1、名校名師推薦3第九章平面解析幾何§9.4直線與圓與的位置關(guān)系基礎(chǔ)知識自主學習H知識梳理1 .判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系.d<r?相交；但!?相切；d>r?相離.,0?fix；(2)代數(shù)法：二仁ac>j=0?fife<0?K.2 .圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓Oi：(xa1)2+(ybi)2=r2(門>0),圓。2：(xa2)2+(yb2)2=r2(r2>0).、方法幾何法：圓心距d與1,2的關(guān)系代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況相離d>.十.無解外切d=rj.一組實數(shù)解相交|r工

2、回<1+1兩組不同的實數(shù)解內(nèi)切d=|r1一.|(cw一組實數(shù)解內(nèi)含0<d<|r1-r2|(r1r?)無解【知識拓展】1 .圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2+y2=r2上一點P(x0,y°)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.(2)過圓(xa)2+(yb)2=r2上一點P(%,y°)的圓的切線方程為(x°a)(xa)+(y°b)(yb)=2(3)過圓x2+y2=r2外一點M(x°,y°)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x+y0y=r2.2 .圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：內(nèi)含：0

3、條；內(nèi)切：1條；相交：2條；外切：3條；相離：4條.(2)當兩圓相交時，兩圓方程(x=1,解之得 a.4.1 + a3,y2項系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程.【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“或“X”)(1)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切.(X)(2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.(X)(3)從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.(X)(4)過圓O：x2+y2=r2上一點P(X0,yo)的圓的切線方程是xox+yoy=r2.(V)過圓O:x2+y2=r2外一點P(xo,yo)作圓的兩條切線，切

4、點分別為A,B,則O,P,A,B四點共圓且直線AB的方程是xox+yoy=r2.(V)考點自測1.(教材改編)圓(x1)2+(y+2)2=6與直線2x+y-5=0的位置關(guān)系是()A.相切B.相交但直線不過圓心C.相交過圓心D.相離答案B解析由題意知圓心(1,2)到直線2x+y5=0的距離=必斗2仝J5<J6且2X1+2+1'(2)5"所以直線與圓相交但不過圓心.2.(2016全國甲卷)圓x2+y22x8y+13=0的圓心到直線ax+y1=0的距離為1,則a等于()43a.3B.-4C#D.2答案A解析由圓的方程x2+y2-2x-8y+13=0,得圓心坐標為(1,4),由

5、點到直線的距離公式得d解析由題意，可得圓的圓心為(a,0),半徑為山，所以1a10+嗎<也，即|a+1|W2,解得一3<a<1.52+(-124. (2016黑龍江大慶實驗中學檢測)已知圓Ci：(x2)2+(y3)2=1,圓C2：(x3)2+(y4)2=9,M,N分別是圓Ci,C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|+|PN|的最小值為()A.62蛆B.572-4C.17-1D.17答案B解析圓C1關(guān)于x軸對稱的圓C/的圓心為CJ(2,3),半徑不變，圓C2的圓心為(3,4),半徑r=3,|PM|十|PN|的最小值為圓C/和圓C2的圓心距減去兩圓的半徑，所以|PM|十|PN

6、|的最小值為#-22+(4+3j13=5/4.5,已知圓C1：(xa)2+(y+2)2=4與圓C2：(x+b)2+(y+2)2=1外切，則ab的最大值為,9答案94解析由兩圓外切可得圓心(a,2),(-b,2)之間的距離等于兩圓半徑之和，即(a+b)2=(2+1)2,即9=a2+b2+2ab>4ab,所以ab<9,當且僅當a=b時取等號，4即ab的最大值是9.4題型分類深度剖析題型一直線與圓的位置關(guān)系的判斷例1(1)已知點M(a,b)在圓O:x2+y2=1外，則直線ax+by=1與圓O的位置關(guān)系是()A.相切B,相交C.相離D.不確定(2)(2016江西吉安月考)圓x2+y22x+

7、4y=0與直線2tx-y-2-2t=0(tR)的位置關(guān)系為()A.相離B.相切C.相交D.以上都有可能答案(1)B(2)C解析(1)因為M(a,b)在圓O:x2+y2=1外，所以a2+b2>1,而圓心O到直線ax+by=1的距離d_|a0+b01|1一=?T7<1.名校名師推薦所以直線與圓相交.(2)直線2txy22t=0恒過點(1,2),12+(-2)2-2X1+4X(-2)=-5<0,點(1,2)在圓x2+y2-2x+4y=0內(nèi).直線2txy22t=0與圓x2+y2-2x+4y=0相交，故選C.思維升華判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系.(2)

8、代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用A判斷.點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題.a和b,那么過點 A(a, a2), B(b,跟蹤訓(xùn)練1已知方程x2+JL=0有兩個不等實根tan0sin0b2)的直線與圓x2+y2=i的位置關(guān)系是.答案相切解析由題意可知過A,B兩點的直線方程為(a+b)xy-ab=0,圓心到直線AB的距離d=,而 a+ b=15化簡后得d=1,故直線與圓相切.題型二圓與圓的位置關(guān)系例2(1)(2016山東)已知圓M：x2+y22ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是20則圓M

9、與圓N：(x1)2+(y1)2=1的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離(2)(2017重慶月考)如果圓C：x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0與圓O：x2+y2=4總相交，那么實數(shù)a的取值范圍是.答案(1)B(2)(-2/2,0)U(0,22)解析(1)圓M：x2+(ya)2=a2(a>0),a=2./. M(0,2),圓心坐標為M(0,a),半徑r1為a,圓心M到直線x+y=0的距離d=聶，由幾何知識得門=2.又圓N的圓心坐標N(1,1),半徑r2=1,|MN|=比1。2+(122=也，門+r2=3,一2=1.ri-r2<|MN|<ri+r2,，兩圓相交，

10、故選B.(2)圓C的標準方程為(x-a)2+(y-a)2=4,圓心坐標為(a,a),半徑為2.依題意得0<小2+a2<2+2,，0<|a|<2寸2.aC(-2必0)U(0,272).思維升華判斷圓與圓的位置關(guān)系時，一般用幾何法，其步驟是(1)確定兩圓的圓心坐標和半徑長；(2)利用平面內(nèi)兩點間的距離公式求出圓心距d,求ri+2,|r1一切；(3)比較d,門+2,|r1一切的大小,寫出結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練2已知兩圓x2+y22x6y1=0和x2+y210x12y+m=0.m取何值時兩圓外切;(2)m取何值時兩圓內(nèi)切;求m=45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.解兩圓的標準

11、方程分別為(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,圓心分別為M(1,3),N(5,6),半徑分別為0和以61m.當兩圓外切時，叱5-12+(6-3/=-11+、61-m,解得m=25+10,11.(2)當兩圓內(nèi)切時，因為定圓的半徑而小于兩圓圓心間距離5,故只有461m/=5,解得m=2510/1.(3)兩圓的公共弦所在直線方程為(x2+y2-2x-6y-1)(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0,所以公共弦長為|4X 1 + 3X 3 23|= 2 7.；42+ 32題型三直線與圓的綜合問題命題點1求弦長問題例3(2016全國丙卷)已知

12、直線l:mx+y+3m5=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點，過A,B分別做l的垂線與x軸交于C,D兩點，若|AB|=2g,則|CD|=.答案4解析設(shè)AB的中點為M,由題意知，圓的半徑R=2#,|AB|=2吸，所以|OM|=3,解得m近x-V3y+6=0,一3，由值y2=12,解得A(-3,3)，B(0,28)，則AC的直線方程為yy3=<3(x+3),BD的直線方程為y2木=Y3x,令y=0,解得C(-2,0),D(2,0),所以|CD|=4.4幣-"<k<3所以k的取值范圍為命題點2直線與圓相交求參數(shù)范圍例4(2015課標全國I)已知過點A(0,1)且斜率為k

13、的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2于M,N兩點.求k的取值范圍；(2)若OMON=12,其中O為坐標原點，求|MN|.解(1)由題設(shè)，可知直線l的方程為y=kx+1,因為l與C交于兩點，所以咋2¥<1.W+k解得(2)設(shè)m(xi,y1)，N(x2,y2).將y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=4k!x1x2=1.OMON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x+x2)+14k1+k2+8.1+k由題設(shè)可得411廿L8=12,解得k=1,所以l的方程為y=x+1.故圓心C在l上，所以

14、|MN|=2.命題點3直線與圓相切的問題例5已知圓C:(x1)2+(y+2)2=10,求滿足下列條件的圓的切線方程.(1)與直線1i：x+y4=0平行；(2)與直線12：x2y+4=0垂直；過切點A(4,1).解(1)設(shè)切線方程為x+y+b=0,&=1±2眄，切線方程為x+y+1i2/=0.(2)設(shè)切線方程為2x+y+m=0,則1工1=710,.-.m=±52,，切線方程為2x+y±52=0.(3) kAc2+ 1 11-4 = 3,過切點A(4,1)的切線斜率為一3,過切點A(4,1)的切線方程為y+1=-3(x-4),即3x+y-11=0.思維升華直線

15、與圓綜合問題的常見類型及解題策略(1)處理直線與圓的弦長問題時多用幾何法，即弦長的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形.(2)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問題.跟蹤訓(xùn)球3(1)(2015課標全國II)過三點A(1,3),B(4,2),C(1,7)的圓交y軸于M、N兩點,則|MN等于()A.2乖B.8C.4V6D.10111(2)若直線xcos0+ysin91=0與圓(x1)2+(ysin。)2=而相切，且。為銳角，則該直線的斜率是()a.乎b.-V3c.害D.3答案(1)C(2)A解析(1)由已知，得AB=(3,1),BC=(-3,9),則ABBC=3X(-3

16、)+(-1)X(9)=0,所以AB，BC,即ABXBC,故過三點A、B、C的圓以AC為直徑，得其方程為(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0,得(y+2)2=24,解得y1=-22優(yōu),y2=-2+2乖,所以|MN|=|yiy2|=4版選C.(2)依題意，得圓心到直線的距離等于半徑,即|cos0+sin2o1|=4-,|cos0cos2q=4,所以cos。cos20=1或cos。cos20=4（不符合題意，舍去）.由cos0cos2o=4,得cos0=1,又。為銳角，所以sin0=坐故該直線的斜率是cos03sin03故選A.高頻小考點7.高考中與圓交匯問題的求解考點分析與圓有關(guān)的最值問題及

17、直線與圓相結(jié)合的題目是近年來高考高頻小考點.與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面.解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化；直線與圓的綜合問題主要包括弦長問題，切線問題及組成圖形面積問題，解決方法主要依據(jù)圓的幾何性質(zhì).一、與圓有關(guān)的最值問題典例1(1)(2015湖南)已知點A,B,C在圓x2+y2=1上運動，且ABLBC.若點P的坐標為一一.一.(2,0),則|PA+PB+PC|的最大值為()A.6B.7C.8D.9(2)過點(/，0)引直線l與曲線y=57相交于A、B兩點，O為坐標原點，當AOB的面積取最大值時，直

18、線l的斜率等于()3.33-A.3B.-3C.±3D.73解析(1).A,B,C在圓x2+y2=1上，且ABXBC,，AC為圓的直徑，故PA+PC=2PO=(4,0),設(shè)B(x,v),則x2+y2=1且xC1,1,PB=(x-2,y),PA+PB+PC=(x-6,y).故|PA+PB+PC|=Z12x+37,當x=-1時有最大值寸49=7,故選B.1-(2) .Saaob=ROA|PB|sinZAOB1 1=/sin/AOB<2.當/aob=2W,AOB的面積最大.此時O至ijAB的距離d=¥.設(shè)AB方程為y=k(xq2)(k<0),即kxyy2k=0.由d=憚

19、1=乎得k=乎.k2+1233(也可k=tan/OPH=上).°"姓參、j答案(1)B(2)B二、直線與圓的綜合問題典例2(1)(2015重慶)已知直線l:x+ay-1=0(aR)是圓C：x2+y24x2y+1=0的對稱軸，過點A(-4,a)作圓C的一條切線，切點為B,則|AB|等于()A.2B.472C.6D.2.10(2)在平面直角坐標系中，A,B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2x+y4=0相切，則圓C面積的最小值為()4o3A.5兀B.4兀C.(62點)兀D.jtt解析(1)由于直線x+ay1=0是圓C:x2+y24x2y+1=0的對稱軸，圓心C

20、(2,1)在直線x+ay1=01,.2+a1=0'.a=-1,.A(4,1).|AC|2=36+4=40.又r=2,.|AB=404=36.|AB|=6.(2)/ZAOB=90°,.點O在圓C上.設(shè)直線2x+y4=0與圓C相切于點D,則點C與點O間的距離等于它到直線2x+y-4=0的距離， 點C在以O(shè)為焦點，以直線2x+y4=0為準線的拋物線上, 當且僅當O,C,D共線時，圓的直徑最小為|OD|.又 |OD|=|2X 0+0 4|4.5, 圓C的最小半徑為圓C面積的最小值為答案(1)C(2)A課時作業(yè)1.（2016廣州調(diào)研）若點A（1,0）和點B（4,0）到直線l的距離依次為

21、1和2,則這樣的直線有（）A.1條B.2條C.3條D.4條答案C解析如圖，分別以A,B為圓心，1,2為半徑作圓.依題意，得直線l是圓A的切線，A至山的距離為1,直線l也是圓B的切線，B到l的距離為2,所以直線l是兩圓的公切線，共3條（2條外公切線，1條內(nèi)公切線）.2.若圓C1：x2+y2=1與圓C2：x2+y26x8y+m=0外切，則m等于（）A.21B.19C.9D.-11答案C解析圓C2的標準方程為（x-3）2+（y-4）2=25-m.又圓Ci：x2+y2=1,.|CiC2|=5.又.兩圓外切，.-.5=1+25-m,解得m=9.3.（2016南昌二模）若圓Ci：x2+y22ax+a29=

22、0（aCR）與圓C2：x2+y2+2by+b21=0（bCR）內(nèi)切，則ab的最大值為（）A.我B.2C.4D.2亞答案B解析圓Ci：x2+y2-2ax+a2-9=0（aR）.化為（xa）2+y2=9,圓心坐標為（a,0）,半徑為3.圓C2：x2+y2+2by+b2-1=0(bR),化為x2+(y+b)2=1,圓心坐標為(0,b),半徑為1,圓Ci：x2+y22ax+a29=0(aCR)與圓C2：x2+y2+2by+b2-1=0(bR)內(nèi)切，加+7=3-1,即a2+b2=4,ab<1(a2+b2)=2.ab的最大值為2.4. (2016模擬)過點P(3,1)作圓C:(x-1)2+y2=1的

23、兩條切線，切點分別為A,B,則直線AB的方程為()A. 2x+ y-3= 0B. 2x-y-3=0C. 4x-y-3=0答案 AD. 4x+y-3 = 0解析如圖所示，由題意知:ABXPC, kPC=。，kAB=2,，直線 AB 的方程為 y-1 = -2(x- 1),即 2x+ y-3 = 0.5.若直線l: y=kx+1(k<0)與圓+ y2=3的位置關(guān)系是()A.相交C.相離答案 A解析因為圓為直線l與圓線l的方程為C: x2+4x+y2 2y+3=0 相切，則直線 l 與圓 D: (x- 2)2B.相切D.不確定C的標準方程為(x+ 2)2+(y1)2=2,所以其圓心坐標為(一2

24、,1),半徑為<2.因C相切，所以1 2k7r1 =J2,解得k= 土，因為k<0,所以k= 1,所以直Vk2+1Yx+y1 = 0.圓心D(2,0)到直線l的距離d =|2+01| 逅D相交.6.已知A(-2,0),B(0,2),實數(shù)k是常數(shù)，M,N是圓x2+y2+kx=0上兩個不同點，P是圓x2+y2+kx=0上的動點，如果M,N關(guān)于直線x-y1=0對稱，那么PAB的面積的最大值是()A.3-啦B.4C.3+/D.6答案C解析依題意得圓x2+y2+kx=0的圓心(去0)位于直線x-y1=0上，于是有；1=0,即k=2,因此圓心坐標是（1,0）,半徑是1.由題意可得|AB|=22

25、,直線AB的方程是土+y=1，即x-y+2=0,圓心（1,0）到直線AB的距離等于上半W=3或，22點P到直線AB的距離的最大值是322+1,所以4PAB的面積的最大值為2x22x3|+2=3+艱，故選C.7. （2016全國乙卷）設(shè)直線y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點，若|AB|=2后則圓C的面積為.答案4兀解析圓C:x2+y2-2ay-2=0,即C:x2+（y-a）2=a2+2,圓心為C（0,a）,C到直線y=x+2a的距離d=10茬2a1=聶.又由1AB戶2m,得竽產(chǎn)晶）=才+2,解得a2=2,所以圓的面積為兀a2+2）=4兀.8. （2016天津四校聯(lián)考）

26、過點（1,寸2）的直線l將圓（x2）2+y2=4分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k=.答案解析，點（1/2（1-2）2+（-J2）2=3<4,皿）在圓（x2）2+y2=4的內(nèi)部.當劣弧所對的圓心角最小時，圓心（2,0）與點（1,虛）的連線垂直于直線l.2-0=-依所求直線l的斜率k=乎.1229.（2015山東）過點P（1,m）作圓x2+y2=1的兩條切線，切點分別為A,B,則該而=.答案解析32由題意，圓心為。（0,0）,半徑為1.如圖所示，m)，PB，x軸，|RA|=|PB|=J3.POA為直角三角形，其中|OA|=1,|AP|=V3,則|OP|=2,，/OPA=3

27、0°,./APB=60°.pAPB=|rA|PB|cos/APB=V3xmXcos60=|.10.在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx-2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是.4答案43解析圓C的標準方程為(x-4)2+y2=1,圓心為(4,0).由題意知(4,0)到kxy2=0的距離應(yīng)不大于2,即塔芻<2.整理，得3k2-4k<0,解得0Wkwgk+13故k的最大值是4.311,已知圓C:x2+y2+2x-4y+1=0,O為坐標原點，動點P在圓C外，過P作圓C的切線，設(shè)切點為M

28、.若點P運動到(1,3)處，求此時切線l的方程；(2)求滿足條件|PM|=|PO|的點P的軌跡方程.解把圓C的方程化為標準方程為(x+1)2+(y2)2=4,圓心為C(-1,2),半徑r=2.(1)當l的斜率不存在時，此時l的方程為x=1,C到l的距離d=2=r,滿足條件.當l的斜率存在時，設(shè)斜率為k,得l的方程為y-3=k(x-1),即kxy+3k=0,則匕與1=2,解得k=-3.,1+k4、一.3二.l的方程為y3=4(x1),即3x+4y-15=0.綜上，滿足條件的切線l的方程為x=1或3x+4y15=0.(2)設(shè)P(x,y),則|PM|2=|PC|2一|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-4,|PO|2=x2+y2,.|PM|=|