1、小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽學(xué)習(xí)材料四年級(jí)上期第一講 等差數(shù)列初步我們把按照一定順序排列的一些數(shù)，叫做數(shù)列。數(shù)列的第一個(gè)數(shù)叫做首項(xiàng)，第二個(gè)數(shù)叫做第二項(xiàng)最后一個(gè)數(shù)叫做末項(xiàng)。常見(jiàn)的數(shù)列有：自然數(shù)列：1，2，3，4，5，；奇數(shù)列：1，3，5，7，9，；偶數(shù)列：2，4，6，8，10，等。稍做計(jì)算就會(huì)發(fā)現(xiàn)：自然數(shù)列任意兩項(xiàng)的差都是1；奇數(shù)列和偶數(shù)列任意兩項(xiàng)數(shù)的差都是2。像這種“差”相等的數(shù)列，就叫做“等差數(shù)列”，那個(gè)公有的差，叫做“公差”。公差也可以是比較大的數(shù)。比如：3，9，15，21，27，33，39，45。就是等差數(shù)列，它的公差是6，共有8項(xiàng)。求等差數(shù)列的和，是一個(gè)經(jīng)常遇到的問(wèn)題。就以上面這個(gè)等差數(shù)列為例，怎樣才

2、能使計(jì)算比較簡(jiǎn)便呢？根據(jù)“等差”這個(gè)特點(diǎn)，可以再取一個(gè)同樣的數(shù)列，把排列順序顛倒過(guò)來(lái)：45，39，33，27，21，15，9，3。這個(gè)數(shù)列的和沒(méi)有改變，并且因?yàn)椤暗炔睢钡木壒?，兩個(gè)數(shù)列相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的和也是相等的，都是48。比如，原數(shù)列第二項(xiàng)比第一項(xiàng)大一個(gè)公差，而新數(shù)列第二項(xiàng)比第一項(xiàng)小一個(gè)公差；原數(shù)列第三項(xiàng)比第一項(xiàng)大兩個(gè)公差，而新數(shù)列第三項(xiàng)比第一項(xiàng)小兩個(gè)公差；于是，合在一起，就等于8個(gè)48。48可以用345做代表，這樣就可以把求兩個(gè)數(shù)列的和的過(guò)程，簡(jiǎn)單地寫(xiě)作：和×2(345)×8，所以，和(345)×8÷2。也就是和(首項(xiàng)末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷

3、;2如果把公式改寫(xiě)成，和(首項(xiàng)末項(xiàng))÷2×項(xiàng)數(shù)，其中的(首項(xiàng)末項(xiàng))÷2，得數(shù)就是各項(xiàng)的平均數(shù)，所以當(dāng)項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，數(shù)列的中項(xiàng)正好是各項(xiàng)的平均數(shù)，公式就可以簡(jiǎn)化為和中項(xiàng)×項(xiàng)數(shù)有了這兩個(gè)公式，求等差數(shù)列的和，就方便多了。例1計(jì)算：280290300310320330340350360370？解：首項(xiàng)是280，末項(xiàng)是370，項(xiàng)數(shù)是10，所以280290300310320330340350360370(280370)×10÷2650×10÷23250。例2計(jì)算：2000200220042006200820102012？解：

4、項(xiàng)數(shù)是7，中項(xiàng)是2006，所以20002002200420062008201020122006×714042。例3計(jì)算：14710100？解：因?yàn)楣钍?13,末項(xiàng)比首項(xiàng)多100199，其中包含了99÷333(個(gè))公差，也就是說(shuō)，末項(xiàng)是首項(xiàng)加了33個(gè)公差的結(jié)果，所以總共有33134項(xiàng)。于是：14710100(1100)×34÷21717。例4用3根火柴可以擺一個(gè)三角形。用火柴擺一個(gè)下面的圖形，如果每邊要用20根火柴，一共要用多少根火柴？解：這個(gè)圖形的三角形共有20行。第一行擺1個(gè)三角形；第二行擺2個(gè)三角形；第三行擺3個(gè)三角形；第20行擺20個(gè)三角形。一共

5、要擺12320(120)×20÷2210(個(gè))三角形。一共要用3×210630(根)火柴。答：一共要用630根火柴。練習(xí)一1計(jì)算：8284868890929496？2計(jì)算：135136137138139140141142143？3計(jì)算：625615605595585575？4計(jì)算：123420052006？5計(jì)算：2581138？6有一個(gè)數(shù)列：1，5，9，13，17，21，這個(gè)數(shù)列的第500個(gè)數(shù)是多少？7已知5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是225，第一個(gè)數(shù)是多少？8四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是194，最后一個(gè)數(shù)是多少？9一些鋼管整齊地堆放在一起，最底下一層20根，每向上一層，兩邊各少

6、1根，最上面一層10根，這堆鋼管有多少根？10小明家在一座大樓里，樓里一共有72戶，門(mén)牌號(hào)從1到72。有人問(wèn)他們家在幾號(hào)，小明說(shuō)：“除了我們家以外，樓里所有門(mén)牌號(hào)數(shù)的和，減去我們家的門(mén)牌號(hào)，等于2572?！蹦阒佬∶骷业拈T(mén)牌是多少號(hào)嗎？11有10位朋友聚會(huì)，如果每人都和其余的人握一次手，總共要握多少次手？12有10把鎖，每把鎖有一把鑰匙，現(xiàn)在把鑰匙給弄亂了，最多試開(kāi)多少次，就能使每把鑰匙找到相應(yīng)的鎖？第二講 加法原理初步例1小冬到新華書(shū)店買(mǎi)書(shū)，發(fā)現(xiàn)有他喜歡的5種數(shù)學(xué)書(shū)、3種科幻小說(shuō)、6種卡通畫(huà)冊(cè)。他帶的錢(qián)只能買(mǎi)其中的一種，他有多少種不同的選擇方法？解：可以買(mǎi)5種數(shù)學(xué)書(shū)中的任意一種，也可以買(mǎi)3種

7、科幻小說(shuō)中的任意一種，還可以買(mǎi)6種種卡通畫(huà)冊(cè)中的任意一種，所以，共有53614(種)不同的選擇方法。答：小冬有14種不同的選擇方法。像這樣的思考方法，所遵循的就是“加法原理”。它的特點(diǎn)是分類計(jì)數(shù)，最終結(jié)果等于各類計(jì)數(shù)的和。例2把1、2、3、4四個(gè)數(shù)字從小到大排成一行，在這四個(gè)數(shù)中間，任意插入乘號(hào)，可以得到多少個(gè)不同的乘積？解：按插入乘號(hào)的個(gè)數(shù)分類：(1)如果插入1個(gè)乘號(hào)，可以插在1、2中間，也可以插要2、3中間，還可插在3、4中間，有3種不同的插入方法，可以得到3個(gè)不同的乘積；(2)如果插入2個(gè)乘號(hào)，可以插在1、2中間和2、3中間，也可以插在1、2中間和3、4中間，還可以插在2、3中間和3、4

8、中間，也有3種不同的插入方法，可以得到3個(gè)不同的乘積；(3)如果插入3個(gè)乘號(hào)，就只有1種插入方法，只能得到1個(gè)乘積。根據(jù)加法原理，一共可以得到3317(個(gè))不同的乘積。答：可以得到7個(gè)不同的乘積。例3如左下圖，從甲地到乙地，最近的道路共有多少條？甲甲 A L M C H B D I N E J 乙 FG K 乙解：為了便于研究，給圖上道路的交點(diǎn)標(biāo)上字母，如右上圖。從甲到A只有1條路，在A的旁邊標(biāo)上1(下圖)；到B只有1條路，在B的旁邊標(biāo)上1；到C只有1條路，在C的旁邊標(biāo)上1；到D的走法既可以從A來(lái)，也可以從D來(lái)，有112條路，在D的旁邊標(biāo)上2。同理，在E的旁邊標(biāo)上2。在F的旁邊標(biāo)上1。在G的旁

9、邊標(biāo)上213。在N的旁邊標(biāo)上3。在K的旁邊標(biāo)上7。甲 A 1 L 1 M1 C 1 H 2 B 1 D 2 I 2 N3 E 2 J 4 F1 G3 K7 乙所以從甲地到乙地共有3710條路。例4 一塊圓形紙片分成4個(gè)相同的扇形(如圖)。用紅、黃兩種顏色分別涂滿各扇形，共有幾種不同的涂法？解：可以分成以下幾種情況(注意：紙片是可以轉(zhuǎn)動(dòng)的)：(1)只用一種顏色的有：“紅、紅、紅、紅”，“黃、黃、黃、黃”兩種；(2)兩種顏色的扇形數(shù)量相同的有：“紅、紅、黃、黃”，“紅、黃、紅、黃”兩種；(3)兩種顏色的扇形數(shù)量不同的有：“紅、紅、紅、黃”，“黃、黃、黃、紅”兩種。共有2226(種)不同的涂法。練

10、習(xí) 二1每天從甲地到乙地有3班火車，4班汽車，2班輪船。每天從甲地到乙地，乘坐這些交通工具有多少種不同的選擇？2有1分、2分、5分幣各一枚，可以組成多少種不同的幣值？3從A、B、C、D、E五位同學(xué)中，選派2人升國(guó)旗，有多少種不同的組合？ 4現(xiàn)有1克、2克、4克、8克的砝碼各一個(gè)，在天平上能秤出多少種不同的重量？5某校六年級(jí)畢業(yè)時(shí)，全班40名同學(xué)互相贈(zèng)送一張照片留作紀(jì)念。請(qǐng)統(tǒng)計(jì)一下，全班同學(xué)一共送出了多少?gòu)堈掌?從1到99這99個(gè)數(shù)中，任意取兩個(gè)數(shù)要求它們的和小于100，有多少種不同的取法？7如圖，從P到Q共有多少條不同的最短線路？ P Q8某城市的街道非常整齊(如圖)，從西南角A處到東北角B

11、處，要求走最近的路，并且不能通過(guò)十字路口C(正在修路)，共有多少種不同的走法？ B C A9如圖，長(zhǎng)方體有12條棱、8個(gè)頂點(diǎn)，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著棱爬行，要經(jīng)過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)一次，并且只經(jīng)過(guò)一次，共有多少種不同的走法？ HG EF D CA B10如圖，一只小甲蟲(chóng)從A點(diǎn)出發(fā)，沿著圖中的線段爬到B點(diǎn)。要求任何點(diǎn)和線都不重復(fù)經(jīng)過(guò)，問(wèn)這只小甲蟲(chóng)有多少種不同的走法？(第三屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽復(fù)賽題) ACDB11兩個(gè)相同的正方體骰子，每個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，將兩個(gè)骰子擲到桌面上，向上一面的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有多少種？12從1到9這九個(gè)數(shù)字中，每次取2個(gè)數(shù)字，這兩個(gè)數(shù)字的和

12、都必須大于10，能有多少種不同的取法？第三講 乘法原理初步例1小冬到新華書(shū)店買(mǎi)書(shū)，他喜歡的數(shù)學(xué)書(shū)有5種，科幻小說(shuō)有3種，歌曲集有2種。如果數(shù)學(xué)書(shū)、科幻小說(shuō)、歌曲集各買(mǎi)一本，有多少種不同的選法？解：小冬買(mǎi)書(shū)可以分三步完成：先買(mǎi)數(shù)學(xué)書(shū)，再買(mǎi)科幻小說(shuō)，最后買(mǎi)歌曲集。第一步，在5種數(shù)學(xué)書(shū)中任選一本，有5種選法；第二步，在3種科幻小說(shuō)中任選一本，有3種選法；第三步，在2種歌曲集中任選一本，有2種選法。共有5×3×230(種)不同的選法。答：有30種不同的選法。像這樣的思考方法，所遵循的就是“乘法原理”。它的特點(diǎn)是分步計(jì)數(shù)，最終結(jié)果等于各步計(jì)數(shù)的積。例2如圖，從A到B有4條路可走，從B

13、到C有3條路可走，從A到C還有2條路可以直接到達(dá)。從A到C一共有多少種不同的走法？ A B C解：從A到C的走法可以分成兩類，一類經(jīng)過(guò)B，一類不經(jīng)過(guò)B，而經(jīng)過(guò)B的又可以分成兩步，即先到達(dá)B，再到達(dá)C。所以根據(jù)加法原理和乘法原理，從A到C共有4×3214(種)不同的走法。答：從A到C一共有14種不同的走法。例3平面上有6個(gè)點(diǎn)，并且任何三個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上，連接其中的任意兩個(gè)點(diǎn)，都可以得到一條直線，那么，一共可以連成多少條直線？解法一：設(shè)這6個(gè)點(diǎn)分別為A、B、C、D、E、F。連接A和B、C、D、E、F得到5條直線；連接B和C、D、E、F得到4條直線；連接C和D、E、F得到3條直線；連

14、接D和E、F得到2條直線；連接E、F得到1條直線。根據(jù)加法原理，一共可以連成5432115(條)直線。解法二：6個(gè)點(diǎn)中的任何一個(gè)點(diǎn)，都可以和其余5個(gè)點(diǎn)連成直線，根據(jù)乘法原理，一共可以連成6×530(條)直線。不過(guò)在這個(gè)思考過(guò)程中，每個(gè)點(diǎn)都使用了兩次，如A和B連成的直線AB，與B和A連成的直線BA，就是同一條直線，所以實(shí)際一共可以連成30÷215(條)直線。例4下圖中共有16個(gè)方格，要把A、B、C、D四個(gè)不同的棋子放在方格里，要求每行、每列只能出現(xiàn)一個(gè)棋子，問(wèn)共有多少種不同的放法？解：如果采用一遍一遍地試放的方法，顯然是不可取的。由于四個(gè)棋子要一個(gè)一個(gè)地放入方格內(nèi)，所以，可以

15、把這件事看成是一件需要分四步才能完成的事。第一步，棋子A可以放入4×416個(gè)方格中的任意一個(gè)，有16種不同的放法；第二步，放棋子B時(shí)，因?yàn)榉臕的那一行和那一列不能放B，所以只有3×39種放法；第三步，放棋子C時(shí)，再去掉放了B的那一行和那一列，只有2×24種放法；第四步，放棋子D時(shí)，再去掉放了C的那一行和那一列，就只剩一個(gè)方格了，也就是只有1種放法。根據(jù)乘法原理，完成這件事共有16×9×4×1576(種)不同的放法。答：共有576種不同的放法。練 習(xí) 三1從甲地到乙地有2條路可走，從乙地到丙地有3條路可走，試問(wèn)從甲地經(jīng)過(guò)乙地到丙地共有多

16、少種不同的走法？2運(yùn)行于南京、上海之間的某次快車，中途要停靠6個(gè)站，這次快車要準(zhǔn)備多少種不同的車票？(小學(xué)生學(xué)習(xí)報(bào)第四屆數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽題)3書(shū)架上有6本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，4本不同的語(yǔ)文書(shū)。(1)從中任意取一本書(shū)，有多少種不同的取法？(2)數(shù)學(xué)、語(yǔ)文書(shū)各取一本，有多少種不同的取法？4王英、趙明、李剛?cè)藞?bào)名參加校運(yùn)動(dòng)會(huì)的跳高、跳遠(yuǎn)、100米跑和擲壘球四項(xiàng)比賽中的一項(xiàng)，問(wèn)報(bào)名的結(jié)果的會(huì)出現(xiàn)多少種不同的情形？5王芳有4件上衣、3條褲子、2雙皮鞋。她能有多少天穿戴裝束不同？6如圖，甲、乙兩人在方格中各放一枚棋子。要求兩枚棋子不在同一行，也不在同一列，共有多少種放法？7一個(gè)平面上有15個(gè)點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)之間可以作一

17、條直線，如果沒(méi)有三個(gè)點(diǎn)或三個(gè)以上的點(diǎn)在同一條直線上，那么，這15個(gè)點(diǎn)之間可以連成多少條直線？8兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行圍棋比賽，雙方各出5名男隊(duì)員和3名女隊(duì)員，每一方的一名隊(duì)員都要和另一方的每一名隊(duì)員進(jìn)行一場(chǎng)比賽。一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？如果每一方的男隊(duì)員只和另一方的男隊(duì)員比賽，每一方的女隊(duì)員只和另一方的女隊(duì)員比賽，一共要比賽多少場(chǎng)？9某市的電話號(hào)碼是七位數(shù)，首位不能是0，其余各位上可以是09中的任何一個(gè)，并且數(shù)字可以重復(fù)。這個(gè)城市最多可以容納多少部電話？10在19888891的所有自然數(shù)中，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字不同的數(shù)有多少個(gè)？11用9、8、7、6四個(gè)數(shù)字能組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，所有這些四位數(shù)的和

18、是多少？12用9、8、7、6四個(gè)數(shù)字能組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的數(shù)？第四講 數(shù)字問(wèn)題(一)例1在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小的兩位數(shù)，總共有多少個(gè)？解：兩位數(shù)包括10、11、12、99，為了做到既不重復(fù)也不遺漏，思考時(shí)可以按照十位數(shù)從小到大的順序有序地進(jìn)行。(1)十位數(shù)字是1的有：12、13、14、19，共8個(gè)；(2)十位數(shù)字是2的有：23、24、25、29，共7個(gè)；(3)十位數(shù)字是3的有：34、35、36、39，共6個(gè)；(8)十位數(shù)字是8的有：89這1個(gè)?？偣灿?76136(個(gè))。答：十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小的兩位數(shù)，總共有36個(gè)。例2從1到1000，這1000個(gè)自然數(shù)中，完全不含有數(shù)字1

19、的數(shù)有多少個(gè)？(第一屆“九章杯”中國(guó)小學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題)解：根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)區(qū)分不同情況，分別加以考慮：(1)從1到99中含有數(shù)字1的數(shù)有：1、10、11、12、19、21、31、41、91，共19個(gè)數(shù)。同理，從200到299,300到399，900到999，含有數(shù)字1的數(shù)也各有19個(gè)。所以，這類數(shù)共有19×9171(個(gè))；(2)百位上是1的數(shù)有100個(gè)；(3)1000這個(gè)數(shù)也含有數(shù)字1。所以，從1到1000這1000個(gè)自然數(shù)中，含有數(shù)字1的數(shù)共有1711001272(個(gè))，不含有數(shù)字1的數(shù)共有1000272728(個(gè))。答：從1到1000這1000個(gè)自然數(shù)中，完全不含有數(shù)字1的數(shù)有

20、728個(gè)。例3一本書(shū)的頁(yè)碼，在印制時(shí)必須用1989個(gè)數(shù)字，這本書(shū)共有多少頁(yè)？(北京市第五屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)解：按照頁(yè)碼的不同位數(shù)，分別考慮：(1)一位數(shù)的頁(yè)碼有9頁(yè)，共用1×99(個(gè))數(shù)字；(2)兩位數(shù)的頁(yè)碼有90頁(yè)，共用2×90180(個(gè))數(shù)字；(3)三位數(shù)的頁(yè)碼共用198991801800(個(gè))數(shù)字，共有1800÷3600(頁(yè))。所以這本書(shū)共有990600699(頁(yè))。答：這本書(shū)共有699頁(yè)。例4在四位數(shù)中，數(shù)字和等于34的數(shù)有多少個(gè)？(第一屆“九章杯”全國(guó)小學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題)解：四個(gè)數(shù)字之和等于34的只有：999734，998834，所以，這樣的

21、數(shù)有9997、9979、9799、7999、9988、9889、9898、8989、8998、8899，共十個(gè)。答：在四位數(shù)中，數(shù)字和等于34的數(shù)有10個(gè)。練 習(xí) 四1. 用 8、2、6、0、3、9 這六個(gè)數(shù)字, 所能組成的六位數(shù)中, 最大的是多少？最小的是多少？2. 用兩個(gè)3, 兩個(gè)7, 兩個(gè)0組成的最小六位數(shù)是多少？3. 用 5、0、3、1 四個(gè)數(shù)字可以組成許多四位數(shù)。如果把它們從小到大排列起來(lái), 第八個(gè)數(shù)是多少？4. 在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個(gè)？5一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，如果這個(gè)數(shù)加上8，則和的兩個(gè)數(shù)字相同，求這個(gè)兩位數(shù)是多少？(鄭州市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)

22、賽題)6兩個(gè)數(shù)144和101有兩個(gè)共同特點(diǎn)：(1)每個(gè)數(shù)都是百位數(shù)為1的三位數(shù)；(2)每個(gè)數(shù)中，恰有兩個(gè)數(shù)字相同。問(wèn)：符合以上條件的三位數(shù)有多少個(gè)？7一個(gè)三位數(shù)，十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字大2，個(gè)位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字大5，這個(gè)三位數(shù)在450到500之間，這個(gè)數(shù)是多少？(長(zhǎng)春市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)8有一位五位數(shù)，最低位數(shù)字是8，最高位數(shù)字是3，個(gè)位上的數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，前三位數(shù)字的和與后三位數(shù)字的和都是19，這個(gè)五位數(shù)是多少？9一本書(shū)有600頁(yè)，頁(yè)碼編號(hào)為1、2、3、600，問(wèn)數(shù)字“1”在頁(yè)碼中共出現(xiàn)多少次？(北京市華羅庚數(shù)學(xué)學(xué)校招生試題)10給一本百科全書(shū)編上頁(yè)碼需要6869個(gè)數(shù)字，那么這

23、本書(shū)共有多少頁(yè)？11一個(gè)兩位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大2，這個(gè)兩位數(shù)在50到60之間，這個(gè)兩位數(shù)是多少？(無(wú)錫市北塘區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)12一個(gè)小朋友今年歲數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換位置，正好是他再過(guò)18年的年齡。他今年多少歲？(長(zhǎng)春市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)第五講 數(shù)字問(wèn)題(二) 例 1 從1寫(xiě)到 9999, 一共要寫(xiě)多少個(gè) 1、2、3、4、5、6、7、8、9？多少個(gè)0？ 解法一：在199之間，個(gè)位上是1的有：1, 11, 21, 31, , 81, 91, 共10個(gè)數(shù), 要寫(xiě)10個(gè)1。同理，在100199、200299、900999之間，也各要寫(xiě)10個(gè)1，于是在1999之間要寫(xiě) 10×

24、;10100(個(gè))1。同理，在10001999、20002999、90009999之間也各要寫(xiě)100個(gè)1?？偣惨獙?xiě) 100×101000(個(gè))1；在199之間，十位上是1的有：10, 11, 12, 13, , 18, 19, 共 10個(gè)數(shù), 要寫(xiě)10個(gè)1。同理，在100199、200299、900999之間，也各要寫(xiě)10個(gè)1，于是在1999之間要寫(xiě)10×10100(個(gè))1。同理，在10001999、20002999、90009999之間也各要寫(xiě)100個(gè)1?？偣惨獙?xiě) 100×101000(個(gè))1；在100999之間，顯然百位上是1的有100個(gè)數(shù), 要寫(xiě)100個(gè)1。

25、同理，在10001999、20002999、90009999之間，也各要寫(xiě)100個(gè)1，于是在19999之間要寫(xiě)100×101000(個(gè))1?？偣惨獙?xiě) 1000×44000(個(gè))1。同理，數(shù)字2、3、4、5、6、7、8、9也各要寫(xiě)4000個(gè)。因?yàn)橐晃粩?shù)有9個(gè)，兩位數(shù)有90個(gè)，三位數(shù)有900個(gè)，四位數(shù)有9000個(gè)，所以，從19999一共要寫(xiě) 1×92×903×9004×900038889(個(gè))數(shù)字，減去0以外的 4000×936000(個(gè))數(shù)字，數(shù)字0要寫(xiě) 38889360002889(個(gè))。 解法二：從1到9999一共9999

26、個(gè)數(shù)，先用0把所有不是四位數(shù)的數(shù)都補(bǔ)成四位數(shù)，再添一個(gè)完全用0組成的四位數(shù)，變成10000個(gè)四位數(shù)。一位數(shù)添了3×927個(gè)0，兩位數(shù)添了2×90180(個(gè))0，三位數(shù)添了1×900900(個(gè))0，四位數(shù)添了4個(gè)0，總共添了 2718090041111(個(gè))0。這10000個(gè)四位數(shù)總共用了 4×1000040000個(gè)數(shù)字, 由于十個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等, 所以, 每個(gè)數(shù)字都要用 40000÷104000(個(gè))。只有0例外，用了400011112889(個(gè))。答：從1到9999總共要寫(xiě)4000個(gè)1、2、3、4、5、6、7、8、9；要寫(xiě)2889個(gè)0。例

27、2有這樣一些三位數(shù)，它的三個(gè)數(shù)字各不相同，并且，用這三數(shù)字所組成的所有兩位數(shù)之和，恰好等于這個(gè)三位數(shù)。請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)這樣的三位數(shù)。解：如果用、分別三個(gè)不同的數(shù)字(都不是0)，那么用它們組成的兩位數(shù)有：、，共六個(gè)。觀察發(fā)現(xiàn)，每個(gè)數(shù)字在十位上出現(xiàn)2次，在個(gè)位上也出現(xiàn)2次，因此，這些數(shù)字組成的所有兩位數(shù)之和，等于(10×21×2)×()22×()，即，所有兩位數(shù)的和等于這三個(gè)數(shù)字之和的22倍數(shù)。取三個(gè)數(shù)字為1、2、3，22×(123)132。檢驗(yàn)：122113312332132。所以，132就是一個(gè)滿足條件的三位數(shù)。答：132就是這樣的一個(gè)三位數(shù)。你能求

28、出一些其他符合要求的三位數(shù)嗎？例3有一個(gè)六位數(shù)，個(gè)位數(shù)字是8，十位數(shù)字是6，任意三個(gè)數(shù)字的和都是21，這個(gè)六位數(shù)是多少？(河北省小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)解：設(shè)這個(gè)六位數(shù)是68，因?yàn)槿我馊齻€(gè)數(shù)字的和都是21，所以百位上的數(shù)字和21687；千位上的數(shù)字是21768；萬(wàn)位上的數(shù)字是21876；十萬(wàn)位上的數(shù)字是21687。這個(gè)六位數(shù)是768768。答：這個(gè)六位數(shù)是768768。例4如果一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字的順序倒過(guò)來(lái)仍是它本身，這個(gè)數(shù)就稱為回文數(shù)，如55、606、717、80408等等。從1到100000中共有多少回文數(shù)？(江蘇省金壇市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)解：按照一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)、五位數(shù)的順序思考：

29、(1)一位數(shù)中有：1、2、3、9，共9個(gè)；(2)兩位數(shù)中有：11、22、33、99，共9個(gè)；(3)三位數(shù)中，形如aba的都是回文數(shù)，a可以是1、2、9，有9種取法，b可以是0、1、2、3、9，有10種取法，所以共有9×1090(個(gè))；(4)四位數(shù)中，形如abba的都是回文數(shù)，a可以是1、2、9，有9種取法，b可以是0、1、2、3、9，有10種取法，所以共有9×1090(個(gè))；(5)五位數(shù)中，形如abcba的都是回文數(shù)，a可以是1、2、9，有9種取法，b可以是0、1、2、3、9，有10種取法，c可以是0、1、2、3、9，有10種取法，所以共有9×10×10

30、900(個(gè))；共有 9×290×29001098(個(gè))。答：從1到100000中共有1098個(gè)回文數(shù)。練 習(xí) 五1. 從1寫(xiě)到1000, 總共寫(xiě)了多少個(gè)數(shù)字?2. 有一個(gè)六位數(shù)，個(gè)位數(shù)字是9，十位數(shù)字是7，任意相鄰的三個(gè)數(shù)字的和都是24，這個(gè)六位數(shù)是多少？3從0、1、2、3、4這五個(gè)數(shù)字中，任意取三個(gè)數(shù)字，一共可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？4. 計(jì)算1234234134124123。(1994 年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽題)5. 有一類自然數(shù)，從第三個(gè)數(shù)字開(kāi)始，每個(gè)數(shù)字都恰好是它前面兩個(gè)數(shù)字之和，如 257、1459 等等，這類自然數(shù)中最大的是多少？(2002年小學(xué)數(shù)學(xué)奧

31、林匹克初賽題)6用7、8、9三個(gè)數(shù)字可以寫(xiě)出多少個(gè)三位數(shù)？所有這些三位數(shù)的和是多少？7有四個(gè)不同的數(shù)字(其中沒(méi)有0)，總和是10，用這四個(gè)數(shù)字可以寫(xiě)出多少個(gè)四位數(shù)？所有這些四位數(shù)的和是多少？8把一個(gè)三位數(shù)的百位和個(gè)位上的數(shù)字位置互換，十位上的數(shù)字不動(dòng)，所得的新數(shù)與原數(shù)相等，求這樣的數(shù)共有多少個(gè)？9一個(gè)不超過(guò)四位的回文數(shù)，加上2000，和還是回文數(shù)，試問(wèn)：這樣的回文數(shù)共有多少個(gè)？(江蘇省小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)10將所有的四位數(shù)用它的各位數(shù)字之和去除，可能得到的最大的商是多少？11在12004這2004個(gè)數(shù)中，含有數(shù)字1的數(shù)有多少個(gè)？(2004年浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)12在1、2、3、1272這127

32、2個(gè)數(shù)中，最多可選出多少個(gè)數(shù)，使其中任何兩個(gè)數(shù)的差都不等于5？(2004年浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)第六講 枚舉與重疊例1一次射擊比賽中，5個(gè)泥制的靶子掛成三列如左下圖。一位射手按下列規(guī)則去擊碎靶子：無(wú)論擊哪一列，必須先擊碎這列中尚未被擊碎的靶子中最低的一個(gè)。按照這一規(guī)則，擊碎全部靶子有多少種不同的次序？ 1 4 5 2 3解：給這五個(gè)靶子編上號(hào)如右上圖：(1)先擊碎“4”的次序有：4，5，3，2，1；4，3，5，2，1；4，3，2，5，1；4，3，2，1，5。共4種；(2)先擊碎“5”的次序同樣多，也是4種；(3)先擊碎“3”的次序有：3，2，1，4，5；3，2，1，5，4；3，2，4，1，5

33、；3，2，4，5，1；3，2，5，1，4；3，2，5，4，1；3，4，2，1，5；3，4，2，5，1；3，4，5，2，1；3，5，4，2，1；3，5，2，1，4；3，5，2，4，1。共12種?？偣?41220(種)。上面這種把所涉及的情況一一列舉出來(lái)的思想方法，叫做枚舉。例2A、B、C三位同學(xué)，每人心里記著四個(gè)自然數(shù)，如果：(1)每人心中的四個(gè)數(shù)都不相同，并且每人心中四個(gè)數(shù)的和都是24；(2)B有兩個(gè)數(shù)和A的兩個(gè)數(shù)相同，B其余兩個(gè)數(shù)和C的兩個(gè)數(shù)相同；(3)A和C只有一個(gè)數(shù)相同；(4)每人心中的每個(gè)數(shù)都是3、4、5、6、7、8、9中的某個(gè)數(shù)。那么，A和C相同的那個(gè)數(shù)是幾？(2004年浙江省小學(xué)數(shù)

34、學(xué)競(jìng)賽試題)解：這樣的組合有：(3,4,8,9)、(3,5,7,9)、(3,6,7,8)、(4,5,6,9)、(4,5,7,8)。觀察發(fā)現(xiàn)，B心中的數(shù)是(4,5,7,8)，A心中的數(shù)是(4,5,6,9)，C心中的數(shù)是(3,6,7,8)。仔細(xì)對(duì)比后發(fā)現(xiàn)，A和C相同的那個(gè)數(shù)是6。例3某研究所有100名研究員，每人至少懂法語(yǔ)或俄語(yǔ)中的一種，其中懂法語(yǔ)的有80名，既懂法語(yǔ)又懂俄語(yǔ)的有24名，懂俄語(yǔ)的有多少名？解：可以畫(huà)一個(gè)示意圖以便分析題中的數(shù)量關(guān)系。畫(huà)一個(gè)圈，里面表示懂法語(yǔ)的人數(shù)。再畫(huà)一個(gè)圈，里面表示懂俄語(yǔ)的人數(shù)。因?yàn)橛屑榷ㄕZ(yǔ)又懂俄語(yǔ)的人，所以兩個(gè)圈有共同(重疊)部分, 如圖： b a c 懂法語(yǔ)

35、的人數(shù) 懂俄語(yǔ)的人數(shù)于是，a表示既懂法語(yǔ)又懂俄語(yǔ)的人數(shù)，b表示只懂法語(yǔ)不懂俄語(yǔ)的人數(shù)，c表示只懂俄語(yǔ)不懂法語(yǔ)的人數(shù)，ab表示懂法語(yǔ)的人數(shù)，ac表示懂俄語(yǔ)的人數(shù)，abc表示總?cè)藬?shù)。解法一：從總?cè)藬?shù)中減去只懂法語(yǔ)的人數(shù)，就是懂俄語(yǔ)的人數(shù)。100(8024)44(人)。解法二：既懂法語(yǔ)又懂俄語(yǔ)的人數(shù)，加上只懂俄語(yǔ)的人數(shù)，就是懂俄語(yǔ)的人數(shù)。24(10080)44(人)。答：懂俄語(yǔ)的有44人。上面這類問(wèn)題叫做重疊問(wèn)題。例4有40名運(yùn)動(dòng)員，其中25人會(huì)摔跤，有20人會(huì)擊劍，有10人擊劍、摔跤都不會(huì)，問(wèn)既會(huì)摔跤又會(huì)擊劍的運(yùn)動(dòng)員有多少人？(天津市第一屆“我愛(ài)數(shù)學(xué)”邀請(qǐng)賽試題)解：畫(huà)出示意圖： db a c 會(huì)

36、摔跤的人數(shù) 會(huì)擊劍的人數(shù)總?cè)藬?shù)解：a表示既會(huì)摔跤又會(huì)擊劍的人數(shù)，b表示只會(huì)摔跤不會(huì)擊劍的人數(shù)，c表示只會(huì)擊劍語(yǔ)不會(huì)摔跤的人數(shù)，d表示摔跤和擊劍都不會(huì)的人數(shù)，ab表示會(huì)摔跤的人數(shù)，ac表示會(huì)擊劍的人數(shù)，abc表示會(huì)摔跤或擊劍的人數(shù)，abcd表示總?cè)藬?shù)。所以，總?cè)藬?shù)減去摔跤和擊劍都不會(huì)的人數(shù)，就是會(huì)摔跤或擊劍的人數(shù)(abc)，有401030(人)；會(huì)摔跤的人數(shù)(ab)加上會(huì)擊劍的人數(shù)(ac)，是252045(人)，大于會(huì)摔跤或擊劍的人數(shù)(abc)，這是因?yàn)樵谟?jì)算時(shí)，既會(huì)摔跤又會(huì)擊劍的人數(shù)(a)無(wú)形中算了兩次的緣故，所以既會(huì)摔跤又會(huì)擊劍的有453015(人)。答：既會(huì)摔跤又會(huì)擊劍的有15人。練 習(xí)

37、六1在1、2、3、4、5、6、7、8、9、10這十個(gè)數(shù)中，選取兩個(gè)數(shù)的和為10，共有多少種不同的方法？其中乘積最大的一對(duì)是哪一對(duì)？2有八張卡片，上面分別寫(xiě)著1、2、3、4、5、6、7、8，取出其中的三張，這三張卡片的數(shù)的和等于9的有多少種情況？3有一分硬幣1枚，二分硬1枚，五硬分幣2枚。用這些硬幣可以組成1角3分及其以下的許多種不同的幣值，但是，不能組成哪些幣值？4把10個(gè)蘋(píng)果分成三堆，每堆至少1個(gè)，有幾種不同的分法？5把28表示成若干個(gè)不相同的奇數(shù)(單數(shù))之和(如果加數(shù)一樣，相加的次序不同，則只算一種表示法。如1513和1315算同一種表示法)，共有多少種不同的表示法？(2004年浙江省小學(xué)

38、數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)6把1、2、3、4、5、6填入下表中，使每一行右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大，每一列下面的數(shù)比上面的數(shù)大，共有哪些不同的填法？7把11表示成幾個(gè)自然數(shù)的和，有許多種不同的方法，如果要求這幾個(gè)自然數(shù)的積最大，應(yīng)該怎樣表示？最大的積是多少？8A、B、C、D四位男同學(xué)進(jìn)行乒乓球雙打比賽，相互之間可以任意搭配，有多少種對(duì)陣方法？9把6個(gè)同樣的球，放入4個(gè)不同的盒子里，要求不能有空盒子，共有多少種不同的放法？10學(xué)校舉行四年級(jí)象棋比賽，共有A、B、C、D、E、F六名選手參加，相互之間各賽一場(chǎng)，計(jì)劃5天賽完，每天比賽的場(chǎng)次同樣多。請(qǐng)對(duì)選手的對(duì)陣情況做出安排。11一個(gè)班42名同學(xué)都訂了中國(guó)少年報(bào)的小學(xué)生

39、報(bào)報(bào)，訂閱中國(guó)少年報(bào)的有32人，訂閱小學(xué)生報(bào)的有27人，這兩種報(bào)都訂閱的有多少人12一次測(cè)驗(yàn)，共有38位同學(xué)參加，結(jié)果，答對(duì)第二題的有25人，答對(duì)第四題的有23人，這兩題都答對(duì)的有15人，這兩題都沒(méi)有答對(duì)的有多少人？第七講 綜合練習(xí)(一)1有一個(gè)六位數(shù)，個(gè)位數(shù)字是7，十位數(shù)字是9，任意三個(gè)數(shù)字的和都是24，這個(gè)六位數(shù)是。2在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)字不比個(gè)位數(shù)字小的兩位數(shù)有個(gè)。 3從1寫(xiě)到100, 一共要寫(xiě)個(gè)1。4小明是一位中學(xué)生，如果把他今年歲數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換位置，正好是他爸爸的年齡。已知他爸爸比他大27歲，小明今年歲。5一條小街上順次安裝有10盞路燈，為了節(jié)約用電又不影響路面照明，

40、要關(guān)閉其中的4盞燈，但是首末兩盞燈不能關(guān)閉，并且關(guān)閉的燈不能相鄰，共有種不同的關(guān)法。6把5、2、1、9四個(gè)數(shù)字從小到大排成一行，在這四個(gè)數(shù)中間，任意插入加號(hào)，可以得到個(gè)不同的和。7從A地到C地，可以直接走也可以先繞道B地再到達(dá)C地。如果在A、B之間，B、C之間和A、C之間都有3條路可供選擇，那么，從A地到C地一共有種不同的走法。8用3、4、5、6四個(gè)數(shù)字能組成多少個(gè)四位數(shù)，所有這些四位數(shù)的和是。9用1角、2角、5角三種人民幣(每一種的張數(shù)沒(méi)有限制)組成1元錢(qián)，有種不同的方法。10有40名運(yùn)動(dòng)員，其中25人會(huì)摔跤，有20人會(huì)擊劍，有10人摔跤、擊劍都不會(huì)，既會(huì)摔跤又會(huì)擊劍的有人。11有10個(gè)連續(xù)

41、自然數(shù)，它們的和是935。這10個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，最小的是，最大的是。12下面的數(shù)陣中，第10行第3個(gè)數(shù)是。 12 34 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 第八講 找規(guī)律例1下面有七個(gè)算式，排成一個(gè)寶塔形，在這座寶塔中隱藏著一個(gè)秘密，讓我們從塔尖上的算式開(kāi)始算起，看看究竟是一個(gè)什么秘密。79×9 698×95987×9 49876×9 398765×9 2987654×9198765439 解：79×988，698×9888，難道所有的算式得數(shù)都是一連串8組成的嗎？再試試看：5987×9

42、8888。果然秘密被我們發(fā)現(xiàn)了，于是下面的算式不必計(jì)算，立即可以寫(xiě)出它們的得數(shù)： 49876×988888 398765×9888888 2987654×9888888819876543988888888例2如果用22表示2×2，稱為2的平方；用32表示3×3，稱為3的平方；先驗(yàn)算下列算式是否正確，然后再根據(jù)算式的規(guī)律，在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。(天津市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)22123，32225，42327，52429，242()()解：經(jīng)驗(yàn)算，上面的算式完全正確。如果把算式變形為：22123, 32225, 42327, 52429，發(fā)現(xiàn)算式的規(guī)律

43、是：相鄰兩個(gè)自然數(shù)的平方差等于這兩個(gè)自然數(shù)的和。于是得出應(yīng)有的填法：24223247。例3計(jì)算123199920001999321？解：為了找到算式的規(guī)律，先取一些比較小的加數(shù)做試驗(yàn)：121412321912343211612345432125注意到422, 932, 1642, 2552。可以看出，算式中最大的加數(shù)的平方就是要求的和。所以，原式200022000×20004000000。例4某人買(mǎi)來(lái)一對(duì)小兔子，雌雄各一只，兩個(gè)月后，小兔子長(zhǎng)成大兔子，生了一對(duì)小兔子，也是雌雄各一只。此后，一直是這樣，即，每對(duì)小兔子兩個(gè)月長(zhǎng)成大兔子，生一對(duì)兔子，也都是雌雄各一只。而已經(jīng)長(zhǎng)大的兔子每個(gè)月

44、都生一對(duì)小兔子。那么，一年后這群兔子一共有多少對(duì)？解：邊逐月計(jì)算，邊找規(guī)律：第1個(gè)月：1對(duì)兔子；第2個(gè)月：上個(gè)月已有的1對(duì)兔子；第3個(gè)月：上個(gè)月已有的1對(duì)兔子，新生的1對(duì)小兔子(數(shù)量和兩個(gè)月前的兔子數(shù)相等)，共2對(duì)兔子；第4個(gè)月：上個(gè)月已有的2對(duì)兔子，新生的1小對(duì)兔子(數(shù)量和兩個(gè)月前的兔子數(shù)相等)，共3對(duì)兔子；第5個(gè)月：上個(gè)月已有的3對(duì)兔子，新生的2對(duì)小兔子(數(shù)量和兩個(gè)月前的兔子數(shù)相等)，共5對(duì)兔子；根據(jù)上面的計(jì)算，總結(jié)出下面的規(guī)律：從第3個(gè)月開(kāi)始，本月的兔子數(shù)上上個(gè)月的兔子數(shù)上個(gè)月的兔子數(shù)第6個(gè)月：358(對(duì))；第7個(gè)月：5813(對(duì))；第8個(gè)月：81321(對(duì))；第9個(gè)月：132134(對(duì)

45、)；第10個(gè)月：213455(對(duì))；第11個(gè)月：345589(對(duì))；第12個(gè)月：5589144(對(duì))。第13個(gè)月：89144233(對(duì))。所以，一年后這群兔子一共有多少對(duì)233對(duì)。練 習(xí) 八 1. 下面有兩個(gè)寶塔形的算式，只要你能做出每個(gè)塔尖上的三道題，再找找規(guī)律, 就一定能直接寫(xiě)出下面六道題的得數(shù)。 1×1 3×4 11×11 33×34 111×111 333×334 1111×1111 3333×3334 11111×11111 33333×33334 111111×111111

46、 333333×333334 1111111×1111111 3333333×3333334 11111111×11111111 33333333×33333334 111111111×111111111 333333333×3333333342在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。(1)1002992()；(2)9876298752()；(3)892882()()()；(4)756432756422()()()。3邊計(jì)算，邊找規(guī)律，再按找到的規(guī)律計(jì)算。1×9192×9293×9398×98915&#

47、215;9159234×923499876543210×9987654321094計(jì)算12310321？5計(jì)算123100321？6有一個(gè)用黑珠子和白珠子穿成的珠環(huán)。珠子的直徑都是1厘米，兩粒珠子之間的間隔也是1厘米。已知白珠子的粒數(shù)為2、5、10、17、50，這串珠環(huán)的長(zhǎng)度是多少厘米？(圖中只畫(huà)出了極少的一部分)7按照下圖的規(guī)律排列的一個(gè)數(shù)表，已經(jīng)寫(xiě)出了它的前五行，求第七行所有各數(shù)的和是多少？(貴陽(yáng)市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題) 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 18有一排算式：34, 410, 516, 622，問(wèn)：按照這個(gè)規(guī)律，第10個(gè)加法算式是怎樣的？它

48、的得數(shù)是多少？9把從1開(kāi)始的自然數(shù)按照下面的形式排列，試問(wèn)：第20行最左邊的數(shù)是多少？第20行最右邊的數(shù)是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 101949、甲、乙、丙、1997是按規(guī)律排列的五個(gè)數(shù)，已知1997丙丙乙乙甲甲1949。問(wèn)：其中甲、乙、丙各是多少？(長(zhǎng)春市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)11下圖是一張黑白相間的方格紙，如果用記號(hào)(2,3)表示從上往下數(shù)第2行，從左往右數(shù)第3列的這一格，那么(18,7)這一格是黑色還是白色？12一只母雞生蛋很有規(guī)律，總是連著兩天每天生一個(gè)蛋，然后就要有一天不生蛋。已知2005年元旦這天沒(méi)生蛋，那么2005年全年會(huì)生多少個(gè)蛋？第九講 謎題(一)例1杭州有名的景點(diǎn)九溪十八洞，林木蔥蘢，泉水淙淙。曾有許多文人墨客在此留下了不少抒懷寫(xiě)景的佳句。清朝末年，詩(shī)人俞曲園寫(xiě)過(guò)一首膾炙人口的五言絕句：重重迭迭山，曲曲環(huán)環(huán)路；丁丁東東泉，高高下下樹(shù)。下面