1、淺談初高中數(shù)學思想方法姓名：周穎學號：56幾千年的數(shù)學發(fā)展史告訴我們：數(shù)學思想方法存在和活躍在整個數(shù)學發(fā)展的進程之中，例如古希臘的亞里士多德與歐幾里得提出公理化方法，把大量的、零散的幾何知識系統(tǒng)化，最后成就了歐式幾何；中國古代數(shù)學家劉徽提出的“割圓術”，從而解決了長期以來圓周率不準確的問題，其中也包含著極限思想的萌芽，笛卡爾采用變量的思想方法來看幾何曲線，引進了坐標系，從而創(chuàng)立了代數(shù)方法研究幾何問題的新數(shù)學分支解讀幾何，牛頓、萊布尼茨提出了無窮小量的方法，創(chuàng)立了非歐幾何理論，并解決了兩千多年來幾十代數(shù)學家為之困擾的歐式幾何第五公設問題；希爾伯特別重視解題方法的研究，他曾在1900年巴黎國際數(shù)學

2、家大會上作了題為數(shù)學問題的演講，精辟地闡述了重大數(shù)學問題的特點及其在數(shù)學發(fā)展史中的作用，并列舉了23個重大數(shù)學問題，對推動20世紀數(shù)學的發(fā)展產生了巨大的影響，人們普遍認為這個演講本身就是一篇數(shù)學思想方法的重要著作。b5E2RGbCAP一、 數(shù)學思想方法隨著近代和現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展，數(shù)學方法論作為一門獨立的學科已經建立并有了相應的發(fā)展，其中最重要的標志之一就是出現(xiàn)了許多具有劃時代意義的數(shù)學思想方法，導致了數(shù)學基礎學科的重大變革。p1EanqFDPw1 數(shù)學思想方法的含義我們知道，數(shù)學發(fā)展的動力，無疑來自人類的生產實踐活動，而數(shù)學思想和數(shù)學方法是其中重要的因素。而數(shù)學思想是人們通過數(shù)學活動(包括發(fā)現(xiàn)、

3、研究數(shù)學知識、應用數(shù)學知識解決問題和教授與學習數(shù)學知識三項活動>認識世界的過程中所形成的基本觀點；數(shù)學思想方法是為數(shù)學活動提供的思路、方式、邏輯手段和操作原則。DXDiTa9E3d 這里所說的數(shù)學思想方法<廣義地講，任何數(shù)學知識都是思想方法）是貫穿于數(shù)學知識之中的微觀線索。思想方法以知識為基礎，隱含在知識之中，反過來又指導、促進知識的發(fā)展深化及向能力的轉化。方法是實施思想的手段，思想是對應方法的精神實質和理論依據(jù)。數(shù)學思想方法是數(shù)學的生命和靈魂，它具有普遍意義和永恒的價值。RTCrpUDGiT2 一般的數(shù)學思想方法數(shù)學的方法分為一般的思想方法和具體的方法<包括解題方法）有幾百

4、種之多，不多述。常見的一般的初高中數(shù)學思想方法如下：公理化方法化歸方法數(shù)學思想方法特殊化與一般化方法數(shù)形結合方法分類討論的思想方法 反證法（1） 公理化方法公理化方法是把某一數(shù)學分支的理論按照一組選定的公理進行序化的數(shù)學思想，相應的方法是建立演繹科學理論的一種方法，稱作公理化方法。5PCzVD7HxA在具體的研究工作中，公理化方法，特別是它的邏輯思維有著重要作用。如圖所示：定律或假設數(shù)學資料公理綜合公理觀察結果和實驗數(shù)據(jù)該圖表明，由“果”到“因”。即對所得的觀察材料，運用數(shù)學的公理推導方法，歸納出定律。由“因”到“果”如下圖所示。公 理定 理實驗 推理邏輯 演繹定律或假設結 論從基本假說或少數(shù)

5、定律出發(fā)，進行理論推導，看會推出哪些尚未觀測得到的或尚未發(fā)現(xiàn)過的現(xiàn)象，然后再用實驗去驗證。jLBHrnAILg例如：用公理化方法在整理數(shù)學知識，促進新理論的創(chuàng)立和對數(shù)學乃至其他科學理論的表述都有重要作用；用公理化方法可把零散的數(shù)學知識用邏輯鏈條串聯(lián)起來，使之成為一個簡潔的、條理的、和諧的有機體系，等等。xHAQX74J0X公理化思想方法具有重要作用，但我們也應該看到它有局限性。如：(1) 公理化方法重邏輯思維，輕實驗方法；主要用于“回顧性”總結，較少用于發(fā)現(xiàn)和“探索性”的展望。(2) 公理系統(tǒng)的相容性、獨立性和完備性要求，不僅在理論上常難以全部滿足，而且對于一些新興的數(shù)學分支以及生活實際有較密

6、切的研究，有可能起束縛作用。LDAYtRyKfE(3) 用公理化方法建立起來的理論體系未必正確或完全正確，它必須接受實踐的檢驗，才能去偽存真，否定錯誤并發(fā)展真理。Zzz6ZB2Ltk（2） 化歸方法 化歸方法就是把待求解的問題，通過某種轉化過程，歸結到一類已經解決或比較容易解決的問題，借此來獲得問題的解決。dvzfvkwMI1 化歸方法又稱化歸原則，是數(shù)學方法論中的基本方法之一，是數(shù)學家思考和解決問題的基本原則。為了更好地把握化歸的方向，我們必須遵循一些化歸的基本原則。rqyn14ZNXI1.熟悉化原則熟悉就是把我們所遇到的“陌生”問題轉化為我們較為“熟悉”的問題，以便利用已有的知識和經驗，使

7、問題得到解決。這也是我們常說的通過“舊知”解決“新知”。學習是新舊知識相互聯(lián)系、相互影響的過程。奧蘇伯爾說，影響學習的最重要的因素是學生已知的內容。在教案的應用策略中，他提出了設計“先行組織者”的做法，也就是在學生“已經知道的知識”和“需要知道的知識”之間架起橋梁。這樣有利于學生解決問題。EmxvxOtOco例1現(xiàn)有邊長相等的正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形形狀的地磚，如果選擇其中的兩種鋪滿平整的地面，那么選擇的兩種地磚不能是< ）SixE2yXPq5A 正三角形與正方形 B 正三角形與正六邊形C 正方形與正六邊形 D 正方形與正八邊形6ewMyirQFL分析：平面鑲嵌問題符合當前新

8、課程改革的新理念，在近年的中考命題中已引起人們的關注。這看似是一個幾何問題，但我們可以將它轉化成我們熟悉的方程問題來解決。如：A中正三角形的內角是60°、正方形的內角是90°，設x個正三角形和y個正方形可以鋪滿地面，則x×60°+y×90°=360°，找到二元一次方程的正整數(shù)解即可。這樣我們可以發(fā)現(xiàn)對于C選項而言，由于x×90°+y×120°=360°沒有正整數(shù)解，故選C。kavU42VRUs再如：我們在解二元一次方程組的時候總是通過“代入法”或“加減法”把二元一次方程組轉化

9、為一元一次方程來解決。y6v3ALoS892.簡單化原則簡單化原則就是把比較復雜的問題轉化為比較簡單的易于確定解決方案的問題，從而使問題獲解。中學數(shù)學受多年應試教育的影響，有些問題被復雜化了，而學生對于這類問題卻又相當頭疼，所以通過化歸，將問題變?yōu)楸容^簡單的形式、關系結構，或者通過問題的簡單化，獲得解決復雜問題的思路，往往更容易讓學生接受。M2ub6vSTnP3.具體化原則具體化就是把比較抽象的問題轉化為比較具體、直觀的問題，以便形象地把握問題所涉及的各個對象之間的關系，使問題易于求解。新課程標準提出：數(shù)學教案要緊密聯(lián)系生活實際，注重探索和合作，由具體到抽象。但絕不是只要讓學生直觀感受,滿足于

10、具體的現(xiàn)象而忽視問題的本質。對于抽象的關系,可以讓學生對一些具體的關系進行觀察、比較、分析、歸納,逐步提高他們的思維的能力。0YujCfmUCw4.極端化原則在數(shù)學中有很多“極端”情況。例如：點是圓的半徑為零的極端情況；切線是割線的極端情況等。在解決有些數(shù)學問題時，常能從對問題的“極端”情況的考察<即對特例的分析）中獲得有益的啟示。所謂極端化原則就是運用極端化位置或狀態(tài)的特性引出一般位置或狀態(tài)下的特性，從而獲得解決問題的思路。這也是我們常說的從一般到特殊再到一般。eUts8ZQVRd例2.兩人輪流在一張圓桌上擺放大小相同的硬幣，每次只能平放一個，不能重疊，在桌上放下最后一枚硬幣者為游戲的

11、勝利者。試問：先放者取勝，還是后放者取勝？sQsAEJkW5T分析：我們先考慮極端情形。假設桌面恰好與硬幣一樣大，則先擺者必勝，只要將硬幣擺放在桌子的中心即可。從極端情形中我們可以獲得啟示：先擺的人可以把第一枚硬幣占據(jù)桌子的中心，由于桌面是中心對稱，以后不論對方把硬幣放于何處，先擺的人總把硬幣擺在與其成中心對稱的位置，故先擺者必勝。GMsIasNXkA5.和諧化原則所謂“和諧”指的是配合得適當和勻稱。和諧化原則就是在對問題進行化歸時，要注意把條件和結論的表現(xiàn)形式轉化為更具數(shù)、式與形內部固有的和諧統(tǒng)一特點的形式，以幫助我們去確定解決問題的方法。TIrRGchYzg（3） 特殊化與一般化方法<

12、;歸納法）1 特殊化方法對于一個具有一般對象的問題，從簡單情況或特殊對象入手，尋求思路和方法予以解決，這種方法稱之為特殊化方法。7EqZcWLZNX對于一個一般的、抽象性問題，其中的對象、因素、概念、結構比較復雜，它們的關系比較隱蔽，由條件到達結論的途徑不清晰。這時，往往從特殊情況入手，用特殊化的方法探索解題的思路和途徑，并選擇突破口，進而解決一般問題。lzq7IGf02E特殊化方法不僅是解題，檢驗問題的重要方法，而且還是探索規(guī)律進行創(chuàng)造性思維的有效工具，歷來被數(shù)學家所推崇。zvpgeqJ1hk2.一般化方法對于一個不易解決的特殊命題，將之一般化，即從考慮一個對象過渡到考慮包含該對象的一個集合

13、；或者考慮一個較小集合過渡到考慮一個包含該較小集合的更大集合，然后先解決一般情形的技巧、方法或者結果應用到特殊命題上，最后獲得特殊命題解決，這種思想方法稱之為一般化方法。NrpoJac3v1利用一般化方法解決問題通常有三種類型：1. 直接把特殊命題擴廣為包含這一特殊情況的一般命題，利用一般命題的現(xiàn)成結論直接還原回去就得到解答；2. 做出拓廣后，利用一般命題的性質去解決特殊問題3. 做出拓廣后，利用一般問題的解答思路去探討解決特殊問題的思路。特殊和一般是辯證統(tǒng)一的。從一般到特殊的演繹法，從一般到特殊的歸納法以及從特殊到特殊的類比法等，運用巧了，能獲得新的成果，乃至完成重要的發(fā)現(xiàn)。1nowfTG4

14、KI這里談及的歸納法和類比法是數(shù)學方法論中最基本的方法。其作用如圖所示：從具體問題具體材料出發(fā)實驗類比歸納聯(lián)想推廣預見形成普遍問題證明<4）數(shù)形結合方法所謂數(shù)形結合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結合，常與以下內容有關：<1）實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系；<2）函數(shù)與圖象的對應關系；<3）曲線與方程的對應關系；<4）以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如復數(shù)、三角函數(shù)等；<5）所給的等式或代數(shù)式的結構含有明顯的幾何意義。如等式 。fjnFLDa5Zo 數(shù)形結合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和解不等式

15、問題中，在求函數(shù)的值域、最值問題中，在求復數(shù)和三角函數(shù)解題中，運用數(shù)形結思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。 tfnNhnE6e5 一、解決集合問題：在集合運算中常常借助于數(shù)軸、Venn圖來處理集合的交、并、補等運算，從而使問題得以簡化，使運算快捷明了。 HbmVN777sL二、解決函數(shù)問題：借助于圖象研究函數(shù)的性質是一種常用的方法。函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征緊密結合，體現(xiàn)了數(shù)形結合的特征與方法。 V7l4jRB8Hs三、解決方程與不等式的問題：處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個函數(shù)圖象的交點問題；處理不等式時，從題目的條件與結論出發(fā)，聯(lián)系相關

16、函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。 83lcPA59W9四、解決三角函數(shù)問題：有關三角函數(shù)單調區(qū)間的確定或比較三角函數(shù)值的大小等問題，一般借助于單位圓或三角函數(shù)圖象來處理，數(shù)形結合思想是處理三角函數(shù)問題的重要方法。 mZkklkzaaP五、解決線性規(guī)劃問題：線性規(guī)劃問題是在約束條件下求目標函數(shù)的最值的問題。從圖形上找思路恰好就體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的應用。 AVktR43bpw六、解決數(shù)列問題：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項公式以及前n項和公式可以看作關于正整數(shù)n的函數(shù)。用數(shù)形結合的思想研究數(shù)列問題是借助函數(shù)的圖象進行直觀分析，從而把數(shù)列的有關問題轉化為函數(shù)的有關問題來解決。 O

17、RjBnOwcEd七、解決立體幾何問題：立體幾何中用坐標的方法將幾何中的點、線、面的性質及其相互關系進行研究，可將抽象的幾何問題轉化純粹的代數(shù)運算。2MiJTy0dTT八、解決解讀幾何問題：解讀幾何的基本思想就是數(shù)形結合，在解題中善于將數(shù)形結合的數(shù)學思想運用于對點、線、曲線的性質及其相互關系的研究中。gIiSpiue7A<5） 分類討論的思想方法分類討論思想是指在解決一個問題時，無法用同一種方法去解決，而需要一個標準將問題劃分成幾個能用不同形式去解決的小問題，將這些小問題加以解決，從而使問題得到解決,這就是分類討論思想。 uEh0U1Yfmh當我們所研究的各種對象之間過于復雜或涉及范圍比

18、較廣泛時，我們大多采取分類討論的方法進行解決，即對問題中的各種情況進行分類，或對所涉及的范圍進行分割，然后分別研究和求解。分類討論解題的實質，是將整體問題化為部分問題來解決,以增加題設條件。分類討論的原則是不重復、不遺漏。討論的方法是逐類進行，還必須要注意綜合討論的結果，以使解題步驟完整。IAg9qLsgBX分類討論一方面可將復雜的問題分解成若干個簡單的問題，另一方面恰當?shù)姆诸惪杀苊鈦G值漏解，從而提高全面考慮問題的能力，提高周密嚴謹?shù)臄?shù)學教養(yǎng)。WwghWvVhPE近年來，在各地中考試卷中涉及“分類討論”的問題十分常見，因為這類試卷不僅考查我們的數(shù)學基本知識與方法，而且考查了我們思維的深刻性。在

19、解決此類問題時，因考慮不周全導致失分的較多，究其原因主要是平時的學習中，尤其是在中考復習時，對“分類討論”的數(shù)學思想滲透不夠.個人水平太低。asfpsfpi4k<6）反證法反證法是“間接證明法”一類，是從反面的角度的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而得出矛盾。法國數(shù)學家阿達瑪(Hadamard>對反證法的實質作過概括：“若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾”。具體地講，反證法就是從反論題入手，把命題結論的否定當作條件，使之得到與條件相矛，肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。 ooeyYZTjj1在應用反證法證題時，一定要用到“反設”，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結論成立，這種證法又叫“窮舉法”。BkeGuInkxI反證法在數(shù)學中經常運用。當論題從正面不容易或不能得到證明時，就需要運用反證法，此即所謂"正難則反"。二、 數(shù)學思想來自于數(shù)學思維我們知道，數(shù)學思維是人腦和數(shù)學對象交互作用并按照一般的思維規(guī)律認識數(shù)學本質和規(guī)律的理性活動。具體來說，數(shù)學思維就是以“數(shù)”和“形”及其結構關系為思維對象，以數(shù)學語言和符號為思維的載體，并以認識發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律為目的的一