1、專題2.3 函數(shù)奇偶性和周期性真題回放1.【2017高考新課標(biāo)2文14】已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x時(shí)，,則 【答案】12【解析】【考點(diǎn)解讀】本題為函數(shù)求值問題，可運(yùn)用奇函數(shù)的性質(zhì)即；來解決，為基礎(chǔ)題。2.【2017高考北京文5】已知函數(shù)，則為（ ）（A）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （B）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)（C）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) （D）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)【答案】A【考點(diǎn)解讀】本題為考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，由函數(shù)，可借助函數(shù)奇偶性的定義及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來分析處理。3.【2017高考天津文6】已知奇函數(shù)在上是增函數(shù).若，則的大小關(guān)系為（ ）（A） （B） （C）

2、（D）【答案】 【解析】由題意：，且：，據(jù)此：，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性有：，即.本題選擇C選項(xiàng). 【考點(diǎn)解讀】本題為函數(shù)奇偶性與單調(diào)性結(jié)合問題，可由為奇函數(shù)及單調(diào)遞增性質(zhì)，化為比較自變量，再運(yùn)用指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，來比較大小。對知識綜合運(yùn)用要求較高。4.【2017高考江蘇文14】設(shè)f(x)是定義在R 且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上，其中集合D=，則方程f(x)-lgx=0的解的個(gè)數(shù)是 .【答案】8【解析】解法一；由于只需考慮1x<10的情況，在此范圍內(nèi)，解法二；在區(qū)間0，1）上，第一段函數(shù)上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為有理數(shù)，又f（x）是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間1，2）上，此時(shí)f（x）的圖象與y

3、=lgx有且只有一個(gè)交點(diǎn)；同理：區(qū)間2，3）上，f（x）的圖象與y=lgx有且只有一個(gè)交點(diǎn)；區(qū)間3，4）上，f（x）的圖象與y=lgx有且只有一個(gè)交點(diǎn)；區(qū)間4，5）上，f（x）的圖象與y=lgx有且只有一個(gè)交點(diǎn)；區(qū)間8，9）上，f（x）的圖象與y=lgx有且只有一個(gè)交點(diǎn)；在區(qū)間9，+）上，f（x）的圖象與y=lgx無交點(diǎn)；故f（x）的圖象與y=lgx有8個(gè)交點(diǎn)；即方程f（x）lgx=0的解的個(gè)數(shù)是8，【考點(diǎn)解讀】本題綜合考查了函數(shù)的周期性及零點(diǎn)問題，函數(shù)的圖象和性質(zhì)及轉(zhuǎn)化思想。對知識綜合運(yùn)用能力要求較高，有相當(dāng)難度。（需注意對題中條件集合D的解讀）考點(diǎn)分析考點(diǎn)了解A掌握B靈活運(yùn)用C奇偶性B周期

4、性A高考對函數(shù)奇偶性與周期性的考查要求為掌握，以小題的形式進(jìn)行考查。有一定的綜合性，常與函數(shù)的求值，零點(diǎn)、圖像、解不等式等問題結(jié)合。縱觀近幾年的高考試題，主要考查以下兩個(gè)方面：一是考查函數(shù)的奇偶性、周期性的理解和運(yùn)用；如函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)求值等。二是以性質(zhì)為載體解決函數(shù)零點(diǎn)問題，解不等式。解決問題中要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。 融會(huì)貫通題型一函數(shù)奇偶性的判斷典例1.（1）（2015年山東高考）下列判斷正確的是 ( )A. 函數(shù)是奇函數(shù) B. 函數(shù)是偶函數(shù)C. 函數(shù)是偶函數(shù) D. 函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【答案】C（2）（2017浙江省嘉興市模擬）已知函數(shù)， ，則的圖象為（ ）【答案】C【解析

5、】由為偶函數(shù)，排除，當(dāng)時(shí)， ，排除B解題技巧與方法總結(jié)判斷函數(shù)奇偶性的兩個(gè)方法1定義法；2圖象法；【變式訓(xùn)練】1(2015福建高考)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()Ay By|sin x|Cycos x Dyexex【答案】D2.（2017云南省昆明模擬）設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且|f(x)|是偶函數(shù)，則下則結(jié)論中正確的是（ ）A. f(x)是偶函數(shù) B. f(x)是奇函數(shù)C. |f(x-1)| 的圖像關(guān)于直線x=1對稱 D. |f(x)+1|的圖像關(guān)于（0，1）對稱【答案】C【解析】由題意得，例如f(x)=x，則|f(x)|是偶函數(shù)，此時(shí)f(x)是奇函數(shù)，所以A不正確；例如f(x)=x2，則|f

6、(x)|是偶函數(shù)，此時(shí)f(x)是偶函數(shù)，所以B不正確；例如f(x)=x，則|f(x)+1|=|x+1|是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，所以D 不正確；由函數(shù)的圖象變換可知，函數(shù)y=f(x)向右平移1個(gè)單位，可得函數(shù)y=f(x-1)的圖象，又函數(shù)|f(x)|是偶函數(shù)，圖象關(guān)于x=0對稱，所以函數(shù)|f(x-1)|的圖象關(guān)于x=1對稱，故選C。3判斷下列函數(shù)的奇偶性(1) f(x)； (2) f(x)； (3) f(x)【答案】見解析知識鏈接：知識點(diǎn)1函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)

7、f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱必會(huì)結(jié)論 ：函數(shù)奇偶性常用的結(jié)論如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(x)有意義，那么一定有f(0)0；如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)f(|x|)；在公共定義域內(nèi)有：奇±奇奇，偶±偶偶，奇×奇偶，偶×偶偶，奇×偶奇；奇函數(shù)在兩個(gè)對稱區(qū)間上具有相同的單調(diào)性偶函數(shù)在兩個(gè)對稱區(qū)間上具有相反的單調(diào)性題型二函數(shù)周期性及應(yīng)用典例2. （1）（2017山東省威海模擬）周期為4的奇函數(shù)在上的解析式為；，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】因

8、為函數(shù)是周期為4的奇函數(shù)，所以，則(2) （2017蘭州模擬）已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并且f(x2)，當(dāng)2x3時(shí)，f(x)x，則f(105.5)_.【答案】2.5(3) (2016蘭州模擬)已知函數(shù)f(x)是(，)上的奇函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于x1對稱，當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)2x1. 求證：f(x)是周期函數(shù)；當(dāng)x1,2時(shí)，求f(x)的解析式；計(jì)算f(0)f(1)f(2)f(2 017)的值【答案】見解析【解析】證明：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(x)f(x)，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x1對稱，則f(2x)f(x)f(x)，所以f(4x)f(2x)2f(2x)f(x)，所以f(x)是以

9、4為周期的周期函數(shù) 當(dāng)x1,2時(shí)，2x0,1，又f(x)的圖象關(guān)于x1對稱，則f(x)f(2x)22x1，x1,2 f(0)0，f(1)1，f(2)0， f(3)f(1)f(1)1，又f(x)是以4為周期的周期函數(shù)f(0)f(1)f(2)f(2 017)f(2 016)f(2 017)f(0)f(1)1.解題技巧與方法總結(jié)函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用1判定：判斷函數(shù)的周期性只需證明f(xT)f(x)(T0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T.2應(yīng)用：根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時(shí)，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(kZ且k0)也是函數(shù)的周期【變式訓(xùn)練】

10、1.（2017成都市第七中三診）設(shè)是定義在上周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)， ，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由題意可知： .選C.2（2017河北省巨鹿月考）已知對于任意的，都有，且，則 （ ）A. B. C. D. 【答案】C3（2017銀川模擬）設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x2)f(x)當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x2,4時(shí)，求f(x)的解析式；(3)計(jì)算f(0)f(1)f(2)f(2017)【答案】見解析【解析】 (1)證明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(shù)f

11、(2015)0.f(0)f(1)f(2)f(2 017)f(2016)f(2017)f(0)f(1)011.知識鏈接：知識點(diǎn)2函數(shù)的周期性1周期函數(shù)；T為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則需滿足的條件：(1)T0； (2)f(xT)f(x)對定義域內(nèi)的任意x都成立2最小正周期；如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做它的最小正周期3周期不唯一；若T是函數(shù)yf(x)的一個(gè)周期，則nT(nZ，且n0)也是f(x)的周期，即f(xnT)f(x)函數(shù)周期性常用結(jié)論；對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：若f(xa)f(x)，則T2a(a>0)； 若f(xa)，則T2a

12、(a>0)；若f(xa)，則T2a(a>0)對稱性的三個(gè)常用結(jié)論若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，即f(ax)f(ax)，則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱；若對于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，則yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱；若函數(shù)yf(xb)是奇函數(shù)，即f(xb)f(xb)0，則函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對稱題型三函數(shù)奇偶性的應(yīng)用命題點(diǎn)1已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的值典例3.（1）（2017重慶市巴蜀中學(xué)三模）定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，則（ ）A. -2 B. 2 C. D. 【答案】D【解析】由得函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且為奇函數(shù)，故.（

13、2）(2016杭州模擬)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x2)為偶函數(shù)，且f(1)1，則f(8)f(9)()A2 B1 C0 D1【答案】D【解析】因?yàn)閒(x2)為偶函數(shù)，f(x)是奇函數(shù)，所以f(x2)f(x2)f(x2)，由f(x2)f(x2)，得f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以f(8)f(0)，f(9)f(1)1，所以f(8)f(9)011.命題點(diǎn)2與函數(shù)奇、偶性相關(guān)的不等式問題(3)（2017哈爾濱模擬）已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x1)<f的x的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于

14、y軸對稱，又f(x)在0，)上單調(diào)遞增，f(2x1)<f， 所以|2x1|<，所以<x<.（4）（2017蘭州高臺(tái)縣聯(lián)考）已知是上的偶函數(shù)，且在是減函數(shù)，若，則不等式的解集是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C所以解得x<3或0<x<3，即不等式的解集為(,3)(0,3).命題點(diǎn)3已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)（5）(2015全國卷)若函數(shù)f(x)xln(x)為偶函數(shù)，則a_.【答案】1【解析】f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)0恒成立，xln(x)xln(x)0恒成立，xln a0恒成立，ln a0，即a1.（6）（2017山東省鄄城縣月考）已知是奇函

15、數(shù)，則的值為（ ）A. B. C. D. 不能確定【答案】A【變式訓(xùn)練】（1）(2017河北省衡水中學(xué)三模) 已知是上的奇函數(shù)，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以，得, .故選A.（2）（2017四川三診）已知函數(shù)，不等式（其中）的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A（3）（2017四川宜賓二診）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)， ，則有（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由題意得，因?yàn)?，則，所以函數(shù)表示以為周期的周期函數(shù)，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以， ，所以。 知識鏈接：1.單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間，求單調(diào)區(qū)間定義域優(yōu)先2.對x

16、1，x2D(x1x2)，>0f(x)在D上是增函數(shù)，<0f(x)在D上是減函數(shù)3.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，兩個(gè)(或兩個(gè)以上)同一類單調(diào)區(qū)間之間用“，”隔開，不能用“”連結(jié)4.在區(qū)間D上，兩個(gè)增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和仍是減函數(shù)5.函數(shù)f(g(x)的單調(diào)性與函數(shù)yf(u)和ug(x)單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”6.對勾函數(shù)yx(a>0)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為，0)和.課本典例解析與變式例1. 【必修1復(fù)習(xí)參考題P83 B組第3題】對于函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù) 為奇函數(shù)？【答案】存在，【解題反思】本題為存在性問題，可先假設(shè)存在。然后運(yùn)用奇函數(shù)的定義和性質(zhì)，建立方程求出的

17、值。變式1.(2016浙江金華模擬)若函數(shù)為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)的值為 ()A. B. C. D1【解析】方法一：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(x)f(x)因?yàn)閒(x)，所以. 所以(12a)12a，所以12a0，所以a.方法二：根據(jù)奇函數(shù)取特殊值求解；由已知f(x)為奇函數(shù)，得f(1)f(1)，即，所以a13(1a)，解得a.方法三：由解析式結(jié)構(gòu)分析；因?yàn)榉肿訛槠婧瘮?shù)，則要使為奇函數(shù)，則它的分母必是偶函數(shù)，所以所以12a0，所以a.變式2.(2017蘭州模擬)已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，的值為 【答案】【解析】， ,，變式3.(2017北京模擬)若函數(shù)是奇函數(shù)，則使成立的的取值范圍為（ ）（A）（

18、 ） （B）（） （C） （D）【答案】C變式4.（2017上海市徐匯區(qū)二模）已知函數(shù)是偶函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1） （2）【解析】試題分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以有，即求出的值；（2）分離參數(shù)，因?yàn)?，所以不等式等價(jià)于，使得不等式恒成立，只要即可求出的范圍?！菊n本回眸反思】1. 在復(fù)習(xí)解題訓(xùn)練中因注重對數(shù)學(xué)基本概念和性質(zhì)的理解；2 解題中應(yīng)該注重一題多解，一題多變，達(dá)到加深理解，靈活運(yùn)用的目的，并提高復(fù)習(xí)效率。練習(xí)檢測1(2017廣州模擬)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()Ayxsin 2x Byx2cos xCy

19、2x Dyx2sin x【答案】D【解析】令f(x)x2sin x，則f(1)1sin 1，f(1)1sin 1即f(1)f(1)，f(1)f(1)，所以yx2sin x，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，而A、B、C依次為奇函數(shù)，偶函數(shù)，偶函數(shù)，故選D.考點(diǎn)；基本初等函數(shù)函數(shù)性質(zhì)的判斷2（2017北京市西城區(qū)一模）函數(shù)定義在上,則曲線“過原點(diǎn)”是“為奇函數(shù)”的（ ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】函數(shù)定義在上，若為奇函數(shù)，則“曲線過原點(diǎn)”，反之不成立，例如,所以“曲線過原點(diǎn)”是“為奇函數(shù)”的必要而不充分條件，故選B.考點(diǎn)；

20、奇函數(shù)的定義及充要條件的判斷3.(2017銀川模擬)若函數(shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足，則有()A BC D【答案】D考點(diǎn)；函數(shù)奇偶性與單調(diào)性及方程思想4.(2016湖北襄陽模擬) x為實(shí)數(shù)，x表示不超過x的最大整數(shù)，例；-1.2= -2，0.9=0，1.8=1則函數(shù)f(x)xx在R上為()A奇函數(shù) B偶函數(shù)C增函數(shù) D周期函數(shù)【答案】D【解析】作出函數(shù)f(x)的圖象，由圖象可知選D.考點(diǎn)；函數(shù)奇偶性定義及數(shù)形結(jié)合思想。5（2017河北省巨鹿中學(xué)月考）已知定義在上的奇函數(shù)滿足 且，則方程在在區(qū)間內(nèi)整數(shù)根有（ ）A. 個(gè) B. 個(gè) C. 個(gè) D. 個(gè)【答案】D【解析】由題可知函數(shù)的周期為4，

21、由函數(shù)時(shí)R上奇函數(shù)故，所以，又故,又函數(shù)為奇函數(shù)所以，故方程在在區(qū)間內(nèi)整數(shù)根有1,3,4,5,7,8,9七個(gè)根?？键c(diǎn)；函數(shù)奇偶性與周期性及函數(shù)的零點(diǎn)。6.（2017蘭州模擬）已知定義在R上的函數(shù)滿足條件；對任意的，都有；對任意的；函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.則下列結(jié)論正確的是( )A. B.C. D.【答案】D考點(diǎn)；函數(shù)的奇偶性與周期性及單調(diào)性的綜合運(yùn)用7（2017銀川模擬）若函數(shù)f(x)在定義域上為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)k_.【答案】【解析】易錯(cuò)分析：解題中忽視函數(shù)f(x)的定義域，直接通過計(jì)算f(0)0得k1.正解：，由可得，考點(diǎn)；函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)8（2017山東省日照市二模）函數(shù)為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，則的解集為_【答案】考點(diǎn)；函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)及二次不等式的解法9（2017陜西省西藏民族學(xué)院附中）若定義在上的偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間 上單調(diào)遞減，則將， ， 從小到大順序排列為_【答案】【解析】因?yàn)?，所以，?是周期，又其為偶函數(shù)，所以， ， ，根據(jù)在區(qū)間上