1、數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)用教材 根據(jù)2011北京市高職高專大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽大綱規(guī)定的競賽內(nèi)容及要求，現(xiàn)將微積分各章節(jié)的知識點、典型題及解題思路和技巧等為同學(xué)們梳理出來，意在幫助同學(xué)們自行復(fù)習(xí)，同時也作為教師為競賽班開班輔導(dǎo)的指導(dǎo)素材。 第一部分 函數(shù)、極限、連續(xù) 競賽內(nèi)容大綱1函數(shù)的概念及表示法、簡單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系的建立2函數(shù)的性質(zhì)：有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性3復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)、基本初等函數(shù)性質(zhì)及其圖形、初等函數(shù)4數(shù)列極限與函數(shù)極限的直觀描述性定義及基本性質(zhì)，函數(shù)的左極限與右極限5無窮小和無窮大的概念及其關(guān)系、無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較6極限的四則運算、兩個重要極限7函數(shù)

2、的連續(xù)性概念（含左連續(xù)與右連續(xù)）、函數(shù)間斷點的判定（不區(qū)分類型）8連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性9閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理、零點定理) 知識點及典型題1. 兩個函數(shù)相等 （函數(shù)兩要素：定義域、對應(yīng)規(guī)則）這兩條只要有一條不滿足兩函數(shù)就不同）例1：判斷下列各對函數(shù)是否相同（1） f(x)=ln(x2-4)與g(x)=ln(x+2)+ln(x-2)（2）f(x)=sinx與解：（1）f(x)的定義域x2-4>0，即>2。g(x)的定義域得x>2 。2 / 98由于f(x)、g(x)的定義域不同，因此兩函數(shù)不同。（2）f(x)的定義域，g(t)的

3、定義域,且g(t)=sin(2+t)=sint,說明了f(x)、g(t)的定義域及對應(yīng)規(guī)則都相同（註：函數(shù)是否相同與變量所用字母無關(guān)），因此f(x)與g(t)相同。例2：求下列函數(shù)定義域（1）; （2） .解：(1) 由 得 .（2）分段函數(shù)定義域為：取各范圍定義域之并！，即：例3：求函數(shù)值已知求：解： ，由此看出： 例4：設(shè) ， 求：解: 這是分段函數(shù)，注意在不同區(qū)間上的表達(dá)式不同。 2函數(shù)的性質(zhì)（1） 有界性：若存在正數(shù)M，使，有，稱f(x)在D上有界。例：在1，2上有界，但在-1，1上無界。（2） 奇偶性：設(shè)D為對稱區(qū)間, 若，恒有f(-x)= -f(x), 稱f(x)是奇函數(shù)；若，恒有

4、f(-x)= f(x), 稱f(x)是偶函數(shù)。例：討論函數(shù) 的奇偶性.解: 為奇函數(shù)。注意：1）討論奇偶性應(yīng)在對稱區(qū)間上。2）  奇偶性判別除了用定義外，還常用下列性質(zhì)：）奇函數(shù)之和（差）仍是奇函數(shù)；偶函數(shù)之和（差）仍是偶函數(shù)。）奇函數(shù)之積（商）是偶函數(shù)；偶函數(shù)之積（商）是偶函數(shù)。）奇函數(shù)與偶函數(shù)之積（商）是奇函數(shù)。（3）   周期性：若有,稱是以T為周期的周期函數(shù)。顯然nT(n=)也是f(x) 的周期。一般周期是指f(x+T)=f(x)成立的最小正數(shù)。例：設(shè)周期函數(shù)是以T為周期的周期函數(shù)，證明是以為周期的周期函數(shù)。分析：要證明證明：因為是以T為周期的周

5、期函數(shù)，所以,于是：故 是以為周期的周期函數(shù)。如：是以為周期的周期函數(shù)，是以為周期的周期函數(shù)。因此的周期是, 的周期是（4）  單調(diào)性： ； ；注：單調(diào)性還可用導(dǎo)數(shù)符號判斷：；3. 復(fù)合函數(shù)首先要熟悉六個基本初等函數(shù)的形式：（1）       常數(shù)函數(shù) y = C（2）       冪函數(shù) y = x a（3）       指數(shù)函數(shù)y =ax (a>0且a)（4）  &#

6、160;    對數(shù)函數(shù)y =logax (a>0且a)（5）       三角函數(shù) sinx, cosx, tgx, ctgx, secx, cscx（6）       反三角函數(shù)arcsinx, arccosx, arctanx, arccotx復(fù)合函數(shù)就是以這六個基本初等函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)。例如：是由 復(fù)合而成的，其定義域由:4. 初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算或復(fù)合，并能用一個解析式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。如：是復(fù)合函數(shù)，也

7、是初等函數(shù)；但只是初等函數(shù)，而不是復(fù)合函數(shù)。5. 極限概念（1） 數(shù)列極限：對于數(shù)列若當(dāng)n無限增大時，無限趨進于某一確定的常數(shù)A，則稱A為數(shù)列的極限。（2） 函數(shù)極限：對于函數(shù)，若在自變量的某一變化過程中，無限趨近于某一確定的常數(shù)A，則稱A為函數(shù)的極限。（3）單側(cè)極限：左極限：，（自變量x從x0左側(cè)趨于x0時函數(shù)的極限）右極限：，（自變量x從x0右側(cè)趨于x0時，函數(shù)的極限）（4）極限存在條件： 例：設(shè) ， 求 ，. 解：。在是分界點，左右側(cè)表達(dá)式不一樣， 處的左、右極限不相等， 因此不存在。注：用左、右極限來判定極限的存在性，一般只對分段函數(shù)在分界點處求極限時使用!6. 求極限的方法歸納（1）

8、 四則運算：設(shè)皆存在，則（2） 連續(xù)函數(shù)求極限代入法： （3） 有理化：例1. 求 解：例2. 求 解： （4） 消去零因子：例3. （5） 自變量趨向于無窮大的情況：（可用分子、分母的最高次冪同除以分子、分母。）例：例：例：（6） 兩個重要極限：（重點，必會?。ǎ?（） 例1： （第一重要極限公式）例2： 例3： 例4： 例5： 例6： 例7： 例8： 使用技巧如下： 或 或 （7） 無窮小量、無窮大量1）  定義：以0為極限的量稱為無窮小量。如：, 稱當(dāng)時是無窮小量。 稱當(dāng)時是無窮小量。2）  性質(zhì)：（）非零無窮小量與無窮大量互為倒數(shù)。例：當(dāng)時，是無窮小量，是無窮大量

9、。當(dāng)時，是無窮大量，是無窮小量。例： （）有限個無窮小量之積（和）仍是無窮小量。例：注：若是無限個無窮小量之積（和）不一定是無窮小量 !典型例題如下：事實上,上題應(yīng)用求和公式： （）有界量與無窮小量之積仍是無窮小量。例： 其中是有界變量，當(dāng)時，是無窮小量。其中是有界變量，當(dāng)時，是無窮小量。注： 注：有界量與無窮大量之積不一定是無窮大量 ! 如：3）  無窮小量的比較：設(shè)當(dāng)時，都是無窮小， 若，則稱較高階的無窮小； 若，則稱較低階的無窮?。?若，則稱是同階無窮??； 若，則稱是等價無窮小，記作：4）  等價無窮小：若兩個無窮小都與第三個無窮小等價，則這兩個無窮小等價。即：設(shè)都是

10、無窮小，若，則 。例如，當(dāng)時，因 ，所以當(dāng)時，.常用幾個等價無窮?。海ū常。?巧妙利用等價無窮小代換有時候可以大大簡化計算。例如：7. 復(fù)合函數(shù)求極限定理：設(shè)則存在，且：上式顯然可以寫成： 透視定理：求復(fù)合函數(shù)極限時，極限符號“”與函數(shù)符號“”就可以交換次序。（即極限運算可以移到內(nèi)層函數(shù)上去實施，此為解復(fù)合函數(shù)極限問題之關(guān)鍵！牢記?。├河蓪?shù)性質(zhì)可知： ，又知：（第二重要極限）故有： （復(fù)合函數(shù)求極限！解題關(guān)鍵點！）8. 洛必達(dá)法則 （此為第二章內(nèi)容，放進求極限方法歸納中） 注意：或 適用 或 使用說明： 若能求出極限為（或），即可應(yīng)用洛必達(dá)法則； 若仍是“”未定式，且存在，則可繼續(xù)使用洛必

11、達(dá)法則，即 若無法判斷的極限狀態(tài)，或能判定它振蕩而無極限，則洛必達(dá)失效！例1： 求 解： 由洛比達(dá)法則得：.例2： 求 解：由洛比達(dá)法則得： ，二次使用羅比達(dá)法：注意：上式中的已不是未定式，不能使用洛比達(dá)法則，否則會發(fā)生錯誤。例3： 求 解： 當(dāng)時， 而震蕩無極限。 此時洛必達(dá)失效！改用它法： 例4： （兩種解法均可！）例5：注意：1) 在使用洛必達(dá)法則過程中，能化簡的盡量先化簡。2）若不存在，洛必達(dá)無效。例如：正確解法： （）3） 其它未定式的轉(zhuǎn)化 （） 冪指型“”， “”或“”或“”，先取對數(shù)轉(zhuǎn)化為“”型，再轉(zhuǎn)化為型。例6：例7：例8： 這是冪指型的，先取對數(shù)：設(shè)，則（此為對數(shù)性質(zhì)！需要搞

12、清楚）而又知（此也為對數(shù)性質(zhì)，在求解冪指函數(shù)有關(guān)極限時經(jīng)常用到此轉(zhuǎn)換！需要牢記?。﹦t有：，而 （此處運用的是復(fù)合函數(shù)求極限，函數(shù)與極限可以互換位置?。┯谑亲罱K結(jié)果：9. 連續(xù)性（1） 連續(xù)性概念：若，稱在連續(xù)。判斷連續(xù)包括三個條件：（1）在點的某鄰域內(nèi)有定義；（2）存在；（3）極限值等于該點函數(shù)值。（2） 間斷點：若在處不滿足以上三條中的若有一條，則為函數(shù)的間斷點。（3） 間斷點分類：（分兩類）第一類間斷點（左、右極限都存在）；第二間斷點 （除第一間斷點之外的 /至少有一側(cè)極限不存在）例：，在處無定義，是間斷點；且(至少有一側(cè)極限不存在)，故是的第二類間斷點。在處無定義，是間斷點；但，極限存在

13、；故是 的第一類間斷點。（4） 初等函數(shù)在其定義域上連續(xù)注：分段函數(shù)不是初等函數(shù)，判斷其在分界點處的連續(xù)性需用左、右極限。例：求 的連續(xù)區(qū)間。解：當(dāng)是初等函數(shù)，有定義，連續(xù)；當(dāng)是初等函數(shù)，有定義，連續(xù)；是分界點， 左、右極限相等， 在處連續(xù)；所以在上連續(xù)。 10. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì) （考試大綱里有要求?。ǎ┳畲笾底钚≈刀ɡ恚涸O(shè)f(x)在a、b連續(xù)，則它在該區(qū)間至少取到它的最大值和最小值各一次 .（）零點定理：設(shè)f(x)在a、b連續(xù)，且f(a)·f(b)0，則至少存在一點,(a、b)，使得（）介值定理推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值 M 與最小值m之間的任何值。注意：零

14、點定理要求掌握，會做典型題！ 幾道典型題：（背會證明步驟，包括文字說明部分）例1 證明方程 至少有一個根介于1和2之間.例2 證明方程 ，其中，至少有一個正根，且它不超過 例3 若在上連續(xù)，則在上至少有一點，使得 解法：例1證明：設(shè)，則在閉區(qū)間連續(xù)（由初等函數(shù)在定義區(qū)間均連續(xù)知）. （下面要求出區(qū)間端點函數(shù)值，判斷能否滿足零點定理條件）又，即： （滿足零點定理條件）由零點定理：設(shè)f(x)在a、b連續(xù)，且f(a)·f(b)0，則至少存在一點,(a、b)，使得 所以由零點定理可知，在內(nèi)，至少存在一點，使得 即是方程的介于1和2之間的根，即方程至少有一個根介于1和2之間. 例2 證明方程

15、，其中，至少有一個正根，且它不超過 證明：設(shè)，則是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)（根據(jù)要證明的結(jié)論來正確選取合適的閉區(qū)間很重要?。?又區(qū)間端點函數(shù)值為： （因為） 分析兩種情況： 若，則說明就是方程的一個不超過的根.若, 則 ，（滿足零點定理條件?。┯闪泓c定理可知，至少存在至少存在一點，使說明 也是方程的一個不超過的根. 結(jié)論：方程至少有一個正根，且不超過 證畢！例3 若在上連續(xù)，則在上至少有一點，使得 證明：由已知條件可知，顯然在上也連續(xù). 設(shè)和分別是在上的最大值和最小值. 因為，所以有 ，從而有： 即 （這是不等式性質(zhì)） 由介值定理推論：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值 M與最小值m之間的任何值。

16、即在上至少有一點，使得： 證畢！第二部分 一元函數(shù)微分學(xué) 競賽內(nèi)容大綱1導(dǎo)數(shù)和微分的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系、平面曲線的切線和法線2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)和微分的四則運算、一階微分形式的不變性3復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法4顯函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)（不含n階導(dǎo)數(shù)）5羅必達(dá)(LHospital)法則6函數(shù)的單調(diào)性與極值、曲線的凹凸性與拐點、水平漸近線與垂直漸近線7函數(shù)的最大值和最小值及其簡單應(yīng)用 知識點及典型題1 導(dǎo)數(shù)的概念（1）導(dǎo)數(shù)定義：設(shè) 則 （導(dǎo)數(shù)定義式）例： 已知可導(dǎo)， 求：。解：已知可導(dǎo)，則 （2） 導(dǎo)數(shù)幾何意義：函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)在幾何

17、上表示曲線在點處切線的斜率。即：（3） 切線、法線方程 切線方程： 特別的，若（），則切線垂直于x軸，此時切線方程為 。法線方程： （ 因為 ）特別的，若（），則切線平行于x軸（法線垂直于x軸），此時法線方程為 例：求曲線在點的切線方程和法線方程。解： ，切線方程為：， 即 ；法線方程為：， 即 2 導(dǎo)數(shù)公式與運算法則（1）導(dǎo)數(shù)公式 （必須熟背?。?）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）。（2） 運算法則：（必須熟記?。?3復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)或 ( 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 / 微分形式不變性 )對復(fù)合

18、函數(shù)求導(dǎo)，采取“由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)” 。例：設(shè)，求.解： 例：求 解：   例： 求 解：4高階導(dǎo)數(shù)若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在點處仍然可導(dǎo)，則稱在點處的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)在點的處的二階導(dǎo)數(shù)，記作：一般地：， 求高階導(dǎo)數(shù)的方法就是反復(fù)地運用求一階導(dǎo)數(shù)的方法！例： 解：，例： 設(shè)，求 ， 解： ， 則：5 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)與互為反函數(shù)，則 （1）反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求 的導(dǎo)數(shù)由于 的反函數(shù)是： 則有：（因為 ，故，故根號前為正號）即得出公式： （2）指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)， 由于 的反函數(shù)是： ，由反函數(shù)定理得：即 特例： 6 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （）隱函數(shù)：若函數(shù)y不是由一個含有的關(guān)系式表示的，而是由含有的的方

19、程 來確定的，則稱這種函數(shù)為隱函數(shù)。（）隱函數(shù)求導(dǎo)步驟： 將方程兩邊同時對求導(dǎo)，遇到就看成的函數(shù)，遇到 的函數(shù)就看成是的復(fù)合函數(shù)； 求導(dǎo)后得到一個含的關(guān)系式； 最后解出，即為所求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例1：求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解： 將方程兩邊同時對求導(dǎo) (視y為x的函數(shù), 視y的函數(shù)為x的復(fù)合函數(shù)) ， ， 解出，得：.例2：設(shè) ，求解：方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，視y為x的函數(shù) 得 ：解得： 7對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法是將函數(shù)兩端取對數(shù)，得到隱函數(shù) ，然后按照隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的思路，求出y對x的導(dǎo)數(shù)。對數(shù)求導(dǎo)法主要適用于：冪指函數(shù) 冪的連乘積的函數(shù)等。例1： 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解：該題如用導(dǎo)數(shù)法求導(dǎo)將太繁瑣，

20、用對數(shù)求導(dǎo)法將大大簡化計算。 等式兩端取對數(shù)得 ： 等式兩端對x求導(dǎo)數(shù)，得： 解出，得： 自測題： 已知，求 答案： 例2： 解：先取對數(shù) 再兩邊求導(dǎo)：化簡： 8參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程表示，則有：例1：設(shè) 解：例2：求曲線在處的切線方程和法線方程. 解：9微分的概念（1）微分的定義：設(shè)在處可導(dǎo)，則稱為在的微分，記作： 例1：，求 解： （先求導(dǎo)） （再求微分）（2） 微分的計算： 方法： 先求導(dǎo)數(shù)，再乘. 利用“微分形式不變性”求微分。設(shè)復(fù)合而成復(fù)合函數(shù)： 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得： 于是： （此為微分形式不變性）例2：求下列微分： . 解： 例3：利用微分形式不變性求出下列微分： ； 解

21、： 令 ，則 由微分形式不變性得： ，則 由微分形式不變性得：（3） 微分的近似計算： 故當(dāng)時，可用微分近似代替函數(shù)的改變量. 越小，近似程度就越好. 10可導(dǎo)、可微與連續(xù)的關(guān)系：（1） 一元函數(shù)可導(dǎo)可微，即：（注：多元函數(shù)不成立）（2） ，  (反之不一定成立)可見，連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件。（3） 。( 反之不一定成立 )11中值定理（條件、結(jié)論）（1）羅爾定理：條件：（1）f(x)在a,b上連續(xù) （2）f(x)在（a,b）內(nèi)可導(dǎo) （3）f(a)=f(b) 結(jié)論：在(a,b) 內(nèi)至少有一點，使 例1 驗證函數(shù)在閉區(qū)間上滿足羅爾定理，并求出值。解： 為多項式函數(shù)，故在整個數(shù)軸上都連續(xù)且

22、可導(dǎo)。 （多項式函數(shù)在定義區(qū)間處處連續(xù)且可導(dǎo)） 在區(qū)間上是連續(xù)的，且在可導(dǎo)；又 ， 顯然，在區(qū)間上滿足羅爾定理的三個條件。由于 根據(jù)羅爾定理的幾何意義可得：令 ，得即在內(nèi)存在一點，使得 （2）拉格朗日定理：條件：（1）f(x)在a,b上連續(xù) （2）f(x)在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)結(jié)論：在(a,b) 內(nèi)至少有一點，使 推論1、 推論2、 拉格朗日中值定理精確地表達(dá)了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)某點處導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。 例2 驗證函數(shù)在閉區(qū)間上滿足拉格朗日定理，并求出值。解： 函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且 ， 在區(qū)間上滿足拉格朗日定理。 故： 解得： ， 而 ， 故： .12導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（1）判別單調(diào)性：設(shè)在

23、(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，如果在(a,b) 內(nèi)，單調(diào)增加； 單調(diào)減少。例：證明 當(dāng)時，證：設(shè)，則 所以單調(diào)增加，當(dāng)時，即 證畢?。?） 函數(shù)單調(diào)區(qū)間求法：先求出的一切駐點和不可導(dǎo)點，用這些點把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干子區(qū)間，然后判斷在子區(qū)間上的符號。（3） 求函數(shù)極值點：極值與極值點設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，點。若存在點的一個鄰域，對于該鄰域內(nèi)任何異于的點，有不等式 (或)成立，則稱是函數(shù)的一個極大值(或極小值)；稱點是函數(shù)的一個極大值點(或極小值點)。極值存在的必要條件定理：若函數(shù)在點處可導(dǎo)，且在點處有極值，則必有：極值存在的充要條件定理（極值的判定定理）： . （第一判別法）設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)且可

24、導(dǎo)， 若當(dāng)時，；而當(dāng)時，則是 的極大值點，在處有極大值； 若當(dāng)時，；而當(dāng)時，則是 的極小值點，在處有極小值； 若當(dāng)和時，不變號，則在處無極值。. （第二判別法）設(shè)函數(shù)在點處具有二階導(dǎo)數(shù)， 且，則(1)、當(dāng)時， 函數(shù)在處取得極大值；(2)、當(dāng)時， 函數(shù)在處取得極小值。 （ 記憶訣竅！）（4） 判別曲線凹凸性：設(shè)在內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)存在，如果在內(nèi)，（1），則在 內(nèi)是凹的；（2），則在內(nèi)是凸的。 記憶訣竅： 大凹小凸.（5） 曲線凹凸區(qū)間求法：先求出使或的點，用這些點把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干子區(qū)間，然后根據(jù) 在子區(qū)間上的符號確定曲線凹凸性。（6） 求曲線拐點的方法：先求出拐點可能點（使 0或的點, 但在點有

25、定義），如果在兩側(cè)，二階導(dǎo)數(shù)改變符號，則是拐點。例1：求 的單調(diào)區(qū)間、極值，凹凸區(qū)間、拐點。  解： 函數(shù)定義域是 ，令得駐點 (注：時，不存在，但不在定義域內(nèi))。 ，時，不存在。列表如下：x0 0     極大值f(-1)=-2極小值f(3)=0(注：點不在定義域內(nèi)，無須討論)在上曲線單調(diào)增加；在上，曲線單調(diào)減少。 極大值：； 極小值：在上曲線為凸的；在上曲線為凹的；無拐點13求曲線漸近線（1）若，則是曲線的水平漸近線。（2）若 則是曲線的垂直漸近線。例1：故y=0是的水平漸近線。故y=1也是的水平漸近線。例2： 故是的垂直漸近線。又如：有垂直漸近線;有垂直漸近

26、線14最值問題（1）求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值：比較極值可能點及閉區(qū)間端點處的函數(shù)值，其中最大者為最大值，最小者為最小值。例1：求在-1，1上的最值。解：, 所以極值可能點： （導(dǎo)數(shù)不存在的點），比較區(qū)間端點、極值可能點：故：最大值：，最小值：（2）最值應(yīng)用題： 根據(jù)題意列函數(shù)式；求駐點；判斷是否極值點；若駐點唯一，可根據(jù)實際意義斷定該極值點是最值點。例1：在底邊長為, 高為的直角三角形中，嵌入有最大面積的矩形，求此矩形的長和寬。 解：設(shè)矩形的長和寬分別為x、y, 則矩形的面積, 由于滿足： ，令得 得駐點 當(dāng) 當(dāng) 是唯一極大值點，即也是最大值點。于是最大面積的矩形的長和寬分別是：，注：最值應(yīng)用問

27、題中常出現(xiàn)如下兩種情況： 若函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)增加(或減少)，則最大值與最小值一定出現(xiàn)在區(qū)間端點處。 若連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極值點，則一個極大值點必為區(qū)間上的最大值點；一個極小值點必為區(qū)間上的最小值點。例2：某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為 每月2800元時，公寓會全部租出去當(dāng)租金每月增加100元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費200元的整修維護費試問房租定為多少可獲得最大收入？解: 設(shè)房租為每月 x 元。租出去的房子有（套）： 每月總收入為（元）： , 所以，每月租金為4000元時收入最高，最大收入為：.第三部分 一元函數(shù)積分學(xué) 競賽內(nèi)容大綱1原函數(shù)和不

28、定積分的概念2不定積分的基本性質(zhì)、基本積分公式3定積分的概念和基本性質(zhì)、變上限定積分確定的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)、牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式4不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法5無窮區(qū)間上的廣義積分7定積分的應(yīng)用：平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積 知識點及典型題1 原函數(shù)概念：若，稱是的一個原函數(shù)。，所以在內(nèi)，是的一個原函數(shù)；，所以在內(nèi)，是的一個原函數(shù)；，所以在內(nèi)，都是的原函數(shù)。2 不定積分的概念：若是在區(qū)間內(nèi)的一個原函數(shù)，則稱(為任意常數(shù))為在區(qū)間內(nèi)的不定積分，記為，即：。3 不定積分的性質(zhì)：性質(zhì) ：先積分后微分，兩種互逆運算相抵消。 ；性質(zhì) ： 先微分后積分，兩種互逆運算抵

29、消后，相差常數(shù)。 或 。注：求導(dǎo)與求不定積分互為逆運算。例： ； 4不定積分幾何意義：不定積分表示的一簇積分曲線，而正是積分曲線的切線的斜率。 不定積分的幾何應(yīng)用：已知曲線的切線斜率，求曲線方程。例：已知某曲線在點處的切線斜率是，求該曲線方程。解： 由得： 的曲線簇方程，將點代入，得C=2，所求該曲線方程為：5不定積分的計算公式和法則：（1）基本積分公式（熟背?。?）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（2）積分運算法則（運算性質(zhì)）（）； 即：代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和。（）（）。 即：常數(shù)可提出積分號外。6不

30、定積分的計算方法：（1）直接積分法 適當(dāng)變形后應(yīng)用基本積分公式求積分。例如：例如：例如：。注意：檢驗積分結(jié)果是否正確，只要對結(jié)果求導(dǎo)，看它的導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)，相等時結(jié)果是正確的，否則結(jié)果是錯誤的。（2）第一類換元法（湊微分法）：第一類換元法常做如下描述：常見湊微分類型：（a）推廣：例：例：（b）例：（c）例： 例：（d） ； 例：例：（e） 例：例：（f）； 例：  例：（3）第二類換元法：（去根號）1）  被積函數(shù)含（根號里是一次式）?？稍O(shè)，其中k是m、n的最小公倍數(shù)。例：求 解：設(shè) ，則 ，. （一般設(shè)整個根號為t） 原式=例：求解：設(shè) ，則 ，. 2） 三角換元法

31、：被積函數(shù)含根號，根號里是二次式，不含一次項?？勺魅谴鷵Q。 （選學(xué)！大綱沒要求）如被積函數(shù)形含的根式，設(shè) ，；如被積函數(shù)形含的根式，設(shè) ，；如被積函數(shù)形含的根式，設(shè) ，x1t例：求解：設(shè), 則， 另解：（湊微分法）  （4）分部積分法： （分部積分公式！背下來?。┊?dāng)被積函數(shù)是兩不同類型函數(shù)之積，可用分部積分法。分部積分法常用于被積函數(shù)是兩種不同類型函數(shù)乘積的積分，常見類型：冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)(對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等)的乘積；三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積。形如：；等等。 或稱和的選擇原則是： 當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)與三角函數(shù)乘積時， 可令： 當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與對數(shù)

32、函數(shù)或冪函數(shù)與反三角函數(shù)乘積時， 可令： 當(dāng)被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積時，一般選 為三角函數(shù)，也可以反之選擇。注意：同一題中，如果兩次使用分部公式時，應(yīng)設(shè)相同類型函數(shù)為。同一題中設(shè)的順序還可以按照：的選擇原則也可按照：“反、對、冪、指、三”來選！（這個更容易記憶?。├?：求解：選 （“冪”在“三”的前面），于是：例2：求解：選 （“反”在“冪”的前面），于是：例3：求解：選（“對”在“冪”的前面），于是：例4：求 解： （注意：“指”和“三”一起時，選誰當(dāng)u均可?。┮祈椀茫豪?： 例6： 移項得： 7三角函數(shù)類積分（1）被積函數(shù)形如：當(dāng)中至少有一個是奇數(shù)，如：當(dāng)皆為偶數(shù)，可利用： （2）

33、被積函數(shù)形如：等時，如下：例1：例2：例3：三角函數(shù)類積分較靈活，需先觀察被積函數(shù)的類型，利用三角恒等變換往基本積分公式靠攏。小結(jié)：積分方法的選擇：首先觀察被積函數(shù)的類型，考慮：（1）能否湊微分；（2）能否分部積分（尤其是當(dāng)被積函數(shù)為兩不同類型函數(shù)之積）；（3）若被積函數(shù)是無理函數(shù)（含根式），可考慮作變量替換，去根號；（4）若被積函數(shù)是有理分式函數(shù)，先觀察是否最簡分式，若不是應(yīng)先轉(zhuǎn)化，后湊微分。8定積分概念（1）定積分定義：若存在，且極限值與區(qū)間的分劃、點的取法無關(guān)，則稱f(x)在a,b上可積。記作：（2）定積分幾何意義：當(dāng)表示以曲線為頂?shù)那吿菪蚊娣e。y（即：由曲線)及軸、直線、所圍區(qū)域面積

34、）。y=f(x)A3A1定積分表示曲邊梯形面積的代數(shù)和。xA2Ob（3）定積分性質(zhì)1） 即：常數(shù)可提出積分號外。2） 即：代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和。3） 即：對調(diào)積分的上、下限，應(yīng)改變符號。4） 即：若積分的上、下限相同，則積分值為零。5） 即：積分區(qū)間的可加性。（4）牛頓-萊布尼茨公式：若在上連續(xù)，則，其中是的一個原函數(shù)。注：此公式可將定積分的計算轉(zhuǎn)換為不定積分的計算！例1：設(shè), 求 解：例2：求解：先將被積函數(shù)的絕對號脫去： 于是： 6）如果在a,b上，f(x)g(x), 則 例3：在0，1上，故 特別是：如果在a,b上，則 7）如果在a,b上，mf(x)M, 則 例4：在 0，1上，

35、故 又 , , 9定積分計算方法（三種）（1）定積分直接法例1：（1） （2）（3） （4）（2）定積分換元法注：定積分的換元變換需跟著換限。換元必?fù)Q限！例2：求。解：設(shè)則， 例3：設(shè)是可積函數(shù)，試證：。證明：對積分作變量替換：，則當(dāng)時，；當(dāng)時，所以有：注： 定積分與積分變量無關(guān)。例4： 證明：(1)若在上連續(xù)且為偶函數(shù)，則；(2)若在上連續(xù)且為奇函數(shù)，則 （重要！必會?。┳C： 僅證(1)，(2)的證明留給同學(xué)練習(xí)因為，定積分可加性， 對積分 作 變量代換：，則有：又在上為偶函數(shù)，故 ()， 于是：注 (1)這里用到了“定積分與積分變量的記法無關(guān)”這一結(jié)論;(2)利用本例的結(jié)論，?？珊喕嬎闫?/p>

36、函數(shù)、偶函數(shù)在以原點為對稱的區(qū)間上的定積分。例5：（2010年考題）證明，從而說明奇函數(shù)在對稱區(qū)間的積分為零。證明：對作變量替換：則當(dāng) 當(dāng)所以，若是奇函數(shù)，則, 從而 移項得：，于是。（奇函數(shù)在對稱區(qū)間的積分為零。）例如：。提高題1： 若在上連續(xù)，證明：分析 在定積分中經(jīng)常遇到正、余弦間的互化問題。技巧：同名函數(shù)間往往采用代換，(或)，異名函數(shù)間往往采用代換， (或)來解決這類問題。答案： 設(shè)，則，于是. 提高題2：設(shè)函數(shù) 計算: . 分析： 令，則由于是分段函數(shù)，故需根據(jù)及將積分區(qū)間進行分段答案： 設(shè)，則，于是提高題3：若是連續(xù)函數(shù)且為奇函數(shù)，證明是偶函數(shù)。答案：令，則所以是偶函數(shù)。（3）定

37、積分分部法回顧：不定積分的分部積分公式為由牛頓-萊布尼茨公式，我們有簡記作： 或 （定積分分部積分公式） 例1：計算 .解： 例2：計算 . 分析 若直接應(yīng)用分部積分公式，則積分化得更復(fù)雜所以需要先用換元法。解： 令，則，于是 例3：計算 .解：.10微積分基本定理（1）變上限定積分：設(shè)函數(shù)在上可積， 則變上限定積分是上限變量的函數(shù)，稱為積分上限函數(shù)，記為： （2）微積分基本定理：若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為：。注： 定理揭示了微分與定積分這兩個定義不相干的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，稱它為微積分基本定理。 定理是在被積函數(shù)連續(xù)的條件下證得的，因而也就證明了“連續(xù)函數(shù)必存在

38、原函數(shù)”的結(jié)論。（3）原函數(shù)存在定理：若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)就是在區(qū)間 上的一個原函數(shù)。例1：設(shè) , 求 解：例2：求的導(dǎo)數(shù)。解： 交換積分上下限就得到了一個積分上限函數(shù)：，因此，=。例3： 求解： 例4：求 .解：11無窮區(qū)間上的廣義積分： 實際問題中我們常常會遇到積分區(qū)間為無窮區(qū)間的積分。要求出此面積，我們可以分兩步來完成：（1）先求出軸、軸、曲線和（）所圍成的曲邊梯形的面積由定積分的幾何意義有：；（2）求，如果該極限存在，則極限值便是我們所求的面積，即：。以上過程其實就是對函數(shù)在求了一種積分，我們稱這種積分為廣義積分。（1）在區(qū)間上的廣義積分為：，（），注：極限存在稱廣義積分收斂，否則稱廣義積分發(fā)散。（2）在區(qū)間上的廣義積分為：,