1、全國碩士研究生統(tǒng)一入學(xué)考試數(shù)學(xué)公式大全高等數(shù)學(xué)公式第1頁共25頁第#頁共25頁導(dǎo)數(shù)公式:第#頁共25頁第#頁共25頁(aicsiii x)r =1Jl_x?(tgx)' = sec2 x(ctgx)r = - esc2 x (secx)r = secx tgx (cscx)' = -cscx ctgx (axy = axlna(aiccos x)，= _ (“丿一 x?第#頁共25頁基本積分(logax)r =(arcctgx)1 =-11+x2j sec xdx = ln|sec x + tgx| + C J cscxdx = ln|cscx- ctgx|+ C=sec2 x

2、dx = tgx+ C 茫 =|esc2 xdx = -ctgx + C secxtgxdx= secx+ C| cscx ctgxdx = -cscx+ CJ . =-arctg-4-C J a + x a aEL f shxdx = clix+ C丄 hS+C2a a - xchxdx = shx+ C號二 arcsin蘭+C嚴 r = ln(x+ Vx2±a2) + C2±a2ii lsiiin xdx = I cosn xdx =In_20 0 11 2 J Jx2 + adx =扌 Jx，+ a' + 牛 ln(x + Jx，+ a ?) + C j yl

3、C-dX.= ylx2-32 - 111 X+ y/x2 -32 + C2 2f Va2 - x2 dx = V a2 - x2 + aicsin+C22a第#頁共25頁第3頁共25頁三角函數(shù)的有理式積分：2u1-u2, x匚2chismx= , cosx= ,u = tg,dx =1 + ir1 + ir21+ir一些初等函數(shù):兩個要極限:雙曲正弦：shx二一2雙曲余弦:clix = °2雙曲正切:tilx = = £z£l clix ex + e xarshx= ln(x+ Vx2 +1)archx= ±ln(x+ Jx2 -1)1 1+xartli

4、x= In2 1-xsiiix . =1lime = 2.718281828459045.三角函數(shù)公式: 誘導(dǎo)公式：、數(shù) 角八sincostgctgasmacosatgactga90°-acosasinactgatga90°+acosa-sinactga-tga180°-asina-cosatga-ctga180°+a-sma-cosatgactga270°-a-cosa-sinactgatga270°+a-cosasinactga-tga360°-a-sinacosa-tgactga360°+asinacosat

5、gactga和差化積公式：和差角公式第#頁共25頁tg(a±0) =tga士tg0l+tgatg/7sin(a ± fl) = sin a cos p ± cos a sin pcos(a ± /7) = cos a cos 0 干 sin a sin 0如5驚器 a ° a+0 a_卩sm a + sin p = 2 sincos2 2. a “ a+ p . a-psm a 一 sin p = 2 cossm2 2“ c& + 0a_ 卩cosa+ cosp = 2cos cos2 2a a . a + P . a_ p cos a

6、 cos Q = 2smsin第#頁共25頁倍角公式:sill 2a = 2 sin a cos acos 2a = 2 cos2 a-l = l-2sin2a= cos2 a 一 sin2 asin 3a = 3 siii a - 4 sin3 acos3<z = 4cos3 a-3cos<z, 3tga-tg3a2ctga2tgatg2a = l-tga半角公式:.a 11-cos aa cos y = ±1 + cosatg = ± 匕cosy = Xcos空 血J2Vl + cosasin a1+cosa21+ cosa 1+ cosasin acos

7、a siii a 1- cosa第5頁共25頁第#頁共25頁余弦定理；c3 = a2 + b2 -2abcosCarctgx = - arcctgx正弦定理：匚=sin A sin B sin C反三角函數(shù)性質(zhì):aicsinx= -arccosx 2高階導(dǎo)數(shù)公式一萊布尼茲(Leibniz)公式:（uv宀f C：i嚴）嚴k=0=iWv+ nuV + 唾匹 u（2）v" + + n（T（n-k+%z）十十 uv（n） 2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理:f(b)- f(a)= fXXb-a) 柯西中值定理：亍®)= 竽.F(b)-F(a)F'(®當(dāng)F

8、(x) = x時，柯西中值定理就是拉格朗口中值定理。曲率：弧微分公式：ds= -J1+ y，2dx,其中y=tga平均曲率:丘彳詈卜G：從M點到M'點，切線斜率的傾角變化量；As： MM弧長。M點的曲率：K=lim1=11= . lyW!.->0 AS | | ds I J(l+yQ)3直線：K = 0;半徑為a的圓：K = 1a定積分的近似計算:第#頁共25頁b 1 _矩形法:J f (x)« 亍(% + % + + y-i)a梯形法寸 f(x)a 口£(% + y+ % + + y1 n 2b h_拋物線法:J f(x)« 壬(% + 九)+2(

9、% + y4 + + yn-2)+4(yi + y? + + yn-i)定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功：W = Fs水壓力：F = p-A引力：k巴羋,k為引力系數(shù)廠函數(shù)的半均值:亍=亠一f f(x)dx b-卍均方根:活子需空間解析幾何和向代數(shù)：空間2點的距離：d = |MM=J(x? - Xj) + &一 yj2 + (z? - zj， 向星在軸上的投影:Pr人忑=|丕| cos 0嚨忑丄ju軸的夾角。Pr ju(石 + a2) = Prja1 + Prj a2a b = |a|- b cos= axbx + ayby + a2b2,是一個數(shù)量，兩向量之間的夾角:cos&=c =

10、a xb = ax bxa/ + ay- + az-Jb/ + b/4-b/ay az, c| = |a|-|b|sin.例：線速度:v = wxf._ax向暈的泯合積4abc=(axb)c= bxCxay%cyb, = a xb|冋cosa,勁銳角時,Cz% b2第#頁共25頁代表半行六面體的體枳。第#頁共25頁平面的方程：1、點法式:A(x- Xq)+ B(y- y0) + C(z- Zq) = 0,其4In = AB,C,M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By+Cz+D = 0 3、截距世方程：-+- = 1a b c平面外任意一點到該平面的距離：d彎嘆心小Va2 + b2 +

11、 c2空間直線的方程:口=土1西=處"，其中§ = m,n,p;參數(shù)方程Jy=yo + ntz=Zo+ ptill11p二次曲面:1、橢球面芝+益+斗=1jt lr c2、拋物ffi：+=z,（p,q同號）2p 2q3、雙曲面：單葉雙曲而手第7頁共25頁2 2 2雙葉雙曲面:二-馬+4=1（馬鞍面） a- lr c多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分：dz= dx+ dychi = dx+ dy+ dzdx, dydx. dy dz全微分的近似計算：Az« dz= fx(x,y)Ax+ fy(x,y)Aydz 訂多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：dtt dz dvII Idz dadz

12、 dvdx.dv dx.di dvz= fu(x,y),v(x，y)-當(dāng)u = u(x,y), v = v(x.y)時,第#頁共25頁第#頁共25頁Fxd2ydxFydx2dz兀dzdx. 9Fz3cni =dx+ dy dx. dy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式:隱函數(shù)F(x,y) = 0,隱函數(shù)F (兀y,z) = 0,y令-診+歆亶）黑第#頁共25頁隱函數(shù)方程組jF("U,v) = O G(x,y,u,v) = O(3F dFt_0(F,G)_aT dvFu Fva(u,v)dG dG氏Grdv第9頁共25頁第#頁共25頁1d(F,G)1J咻V)J1d(F,G)16JQ(y,v)JO(F.G

13、) O(U,X) O(F,G) 0(* y)微分法在幾何上的應(yīng)用:X二僅 t)空間曲線y®t)在點M佑為冷處的切線方程:寫”片汁殆 z訶t)心)心)也)在點M處的法平面方程:0(t°)(x- Xq) + “(to)(y- y0) + e'(t°)(z- Zo)= OFg，z) = 0,則切向虹=,F 怕 FyG(x.y,z) = 0Gy Gj |g2 g|gx Gy若空間曲線方程為:曲面F(x,y,z) = O上一點MCxyZo),則:1、過此點的法向最：n = Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),F2(x0,y0,z0)2、過此點的切平面

14、方程:F/xo,yo,zo)(x-xo) + Fy(xo,yo,zo)(y-yo) + F2(xo>yO5zo)(z-zo) = O3.過此點的法線方程:一3Fgy%y-y。Z-ZpFz(Xoyo，Zo)方向?qū)?shù)與梯度：函數(shù)z= f(x,y)在一點p(x,y)沿任一方向啲方向?qū)?shù)cos</>+ siiip ddy其中泌/冊到方向1的轉(zhuǎn)角。函數(shù)z= f(x,y)在一點p(x,y)的梯度：gradf(x,y) = 各jox dy它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是:一 =grad f(x,y) e,其中e = cos> f+sin-J,為1方向上的 d單位向量。務(wù)是孚adf(x,y)在1上

15、的投影。多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè)匚（觀）= ©（觀，）"，令：4（忌，）=人如區(qū),*。AC-B2 >0時實A<O,（xo,yo） 極大值A(chǔ)。,%）為極小值A(chǔ)C-B'vO時，無極值A(chǔ)C-B，=0時，不確定賣積分及其應(yīng)用:I f(x,y)dxdy = | f(rcos0.rsin6)rdrd0DD曲面z= f （x, y）的而積A=dxdy第#頁共25頁第#頁共25頁jjw(x,y)dcr|Jyp(x,y)ckr平而薄片的重心：x = = 4., y=M |j p(x,y)dcrM J | p(x,y)daDD平而薄片的轉(zhuǎn)動慣量：對于x軸lx = jjy&

16、#39;p(x,y)d6對J：y軸片=JJx2p(x,y)dcrDDFy= fjj以“網(wǎng)乙,卩宀町f P(x，y)xd d (x2 + y: + a2)-d(x- + y- + a2)半面薄片(位于xoy半面)對zM上質(zhì)點M(0,0,a),(a>0)的引力：F = Fx,Fy,Fz,其中：Fx=fjj P(x,y)xda3d (x3 + y2 + a2)-柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：x= r cos。J|J f(x,y,z)dxdydz= | F(r,z)rdi dftiz.柱面坐標(biāo):< y = r sin6,z= z其中：F(t,Qz)= f(rcos&jsin&.z)x

17、= r sin(pcos0球面坐標(biāo)談 y = rsin(psln0. dv= rd©r sin0 d。dr = r2sincii ddz = r cos (p2< M T0)j|j f(x,y,z)dxdydz =F(r,>,)r3 siiidi dd= JdJd(p | F(r,>,)r2 siiidiQQ000重心：x = jjj xpdv, y = ypchz, z = jjj z/xtv,其中M = x = jjj pchMrM aM aa轉(zhuǎn)動慣量：Ix = JJJ(y2 + z2)pdv, Iy = U(x2 + z2)pdv, Iz = jjj (x2

18、+ y2)pdv曲線積分;第11頁共25頁笫-類曲線積分(對弧2的曲線枳分)：設(shè)訊比刃在匚上連續(xù)，L的參數(shù)方程為電2，仗門50),則: ly=沁)特殊悄況：y=%)J F(x, y)ds = J F0t),沁)J0? (t) + / (t)dt (a < p) La 第二類曲線積分(對坐標(biāo)的曲線枳分)：設(shè)L的參數(shù)方程為fx"咚，則：ly=y/(t)0J P (x, y)dx+Q (x, y)dy= JP ®(t), p(t)“(t) + Q p(t),卩(t)0C)dtLa兩類曲線積分之間的關(guān)系:JPdx + Qdy二J(Pcosa + Qcos0)ds,其中諭0分別

19、為LLL上積分起止點處切向量的方向角。格林公式:)dxdy = Pdx+Qdyl各林公式：(-)dxdy = Pdx+Qdy 彩凍®L気凍刃L當(dāng)P = -y,Q=x,即:冬-邏二血，得到D的面積: dx, 6平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件：L G是一個單連通區(qū)域;2、P(x,y), Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且字=冬。注意奇點，如(0,0),應(yīng)dx. 6減去對此奇點的積分，注意方向相反！二元函數(shù)的全微分求積： 在冬=邏時，Pdx + Qdy才是二元函數(shù)u(x,y)的全微分，其中：Ok ®u(x,y)= Jp(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常設(shè)觀=y0 = 0

20、o(Zo)曲面積分:對面積的曲面枳分寸f f(x,y,z)ds= | Fx,y,z(x,y)Jl + 云(x,y) + zj(x,y)dxdy 2對坐標(biāo)的曲而積分寸fP(x, y,z)dydz + Q(x, y,z)dz(k + R(x, y,z)dxdy.其中: z|jR(x,y,z)dxdy = ± |*R(x,y,z(x,y)dxdy,取曲面的上側(cè)時取正號：Z%P(x,y,z)dydz = ± Px(y,z),y,zdyxlz,取曲面的前側(cè)時取正號：ZD護|JQ(x,y,z)dzdx = ± |*|*Qx,y(z,x),zdzclx,取曲面的右側(cè)時取正號。兩

21、類曲面積分之問的關(guān)系2D.:jj Pdydz + Qdzdx+ Rdxdy = (Pcosa + Qcos/7 + Rcos/)ds+#Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=g(P cosa + Q cos p + Rcos/)ds高斯公式的物理意義通量與散度：散度：后卩二嬰+生+孚，即：單.位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若divv<0,則為消先. 5x cy oz通量：| A nds= Aics= | (P cosa + Qcos0 + Rcos?)ds,zzz因此，高斯公式又可寫成寸JJdivAdv二甘Adsz斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關(guān)系:(-)dydz+ (嚳一譽)dzdx+)d

22、xdy = |pdx+ Qdy+ Rdzdydz dzdx dxdycos a上式左端乂可寫成洱ddd=ffdZdx.dydz.JJ zPQRpCOSO&R y¥qjq¥qi Q -xptA»:旋空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件空二坐，, = dy dz dz.dx dyddzR向最場A沿有向閉曲線F的環(huán)流M：Pdx+Qdy+ Rdz = j A fdsrr常數(shù)項級數(shù)：等比數(shù)列:1+ q+ q2 + + qn_1 = -_i-q 等差數(shù)列：1 + 2 + 3 +1】=4藝2調(diào)和級數(shù)+丄+丄+丄是發(fā)散的23 n級數(shù)審斂法：第13頁共25頁第#頁共25頁1、正項級

23、數(shù)的審斂法根植審斂法(柯西判別法)：QV耐，級數(shù)收斂則”1時，級數(shù)發(fā)散0 = 1 時，設(shè)：p = Iim/u7,2、比值審斂法:設(shè):"氓，則.不確定級數(shù)收斂 級數(shù)發(fā)散pvl時， p>l 時，p = lR寸，不確定3、定義法：sn = u1+u2 + -+un;lims°存在,則收斂；否則發(fā)散。交錯級數(shù)111 -u2 +嗎一 W +(或-U +U2-嗎+ ,> 0)的審斂法萊布尼茲定理：un > un44li爲(wèi)二)，那么級數(shù)收斂且其和S3】，其余項匚的絕對值打5護 一 n如果交錯級數(shù)滿足128絕對收斂與條件收斂：(1)U+U? Un + 其中為任意實數(shù);(2

24、粘| +阿+闖+ M +如果(2)收斂，則(1)肯定收斂，且稱為絕對收斂級數(shù): 如果C)發(fā)散，而(1)收斂，則稱(1)為條件收斂級數(shù)。調(diào)和級數(shù):為丄發(fā)散，而乞少收斂；nn級數(shù):E A收斂；P級數(shù)另丄(p VI時發(fā)散P 乙卍p?l時收斂幕級數(shù)：收斂于丄1-X發(fā)散對于級數(shù)a0 +a2x2 + + anxn + ,如果它不是僅在原點收斂，也不是在全|x| <1時,恥1時,/|x|< RW 收斂數(shù)軸上都收斂，則必存在R，使寸發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。|x|=Rn寸不定求收斂半徑的方法：設(shè)limR=-PR= +s=p，其中, a戚是(3)的系數(shù),則(° = 0時， p +s時，R=

25、 0第15頁共25頁函數(shù)展開成裕級數(shù):n!函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：f(x)= f (Xo)(X- Xq)+ f x- Xq)2 + +(x-Xo)n + -2!余項：巴=(x- Xo)n41, f (x)可以展開成泰勒級數(shù)的充要條件是：lim 1 = 0(n + 1)!T8n!L時即為麥克勞林公式：f(x)= f(0)+ F(0)x+晉宀+也宀.一些函數(shù)展開成祐級數(shù)：.111(111-1) r111(111-1)- (111-11 + 1) n(1 + x)m = l+nix+ x- + + x + 2!+(- 1嚴+5!(211-1)!3!n!(一s < x<+co)第#頁共25頁第

26、#頁共25頁(相加)6二+ =(相減)12n=0J,2- F(x) =匹十旋偶函數(shù)2歐拉公式:三角級數(shù):8a8f(t)= A)+ SAt sin(nM + %)=守 + 工( cosiix+ bn sin nx)n=42沖其中，a0 = a,an = Avsiil%»bn= icos,血=x。正交性d, sill x, cos x, sill 2 x, cos 2 x sill lix, cos nx任總兩個不同項的乘積在-；1,才 上的積分=0。傅立葉級數(shù)：f(x) = +cosiix + bn siinix),周期=In2 n=ll * an = f f(x) cosnxclx(

27、n = 0JL,2)其中兀7bn = j f (x)siiuixdx(n = 1,23 )* 7y 11n2l+-r + 7v +-3- 5-8111n2-r+r+ r +2- 4- 6-.111 n 2-3-4-.11124/ 1"P + 3y"4y止弦級數(shù)：an = 0, bn = J f (x)smiixdx7 n余弦級數(shù)：bn = 0, an = J f(x)cusiixdx周期為21的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)：n = l、23f(x)=bnsinnx是奇函數(shù)f(x) =+ bnsin周期=21%1smdx1(n = 0J,2 )(11 = 1,2,3-)微分方程的相關(guān)

28、概念：一階微分方程：y = f(x,y)或 P(x,y)dx+Q(x,y)dy = O 可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化為g(y)dy= f(x)dx的形式，解法： jg(y)<1y=f f(x)dx 得：G(y) = F(x) + C稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方程可以寫成f(x,y) = x,y),即寫成丫的函數(shù)，解法：dxx設(shè)ll=Y,則 = U+X, u + =u),分離變量，積分后將工代替II,x dxdx dxx一 ux即得齊次方程通解。一階線性微分方程:1、一階線性微分方程： + P(x)y=Q(x)dx/當(dāng)Q(x)=O時，為齊次方程，y=Ce'fP(x

29、)dx當(dāng)Q(x)hO時，為非齊次方程，yNjQJPgdx+c)"!2、貝努力方程:些+P(x)y=Q(x)y°,(葉0J)dx全微分方程：如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy = O中左端是某函數(shù)的全微分方程，即： du(兀y) = P(x,y)dx+ Q(x,y)dy = O,其中:$ = p(x,y),$ = Q(x,y) dxdy:.ii(兀y) = C應(yīng)該是該全微分方程的通解。窘+P(醴+g)y=gf(x)三0時為齊次 f(X)HO時為非齊次二階微分方程:二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*)yw + py + qy=O,其中p,q為常數(shù)；求解步驟：1、寫出特

30、征方程：(A)r3+pr + q = 0,其中廠，r的系數(shù)及常數(shù)項恰好是式中y",y；y的系數(shù);2、求出()式的兩個根s©3、根據(jù)T"的不同情況，按下表寫岀(*)式的通解:rr s的形式(式的通解兩個不相等實根(p2-4q>0)y=c1e,x + c2enx兩個相等實根(p2_4q=0)y= (q + c2x)enx一對共復(fù)根(p2-4q<0) 兒=a + i0, r3 = a-i/7 。一 p, /jj4q-p22 2y = e° (q cos /k+c2 sin /k)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y"+ py + qy= f(x

31、), p,q為常數(shù)f(x) = ePm(x)型，2為常數(shù)；f (x) = e*P(x)cos6tx+ Pn(x)sin ax型第19頁共25頁線性代數(shù)部分仁行列式1. 行列式共有於個元素，展開后有I項，可分解為丁行列式：2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)： 、舛和為的大小無關(guān); 、某行(列)的元索乘以其它行(列)元素的代數(shù)余子式為0： 、某行(列)的元索乘以該行(列)元素的代數(shù)余子式為|A|：4y=(-ir<w,3. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：.W, = (-irM,4. 設(shè)行列式D：將。上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為U，則D, = (-1) D:將D順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)90：,所得行列式為0,則

32、0=(-1)廠0；將D主對角線翻轉(zhuǎn)后(轉(zhuǎn)置)，所得行列式為0，則D)= D； 將O主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為0，則Q =5. 行列式的重要公式： 、主對角行列式：主對角元素的乘枳；弘-1) 、副對角行列式：制對角元素的乘枳x(-l)一廠： 、上、下三角行列式(ll=lkl):主對角元素的乘枳； 、|了|和|，|:副對角元素的乘枳x(-l);AO ACC A O A 、拉普拉斯展開式：c B = O B引A|同、B o = B回 、范德蒙行列式：人指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積: 、特征值；6 對于階行列式|舛，恒有：州=/+£(-1)沾以1 ,其中S*為A階主子式:7 證明|州=0的方法：

33、、|牛-|州； 、反證法； 、構(gòu)造齊次方程組Ax = 0,證明其有非零解； 、利用秩，證明r(A)</i； 、證明0是其特征值；2、矩陣1. A是階可逆矩陣:u>|A|hO （是非奇異矩陣）： u>«4） = （是滿秩矩陣） o A的行（列）向量組線性無關(guān)； o齊次方程組Ax = 0有非零解： u> Pb eR"、Ax = b 總有唯一解： <=> A與E等價； u> A可表示成若干個初等矩陣的乘積： 0 4的特征值全不為0； o AU是正定矩陣： u>A的行（列）向最組是的一組基; Q A是R"中某兩組基的過渡矩陣

34、；対于階矩陣A ： AA'=A'A = AE無條件恒成立;3-（屮）'（AT（"）（"尸（"）（"）（AB）r =（A町=BA'（AB）-1 =4 矩陣是表格，推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和:5.關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均A、B可逆：A、若心仏.，則：rvII、(0OA"1£丿o:（主對角分塊）:（副對角分塊）C、:（拉普拉斯）、fA、c0、B,A'10b"caJ ba:（拉普拉斯）笫21頁共25頁笫#頁共25頁3、矩陣的初等變換與線性方程組笫#頁共25頁笫#頁共

35、25頁1.一個mx/i矩陣A,總町經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯-確定的：F =笫#頁共25頁等價類：所有與4等價的矩陣組成的一個集介，稱為一個等價類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡單的矩陣； 對于同型矩陣A、B ,若r(A) = r(B) <=> A匚B：2. 行最簡形矩陣： 、只能通過初等行變換獲得： 、每行首個非0元素必須為1； 、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0：3. 初等行變換的應(yīng)用：(初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換) 、若(A.E)Q(E.X),則A 可逆，且X = 4-1： 、對矩陣(人)做初等行變化，當(dāng)A變?yōu)镋時，3就變成A"B,即： 、求解線形

36、方程組：對于個未知數(shù)"個方程Ax = b，如果GO)f(E,x),則A可逆，H.x = A'1b：4. 初等矩陣和対角矩陣的概念： 、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣； 、A=,左乘矩陣A,彳乘A的各行元素；右乘，人乘A的各列元素：符號E(i小，且EJY1 =,例如:ri 、對調(diào)兩行或兩列，符號E(訛),且EtfCi)-1 = E(i(l»，例如:n-11 、倍乘某行或某列，符號 E(ij(kJ)但 E(ij(k)尸=E(ij(-k如: 、倍加某行或某列.I1丿I 1丿5. 矩陣秩的基本性質(zhì)： .0 < r(Amyt

37、n) < min(m, m): 、r(4r) = r(A): 、若A0B.則r(4) = r(); 、若P、0可逆，則/= r(PA) = r(A2)= r(e)：(可逆矩陣不影響矩陣的秩) 、max(/*(A"()S"A,)S/*(A)+/*(B):(探) 、r(4+)<r(4)+r(B):(探) 、r(AB) < niin(r(4),r(j?):(探) 、如果A是加X”矩陣，B是矩陣，且AB = 0,則：(探)I、B的列向量全部是齊次方程組AX = 0解(轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論)；II、r(4)+r(B) </i .若A、B均為階方陣，則r(AB)&g

38、t;r6 三種特殊矩陣的方幕： 、秩為1的矩陣：一定町以分解為列矩陣（向量）x行矩陣（向量）的形式，再采用結(jié)合律:f a c、 、型如0 1 的矩陣：利用二項展開式:、0 0 L二項展開式：（“+b） =C>"+C”-W+.+C：a"r*"+.+C：%i+C>" = £c：a"f ；II、注：I、（a+by展開后有+ 1項：1123.F- mIII、組合的性質(zhì)： 、利用特征值和相似対角化:7.伴隨矩陣：、伴隨矩陣的秩W冷r(4) = /r(A) = w-1 ；r(A) 一1笫25頁共25頁笫#頁共25頁、伴隨矩陣的特征值:

39、(AX = AX.A* = AA1 =A X = X)；、A =|A|A" |A | = |Ap8. 關(guān)于4矩陣秩的描述： 、A中有階子式不為0, ” + 1階子式全部為0；（兩句話） 、r（A） <n , A中有階子式全部為0； 、r（4）>/i » A中有階子式不為0：9. 線性方程組：Axb.英中A為mxn矩陣，則： 、加與方程的個數(shù)相同，即方程組Ax = b有加個方程： 、與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同.方程組= b為“元方程: 10線性方程組Ax = b的求解： 、對增廣矩陣進行初等行變換（只能使用初等行變換）: 、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解： 、特解：自由

40、變量賦初值后求得：11由個未知數(shù)加個方程的方程組構(gòu)成元線性方程:o Ax = b（向量方程,A為加X”矩陣，加個方程，個木知數(shù)）、(© a2 a.)X、=p （全部按列分塊，其中0二):心丿 、alxl+a2x2 += ft （線性表出） 、有解的充要條件：/*= r（A,）</ （"為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性1. m個"維列向屋所組成的向量組4 :礙,，,養(yǎng)構(gòu)成hx加矩陣A = （%,%,%）:加個"維行向量所組成的向量組：住代4：構(gòu)成加x矩陣二耳；含有冇限個向最的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)：2. 、向量組的線性相關(guān)、無關(guān) oAx

41、 = 0有、無非零解：（齊次線性方程組） 、向量的線性表出Ax = b是否有解；（線性方程組） 、向量組的相互線性表示AX = B是否有解：（矩陣方程）3. 矩陣與坊“行向最組等價的充分必要條件是：齊次方程組心=0和處=0同解：（片°】例14）4. r（ArA） = r：（片（ 例5. 維向最線性相關(guān)的幾何意義： 、a線性相關(guān)<=> a= 0 : 、a,0線性相關(guān)oa,0坐標(biāo)成比例或共線（平行）； 、a.fiy線性相關(guān)0 a、p、Y共面：6 線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若qq,a,線性相關(guān),則色,必線性相關(guān);若q.血.a,線性無關(guān)，則q.6,.乞丿必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加

42、加減減，二者為對偶）若廠維向量組A的每個向量上添上-廠個分量，構(gòu)成維向量組B :若A線性無關(guān)，則B也線性無關(guān)：反之若B線性相關(guān)，則A也線性相關(guān)；（向最組的維數(shù)加加減減） 簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；7. 向屋組A （個數(shù)為/）能由向量組B （個數(shù)為$）線性表示，I1A線性無關(guān)，則（二版鬥4定理7）：向最組A能由向最組線性表示，則r（A） < r（B）:（甩定理3）向量組A能由向量組B線性表示<>AX = B 有解：<=>r（A） = r（A,）（甩定理 2）向屋組A能由向量組B等價or（A） = r（B） = r（4,B）（耳定理2推論）8. 方陣A

43、可逆o存在有限個初等矩陣妁,比,使4 =片妁比： 、矩陣行等價：AB<PA = B （左乘，P可逆）«Ax = 0與& = 0同解 、矩陣列等價：AB>AQ = B （右乘，0叮逆）： 、矩陣等價：A= （ P、0 口J*逆）；9對于矩陣去“與比j 、若A與B行等價，則A與的行秩相等： 、若A與行等價，則心=0與次=0同解，且4與B的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān) 性； 、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩； 、矩陣A的行秩等于列秩；10 若 A“B/J,則： 、C的列向最組能由A的列向量組線性表示，為系數(shù)矩陣； 、C的行向量組能由B的行向量組線性表示，為系數(shù)矩陣

44、；（轉(zhuǎn)置11齊次方程組處=0的解 淀是ABx = 0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無攜證明： 、4.丫 = 0只有零解=> 處=0只有零解： 、Bx = Q有非零解=>4& = 0 定存在非零解；12設(shè)向量組B”b,b“b可由向量組人的嗎厲線性表示為：（片io題19結(jié)論）（坊厶,，毎）=（“a：,（ B = AK ）其中K為sxr ,且A線性無關(guān)，則B組線性無關(guān)<=>r（K） = r； （ B與K的列向量組具有相同線性相關(guān)性）（必要性：/ = /（歷二/（AK）"（K）,充分性：反證法）注：當(dāng)r = y時，K為方陣，可當(dāng)作定理使用：13、對矩陣心

45、”，存在Q“,=o/、0的列向量線性無關(guān)；（傀了）、對矩陣心"，存在出-，PA = E” o"A） = 、P的行向量線性無關(guān)：14. q,6,«線性相關(guān)u>存在一組不全為0的數(shù)匕,.& ,使得&1弔+他+.+化$ = 0成立：（定義）Z 、0（%,a,）心=0有非零解，即心=0有非零解；O /（%,他,気）<5 ,系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)：15設(shè)加X”的矩陣A的秩為f,則元齊次線性方程組心=0的解集S的秩為：r（S） = /-r：16若;7為Ax = b的一個解，,為心=0的一個基礎(chǔ)解系，則八鼻,人線性無關(guān)：（&1題33結(jié)論

46、）5、相似矩陣和二次型1.正交矩陣= E或= （定義）,性質(zhì)：、A的列向童都是單位向量,且兩兩正交,即如、若A為正交矩陣，則A'1 = Ar也為正交陣，且|4| = ±1： 、若A、B正交陣，則A也是正交陣；注意：求解正交陣，萬不要忘記施密特正交化和單位化:2. 施密特正交化：（兔嗎,，）bl=a1i也MJ3. 對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)； 對于實對稱陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量正交；4、A與等價 o A經(jīng)過初等變換得到*;oP40 = B, P、0 可逆； o/= r（B） , A、同型； 、A與合同<CTAC = Bt其中可逆：<xrAx與

47、HBx有相同的正、負慣性指數(shù): 、A與B相似oP 4P = B；5.相似一定合同、合同未必相似：若C為正交矩陣，則ctac = b=>aub,（介同、相似的約束條件不同，相似的更嚴格）；6 A為對稱陣，則A為二次型矩陣；7. 元二次型*Ax為正定：o A的正慣性指數(shù)為：u>4與E介同，即存在町逆矩陣C,使CMC二E：04的所有特征值均為正數(shù)：o A的各階順序主子式均人于0：n叫>0,|州>0；（必要條件）笫29頁共25頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計部分1.隨機事件及其概率Au Q = Q吸收律：Ao0= AAo (AB) = AA- B = AB = A- (AB)反演律：AkjB

48、 = AB0Z=hAi«li»l2 概率的定義及其計算P(A) = 1-P(A)ArQ= AAr>0 = 0An (Au B)= AAB = AkjBAa = Uai-l1-1笫#頁共25頁笫#頁共25頁若 Au E => P(B -A) = P(B) 一 P(刃對任意兩個事件A, B,有P(B = P(B) P(AB) 加法公式：對任意兩個事件A, B,有P(AuB) = P( + P(B)-P(2AB)P(AuB)<P(A) + P(B)p(Ua)= Ep(A)- Ep(AA)+ f P(Ad4)+ +(-i)zp(AA 4)3 條件概率i=ll<i< j<nl<i< j<k<nP(B| A)=P(AB)P(A)乘法公式P(AB) = P(馬P(B |