1、2一、重點(diǎn)與難點(diǎn)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：重點(diǎn)：難點(diǎn)：難點(diǎn)：1. 解析函數(shù)的概念；解析函數(shù)的概念；2. 函數(shù)解析性的判別函數(shù)解析性的判別1. 解析函數(shù)的概念；解析函數(shù)的概念；2. 初等函數(shù)中的多值函數(shù)及主值的概念初等函數(shù)中的多值函數(shù)及主值的概念3二、內(nèi)容提要二、內(nèi)容提要復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)微分微分解析函數(shù)解析函數(shù)初等解初等解析函數(shù)析函數(shù)指指 數(shù)數(shù) 函函 數(shù)數(shù)三三 角角 函函 數(shù)數(shù)對(duì)對(duì) 數(shù)數(shù) 函函 數(shù)數(shù) 冪冪 函函 數(shù)數(shù) 性質(zhì)性質(zhì)解析函數(shù)解析函數(shù)的判定方法的判定方法可導(dǎo)與微分的關(guān)系可導(dǎo)與微分的關(guān)系可導(dǎo)與解可導(dǎo)與解析的判定析的判定定理定理雙雙 曲曲 函函 數(shù)數(shù)41 1）導(dǎo)數(shù)的定義）導(dǎo)數(shù)的定義.)()

2、(limdd)(,)(.)(,)()(lim,)(000000000000zzfzzfzwzfzzfzzfzzfzzfDzzDzDzfwzzzz 記作記作的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)在在這個(gè)極限值稱為這個(gè)極限值稱為可導(dǎo)可導(dǎo)在在那么就稱那么就稱存在存在如果極限如果極限的范圍的范圍不出不出點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)中的一中的一為為定義于區(qū)域定義于區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)1. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分5.,)(可導(dǎo)可導(dǎo)稱在區(qū)域內(nèi)稱在區(qū)域內(nèi)我們就我們就內(nèi)處處可導(dǎo)內(nèi)處處可導(dǎo)在區(qū)域在區(qū)域如果函數(shù)如果函數(shù)DDzf定義定義2)2)可導(dǎo)與連續(xù)可導(dǎo)與連續(xù) 函數(shù)函數(shù) f (z) 在在 z0 處可導(dǎo)則在處可導(dǎo)則在 z0 處一定連續(xù)處一定連續(xù),

3、 但但函數(shù)函數(shù) f(z) 在在 z0 處連續(xù)不一定在處連續(xù)不一定在 z0 處可導(dǎo)處可導(dǎo).3)3)求導(dǎo)公式與法則求導(dǎo)公式與法則 . , 0)()1(為復(fù)常數(shù)為復(fù)常數(shù)其中其中cc .,)()2(1為正整數(shù)為正整數(shù)其中其中nnzznn ).()()()()3(zgzfzgzf 6 ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf)( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函數(shù)函數(shù)兩個(gè)互為反函數(shù)的單值兩個(gè)互為反函數(shù)的單值是是與與其中其中7

4、則則線性部分線性部分的的的改變量的改變量是函數(shù)是函數(shù)小小的高階無窮的高階無窮是是式中式中則則可導(dǎo)可導(dǎo)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù). )( )( , )(, 0)(lim ,)()()()(,)(000000wzfwzzfzzzzzzzzfzfzzfwzzfwz .)(d , )( )(000zzfwzzfwzzf 記作記作的微分的微分在點(diǎn)在點(diǎn)稱為函數(shù)稱為函數(shù)4)4)復(fù)變函數(shù)的微分復(fù)變函數(shù)的微分.d)(zzf 8. )( , 00可微可微在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)的微分存在的微分存在如果函數(shù)在如果函數(shù)在zzfz .)(00可微是等價(jià)的可微是等價(jià)的可導(dǎo)與在可導(dǎo)與在在在函數(shù)函數(shù)zzzfw .)( ,)(內(nèi)可微內(nèi)可微區(qū)

5、域區(qū)域在在則稱則稱內(nèi)處處可微內(nèi)處處可微區(qū)域區(qū)域在在如果函數(shù)如果函數(shù)DzfDzf可導(dǎo)與微分的關(guān)系可導(dǎo)與微分的關(guān)系91)1)定義定義. )( , )(000解析解析在在那末稱那末稱導(dǎo)導(dǎo)的鄰域內(nèi)處處可的鄰域內(nèi)處處可及及在在如果函數(shù)如果函數(shù)zzfzzzf).( )( .)( ,)(全純函數(shù)或正則函數(shù)全純函數(shù)或正則函數(shù)個(gè)解析函數(shù)個(gè)解析函數(shù)內(nèi)的一內(nèi)的一區(qū)域區(qū)域是是或稱或稱內(nèi)解析內(nèi)解析區(qū)域區(qū)域在在則稱則稱內(nèi)每一點(diǎn)解析內(nèi)每一點(diǎn)解析區(qū)域區(qū)域在在如果函數(shù)如果函數(shù)DzfDzfDzf 2. 解析函數(shù)解析函數(shù).)( , )(00的奇點(diǎn)的奇點(diǎn)為為那末稱那末稱不解析不解析在在如果函數(shù)如果函數(shù)zfzzzf10 . )( )(

6、 )( )(內(nèi)解析內(nèi)解析在在除去分母為零的點(diǎn)除去分母為零的點(diǎn)和、差、積、商和、差、積、商的的與與內(nèi)解析的兩個(gè)函數(shù)內(nèi)解析的兩個(gè)函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域DzgzfDa. )( , )( , . )( , )( )(內(nèi)解析內(nèi)解析在在那末復(fù)合函數(shù)那末復(fù)合函數(shù)于于都屬都屬的對(duì)應(yīng)值的對(duì)應(yīng)值函數(shù)函數(shù)內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)對(duì)對(duì)如果如果內(nèi)解析內(nèi)解析平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域在在函數(shù)函數(shù)內(nèi)解析內(nèi)解析平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)DzgfwGhzgzDGhhfwDzzghb (c) 所有多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)處處解析所有多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)處處解析.2)性質(zhì)性質(zhì). , )()( )(點(diǎn)點(diǎn)奇奇使分母為零的點(diǎn)是它的使分母為零的

7、點(diǎn)是它的為零的點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)解析為零的點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)解析在不含分母在不含分母任何一個(gè)有理分式函數(shù)任何一個(gè)有理分式函數(shù)zQzPd11.,),(),(),(:)(),(),()(1xvyuyvxuyxyxvyxuyixzDzfDyxivyxuzf , , , , 程程該點(diǎn)滿足柯西黎曼方該點(diǎn)滿足柯西黎曼方并且在并且在可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)與與條件是條件是可導(dǎo)的充要可導(dǎo)的充要內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)在在則則內(nèi)內(nèi)域域定義在區(qū)定義在區(qū)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定理定理)RC(條件條件柯西黎曼條件柯西黎曼條件 3)可導(dǎo)與解析的判定可導(dǎo)與解析的判定12.),(),(:),(),()(2程程并且滿足柯西黎曼方并且滿足柯西黎曼方內(nèi)可微內(nèi)可微在在與與內(nèi)解

8、析的充要條件是內(nèi)解析的充要條件是域域在其定義在其定義函數(shù)函數(shù)定理定理 , , DyxvyxuDyxivyxuzf :,),(),()(則其導(dǎo)數(shù)公式則其導(dǎo)數(shù)公式可導(dǎo)可導(dǎo)處處在點(diǎn)在點(diǎn)若函數(shù)若函數(shù) yixzyxivyxuzf yuixuxvixuzf )(.xviyvyuiyv 134)4)解析函數(shù)的判定方法解析函數(shù)的判定方法. . , , 內(nèi)是解析的內(nèi)是解析的在在解析函數(shù)的定義斷定解析函數(shù)的定義斷定則可根據(jù)則可根據(jù)內(nèi)處處存在內(nèi)處處存在的導(dǎo)數(shù)在區(qū)域的導(dǎo)數(shù)在區(qū)域數(shù)數(shù)導(dǎo)法則證實(shí)復(fù)變函導(dǎo)法則證實(shí)復(fù)變函如果能用求導(dǎo)公式與求如果能用求導(dǎo)公式與求DzfDzfa)()()(. )( ,R C ), ( , )(

9、)(內(nèi)解析內(nèi)解析在在條件可以斷定條件可以斷定要要那末根據(jù)解析函數(shù)的充那末根據(jù)解析函數(shù)的充方程方程并滿足并滿足可微可微因而因而、連續(xù)、連續(xù)的各一階偏導(dǎo)數(shù)都存在的各一階偏導(dǎo)數(shù)都存在內(nèi)內(nèi)在在中中如果復(fù)變函數(shù)如果復(fù)變函數(shù)DzfvuDvuivuzfb 143.3.初等解析函數(shù)初等解析函數(shù)1)1)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù).)sin(cos.的指數(shù)函數(shù)的指數(shù)函數(shù)為為稱稱設(shè)設(shè)zyiyeeiyxzxz 定義定義; 0, 0,)( zxzeeeza則則對(duì)任意復(fù)數(shù)對(duì)任意復(fù)數(shù)性質(zhì)性質(zhì);)(,)(zzzeezeb 而且而且平面上處處解析平面上處處解析在在;)(2121zzzzeeec .2)(為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù)是

10、以是以iedz 15 2) 2)三角函數(shù)三角函數(shù).,2cos.,2sin余弦函數(shù)余弦函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)定義定義稱為稱為稱為稱為izizizizeezieez .cos,sin)1(是偶函數(shù)是偶函數(shù)是奇函數(shù)是奇函數(shù)zz 性質(zhì)性質(zhì).cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz .sincos)3(zizeiz .2)2(為周期為周期以以正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都16(4)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù).sin)(cos,cos)(sinzzzz .cossintan正切函數(shù)正切函數(shù)定義

11、定義稱為稱為zzz .cos,sin, 1cossin)5(22不是有界函數(shù)不是有界函數(shù)但但zzzz ).tan()tan(:tan)1(zzz 是奇函數(shù)是奇函數(shù) 性質(zhì)性質(zhì).tan)tan(:tan)2(zzz 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù)是以是以 17其它復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)的定義其它復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)的定義,sincoscot zzz 余切函數(shù)余切函數(shù),cos1ec zzs 正割函數(shù)正割函數(shù).sin1csc zz 余割函數(shù)余割函數(shù).cos1)(tantan)3(2zzz 在解析區(qū)域有在解析區(qū)域有 18 3) 3)雙曲函數(shù)雙曲函數(shù).,2ch.,2sh雙曲余弦函數(shù)雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦函數(shù)雙曲正弦函數(shù)定義

12、定義稱為稱為稱為稱為zzzzeezeez ;sh)sh(:sh)1(zzz 是奇函數(shù)是奇函數(shù) 性質(zhì)性質(zhì);ch)ch(:chzzz 是偶函數(shù)是偶函數(shù) ;2ch,sh)2(為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù)都是以都是以izz ;sh)(ch,ch)(shzzzz 且且平面上處處解析平面上處處解析在在,ch ,sh )3(zzz; 1shch)4(22 zz.ch)cos(,sh)sin()5(zizziiz 194 4）對(duì)數(shù)函數(shù)）對(duì)數(shù)函數(shù).Ln , )( )0( zwzfwzzew 記為記為稱為對(duì)數(shù)函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)的函數(shù)的函數(shù)滿足方程滿足方程因此因此zizzwArglnLn ikziz 2argln

13、)., 2, 1, 0( k所以所以支支的的數(shù)數(shù)稱為對(duì)數(shù)函稱為對(duì)數(shù)函其中其中),(Ln)arg(arglnln主值主值z(mì)zzizz )., 2, 1, 0(2lnLn kikzz20. . , , , , 的一個(gè)分支的一個(gè)分支稱為稱為可確定一個(gè)單值函數(shù)可確定一個(gè)單值函數(shù)對(duì)于每一個(gè)固定的對(duì)于每一個(gè)固定的zkLn;Ln )1(是一個(gè)無窮多值的函數(shù)是一個(gè)無窮多值的函數(shù)z性質(zhì)性質(zhì);LnLnLn,LnLnLn, 0, 0)2(2121212121zzzzzzzzzz 則則設(shè)設(shè)且且處解析處解析處處實(shí)軸外實(shí)軸外在平面上除去原點(diǎn)和負(fù)在平面上除去原點(diǎn)和負(fù),ln, )3(z.1)(lnzz 215)5)冪函數(shù)冪函

14、數(shù):, 0,的冪函數(shù)的冪函數(shù)用下列等式定義用下列等式定義對(duì)于對(duì)于是任意復(fù)數(shù)是任意復(fù)數(shù)設(shè)設(shè)zz 定義定義).0(Ln zezwz . 0,0, zz時(shí)時(shí)補(bǔ)充規(guī)定補(bǔ)充規(guī)定是正實(shí)數(shù)時(shí)是正實(shí)數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng);,lnLn., )1(ln的主值的主值稱為冪函數(shù)稱為冪函數(shù)時(shí)時(shí)取主值取主值當(dāng)當(dāng)是一個(gè)無窮多值函數(shù)是一個(gè)無窮多值函數(shù)一般說來一般說來 zezzzzz 性質(zhì)性質(zhì).)()2(1 zz22三、典型例題三、典型例題.)(33僅在原點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)僅在原點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)證明函數(shù)iyxzf 例1例1證證zfzfz)0()(lim0 iyxiyxyx 330),(lim0)(lim220),( yxyixyx. 00)(處的導(dǎo)數(shù)

15、為處的導(dǎo)數(shù)為在在故故 zzf.在在再證其他處的導(dǎo)數(shù)不存再證其他處的導(dǎo)數(shù)不存23)()()()(0030303300iyxiyxiyxiyxzzzfzf 則則沿路徑沿路徑若若,0yyz 030300)()(xxxxzzzfzf 則則沿路徑沿路徑若若,0 xxz )(3)()()(020030300yyyyyiiyiyzzzfzf 當(dāng)當(dāng).)(, 000的導(dǎo)數(shù)不存在的導(dǎo)數(shù)不存在否則否則故除非故除非zfyx )(3020 xxx當(dāng)當(dāng)24例例2 2 函數(shù)函數(shù) 在何處在何處可導(dǎo)，何處解析可導(dǎo)，何處解析.)2()()(222yxyixyxzf 解解,),(22xyxyxu ;2, 12yuxuyx ,2),

16、(2yxyyxv ;22,2yxvyvyx .,xyyxvuvu 故故 僅在直線僅在直線 上可導(dǎo)上可導(dǎo).)(zf21 y,21)(,不解析不解析上處處上處處在直線在直線由解析函數(shù)的定義知由解析函數(shù)的定義知 yzf故故 在復(fù)平面上處處不解析在復(fù)平面上處處不解析.)(zf時(shí)，時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)21 y25例例3 3 設(shè)設(shè) 為解析函數(shù)，求為解析函數(shù)，求 的值的值.)(2323cxyxiybxay cba,解解 設(shè)設(shè)ivucxyxiybxayzf )()()(2323故故2323,cxyxvybxayu ,2bxyxu ,2cxyyv ,322cyxxv ,322bxayyu 由于由于 解析，所以解

17、析，所以)(zfxvyuyvxu ,即即,22cbcxybxy 3,3332222 bcacyxbxay故故. 3, 3, 1 cba26例例4 4 討論函數(shù)討論函數(shù) 在原點(diǎn)的可導(dǎo)性在原點(diǎn)的可導(dǎo)性. 0,00,)(21zzezfz01lim0)0()(lim)0(2100 xexzfzffxz 211lim0)0()(lim00yeyizfzfyz,0)0()(lim0 zfzfz故故 在原點(diǎn)不可導(dǎo)在原點(diǎn)不可導(dǎo).)(zf,0時(shí)時(shí)趨于趨于函數(shù)沿函數(shù)沿xz 解解當(dāng)當(dāng) 沿正虛軸沿正虛軸 趨于趨于0時(shí)，有時(shí)，有iyz z27 設(shè)設(shè) 為為 平面上任意一定點(diǎn)平面上任意一定點(diǎn),000iyxz z0000)R

18、e(1)()(zzzzzzzfzf 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn) 沿直線沿直線 趨于趨于 時(shí)時(shí),有有z)(0 xiyxz0z00001)()(xxxxzzzfzf 2 解解例例5 5 研究研究 的可導(dǎo)性的可導(dǎo)性.zzzfRe)( 28)(01)()(000yyizzzfzf , 1 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn) 沿直線沿直線 趨于趨于 時(shí)時(shí),有有z)(0 yiyxz0z的任意性知的任意性知處不可導(dǎo)且由處不可導(dǎo)且由在在故故00)(zzzf例例5 5 研究研究 的可導(dǎo)性的可導(dǎo)性.zzzfRe)( .)(處處不可導(dǎo)處處不可導(dǎo)zf29例例6 6 解方程解方程0sin z解解0212sin2 izizizizieeieez12 izeikizee 22. kz), 2, 1, 0( k30例例7 7 求出求出 的值的值.2)2( 解解)2ln(22)2( e )2(2ln2 kie)12(2sin)12(2cos2ln2 kike), 2, 1, 0( k31解解例例8 8 試求試求 函數(shù)值及其主值函數(shù)值及其主值:ii 1)1()1ln()1(1)1(iiiei kiie242ln)1( 2ln24242lnkike 2ln4sin2ln4cos224iek), 2, 1, 0( k令令 得主值得主值:0 k.2ln4sin2ln4cos2)1(4)1( ieii 2ln24242lnkike32例例9 9 證明證明;2sin