； 當(dāng)n>N時，un+1unvn+1vn，則斂散性判斷同上；limnunvn=k0，若收斂的話，滿足k0；若發(fā)散的話需滿足k>0；n=11n2收斂；n=11n發(fā)散；n=11n發(fā)散； 比值判別法：正項(xiàng)級數(shù)n=1un，當(dāng)n>N時，limnun+1un=l，當(dāng)l<1時，級數(shù)收斂；根值判別法：正項(xiàng)級數(shù)n=1un，當(dāng)n>N時，limnnun=l，當(dāng)

17、l<1時，收斂；注： 當(dāng)l=1時，無法確定是收斂還是發(fā)散；Raabe判別法：正項(xiàng)級數(shù)n=1un，當(dāng)n>N時，limnnunun+1-1=l，當(dāng)l>1，收斂；這種判別法是將級數(shù)與p級數(shù)進(jìn)行比較而得到的；即p級數(shù)：n=11np，當(dāng)p>1時收斂；當(dāng)p1時發(fā)散； 無窮積分判別法：正項(xiàng)級數(shù)n=1un, un=fn, 1+fxdx收斂則原級數(shù)收斂；4、帶皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式：fx=f00!+f'01!x+f''02!x2+fn0n!xn.ex=n=0xnn!；sinx=n=0-1nx2n+12n+1!；ln1+x=n=1-1n-1xnn; -1<x

18、1；cosx=n=0-1nx2n2n!；11-x=n=0xn ; x<1；1a+x=n=0-1n1an+1xn; x<1；1+xn=k=0nn!n-k!k!xk; x<1；5、常用數(shù)列求和： 等差數(shù)列：an=a1+n-1d Sn=a1+an2n等比數(shù)列：an=a1qn-1 Sn=a11-qn1-qan=nAn Sn=AA-12第八章 微分方程1、常微分方程 變量可分離的方程：dydx=fxgy , gy0 , dygy=fxdx+c；齊次方程：dydx=fyx , define. u=yx y=ux yx'=u+xux'=fudufu-u=lncx；將u=yx

19、代回，得到通解；準(zhǔn)齊次方程-I：dydx=fax+by+c , define. u=ax+by+c ux'=a+byx' dua+bfu=x+c；將u=ax+by+c代回，得到通解； 全微分方程：Px,ydx+Qx,ydy=0 , where. Py=Qx define. dux,y=Px,ydx+Qx,ydy ux=Px,y , uy=Qx,y； ux,y=Px,ydx+y Qx,y=uy y ux,y 最后將ux,y表達(dá)式中的u改為c即可； 線性方程：dydx+Pxy=Qx y=e-Pxdxc+QxePxdxdx；2、二階常系數(shù)線性微分方程一般形式：ay''

20、+by'+cy=Rx；其中a,b,c是實(shí)數(shù)，且a0，Rx是連續(xù)函數(shù)； 當(dāng)Rx=0時，便得到齊次方程：ay''+by'+cy=0；其通解是由特征方程的根所決定. 特征方程：a2+b+c=0 當(dāng)b2-4ac>0時，特征方程有相異實(shí)根1,2，則其通解為：yx=c1e1x+c2e2x.當(dāng)b2-4ac=0時，特征方程有兩重特征根1=2，其通解為：yx=c1+c2xe1x.當(dāng)b2-4ac<0時，特征方程有共軛復(fù)根記為1,2=±i，其通解為：yx=exc1sinx+c2cosx非齊次方程ay''+by'+cy=Rx的通解同樣為一個

21、特解加齊次通解.3、求特解y*x的待定系數(shù)法設(shè)二階微分方程簡化形式為fx=Rx 可以利用疊加原理把Rx拆分成幾個簡單函數(shù)來計(jì)算； 若Rx為n次多項(xiàng)式： 當(dāng)0不是特征根時，設(shè)y*x=Pnx，將Rnx中常數(shù)換成待定系數(shù)來求； 當(dāng)0是特征方程的單根時，設(shè)y*x=xPnx.當(dāng)0是特征方程的重根時，設(shè)y*x=x2Pnx. 若Rx=Rnxex，Rnx表示n次多項(xiàng)式.當(dāng)不是特征根時，設(shè)y*x=Pnxex.當(dāng)是特征方程的單根時，設(shè)y*x=xPnxex.當(dāng)是特征方程的重根時，設(shè)y*x=x2Pnxex.若Rx=expxcosx+qxsinx.當(dāng)±i不是特征根時，設(shè)y*x=exPnxcosx+Qnxsin

22、x.當(dāng)±i是特征根時，設(shè)y*x=xexPnxcosx+Qnxsinx.1、行列式拉普拉斯展開式：A=j=1naij-1i+jMij=i=1naij-1i+jMij；-1i+jMij是代數(shù)余子式；行列式的性質(zhì)：基本性質(zhì)：A=AT；detAB=detAdetB；交換矩陣A的兩行得到矩陣B，則detB=-detA；以一個標(biāo)量k乘到矩陣A中的某一個行，則detB=kdetA；如果將A的某一行乘以某數(shù)，再加到另一行上，則detB=detA；若矩陣A為奇異矩陣，即rAn，則detA=0；按異行余子式展開的行列式，其值為零。即：j=1naijAkj=0 ik；i=1naijAik=0 jkVand

23、er Monde行列式：Vn=1x1x12x1n-11x2x22x2n-11xn-1xn-12xn-1n-11xnxn2xnn-1=1jinnxi-xjVn0；可逆；Vn中各行向量集和列向量集均線性無關(guān)；副對角性行列式計(jì)算：a11a12a1,n-1a1na21a22a2,n-10a21an-1,200an,1000=000a1n00a2,n-1a2n0an-1,2an-1,nan,1an,2an,n-1ann=-1nn-12a1na2,n-1an,12、矩陣矩陣公式：A+BT=AT+BT；ABT=BTAT；AB-1=B-1A-1；AT-1=A-1T；AA*=AInA-1=A*A；rAT=rAT

24、；2×2可逆矩陣A=abcd, A0A-1=1ad-bcd-b-ca；A*=An-1 ; n2；A*=An-2A；分塊矩陣Partitioned or Block Matrix：A=abcd A*=d-b-ca；A=B00C A-1=B-100C-1；A=0BC0 A-1=0C-1B-10；An=Bn00Cn；秩rank表示一個矩陣中線性無關(guān)（Ar0）的最大階數(shù)；rABminrA,rB；rA*=nrA=n1rA=n-10rA<n-1；3、線性方程組克萊姆法則：設(shè)方程組為Ax=d xj=detAjddetA；x1=1Ad1a1ndnann；d代替第1列； 當(dāng)d為零向量時稱為齊次線

25、性方程組，即Ax=0；非齊次矩陣方程Ax=b；Ax=a1,a2,anx1xn=a1x1+a2x2+anxn=ba1,an,b；解集的空間幾何意義：若解集僅有一個自由變量，則解集為過原點(diǎn)的一條直線；若解集有兩個或兩個以上自由變量時，則顯示為一個過原點(diǎn)的平面；Ax=b有解，且令p為該方程得一個解，vh為Ax=0的任意一個解；則方程的解集為w=p+vh的全體向量構(gòu)成的集合；Ax=dAd0d=0A0；A為非奇異矩陣；可逆；線性無關(guān)；rA=nrA=rA=n；有唯一的非平凡解（即非零解）；存在唯一的平凡解，即零解；x為零向量；A=0；A為奇異矩陣；不可逆；線性相關(guān)；rA<n方程相關(guān)rA=rA<

26、n；存在無數(shù)個解；不包括平凡解；存在無數(shù)個解；包括平凡解；方程不相容rArA；無解4、線性相關(guān)一般而言，若uT=u1,u2,un，則uTu將是元素uj的平方和（一個標(biāo)量）：uTu=u12+u22+un2=j=1nuj2；相當(dāng)于uu的內(nèi)積。線性無關(guān)的問題：方程c1v1+c2v2+cpvp=0只有平凡解，則向量集v1,v2,vp線性無關(guān)；若上述方程存在不全為零的權(quán)重c1,cp，則向量集v1,v2,vp線性相關(guān)；只含一個向量v的集合是線性無關(guān)的條件是當(dāng)且僅當(dāng)v是非零向量；向量集合u,v中如果有一個向量是另一個向量的實(shí)數(shù)倍，則該集合線性相關(guān)；該集合線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)兩個向量之間沒有倍數(shù)關(guān)系；幾何意義是，

27、線性相關(guān)的兩向量是在同一條過原點(diǎn)直線上，向量倍數(shù)關(guān)系；而線性無關(guān)的兩個向量則是兩條過原點(diǎn)的直線，非數(shù)量倍數(shù)關(guān)系；一個含有兩個或兩個以上向量的集合S=v1,v2,vp線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)S中至少有一個向量是其余向量的線性組合；線性相關(guān)集中可能存在某個向量不是其余向量的線性組合；幾何意義，在任意R3中，u,v線性無關(guān)，則集合u,v,w線性相關(guān)的充要條件是w屬于u,v張成的平面；若一集合含有向量個數(shù)多于每個向量中所含元素個數(shù)，則該集合線性相關(guān)，即若m×n矩陣，且n>m，則任意Rn中的集合v1,v2,vn線性相關(guān)；如果Rn中的一個集合S=v1,v2,vp中包含零向量，則該集合線性相關(guān)；5、

28、特征值特征值，若存在一個，使得Ax=x，則稱為矩陣A的一個特征值；x為特征向量；A*A；kAk；A22；A+kI+k；當(dāng)A和B為方陣時，若有P-1AP=B，則A與B相似similar；A與B有相同的特征值；trA=trB；A=B=i=1ni；rA=rB；相似性與行等價不同，行變換會改變矩陣的特征值；正交變換標(biāo)準(zhǔn)形：f=xTAxI-A=0i；將i代入I-Ax=0 i；求出特征向量；若是不同的特征值求出的特征向量之間是正交的，而重根求出的特征向量是不正交的，需要進(jìn)行Schmidt正交化：y1=x1 , ym=xm-j=0m-1xm,yjyj,yjyj , i=yiyi,yi令P= 1, 2, n

29、PTAP=diag1,2,n= PPT=A f=xTAx=xTPPTx x=Py f=yTy1、概率的公理化定義 對于給定的一組完備事件F1,F2,Fn，即F1,F2,Fn為互不相容事件，并且Fi=S，S為必然事件； 可以通過PE|Fi來計(jì)算PE，也即PE等于 PE|Fi的加權(quán)平均，每項(xiàng)的權(quán)為 事件Fi的概率；PE=i=1nPEFi=i=1nPE|FiPFi； 貝葉斯公式： 假設(shè)E發(fā)生了，亦可理解為引入了一個新證據(jù)，再來推算所求事件Fi概率； 由此所求PFi|E可引入全概公式進(jìn)行推導(dǎo)獲得PFi|E=PEFiPE=PE|FiPFij=1nPE|FjPFj 獨(dú)立性：若A事件與B事件相互獨(dú)立，則有：PAB=PAPB；PA=PA|B； 2、隨機(jī)變量 隨機(jī)變量基本公式：limx-Fx=0；limx+Fx=1；3、數(shù)學(xué)期望與方差 數(shù)學(xué)期望：Ec=c；EX+c=EX+c；EcX=cEX；EX=-+xfxdx； 方差：DX=EX2-EX2； 標(biāo)準(zhǔn)差：=DX；Dc=0 PX=c=1；DcX=c2DX；DX+c=DX；4、伯努利試驗(yàn)問題（離散型）二項(xiàng)分布：在n重伯努利試驗(yàn)