1、考研數(shù)學(xué)(三)真題、填空題：16 小題，每小題 4 分，共 24 分.把答案填在題中橫線上n一，.、n(2)設(shè)函數(shù)f(x)在x=2的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)=ef(xf(2)=1,則f”(2)=._一1一.22(3)設(shè)函數(shù)f(u)可微，且f(0)=-,則z=f(4x-y)在點(diǎn)(1,2)處的全微分dz.12%=.J2)/21、(4)設(shè)矩陣A=|,E為 2 階單位矩陣，矩陣B滿足8人=8十2,則8=.12；F 一(5)設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間0,3上的均勻分布，則pmaxX,YM1=.(6)(6)設(shè)總體X的概率密度為f(*)=；3書(8x0,f(x)a0,Ax為自變量x在點(diǎn)x0處的增

2、量，Ay與dy分別為f(x)在點(diǎn)x0 處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若(A)0dyAy.(C)Aycdyc。.(8)設(shè)函數(shù)f(x/x=0處連續(xù)，且lim-(A)f(0)=0且f(0)存在(C)-0)=0 且以(0 府在cd(9)若級(jí)數(shù)Zan收斂，則級(jí)數(shù)n4QO(A)Zan 收斂.(B)O0(C)an%中收斂.(D)nTxA0,貝 UB)0Aydy.D)dyAy0.f(h2),t=1,則h2(B)f(0)=1且f_(0)存在(D)f(0)=1 且 f；(0)存在Z(1)nan 收斂.nTM+Zanan十十收斂.ni2(10)設(shè)非齊次線性微分方程y+P(x)y=Q(x)有兩個(gè)不同的解y1(x),y2(x),

3、C為任意常數(shù)，則該方程的通解是(A)Cy(x)y2(x).(B)y1(x)+Cy(x)yz(x).(C)Cy(x)+y2(x).(D)y1(x)+Cy(x)+y?(x)(11)設(shè)f(x,y)與平(x,y)均為可微函數(shù)，且華;(x,y)。，已知(%,y0)是f(x,y)在約束條件中(x,y)=0下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是(A)若fx(%,yo)=O,則fy(xo,yo)=O.(B)若fx(xo,yo)=0，則fy(xo,yo)O.(C)若fx(x。，yo)#O,則fy(xo,yo)=O.(D)若fx(xo,yo)#O,則fy(x0,yo)#O.(12)設(shè),0(2,”|Ps均為n維列向量，A

4、為mn矩陣，下列選項(xiàng)正確的是(A)若巴,c(2,IIIPs線性相關(guān)，則A(1,Ac(2,lll,Ac(s線性相關(guān).(B)若%,%*l,s線性相關(guān)，則AXi,Aa2,HI,AcXs線性無(wú)關(guān).(C)若巴,。2,用,氣線性無(wú)關(guān)，則A1,Aa2,|l,Aas線性相關(guān).(D)若巴,62,111,三線性無(wú)關(guān)，則 Ati,Ac(2,HI,As線性無(wú)關(guān).(13)設(shè)A為 3 階矩陣，將A的第 2 行加到第 1 行得B,再將B的第 1 列的-1倍加到第 2 列得C,記110”P=010,則I。0b(A)C=P,AP.(B)C=PAP.(C)C=PTAP.(D)C=PAPT.(14)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布Ng,。

5、；)，Y服從正態(tài)分布*卜29；)，且PX-hPY-h1)則必有(A)二1：二二2(B)二1二2(C)三、解答題：15-15-2323 小題，共 9494 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(15)(15)(本題滿分 7 7 分)1-ysin(I)g(x)=2f(x,y)；(n)lim4gfx).(16)(16)(本題滿分 7 7 分)計(jì)算二重積分|jjy2xydxdy,其中D是由直線y=x,y=1,x=0所圍成的平面區(qū)域.D(17)(17)(本題滿分 1010 分)證明：當(dāng)0ab0).(I)求L的方程；(n)當(dāng)L與直線y=ax所圍成平面圖形的面積為8時(shí)，確定a的值.3(19)(19)(

6、本題滿分 1010 分)00(-1x2n書求哥級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)s(x).nmn2n-1(20)(20)(本題滿分 1313 分)TTTT設(shè) 4 維向量組%=(1+a,1,1,1)產(chǎn)2=(2,2+a,2,2)產(chǎn)3=(3,3,3+a,3),口4=(4,4,4，&,問a為何值時(shí)叫尸243,1a4線性相關(guān)？當(dāng)叫P2P3尸4線性相關(guān)時(shí)，求其一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表出.(21)(21)(本題滿分 1313 分)設(shè) 3 階實(shí)對(duì)稱矩陣A的各行元素之和均為 3,向量%=(1,2,1;，口2=(0,1,1是線性方程組Ax=0的兩個(gè)解.(I)求A的特征值與特征向量；(n)

7、求正交矩陣Q和對(duì)角矩陣A,使得QTAQ=A；36(出)求A及.A3E|,其中E為 3 階單位矩陣.(D)arctanx,x0,y.0,求2(22)(22)(本題滿分 1313 分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為-,-1x02-1cCfx(x)=q0 x2,0,其他令Y=X2,F(x,y)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù).(1)求丫的概率密度f(wàn)Y(y)；(n)Cov(X,Y)；，i)(出)F,4.22)(23)(23)(本題滿分 1313 分)設(shè)總體X的概率密度為工,0：二x11,fx;1-1-二，1三x：2,。，其他，其中 9 9 是未知參數(shù)(0e1XhXz_Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記N為

8、樣本值”,乂2.,%中小于1的個(gè)數(shù).(I)求日的矩估計(jì)；(n)求日的最大似然估計(jì)2006年考研數(shù)學(xué)(三)真題解析二、填空題：16 小題，每小題 4 分，共 24 分.把答案填在題中橫線上n11(1)(1)lim=Lf：，n【分析】將其對(duì)數(shù)恒等化N=elnN求解.fn+1ln近limRln.A【詳解】limf=limeUJ=en干VnJn-nn而數(shù)列(一1)n有界,limIn1n-1=0，所以lim(-1)nIn1-1)=0.nn:n故lim亡=e二1.n一.、n(2)設(shè)函數(shù)f(x)在x=2的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)=ef3f(2)=1,則f(2)=坦.【分析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)即可.【詳解】由題

9、設(shè)知，f(x)=ef(x),兩邊對(duì)x求導(dǎo)得f(x)=ef(x卜(x)=e2f(x),兩邊再對(duì)x求導(dǎo)得f(x)=2e2f(xf(x)=2e3f(x上又f(2)=1,故f(2)=2e3f2=2e3.,_-,、_一1.1一22一.(3)設(shè)函數(shù)f(u)可微，且f(0)=,則z=f(4x-y)在點(diǎn)(1,2)處的全微分dz.2、=4dx2dy.2J【分析】利用二元函數(shù)的全微分公式或微分形式不變性計(jì)算、，一一22_【詳解】方法一：因?yàn)橐?12)=f(4x2-y2)8x(12)=4,女|Z|(I,2)=f4x2-y2廣(-2y)|(I,2)=-2,22萬(wàn)法二：對(duì)z=f(4x-y)微分得所以dz(1,2)=l/

10、zzJH92產(chǎn)就啊=4dx_2dy.一2222-22一一dz=f(4x-y)d(4xy)=f(4xy)(8xdx2ydy),(1,20f(0)(8dx2dy)=4dx2dy.一121,(4)設(shè)矩陣A=,E為 2 階單位矩陣，矩陣B滿足BA=B+2E,則 B=2.12J【分析】將矩陣方程改寫為AX=B或XA=B或AXB=C的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由題設(shè)，有B(A-E)=2E._11一一于是有BA-E=4,而 AE=2,所以B=2.-11(5)設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間10,3上的均勻分布，則PimaxtX,Y)H1：=19【分析】利用X與Y的獨(dú)立性及分布

11、計(jì)算.【詳解】由題設(shè)知，X與Y具有相同的概率密度則PmaxXY_1；=P(X1,Y三1.；W：XM11P(Y1?=。62=口/=9【評(píng)注】本題屬幾何概型，也可如下計(jì)算，如下圖:卜3.故dzf(x)=；3,0,0 x3其他，S月1則PtmaxiX,Y；_1，=PiXY三1，=S91x(6)(6)設(shè)總體X的概率密度為f”片萬(wàn)個(gè)(x0,f(x)0,Ax為自變量x在點(diǎn)x0處的增量，Ay與dy分別為f(x)在點(diǎn)x0處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若AXA0,則(A)0；dy：Ly.(B)0”y；dy.(C)7：二dy：二0.(D)dy-yy：二0A【分析】題設(shè)條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解.【詳解】由f(x)0

12、,f”(x)A0知，函數(shù)f(x)單調(diào)增加，曲線y=f(x)凹向，作函數(shù)y=f(x)的圖形如右圖所示，顯然當(dāng)&x0時(shí),EX2,.2二2二x_x=xf(x)dx=一e/dx=2二2_x2_xxedx=xeLx020 xedxiydy=f(x0)dx=f(x0)Ax0,故應(yīng)選(A).(8)設(shè)函數(shù)f(x而x=0處連續(xù)，且四=1,則(A)f(0)=0且f(0)存在(B)M0)=1 且(0)存在(C)f(0)=0且f：(0肝在(D)f(0)=1且中0)存在fh2【分析】從四下二i入手方算f(0)，利用導(dǎo)數(shù)的左右導(dǎo)數(shù)定義判定匚，f+(0)的存在性.【詳解】由h*=1知，l”h2)=0.又因?yàn)閒(x)

13、在x=0處連續(xù)，則2_f(0)limf(x)=眄。fh)=0.令t=h2,則1=lim呼Lim-h0h2t6ft-f(0)=f(0).所以f；(0)存在，故本題選(C).8(9)若級(jí)數(shù)工an收斂，則級(jí)數(shù)n18(A)E|an收斂n1cd(B)Z(1)nan收斂.n1(C)3an*收斂.(D)J包上包上收斂.Dn1nz12【分析】可以通過舉反例及級(jí)數(shù)的性質(zhì)來(lái)判定.OOQO0十【詳解】由an收斂知Zan書收斂，所以級(jí)數(shù)Za一a上收斂，故應(yīng)選(D).n1n1nd2或利用排除法：,.、n1取an=(-1)-,則可排除選項(xiàng)(A),(B)；n一n1.一.取an=(1)丁,則可排除選項(xiàng)(C).故(D)項(xiàng)正確.

14、(10)設(shè)非齊次線性微分方程y+P(x)y=Q(x)有兩個(gè)不同的解y1(x),y2(x),C為任意常數(shù)，則該方程的通解是(A)C【y1(x)y2(x)l(B)y1(x)+Cy(x)-丫2函.(C)Cb1(x)+y2(x).(D)y1(x)+C01(x)+y2(x)B【分析】利用一階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)即可.【詳解】由于y(x)-y2(x)是對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程y+P(x)y=0的非零解，所以它的通解是Y=CIy1(x)-y2(x),故原方程的通解為y=yi(x)+Y=yi(x)+Cy(x)y2(x),故應(yīng)選(B).【評(píng)注】本題屬基本題型，考查一階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)：y=y*Y.其

15、中y*是所給一階線性微分方程的特解，Y是對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解.(11)設(shè)f(x,y)與平(x,y)均為可微函數(shù)，且呼;(x,y)/。，已知(%,y)是f(x,y)在約束條件中(x,y)=0下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是(A)若fx(x0,y0)=0,則fy(x0,y0)=O.(B)若fx(x0,y0)=O,則fy(x0,Y0)=#0.(C)若fx(x0,y0)#0,則fy(x0,y0)=0.(D)若fx(x。，yO)#0,則fy(x,y)#0.D【分析】利用拉格朗日函數(shù)F(x,y,九)=f(x,y)+A/P(x,y)在(x0,y0,%)(九0是對(duì)應(yīng)x0,y0的參數(shù)九的值)取到極值的必要條件

16、即可.【詳解】作拉格朗日函數(shù)F(x,y,九)=f(x,y)+心(x,y),并記對(duì)應(yīng)x0,y的參數(shù)九的值為九,則,ift,Fx(為，M;0)0目口fx(x0,y。).0 x(x0,y。)=0r，即g,r.(Fy(x,MK010fy(x0,y0)+W(x0,y0)=0消去,得fx(x0,y0)y(x0,y0)-fy(x0,y0)x函.)=0,1整理信fx(x0,y0)=-fy(x0,yoWx(x0,yo).(因?yàn)橹衴(x,y)#0),y(x0,y0)若fx(%,y0)#0,則fy(x0,y0)0.故選(D).(12)設(shè),a2,|Ps均為n維列向量，A為mn矩陣，下列選項(xiàng)正確的是(A)若尸2,HI,

17、1Ms線性相關(guān)，則AAZMLA、線性相關(guān).(B)若,口2,用,外線性相關(guān)，則 Mi,A%JII,AUs線性無(wú)關(guān).(C)若必,。2,用,線性無(wú)關(guān)，則Ai,A/2,|,Ao(s線性相關(guān).(D)若。1,0(2,|1,q線性無(wú)關(guān)，則 Ml,At2,HI,Ms線性無(wú)關(guān).A【分析】本題考查向量組的線性相關(guān)性問題，利用定義或性質(zhì)進(jìn)行判定【詳解】記B=(%,“|,%),則(Axi,川，AXs)=AB.所以，若向量組ai,o(2,lll,s線性相關(guān)，則r(B)s,從而r(AB)r(B)s,向量組Ati,A2JII,As也線性相關(guān)，故應(yīng)選(A).(13)(13)設(shè)A為 3 階矩陣，將A的第 2 行加到第 1 行得

18、B,再將B的第4110、P=010,則90b(A)c=PAP.(B)C=PAP.(C)C=PTAP.(D)C=PAPT.B【分析】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及初等矩陣的性質(zhì)可得【詳解】由題設(shè)可得，110、f1-1r0，11)(B=010A,C=B01001、001,100,1、00,11-10而P=010,則有C=PAP.故應(yīng)選(B).、。0L(14)(14)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(9,O12 2),Y服從正態(tài)分布N(2,P|X為P!Y-2仆則必有(A)仃1仃2(C)也名(D)為*2A【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的幾何意義可得.【詳解】由題設(shè)可得X11丫巴1P1L,即。1-1

19、2：，-1,即中第（i）問的結(jié)果，含電空未定式極限.【詳解】（I）g（x）=jimf（x，y）=i隙x1-ysiny1xyarctanx=limy一二1y1arctanxxy1xxarctanx11T2(n)limMx)=lim 上一一x0 x0 xarctanx=lim-x0,2arctanx-xx、八;(通分)xarctanx=limx0arctanx-x二x212-12二x二lim1-x二lim-xQ2xxQ-x22二x(1x2)_2x(I)x,y二1xy二x1-ysinyarctanx,x0,y0,求g(x)=y%f(x,y)；（n）問需利用(16)(16)(本題滿分 7 7 分)計(jì)算

20、二重積分Jy2xydxdy,其中D是由直線y=x,y=1,x=0所圍成的平面區(qū)域D(17)(17)(本題滿分 1010 分)證明：當(dāng)0abn時(shí)，bsinb2cosb二basina2cosa二a.【分析】利用“參數(shù)變易法”構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明【詳解】令f(x)=xsinx+2cosx+nx-asina-2cosa-na,0axbn,貝Uf(x)=sinx+xcosx-2sinx+n=xcosxsinx+n,且f(n)=0.又f(x)=cosxxsinxcosx=-xsinx0,(0),dsj0),故當(dāng)0aExEbf)=0則f(x)單調(diào)增加，于是f(b)f(a)=0,即bsinb2

21、cosb二basina2cosa：卜蹙a.(18)(18)(本題滿分 8 8 分)在xOy坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線L過點(diǎn)M(1,0)，其上任意點(diǎn)P(x,yXx00)處的切線斜率與直線OP的斜率之差等于ax(常數(shù)a0).(I)求L的方程；(n)當(dāng)L與直線y=ax所圍成平面圖形的面積為8時(shí)，確定a的值.3【分析】(I)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立微分方程，并求解；(n)利用定積分計(jì)算平面圖形的面積，確定參數(shù).【詳解】(I)設(shè)曲線L的方程為y=f(x),則由題設(shè)可得y-=ax,這是一階線性微分方程，其中P(x)二,，Q(x)=ax,代入通解公式得xx1dxpdx2y=eJaxexdx+C=x(ax+C)=ax

22、+Cx,【分析】畫出積分域，將二重積分化為累次積分即可.【詳解】積分區(qū)域如右圖.因?yàn)楦?hào)下的函數(shù)為關(guān)于x的一次函數(shù),后y”積分較容易，所以IIs.y2-xydxdyD=Ry廳-xydx211c3、，2=一 3Ty-xy20dy=3yxj2.2ydy=_9故所給哥級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?-1,11又f(1)=0,所以C=a.故曲線L的方程為y=ax2ax(x#0).(n)L與直線y=ax(a0)所圍成平面圖形如右圖所示.所以22D=0ax-(ax-ax22ai2x-xdx二dx48-a=)33故a=2.(19)(19)(本題滿分 1010 分)111n1x2n*求哥級(jí)數(shù)一x的收斂域及和函數(shù)s(x).n4

23、n12n-1【分析】因?yàn)楦缂?jí)數(shù)缺項(xiàng)，按函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域的求法計(jì)算；利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或積分并結(jié)合已知函數(shù)的哥級(jí)數(shù)展開式計(jì)算和函數(shù).(_1)nJx2n1【詳解】記un(x)，則n(2n-1)n2n:；3(-1)x所以當(dāng)XlimUn1(X)5Un(x)=limnJ二21,即x3,二4=0,即:4-1(21)(21)(本題滿分 1313 分)設(shè) 3 階實(shí)對(duì)稱矩陣A的各行元素之和均為T_.T3,向量ai=(1,2,1),口2=(0,-1,1)是線性方程組Ax=0的兩個(gè)解.(I)求A的特征值與特征向量；(n)求正交矩陣Q和對(duì)角矩陣A,使得QTAQ=A；36(出)求A及l(fā)A3EI,其中E為3階單位矩陣.2【分析

24、】由矩陣A的各行元素之和均為 3 及矩陣乘法可得矩陣由齊次線性方程組Ax=0有非零解可知A必有零特征值，其非零解是A的一個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；0 特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量.將A的線性無(wú)關(guān)的特征向量正交化可得正交矩陣Q;由QTAQ=A可得到A和(A/E)62取1=a1,令Q=人1,“2產(chǎn)3，則Q,=QT,由A是實(shí)對(duì)稱矩陣必可相似對(duì)角化，得3QTAQ=0一31（出）由（n）知QTAQ=0=A，所以。33.一T3)TT3)A-EQ=QTA-EQ:QTAQ一E22)112112)再將口，口邛2單位化，得11瓦.6261一忑01236E12/12063jA=QQT2_X由7612石娓1工工出而工我匕001,、13161，2132、 .601-311丁111J11QT3則A-3E2（2