1、電磁場(chǎng)理論電磁場(chǎng)理論第第1章：矢量分析章：矢量分析耿軍平耿軍平 副教授副教授電信學(xué)院，電子系，現(xiàn)代天線研究中心電院樓群1522Email:Tel:342046632014.09.062022年4月11日23時(shí)22分2第第1章：矢量分析章：矢量分析(Vector analysis)矢量表示及其代數(shù)運(yùn)算矢量表示及其代數(shù)運(yùn)算矢量場(chǎng)和標(biāo)量場(chǎng) 標(biāo)量場(chǎng)的梯度矢量場(chǎng)的通量、散度與散度定理 矢量場(chǎng)的環(huán)量、旋度與斯托克斯定理 標(biāo)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)的重要性質(zhì)和定理正交曲線坐標(biāo)系 2022年4月11日23時(shí)22分3矢量表示及其代數(shù)運(yùn)算矢量表示及其代數(shù)運(yùn)算 矢量的表示及距離矢量 矢量的代數(shù)運(yùn)算2022年4月11日23時(shí)22

2、分4標(biāo)量和矢量標(biāo)量和矢量 標(biāo)量(Scalar)：僅具有大小特征的量 矢量(Vector)：具有大小和方向特征的量 例如：力、位移、速度、加速度、電場(chǎng)強(qiáng)力、位移、速度、加速度、電場(chǎng)強(qiáng)度及磁場(chǎng)強(qiáng)度度及磁場(chǎng)強(qiáng)度等物理量都是矢量 標(biāo)量的空間分布構(gòu)成標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)(Scalar field) 矢量的空間分布構(gòu)成矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)(Vector field)2022年4月11日23時(shí)22分5幾何表示幾何表示:一條有向線段，長(zhǎng)度表示大小，指向表示方向直角坐標(biāo)中，不同的矢量即使起點(diǎn)移到原點(diǎn)，其終端坐標(biāo)不同矢量A的終端坐標(biāo)為（Ax,Ay,Az） ；Ax,Ay,Az稱為矢量A的三個(gè)相應(yīng)的坐標(biāo)分量坐標(biāo)分量。 矢量的表示矢量

3、的表示 2022年4月11日23時(shí)22分6在三維空間中，一個(gè)矢量可用其三個(gè)坐標(biāo)分量來(lái)表示。反之，三個(gè)標(biāo)量可用一個(gè)矢量來(lái)代替。矢量運(yùn)算比標(biāo)量運(yùn)算簡(jiǎn)潔矢量運(yùn)算比標(biāo)量運(yùn)算簡(jiǎn)潔在二維空間中，一個(gè)矢量?jī)H需要兩個(gè)坐標(biāo)分量來(lái)表示，而在一維空間中，一個(gè)矢量?jī)H需要一個(gè)坐標(biāo)分量。通常，矢量大小及方向均隨空間坐標(biāo)而變化.常矢量常矢量：大小和方向均與空間坐標(biāo)無(wú)關(guān)。 矢量的表示（續(xù)）矢量的表示（續(xù)） 矢量的表示（續(xù)）矢量的表示（續(xù)）單位矢量單位矢量a (unit vector)： 矢量模為1的矢量稱為單位矢量 ax，ay，az矢量矢量A： A=axAx+ayAy+azAz矢量矢量A的模的模：222xyzAAAAA矢量矢

4、量A的單位矢量的單位矢量：a的模為的模為1，方向與，方向與A相同相同|a AAAAa或：歸一化歸一化矢量A的單位矢量：2022年4月11日23時(shí)22分9式中角度，分別為矢量A與坐標(biāo)軸的夾角，cos ，cos ，cos稱為矢量的方向余弦方向余弦coscoscosyxzxyzxyzAAAaaaaaaaAAA222coscoscos12022年4月11日23時(shí)22分10矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的代數(shù)運(yùn)算 矢量相等： A=B大小及方向均相同大小及方向均相同或在同一坐標(biāo)系中，各個(gè)坐標(biāo)分量均相同或在同一坐標(biāo)系中，各個(gè)坐標(biāo)分量均相同 結(jié)合律:（A+B)+C=A+(B+C) 交換律: A+B=B+A 矢量相減： A

5、-B=A+(-B)注：注：同一坐標(biāo)系中，兩個(gè)矢量的加減運(yùn)算就是對(duì)同一坐標(biāo)系中，兩個(gè)矢量的加減運(yùn)算就是對(duì)應(yīng)坐標(biāo)分量的相加和相減應(yīng)坐標(biāo)分量的相加和相減。 2022年4月11日23時(shí)22分11矢量的代數(shù)運(yùn)算（續(xù)）圖1-1 矢量加減 圖1-2 矢量與標(biāo)量相乘2022年4月11日23時(shí)22分12矢量的代數(shù)運(yùn)算（續(xù)）矢量的代數(shù)運(yùn)算（續(xù)）矢量的標(biāo)積矢量的標(biāo)積(Dot product) 兩個(gè)矢量的標(biāo)積又稱為點(diǎn)積或內(nèi)積，以點(diǎn)號(hào)“”表示。兩個(gè)矢量的標(biāo)積是一個(gè)標(biāo)量，服從交換律。zzyyxxBABABABAABBA2022年4月11日23時(shí)22分13矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的標(biāo)積（續(xù)） 矢量與其本身的標(biāo)積： 矢量A的大小為

6、： 矢量的大小稱為矢量的模，以絕對(duì)值符號(hào)|A|或A表示222zyxAAA2AAAAA222zyxAAAA A2022年4月11日23時(shí)22分14矢量的標(biāo)積（續(xù)） 矢量模為1的矢量稱為單位矢量。 矢量A的單位矢量以a表示表示為 a的模為1，方向與A相同 |a |aAAaAA AAAA A或：歸一化歸一化2022年4月11日23時(shí)22分15矢量的標(biāo)積（續(xù)）矢量標(biāo)積的幾何意義如圖所示 xaAA yyxxBBaaBcosBxBsinByBcosBABA2022年4月11日23時(shí)22分16矢量的標(biāo)積（續(xù)）BABABABA/0兩矢量垂直的充要條件：它們的點(diǎn)積為零等于矢量A的模與矢量B在矢量A的方向上的投影

7、大小的乘積，或者說(shuō)等于矢量B的模和矢量A在矢量B方向上的投影大小的乘積。2022年4月11日23時(shí)22分17矢量的代數(shù)運(yùn)算（續(xù)）矢量的代數(shù)運(yùn)算（續(xù)）矢量的矢積矢量的矢積 (Cross product) 矢量的矢積又稱為叉積或外積，以“”表示 zzyyxxzzyyxxBBBAAAaaaBaaaA矢量矢量zyxzyxzyxBBBAAAaaaBAABBA2022年4月11日23時(shí)22分18矢量的矢積（續(xù)）xaAA yyxxBBaaBsinBAaBAz矢量矢積的幾何意義如圖所示 2022年4月11日23時(shí)22分19矢量的矢積（續(xù)）|sinA B矢量矢積的方向與矢量A及矢量B垂直，且由矢量A旋轉(zhuǎn)到矢量B

8、，并與矢量(AB)構(gòu)成右旋關(guān)系(right handed screw rule)，矢量矢積的大小為 2022年4月11日23時(shí)22分20矢量的矢積（續(xù)）BABABABA/0兩矢量平行的充要兩矢量平行的充要條件：它們的叉積條件：它們的叉積為零為零例1-02022年4月11日23時(shí)22分22矢量的混合積矢量的混合積zzzzyyxxxzyxzyxzyxwvuvvuwvuwwwvvvuuu)()(wvuwvuuvwwvuuwvvuwuvvwuuvww2022年4月11日23時(shí)22分23標(biāo)量三重積(混合積）：A(BC)= B(CA) = C(AB) A(BC)= CABBAC(AB)C= (BC)A =

9、 (CA)B標(biāo)量三重積標(biāo)量三重積(混合積）混合積）2022年4月11日23時(shí)22分24矢量三重積矢量三重積 A(BC)= B(AC)C(AB)矢量運(yùn)算規(guī)則矢量運(yùn)算規(guī)則：先矢積，后標(biāo)積 A(BC)= ABC 2022年4月11日23時(shí)22分25例1-1用矢量的方法求證平面幾何中的余弦定理 ABCCabcCabbaccos22222022年4月11日23時(shí)22分26自然局部基矢量自然局部基矢量 自然基矢量： 全局參考 自然局部基矢量 目標(biāo)點(diǎn)的微小領(lǐng)域內(nèi) 如：矩量法iiiiiiiixdxdxxdrggrr3131iiiiiiiixdxdxxdrggrr31312022年4月11日23時(shí)22分27并矢

10、并矢 任意兩個(gè)矢量a、b并寫在一起，ab稱為并并矢矢，張量積張量積 并矢格林函數(shù) 散射場(chǎng)是各媒質(zhì)、各面、各方向電流元的疊加 張量：滿足某種坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系的有序數(shù)組成的集合332313322212312111bababababababababaab(x ,x )ijG2022年4月11日23時(shí)22分28第第1章：矢量分析章：矢量分析矢量表示及其代數(shù)運(yùn)算矢量場(chǎng)和標(biāo)量場(chǎng)矢量場(chǎng)和標(biāo)量場(chǎng) 標(biāo)量場(chǎng)的梯度矢量場(chǎng)的通量、散度與散度定理 矢量場(chǎng)的環(huán)量、旋度與斯托克斯定理 標(biāo)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)的重要性質(zhì)和定理正交曲線坐標(biāo)系 2022年4月11日23時(shí)22分29矢量場(chǎng)和標(biāo)量場(chǎng)矢量場(chǎng)和標(biāo)量場(chǎng)2022年4月11日23時(shí)22分3

11、0場(chǎng)？場(chǎng)？2022年4月11日23時(shí)22分31第1章：矢量分析矢量表示及其代數(shù)運(yùn)算矢量場(chǎng)和標(biāo)量場(chǎng) 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度矢量場(chǎng)的通量、散度與散度定理 矢量場(chǎng)的環(huán)量、旋度與斯托克斯定理 標(biāo)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)的重要性質(zhì)和定理正交曲線坐標(biāo)系 2022年4月11日23時(shí)22分32標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度(The Directional derivative and Gradient of a scalar function) 標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場(chǎng)自該點(diǎn)沿某一方向上的變化率 標(biāo)量場(chǎng) 在點(diǎn)P沿l方向上的方向?qū)?shù)定義為 lPPllP0lim2022年4月11日23時(shí)22分

12、33標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度（續(xù)）（續(xù)） 在直角坐標(biāo)系中，方向?qū)?shù)可寫為lzzlyylxxlcoscoscoszyxl標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度（續(xù)）（續(xù)）zyx,令 為矢量G的三個(gè)坐標(biāo)分量zyxzyxaaaGcoscoscoszyxlaaaallaG 標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)沿矢量沿矢量l l方向方向上的方向?qū)?shù)上的方向?qū)?shù)標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度（續(xù)） 矢量G稱為標(biāo)量場(chǎng) 的梯度，以 表示gradgradaaaxyzxyz標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度（續(xù)）標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度（續(xù)） 注 * 標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量場(chǎng)；* 當(dāng)al的方向與梯度方向一致時(shí)，

13、方向?qū)?shù) 取得最大值。* 標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)梯度的大小等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)， 梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)具有最大方向?qū)?shù)的方向標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度（續(xù)） 注 * 梯度由三個(gè)方向的微商分量構(gòu)成，* 可以說(shuō)梯度就是場(chǎng)的微商梯度就是場(chǎng)的微商標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度（續(xù)） 哈密頓引入劈形算子（讀作Delta）xyzxyz aaa標(biāo)量場(chǎng)的梯度可以表示為: grad (,)xyz 2022年4月11日23時(shí)22分39標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度（續(xù)） 標(biāo)量場(chǎng)梯度說(shuō)明n標(biāo)量場(chǎng)的等值面：標(biāo)量等于常數(shù)的空間曲面n某點(diǎn)梯度的三個(gè)坐標(biāo)分量是標(biāo)量場(chǎng)等值面通過(guò)該點(diǎn)法線的三個(gè)

14、方向?qū)?shù)，這就意味著梯度的方向?yàn)榈戎得娴姆ň€方向。（比如電位的變化就是從一個(gè)等勢(shì)面到另一個(gè)等勢(shì)面。）n或者說(shuō)，梯度的方向與等值面垂直，且指向標(biāo)量場(chǎng)數(shù)值增大的方向。比如等勢(shì)面與電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)比如等勢(shì)面與電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)2022年4月11日23時(shí)22分40標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度（續(xù)） 等勢(shì)面與電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)等勢(shì)面與電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)2022年4月11日23時(shí)22分41標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度（續(xù)） 線性系統(tǒng)的特征線性系統(tǒng)的特征 梯度的運(yùn)算符合下列規(guī)則： 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)的特征的特征2022年4月11日23時(shí)22分42誤解：誤解：一般不等于0 () ()? 2022年4月11日23時(shí)22分43 例1-22022年4月11日23時(shí)2

15、2分44例1-2求R和R2022年4月11日23時(shí)22分45P點(diǎn)和P點(diǎn)是矢量R的終點(diǎn)和起點(diǎn)。以矢量的終點(diǎn)和起點(diǎn)為參考，分別來(lái)求同一標(biāo)量場(chǎng)的梯度，必然模相等，方向相反。以電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)為例。2022年4月11日23時(shí)22分46第1章：矢量分析矢量表示及其代數(shù)運(yùn)算矢量場(chǎng)和標(biāo)量場(chǎng) 標(biāo)量場(chǎng)的梯度矢量場(chǎng)的通量、散度與散度定理矢量場(chǎng)的通量、散度與散度定理 矢量場(chǎng)的環(huán)量、旋度與斯托克斯定理 標(biāo)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)的重要性質(zhì)和定理正交曲線坐標(biāo)系 2022年4月11日23時(shí)22分47矢量場(chǎng)的通量、散度與散度定理Flux, Divergence 矢量A沿某一有向曲面S的面積分成為矢量A通過(guò)該有向曲面S的通量，以表示 SdSA

16、標(biāo)量2022年4月11日23時(shí)22分48矢量場(chǎng)的通量、散度與散度定理SdSA說(shuō)明： 若在有向曲面S上，有向面元dS(法線)處處與矢量A的方向保持垂直，則矢量通過(guò)該有向曲面的通量為零。 若有向面元dS處處與矢量A的方向保持相同或相反，則通量0或0； 2) 若處處相反，則 0 。 3) 可見(jiàn)，環(huán)量可以用來(lái)描述矢量場(chǎng)的旋渦矢量場(chǎng)的旋渦特性特性。 2022年4月11日23時(shí)22分82矢量場(chǎng)的環(huán)量、旋度與斯托克斯定理說(shuō)明：由物理學(xué)可知，真空中磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿任一閉合有向曲線的環(huán)量 等于該閉合曲線包圍的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度I與真空磁導(dǎo)率0的乘積。其中電流I的正方向與dl的方向構(gòu)成右旋關(guān)系。 因此，環(huán)量可以表示產(chǎn)生具

17、有旋渦特性的環(huán)量可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源強(qiáng)度源強(qiáng)度，但是它代表的是閉合曲線包圍的閉合曲線包圍的總總的源強(qiáng)度，不能顯示源的分布特性的源強(qiáng)度，不能顯示源的分布特性。 矢量場(chǎng)的環(huán)量、旋度與斯托克斯定理(續(xù)) 2022年4月11日23時(shí)22分84矢量場(chǎng)的環(huán)量、旋度與斯托克斯定理(續(xù)) 旋度矢量，rotA 該旋度矢量的方向方向是使矢量A具有最大環(huán)量強(qiáng)度的方向，其大小等于對(duì)該矢量方向的最大環(huán)量強(qiáng)度，即 ldSrotPSlA1lim2022年4月11日23時(shí)22分85矢量場(chǎng)的環(huán)量、旋度與斯托克斯定理(續(xù)) 說(shuō)明： 矢量場(chǎng)的旋度大小旋度大小可以認(rèn)為是包圍單位面積的閉合曲線的最大環(huán)量最大環(huán)量， 因此，旋度代

18、表了源的強(qiáng)度旋度代表了源的強(qiáng)度。在旋渦場(chǎng)源不存在的無(wú)源區(qū)，旋度必然為零。 2022年4月11日23時(shí)22分86矢量場(chǎng)的環(huán)量、旋度與斯托克斯定理(續(xù))斯托克斯定理 任一條閉合有向曲線l包圍 的區(qū)域總可分為兩個(gè)部分， 其周界分別為l1和l2，如圖0-7-2所示。 由于閉合曲線l1和l2的相鄰部分方向相反， 因此，矢量A沿著l的環(huán)量等于沿著l1和l2的環(huán)量之和。矢量場(chǎng)的環(huán)量、旋度與斯托克斯定理(續(xù)) 斯托克斯定理 由于包圍l的面積S可以認(rèn)為是由很多面元dS組成的，那么沿著l的環(huán)量等于沿著包圍各個(gè)dS的閉合曲線的環(huán)量總和。 lddrotSlSA)(矢量場(chǎng)的環(huán)量、旋度與斯托克斯定理(續(xù))注：利用此定理可

19、將面積轉(zhuǎn)化為線積分，或反之。從場(chǎng)的觀點(diǎn)來(lái)看，它建立了區(qū)域中的場(chǎng)與區(qū)域中的場(chǎng)與區(qū)域邊緣上的場(chǎng)之間的關(guān)系區(qū)域邊緣上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，斯托克斯定理也是矢量分析中重要定理之一 2022年4月11日23時(shí)22分89矢量場(chǎng)的環(huán)量、旋度與斯托克斯定理矢量場(chǎng)的環(huán)量、旋度與斯托克斯定理(續(xù)續(xù)) 旋度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式 rotrotrotrotxyzxyzAaAaAaA2022年4月11日23時(shí)22分902022年4月11日23時(shí)22分912022年4月11日23時(shí)22分92可以把看成矢量，并與矢量A叉乘因此，在直角坐標(biāo)系中，旋度可用下面的行列式表示因此，在直角坐標(biāo)系中，旋度可用下面的行列式表示 算子表達(dá)

20、算子表達(dá)旋度 斯托克斯定理 旋度運(yùn)算符合下列規(guī)則rotAASlddASAl 算符算符2022年4月11日23時(shí)22分95例例15方法：按照矢量叉乘及旋度計(jì)算的方法：按照矢量叉乘及旋度計(jì)算的定義定義2022年4月11日23時(shí)22分96又稱旋度定理又稱旋度定理場(chǎng)場(chǎng)2022年4月11日23時(shí)22分972022年4月11日23時(shí)22分98第1章：矢量分析矢量表示及其代數(shù)運(yùn)算矢量場(chǎng)和標(biāo)量場(chǎng) 標(biāo)量場(chǎng)的梯度矢量場(chǎng)的通量、散度與散度定理 矢量場(chǎng)的環(huán)量、旋度與斯托克斯定理 正交曲線坐標(biāo)系 2022年4月11日23時(shí)22分99標(biāo)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)的重要性質(zhì)和定理標(biāo)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)的重要性質(zhì)和定理無(wú)散場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng)無(wú)散場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng)

21、 格林定理 矢量場(chǎng)的惟一性定理 亥姆霍茲定理 2022年4月11日23時(shí)22分100無(wú)散場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng) 矢量場(chǎng)的散度及旋度反映了產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源在有源區(qū)中，散度或旋度一定不等于零，或者兩者均不為零。在無(wú)源區(qū)中，散度及旋度一定為零。2022年4月11日23時(shí)22分101無(wú)散場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng)無(wú)散場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng) （續(xù)）（續(xù)） 一切矢量場(chǎng)的源只有兩種類型，即產(chǎn)生發(fā)散場(chǎng)的散度源散度源和產(chǎn)生旋渦場(chǎng)的旋度源旋度源。在全空間中，散度及旋度均處處為零的場(chǎng)是不存在的。散度或旋度處處為零的場(chǎng)是存在的散度或旋度處處為零的場(chǎng)是存在的2022年4月11日23時(shí)22分102無(wú)散場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng)（續(xù)）無(wú)散場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng)（續(xù)） 無(wú)散場(chǎng)：散度處處為零的矢

22、量場(chǎng) 無(wú)旋場(chǎng)：旋度處處為零的矢量場(chǎng)0)(A2022年4月11日23時(shí)22分103無(wú)散場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng)（續(xù)）無(wú)散場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng)（續(xù)）證明：可在矢量場(chǎng)中任取一 個(gè)體積V，對(duì)體積V進(jìn)行積分，由散度定理散度定理得SAAddVSV)()(2022年4月11日23時(shí)22分104無(wú)散場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng)（續(xù)）無(wú)散場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng)（續(xù)）此閉合面S可用其表面上的一條閉合有向曲線l分為兩個(gè)有向曲面S1和S2，由斯托克斯定理，得代人即得lASAddlS11lASAddlS222022年4月11日23時(shí)22分105無(wú)散場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng)（續(xù)）無(wú)散場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng)（續(xù)） 說(shuō)明： 任一無(wú)散場(chǎng)可以表示為另一矢量場(chǎng)的旋度 或者說(shuō)，任何旋度場(chǎng)一定是無(wú)散場(chǎng)。ABB0從

23、形式上理解： ，所以B垂直與A構(gòu)成的平面，所以BA B02022年4月11日23時(shí)22分106無(wú)散場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng)（續(xù)）無(wú)散場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng)（續(xù)） 任一標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度一定等于零， 或任一無(wú)旋場(chǎng)一定可以表示為一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度 或者說(shuō)，任何梯度場(chǎng)一定是無(wú)旋場(chǎng)。00GG 或：2022年4月11日23時(shí)22分107理解：梯度是標(biāo)量場(chǎng)在l方向的最大變化量，所以梯度沿閉合曲線一周的積分為零，所以梯度的旋度為零。換句話說(shuō)，我們只向上攀梯子，攀了一圈之后，回到起點(diǎn)。變化了一圈變化了一圈又回到原點(diǎn)又回到原點(diǎn)2022年4月11日23時(shí)22分108也可這樣理解：222222()()()0 xyzxyzxyzxyzy zy

24、zx zx zy xy x aaaaaa2022年4月11日23時(shí)22分109標(biāo)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)的重要性質(zhì)和定理標(biāo)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)的重要性質(zhì)和定理無(wú)散場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng)格林定理格林定理矢量場(chǎng)的惟一性定理 亥姆霍茲定理 2022年4月11日23時(shí)22分110格林定理設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)和，若在區(qū)域中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù) 式（091）或者（093）稱為標(biāo)量第一格林定理 2022年4月11日23時(shí)22分111格林定理（續(xù)）格林定理（續(xù)）證明：對(duì) 應(yīng)用散度定理 VSdVd S2 代入，（093）即得2022年4月11日23時(shí)22分112格林定理（續(xù)）格林定理（續(xù)） 標(biāo)量第二格林定理 若將式（091）中 和 對(duì)調(diào)，顯然，等

25、式仍然成立，即2VSdVdSn 將式（091）與上式相減，得22VSdVdSnn 22VSdVd S或2022年4月11日23時(shí)22分113格林定理（續(xù)）格林定理（續(xù)） 矢量第一格林定理 設(shè)任意兩個(gè)矢量場(chǎng)P和Q，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，則該矢量場(chǎng)P和Q滿足下列等式 VSdVdPQPQPQS式中S為包圍V的閉合曲面，面元dS的方向?yàn)镾的外法線方向證明：可對(duì)矢量 應(yīng)用高斯定理，再利用矢量恒等式 ，即可證明。 PQA BBAAB矢量三重積A(BC) = B(AC)C(AB)2022年4月11日23時(shí)22分114格林定理（續(xù)）格林定理（續(xù)） 矢量第二格林定理 與前類似，若將式（第一格林定理）

26、中P與Q對(duì)調(diào)，所得的等式再與式（第一格林定理）相減，即得 VSdVdQPPQPQQPS2022年4月11日23時(shí)22分115格林定理（續(xù)）格林定理（續(xù)） 上述各種格林定理，都是說(shuō)明區(qū)域中的場(chǎng)與邊界上的場(chǎng)之間的關(guān)系。 因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)的求解問(wèn)題。 此外，格林定理說(shuō)明了兩種標(biāo)量場(chǎng)或矢量場(chǎng)之間應(yīng)該滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場(chǎng)的分布特性，即可利用格林定理求解另一種場(chǎng)的分布特性。2022年4月11日23時(shí)22分116標(biāo)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)的重要性質(zhì)和定理標(biāo)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)的重要性質(zhì)和定理無(wú)散場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng) 格林定理 矢量場(chǎng)的惟一性定理矢量場(chǎng)的惟一性定理 亥姆霍茲定理 20

27、22年4月11日23時(shí)22分117矢量場(chǎng)的惟一性定理矢量場(chǎng)的惟一性定理 位于某一區(qū)域中的矢量場(chǎng)，當(dāng)其散度散度、旋度旋度以及邊界上場(chǎng)量的切向分量或法向邊界上場(chǎng)量的切向分量或法向分量分量給定后，則該區(qū)域中的矢量場(chǎng)被惟一地確定。 采用反證法進(jìn)行證明： 令 12FFF120 FFF120 FFF2022年4月11日23時(shí)22分1182022年4月11日23時(shí)22分1192022年4月11日23時(shí)22分120 惟一性定理表明，區(qū)域中的矢量場(chǎng)被其中的區(qū)域中的矢量場(chǎng)被其中的源及邊界值（或稱邊界條件）惟一地確定源及邊界值（或稱邊界條件）惟一地確定 對(duì)于無(wú)限大自由空間，只要標(biāo)量場(chǎng)滿足1/(R1+)，(0)(式中

28、R表示場(chǎng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離），則當(dāng)邊界面S趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，式（0104）的右端面積分仍然為零。 所以無(wú)限大自由空間中無(wú)限大自由空間中的矢量場(chǎng)僅被其散度及旋度惟一地確定。 2022年4月11日23時(shí)22分121標(biāo)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)的重要性質(zhì)和定理標(biāo)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)的重要性質(zhì)和定理無(wú)散場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng) 格林定理 矢量場(chǎng)的惟一性定理 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 2022年4月11日23時(shí)22分122亥姆霍茲定理 若矢量場(chǎng)F(r)在無(wú)限區(qū)域中處處是單值單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域有限區(qū)域V中，則當(dāng)矢量場(chǎng)的散度及旋度散度及旋度給定后，該矢量場(chǎng)F(r)可以表示為 F rrA r 14VdVF rrrr其

29、中： 14VA rdV F rrr該關(guān)系稱為亥姆霍茲定理。 2022年4月11日23時(shí)22分123亥姆霍茲定理(續(xù)） 該定理再次表明，無(wú)限空間中矢量場(chǎng)被其散度及旋度惟一地確定； 而且它給出了場(chǎng)與其散度及旋度之間的定量關(guān)系， 或者說(shuō)，給出了場(chǎng)與源之間的定量關(guān)系。2022年4月11日23時(shí)22分124亥姆霍茲定理(續(xù)） 證明 AAA AAA2022年4月11日23時(shí)22分1252022年4月11日23時(shí)22分1262022年4月11日23時(shí)22分127矢量場(chǎng)唯一性定理2022年4月11日23時(shí)22分128 AAA2022年4月11日23時(shí)22分129亥姆霍茲定理(續(xù)） 式（0109）及式（0101

30、2）中的面積分分別代表了邊界上場(chǎng)量的法向分量與切向分量。 表明，有限空間中的矢量場(chǎng)被其散度、旋度及其邊界條件惟一地確定。 若該有限區(qū)域是無(wú)源的，則場(chǎng)僅決定于邊界條件。2022年4月11日23時(shí)22分130亥姆霍茲定理(續(xù)） 已知梯度場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)，旋度場(chǎng)是無(wú)散場(chǎng)，因此，式（0101）又表明，任一矢量場(chǎng)均可表示任一矢量場(chǎng)均可表示為一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)和一個(gè)無(wú)散場(chǎng)之和為一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)和一個(gè)無(wú)散場(chǎng)之和。 亥姆霍茲定理表明：如果已知矢量場(chǎng)的散度及旋度以后，即可求出該矢量場(chǎng)，因此，矢量場(chǎng)的散度及旋度特性是研究矢量場(chǎng)的首要問(wèn)題。2022年4月11日23時(shí)22分131亥姆霍茲定理(續(xù)） 今后，我們?cè)谟懻摳鞣N電磁場(chǎng)時(shí)，首先必須

31、討論的就是其散度及旋度特性。 由式（0101）及式（0102）亦可見(jiàn)，對(duì)于無(wú)限空間，當(dāng)矢量場(chǎng)的散度及旋度均為零時(shí)，(r)=A(r)=(r)=A(r)=0，則矢量場(chǎng)F(r)F(r)也隨之消失，因此無(wú)旋且無(wú)散的矢量場(chǎng)在無(wú)限空間無(wú)旋且無(wú)散的矢量場(chǎng)在無(wú)限空間是不存在的，它只能存在于局部無(wú)源區(qū)域之是不存在的，它只能存在于局部無(wú)源區(qū)域之中中。2022年4月11日23時(shí)22分132亥姆霍茲定理(續(xù)） 依據(jù)散度及旋度特性可把場(chǎng)分為四類：第一類：無(wú)散，無(wú)旋：第二類：有散，無(wú)旋第三類：無(wú)散，有旋第四類：有散，有旋2022年4月11日23時(shí)22分133第1章：矢量分析矢量表示及其代數(shù)運(yùn)算矢量場(chǎng)和標(biāo)量場(chǎng) 標(biāo)量場(chǎng)的梯度

32、矢量場(chǎng)的通量、散度與散度定理 標(biāo)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)的重要性質(zhì)和定理 2022年4月11日23時(shí)22分134正交曲面坐標(biāo)系 已知在三維直角坐標(biāo)系中，使用三個(gè)坐標(biāo)變量（x0,y0,z0）可確定空間點(diǎn)P0的位置，這就意味著使用三個(gè)平面可以確定三維空間中任一點(diǎn)的位置。 一般來(lái)說(shuō)，任一三個(gè)相交的曲面均可確定三維空間中任一點(diǎn)的位置。如果三個(gè)曲面在空間是處處正交的，則由此建立的坐標(biāo)系稱為正交曲面坐標(biāo)系正交曲面坐標(biāo)系。 由三個(gè)相互正交的平面構(gòu)成的直角坐標(biāo)系是一種特殊的正交曲面坐標(biāo)系 2022年4月11日23時(shí)22分135正交曲面坐標(biāo)系正交曲面坐標(biāo)系(續(xù)）續(xù)） 正交曲面坐標(biāo)系是由三個(gè)正交坐標(biāo)曲面u1=const, u

33、2=const, u3=const構(gòu)成, u1, u2, u3稱為坐標(biāo)變量 三個(gè)相應(yīng)坐標(biāo)變量的梯度方向上的單位矢量 為au1，au2，au3，三者滿足：123uuuaaa231uuuaaa312uuuaaa01ijuuijijaa2022年4月11日23時(shí)22分136正交曲面坐標(biāo)系正交曲面坐標(biāo)系(續(xù)）續(xù)） 變量u1的坐標(biāo)軸：沿著au1方向僅變量u1發(fā)生改變，因此，若一條曲線上各點(diǎn)的切線方向與au1方向一致，則該曲線稱為變量u1的坐標(biāo)軸 u1坐標(biāo)軸描述了變量u1的變化方向及尺度 在三維空間中，每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)曲面的交線形成第三個(gè)變量的坐標(biāo)軸。 在三維正交坐標(biāo)系中，矢量A可表示為123123uuuAaA

34、 aA aA2022年4月11日23時(shí)22分137正交曲面坐標(biāo)系正交曲面坐標(biāo)系(續(xù)）續(xù)） 除了直角坐標(biāo)系中，常用的兩種正交曲面坐標(biāo)系是圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系 ra注意，在圓柱坐標(biāo)系中只有az是常矢量。由于空間各點(diǎn)的 及方向不同，因此 及 都是變矢量。raa圖0121 圓柱坐標(biāo)系 a2022年4月11日23時(shí)22分138正交曲面坐標(biāo)系正交曲面坐標(biāo)系(續(xù)）續(xù)）球坐標(biāo)系是由一個(gè)圓球面(r)，一個(gè)錐面()與一個(gè)半無(wú)限大的平面()構(gòu)成 2022年4月11日23時(shí)22分139正交曲面坐標(biāo)系正交曲面坐標(biāo)系(續(xù)續(xù)) 在矢量分析中，經(jīng)常對(duì)矢量函數(shù)進(jìn)行微分與積分運(yùn)算，這種運(yùn)算需要把坐標(biāo)變量的微分微分變化變化對(duì)應(yīng)于微

35、分長(zhǎng)度微分長(zhǎng)度的變化， 正交曲面坐標(biāo)系中，其坐標(biāo)變量不一定代表長(zhǎng)度。如圓柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)變量及球面坐標(biāo)系中的和均代表角度。2022年4月11日23時(shí)22分140正交曲面坐標(biāo)系(續(xù)） 為了能對(duì)各種坐標(biāo)變量進(jìn)行微分運(yùn)算，必須把非長(zhǎng)度的坐標(biāo)變量的微分增量轉(zhuǎn)化為微分長(zhǎng)度。 為此，可令微分長(zhǎng)度為iiidlhdu式中hi稱為相應(yīng)的坐標(biāo)變量ui的度量系數(shù)度量系數(shù)。 2022年4月11日23時(shí)22分141正交曲面坐標(biāo)系(續(xù)） 對(duì)于任一有向長(zhǎng)度的微分增量dl可表示為 或 對(duì)于任一有向曲面的微分增量dS可表示為123123uuuddSdSdSSaaa12323232131 3133212 121dSdl dlh

36、h du dudSdl dlhh du dudSdl dlh hdu du他們分別表示有向面元在相應(yīng)的坐標(biāo)平面上的投影面積 對(duì)于任一體積的微分增量可以表示為1231 23123dVdl dl dlhh h du du du123123uuuddldldllaaa123123uuudhduhduhdulaaa2022年4月11日23時(shí)22分142正交曲面坐標(biāo)系(續(xù)） 正交曲面坐標(biāo)系中梯度、散度及旋度的表示式 標(biāo)量場(chǎng)在aui方向上的方向?qū)?shù) 標(biāo)量場(chǎng)的梯度 六面體元 1iiilhu312112233uuuhuhuhuaaa1 23123dVhh h du du du2022年4月11日23時(shí)22分1

37、43正交曲面坐標(biāo)系(續(xù)）1 232 1 332 11231231Ah hA hhA h hhh huuuA1231231 231231122331uuuhhhhh huuuh Ah Ah AaaaA2022年4月11日23時(shí)22分1442022年4月11日23時(shí)22分1452022年4月11日23時(shí)22分1462022年4月11日23時(shí)22分1472022年4月11日23時(shí)22分148說(shuō)明：說(shuō)明： 球坐標(biāo)變量與直角坐標(biāo)變量的關(guān)系sincossinsincosxryrzr22222arctanarctanrxyzxyzyx2022年4月11日23時(shí)22分149 直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系及球坐標(biāo)系中

38、各個(gè)坐標(biāo)軸上單位矢量之間的關(guān)系，可以導(dǎo)出矢量A在三種坐標(biāo)系中各個(gè)坐標(biāo)分量之間的關(guān)系式如下：cossin0sincos0001rxyzzAAAAAA sincossinsincoscoscoscos sinsinsincos0rxyzAAAAAAsin0coscos0sin010rrzAAAAAA坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換2022年4月11日23時(shí)22分150斜角直線坐標(biāo)系 給定參考矢量gi 平面：i1，2 三維空間：i1，2，3 矢量表示（分解、投影） 各單位矢量iiiPgPcos112212211iiiiiiii2022年4月11日23時(shí)22分151小結(jié) 運(yùn)算關(guān)系z(mì)zyyxxBABABABAABBA2

39、22zyxAAA2AAA222zyxAAAA AcosBABABABABABA/0sinBAaBAzBABABABA/02022年4月11日23時(shí)22分152llaGgradxyzaaaxyzSdSAVdSVSAA0limdivSVddVSAAdiv梯度通量 散度高斯定理zAyAxAzyxAdivAAdivSVddVSAAxyzxyz aaaAAA2022年4月11日23時(shí)22分153環(huán)量旋度斯托克斯定理0limlSdrotASAlrotSlddASAlrotAASlddASAl0 A AAA2022年4月11日23時(shí)22分154拉普拉斯算子222222xyzxyzxyz aaa2 22222

40、22xyz 2222222xyzAAAAxxyyzzAAAAaaa2222xxyyzzAAA Aaaa標(biāo)量三重積：A(BC)= B(CA) = C(AB) A(BC)= CABBAC(AB)C= (BC)A = (CA)B矢量三重積：三矢量所圍平行六面體體積。 A(BC)= B(AC)C(AB)矢量運(yùn)算規(guī)則：先矢積，后標(biāo)積 A(BC)= ABC 2022年4月11日23時(shí)22分15500GG 或：0BBA 2VSdVdSn 22VSdVdSnn VSdVdPQPQPQSVSdVdQPPQPQQPS矢量場(chǎng)的唯一性定理：矢量場(chǎng)的唯一性定理：位于某一區(qū)域中的矢量場(chǎng)，當(dāng)其散度、旋度以及邊界上場(chǎng)量的切向分量或法向分量給定后，則該區(qū)域中的矢量場(chǎng)被惟一地確定2022年4月11日23時(shí)22分156亥姆霍茲定理 l矢量場(chǎng)F(r)在無(wú)限區(qū)域中處處是單值,導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域V中. 當(dāng)矢量場(chǎng)的散度及旋度給定后，該矢量場(chǎng)F(r)可以表示為 F rrA r 14VdVF rrrr其中： 14VA rdV F rrr2022年4月11日23時(shí)22分157思考題1 如何理解哈密爾頓算子在各種情況下的的數(shù)學(xué)意義？從