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文檔簡介
1、A Hungerfords AlgebraSolutions ManualVolume I: Introduction through Chapter IVJames WilsonD4I2ha , bi2hbiha bi2hai ha , abi23ha ihabi ha bi00 = C0(G) 0 = Gn 0 = n+1GCommutative RingC1(G)Cn1(G)G1Cn(G) = G G0 = G 1G = GIIGn1nG2GCLocal RingFieldCUnique Factorization DomainIntegral DomainIIIPrincipal Id
2、eal DomainUnital RingRingSkew FieldPrincipal Ideal RingEuclidean Domain· · · · · · · · · ·Euclidean Ring=00ABCIV· · · · · · · · · ·=A0B0C000· · · · · · · ·
3、3; ·Published: April 20, 2003?c 2002-2003. James WilsonUniversity of Oregon, Portland State University.3234 SE Spruce St. Hillsboro OR 97123 James.WilsonWritten with LATEX 2.Please Recycle when finished.ContentsPrerequisites and Preliminaries11111112131414151517171819192021222223232526272727282
4、8282929303031323233333334353636373738.7The Axiom of Choice, Order and Zorns Lemma . . . . . . . . . .7.1Lattice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2Complete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.3Well-ordering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5、.7.4Choice Function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.5Sexicographic Order. . . . . . . . . . . . . . . . . .7.6Projections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.7Successors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Cardinal Numbers . . . . . . . . . . . . . .
6、 . . . . . . . . . . . .......12Pigeon-Hole Principle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Cardinality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Countable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Cardinal Arithmetic. . . . . . . . .
7、 . . . . . . . . . . . . .Cardinal Arithmetic Properties. . . . . . . . . . . . . . . .Finite Cardinal Arithmetic. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Cardinal Order. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Countable Subsets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Cantors Diagonalization Met
8、hod. . . . . . . . . . . . . . .Cardinal Exponents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Unions of Finite Sets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Fixed Cardinal Unions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .IGroupsI.1Semigroups, Monoids, and Groups . . . . . . . . . . . . . . . . .I.1.1I.1
9、.2I.1.3I.1.4I.1.5I.1.6I.1.7I.1.8I.1.9I.1.10I.1.11I.1.12I.1.13I.1.14I.1.15I.1.16Non-group Objects. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Groups of Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Floops. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .D4 Table. . . . . . . . . . . . . .
10、. . . . . . . . . . . . . .Order of Sn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Klein Four Group. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Z×p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Q/Z Rationals Modulo One. . . . . . . . . . . . . . . . .Rational Subgroups. .
11、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .PruferGroup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Abelian Relations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Cyclic Conjugates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Groups of Involutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Involutions
12、in Even Groups. . . . . . . . . . . . . . . . . .Cancellation in Finite Semigroups. . . . . . . . . . . . . .n-Product. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I.2Homomorphisms and Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . .I.2.1Homomorphisms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13、 .I.2.2Abelian Automorphism. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I.2.3Quaternions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I.2.4D4 in R2×2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3383939394040414141424244444445474748484848494951525253535354545555565657575858585860606061616
14、1626262626363636464656565I.2.5I.2.6I.2.7I.2.8I.2.9I.2.10I.2.11I.2.12I.2.13I.2.14I.2.15I.2.16I.2.17I.2.18I.2.19Subgroups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Finite subgroups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15、Subgroups of Sn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Subgroups and Homomorphisms. . . . . . . . . . . . . .Z2 Z2 lattice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Center. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Generators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16、 . .Cyclic Images. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Cyclic Groups of Order 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Automorphisms of Zn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Generators of PruferGroup. . . . . . . . . . . . . . . . . .Join of Abelian Groups. . . . . . . . . . . . . . . .
17、 . . . .Join of Groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Subgroup Lattices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I.3Cyclic Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I.3.1I.3.2I.3.3I.3.4I.3.5I.3.6I.3.7I.3.8I.3.9I.3.10Order of Elements. . . . . . . . . . . . .
18、 . . . . . . . . . .Orders in Abelian Groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Zpq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Orders under Homomorphisms. . . . . . . . . . . . . .Element Orders. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Cyclic Elements. . . . . . . . . . . . .
19、. . . . . . . . . . .PruferGroup Structure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Finite Groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Torsion Subgroup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Infinite Cyclic Groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I.4Cosets and Counting . . . .
20、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I.4.1I.4.2I.4.3I.4.4I.4.5I.4.6I.4.7I.4.8I.4.9I.4.10I.4.11I.4.12I.4.13I.4.14Cosets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Non-normal Subgroups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .p-groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21、.Little Theorem of Fermat. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Groups of Order 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Join. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .p-group Complex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .HK-subgroup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22、. . . . .Subgroups and the Complex. . . . . . . . . . . . . . . . .Identifying Subgroups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Groups of order 2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Join and Intersect. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pq-groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23、. . . . . . . . .Quaternion Presentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . .I.5Normality, Quotient Groups, and Homomorphisms . . . . . . . .I.5.1I.5.2I.5.3I.5.4I.5.5I.5.6I.5.7I.5.8I.5.9I.5.10I.5.11I.5.12I.5.13I.5.14I.5.15I.5.16I.5.17Index 2 Subgroups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Normal
24、 Intersections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Normal and Congruence. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Congruence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Normality in Sn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Conjugate Subgroups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Unique
25、 Subgroups Are Normal. . . . . . . . . . . . . . . .Normality in Q8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Center of Sn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Normality is Not Transitive. . . . . . . . . . . . . . . . . .Normal Cyclic Subgroups. . . . . . . . . . . . . . . . . . .F
26、initely Generated. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Normal Subgroup Lattice. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Quotient Products. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Normal Extension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Abelianization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27、 . . . .Integer Quotients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4CONTENTS66666768696969697070707171727273737376767677777878798081818182828383848484858586868687878989899091929293949596979899I.5.18 Homomorphic Pre-image. . . . . . . . . . . . . . . . . . .I.5.19 Locating Finite Kernels. . . . .
28、. . . . . . . . . . . . . . .I.5.20 Locating Finite Subgroups. . . . . . . . . . . . . . . . . .I.5.21 PruferQuotients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Symmetric, Alternating, and Dihedral Groups . . . . . . . . . . .I.6I.6.1I.6.2I.6.3I.6.4I.6.5I.6.6I.6.7I.6.8I.6.9I.6.10I.6.11I.6.12Latt
29、ice of S4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Sn generators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Permutation Conjugates. . . . . . . . . . . . . . . . . . .More Sn Generators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Permutation Conjugation. . . . . . . . . . . . . . . . . .
30、 .Index 2 subgroups of Sn. . . . . . . . . . . . . . . . . . .A4 is not Simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A4 is not solvable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Matrix Form of Dn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Dn is Meta-cyclic. . . . . . . . . . . . . . . . .
31、 . . . . . .Normality in Dn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Center of Dn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I.6.13Dn representation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I.7Categories: Products, Coproducts, andObjects . . . . . . .I.7.1Pointed Sets. . . . . . . . .
32、 . . . . . . . . . . . . . . . . .I.7.2Equivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I.7.3Direct Product. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I.7.4Group Coproduct. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I.7.5Set Coproduct. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33、.I.7.6Products of Pointed Sets. . . . . . . . . . . . . . . . . . .I.7.7Inclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I.7.8Basis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I.8Direct Products and Direct Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . .I.8.1I.8.2I.8.3I.8.4I.8.5I.8.6I.8.7I.
34、8.8I.8.9I.8.10I.8.11Non-Product Groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Product Decomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Split Extension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Weak Product. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Cyclic Products. . . . . . . . . . .
35、 . . . . . . . . . . . . .p-order Element Groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Internal Product. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Product Quotients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Weak Product. . . . . . .
36、. . . . . . . . . . . . . . . . . .Counterexamples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I.9Groups,Products, Generators & Realtions . . . . . . .I.9.1Elements ofGroups. . . . . . . . . . . . . . . . . . .I.9.2CyclicGroup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I.9.3. . . . . . . . . .
37、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I.9.4Q16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .The Structure of GroupsIIII.1Abelian Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .II.1.1 mA groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .II.1.2 Linear Indepedence.
38、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .II.1.3 Commutators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .II.1.4-Abelian Groups and Torsion. . . . . . . . . . . . . .II.1.5 Non-, Torsion-Groups. . . . . . . . . . . . . . . .II.2 II.3 II.4 II.5 II.6 II.7 II.8Finitely Generated Abelian Groups . . .
39、 . . . . . . . . . . . . . .The Krull-Schmidt Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .The Action of a Group on a Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . .The Sylow Theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Classification of Finite Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .N
40、ilpotent and Solvable Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Normal and Subnormal Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . .CONTENTS5IIIRings10110110110210210210310310310410410510510510510610710710710911011111311311311411511511611611611711911912012112312312312512612712812913113113113213313413
41、5136137138139140III.1Rings and Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .III.1.1Ideals III.2.1 III.2.2 III.2.3 III.2.4 III.2.5 III.2.6 III.2.7 III.2.8 III.2.9Quaternion Group Ring vs. Division Ring. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .The Lit
42、tle Radical Ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Radical Ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .The Annihilator Ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .The “Idealizer”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Division Rings have no Left Ideals. . . . . . . . . .
43、. . . .Nilpotent Factor Ring. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Homomorphic Image of Ideals. . . . . . . . . . . . . . . .Prime Ideal in Zero-Divisors. . . . . . . . . . . . . . . . .al Ideals in Non-Unital Rings. . . . . . . . . . . . .III.2III.2.10 Prime/al Ideals in Z/mZ. . . . . . . . . . .
44、 . . . . .III.2.11 Prime Decomposition of Integer Rings. . . . . . . . . . . .III.2.12 Limitation ofRemainder Theorem. . . . . . . . .III.3Factorization in Commutative Rings . . . . . . . . . . . . . . . .III.3.1al and Prime Principal Ideals. . . . . . . . . . . . .III.3.2 Irreducible Non-Prime Elem
45、ents. . . . . . . . . . . . . . .III.4 III.5 III.6Rings of Quotients and Localization . . . . . . . . . . . . . . . .Rings of Polynomials and Formal Power Series . . . . . . . . . .Factorization in Polynomial Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . .IVModulesIV.1Modules, Homomorphisms, and Exact Seq
46、uences . . . . . . . .Z/nZ Modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Monic/Epic Morphisms of Modules. . . . . . . . . . . . . .R/I-Modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Unitary Cyclic Modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Schurs Lemma. . . . . . . . . . . .
47、. . . . . . . . . . . .Finitely Generated Modules. . . . . . . . . . . . . . . . .Hom and Endomorphisms. . . . . . . . . . . . . . . . . .Module Products and Sums. . . . . . . . . . . . . . . . .Idempotent and Splitting Maps. . . . . . . . . . . . . . . .IV.1.1IV.1.2IV.1.3IV.1.4IV.1.5IV.1.6IV.1.7IV.
48、1.8IV.1.9IV.1.10 Split Decomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .IV.1.11 5-Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .IV.1.12 Unitary Separation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .IV.2Modules and Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . .IV.2.1 Quotient Mod
49、ules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .IV.2.2 Non-trivial Automorphisms of Groups. . . . . . . . . . . .Projective and Injective Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . .Hom and Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . .
50、 . . . . . . . . . .Modules over a Prinicpal Ideal Domain . . . . . . . . . . . . . . .Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .IV.3 IV.4 IV.5 IV.6 IV.7VFields and Galois TheoryV.1Field Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .V.1.1 Extension Deg
51、rees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .V.1.2 Transcendental Dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . .V.2V.3V.4V.5V.6V.7V.8V.9The Fundamental Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Splitting Fields, Algebraic Closure and Normality . . . . . . . . .The Galois Group of a Polynomial
52、 . . . . . . . . . . . . . . . . .Finite Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Separability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Cyclic Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Cyclotomic Extensions . . . . . . . . . . . . . .
53、. . . . . . . . . .Radical Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6CONTENTSVI The Structure of Fields141VII Linear Algebra143VIIICommutative Rings and Modules145IXThe Structure of Rings147XCategories149X.1 Functors and Natural Transformations. . . . . . . . . . . . . . . 149X.
54、1.1 Example Functors149X.1.2 Functor Image151X.2 Adjoint Functors152X.3 Morphisms153AHeuristicsA.1 Needle in the HaystackA.2 Principle of Refinement155. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155BSyntax and Usage159B.1 Lattices159CONTENTS78CONTEN
55、TS.Hungerfords exposition is clear enough that aage graduatecanthe text on his own and understand most of it. .and almost every section is followed by a long list of exercises of varying degrees of difficulty. .American Mathematical Monthly.Anyone who has endured a 600 level Algebra course using Hunger
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