1、數(shù)學(xué)校本課程開發(fā)方案目標(biāo)：以貼近生活實際、加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用為宗旨，針對數(shù)學(xué)這門課的特點，從生活中挖掘數(shù)學(xué)，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決有關(guān)問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的觀察，分析能力，充分發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性，開發(fā)學(xué)生自身的潛能，并且加強(qiáng)對學(xué)生的動手操作能力的訓(xùn)練，鼓勵學(xué)生能夠展示自己的研究成果，培養(yǎng)學(xué)生的成功心態(tài)，使學(xué)生的心理得到健康的發(fā)展，使每位學(xué)生的能力得到充分體現(xiàn)。內(nèi)容：讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)可發(fā)生在我們的周圍，我們的生活空間是無窮的數(shù)學(xué)世界，在課堂上多設(shè)情景，應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，讓他們充分發(fā)揮自己的創(chuàng)造性，感受到數(shù)學(xué)的樂趣，在愉快、輕松的學(xué)習(xí)過程中掌握數(shù)學(xué)知識，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，

2、觀察事物的能力，形成正確的人生觀、價值觀。開發(fā)人員：李明良 梁曉輝 李文文 宋洪軍孫蕾 曾憲秀 王永秀參加人員：高一一班學(xué)生實施時間：星期三第四節(jié)實施方式：教室管理與評價：課程評價可分為課程本身評價、教師授課評價和學(xué)生學(xué)習(xí)評價。課程本身評價主要指對課程綱要的評價，包括課程目標(biāo)是否與學(xué)校教育目標(biāo)相符，課程是否有利于學(xué)生的發(fā)展等。教師授課評價主要是對教師教學(xué)過程的評價。學(xué)生學(xué)習(xí)評價主要對學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，知識與技能等方面取得的成績做出評價。評價方法有觀察、調(diào)查、測驗、學(xué)習(xí)成果展示等。2 / 57課程實施計劃目標(biāo)：探索中鞏固所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察，善于聯(lián)想，善于將問題轉(zhuǎn)化培養(yǎng)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)

3、，熱愛生活，將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于生活實際的能力探索講授內(nèi)容：第一章：變通性思維的培養(yǎng)，第二章：反思性思維的培養(yǎng)第三章：嚴(yán)密性思維的培養(yǎng)，第四章：開闊性思維的培養(yǎng)，第五章：數(shù)學(xué)解題思維過程時間安排： 每周三第四節(jié)中學(xué)校本課程課程名稱：數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)開發(fā)人： 學(xué)科： 數(shù)學(xué)第一章 數(shù)學(xué)思維的變通性一、概念數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識，提出靈活的設(shè)想和解題方案。根據(jù)數(shù)學(xué)思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進(jìn)行以下幾個方面的訓(xùn)練： （1）善于觀察（2）善于聯(lián)想（3）善于將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化（1）觀察能力的訓(xùn)練任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的

4、數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對題目進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。雖然觀察看起來是一種表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)。所以，必須重視觀察能力的訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，采用特殊方法來解題。例1 已知都是實數(shù)，求證 思路分析 從題目的外表形式觀察到，要證的結(jié)論的右端與平面上兩點間的距離公式很相似，而xyO圖121左端可看作是點到原點的距離公式。根據(jù)其特點，可采用下面巧妙而簡捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)。證明 不妨設(shè)如圖121所示，則 在中，由三角形三邊之間

5、的關(guān)系知： 當(dāng)且僅當(dāng)O在AB上時，等號成立。 因此， 例2 已知，試求的最大值。解 由 得又當(dāng)時，有最大值，最大值為思路分析 要求的最大值，由已知條件很快將變?yōu)橐辉魏瘮?shù)然后求極值點的值，聯(lián)系到，這一條件，既快又準(zhǔn)地求出最大值。上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的變通性。例3 已知二次函數(shù)滿足關(guān)系，試比較與的大小。xyO2圖122思路分析 由已知條件可知，在與左右等距離的點的函數(shù)值相等，說明該函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，又由已知條件知它的開口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致圖像簡捷地解出此題。解 （如圖122）由，知是以直線為對稱軸，開口向上的拋物線它與距離越近的點，函數(shù)值越小。（2）聯(lián)想能力的

6、訓(xùn)練聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問題和基礎(chǔ)知識的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運用有關(guān)知識，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入。例如，解方程組.這個方程指明兩個數(shù)的和為，這兩個數(shù)的積為。由此聯(lián)想到韋達(dá)定理，、是一元二次方程 的兩個根，所以或.可見，聯(lián)想可使問題變得簡單。例4 在中，若為鈍角，則的值(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能確定思路分析 此題是在中確定三角函數(shù)的值。因此，聯(lián)想到三角函數(shù)正切的兩角和公式可得下面解法。解 為鈍角，.在中且故應(yīng)選擇（B）例5 若思路分析 此題一般是通過因式分解

7、來證。但是，如果注意觀察已知條件的特點，不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。于是，我們聯(lián)想到借助一元二次方程的知識來證題。證明 當(dāng)時，等式 可看作是關(guān)于的一元二次方程有等根的條件，在進(jìn)一步觀察這個方程，它的兩個相等實根是1 ，根據(jù)韋達(dá)定理就有： 即 若，由已知條件易得 即,顯然也有.例6 已知均為正實數(shù),滿足關(guān)系式,又為不小于的自然數(shù)，求證:思路分析 由條件聯(lián)想到勾股定理,可構(gòu)成直角三角形的三邊，進(jìn)一步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。證明 設(shè)所對的角分別為、則是直角，為銳角，于是 且當(dāng)時，有于是有即 從而就有 （3）問題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練數(shù)學(xué)家G . 波利亞在怎樣解題中說過：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變

8、換?？梢?，解題過程是通過問題的轉(zhuǎn)化才能完成的。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題。在解題時，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。例如，已知,求證、三數(shù)中必有兩個互為相反數(shù)。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化使問題變得熟悉、簡單。要證的結(jié)論，可以轉(zhuǎn)化為：思維變通性的對立面是思維的保守性，即思維定勢。思維定勢是指一個人用同一種思維方法解決若干問題以后，往往會用同樣的思維方法解決以后的問題。它表現(xiàn)就是記類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。綜上所述，善于

9、觀察、善于聯(lián)想、善于進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思維變通性的具體體現(xiàn)。要想提高思維變通性，必須作相應(yīng)的思維訓(xùn)練。 轉(zhuǎn)化成容易解決的明顯題目 例11 已知求證、中至少有一個等于1。思路分析 結(jié)論沒有用數(shù)學(xué)式子表示，很難直接證明。首先將結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式。、中至少有一個為1，也就是說中至少有一個為零，這樣，問題就容易解決了。證明 于是 中至少有一個為零，即、中至少有一個為1。思維障礙 很多學(xué)生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個為1，其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學(xué)式子，把陌生問題變?yōu)槭煜栴}。因此，多練習(xí)這種“翻譯”，是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段。

10、例12 直線的方程為，其中；橢圓的中心為，焦點在軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的一個頂點為，問在什么范圍內(nèi)取值時，橢圓上有四個不同的點，它們中的每一點到點的距離等于該點到直線的距離。思路分析 從題目的要求及解析幾何的知識可知，四個不同的點應(yīng)在拋物線 （1）是，又從已知條件可得橢圓的方程為 （2）因此，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)方程組（1）、（2）有四個不同的實數(shù)解時，求的取值范圍。將（2）代入（1）得： （3）確定的范圍，實際上就是求（3）有兩個不等正根的充要條件，解不等式組： 在的條件下，得本題在解題過程中，不斷地把問題化歸為標(biāo)準(zhǔn)問題：解方程組和不等式組的問題。 逆向思維的訓(xùn)練逆向思維不是按習(xí)慣思維方向

11、進(jìn)行思考，而是從其反方向進(jìn)行思考的一種思維方式。當(dāng)問題的正面考慮有阻礙時，應(yīng)考慮問題的反面，從反面入手，使問題得到解決。例13 已知函數(shù)，求證、中至少有一個不小于1.思路分析 反證法被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，它也是中學(xué)數(shù)學(xué)常用的解題方法。當(dāng)要證結(jié)論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時，一般可考慮采用反證法。證明 （反證法）假設(shè)原命題不成立，即、都小于1。則 得 ，與矛盾，所以假設(shè)不成立，即、中至少有一個不小于1。 一題多解訓(xùn)練 由于每個學(xué)生在觀察時抓住問題的特點不同、運用的知識不同，因而，同一問題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”。通過一題多解訓(xùn)練，可使學(xué)生認(rèn)真觀察、多方聯(lián)想

12、、恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)思維的變通性。例14 已知復(fù)數(shù)的模為2，求的最大值。解法一（代數(shù)法）設(shè)解法二（三角法）設(shè)yxOi-2i圖123Z則 解法三（幾何法）如圖123 所示，可知當(dāng)時，解法四（運用模的性質(zhì)）而當(dāng)時，解法五（運用模的性質(zhì)） 又第二章 數(shù)學(xué)思維的反思性一、概述數(shù)學(xué)思維的反思性表現(xiàn)在思維活動中善于提出獨立見解，精細(xì)地檢查思維過程，不盲從、不輕信。在解決問題時能不斷地驗證所擬定的假設(shè)，獲得獨特的解決問題的方法，它和創(chuàng)造性思維存在著高度相關(guān)。本講重點加強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性的訓(xùn)練，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維。二、思維訓(xùn)練實例(1) 檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯誤。 例1 已知，若求的范圍。錯誤解

13、法 由條件得 2得 2得 則 +得 錯誤分析 采用這種解法，忽視了這樣一個事實：作為滿足條件的函數(shù)，其值是同時受制約的。當(dāng)取最大（?。┲禃r，不一定取最大（小）值，因而整個解題思路是錯誤的。正確解法 由題意有解得：把和的范圍代入得 在本題中能夠檢查出解題思路錯誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。只有牢固地掌握基礎(chǔ)知識，才能反思性地看問題。例2 證明勾股定理：已知在中，求證錯誤證法 在中，而，即錯誤分析 在現(xiàn)行的中學(xué)體系中，這個公式本身是從勾股定理推出來的。這種利用所要證明的結(jié)論，作為推理的前提條件，叫循環(huán)論證。循環(huán)論證的錯誤是在不知不覺中產(chǎn)生的，而且不易發(fā)覺。因此，在學(xué)習(xí)中對所學(xué)的每個公

14、式、法則、定理，既要熟悉它們的內(nèi)容，又要熟悉它們的證明方法和所依據(jù)的論據(jù)。這樣才能避免循環(huán)論證的錯誤。發(fā)現(xiàn)本題犯了循環(huán)論證的錯誤，正是思維具有反思性的體現(xiàn)。 (2) 驗算的訓(xùn)練驗算是解題后對結(jié)果進(jìn)行檢驗的過程。通過驗算，可以檢查解題過程的正確性，增強(qiáng)思維的反思性。例3 已知數(shù)列的前項和，求錯誤解法 錯誤分析 顯然，當(dāng)時，錯誤原因，沒有注意公式成立的條件是因此在運用時，必須檢驗時的情形。即：例4 實數(shù)為何值時，圓與拋物線有兩個公共點。錯誤解法 將圓與拋物線 聯(lián)立，消去，得 因為有兩個公共點，所以方程有兩個相等正根，得 解之，得錯誤分析 （如圖221；222）顯然，當(dāng)時，圓與拋物線有兩個公共點。x

15、yO圖222xyO圖221要使圓與拋物線有兩個交點的充要條件是方程有一正根、一負(fù)根；或有兩個相等正根。當(dāng)方程有一正根、一負(fù)根時，得解之，得因此，當(dāng)或時，圓與拋物線有兩個公共點。思考題：實數(shù)為何值時，圓與拋物線，（1） 有一個公共點；（2） 有三個公共點；（3） 有四個公共點；（4） 沒有公共點。養(yǎng)成驗算的習(xí)慣，可以有效地增強(qiáng)思維反思性。如：在解無理方程、無理不等式；對數(shù)方程、對數(shù)不等式時，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會發(fā)生變化，這樣就有可能產(chǎn)生增根或失根，因此必須進(jìn)行檢驗，舍棄增根，找回失根。(3) 獨立思考，敢于發(fā)表不同見解受思維定勢或別人提示的影響，解題時盲目附和，不能提出

16、自己的看法，這不利于增強(qiáng)思維的反思性。因此，在解決問題時，應(yīng)積極地獨立思考，敢于對題目解法發(fā)表自己的見解，這樣才能增強(qiáng)思維的反思性，從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。例5 解方程考察方程兩端相應(yīng)的函數(shù)，它們的圖象無交點。所以此方程無解。例6 設(shè)是方程的兩個實根，則的最小值是（ ）思路分析 本例只有一個答案正確，設(shè)了3個陷阱，很容易上當(dāng)。利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得：有的學(xué)生一看到，常受選擇答案（A）的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思性的體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個選擇答案的來源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答案。原方程有兩個實根，當(dāng)時，的最小值是8；當(dāng)時，的最小值是18；這時就可以作出正確

17、選擇，只有（B）正確。第三章 數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性一、概述在中學(xué)數(shù)學(xué)中，思維的嚴(yán)密性表現(xiàn)為思維過程服從于嚴(yán)格的邏輯規(guī)則，考察問題時嚴(yán)格、準(zhǔn)確，進(jìn)行運算和推理時精確無誤。數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象性和精密邏輯性的科學(xué)，論證的嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)的根本特點之一。但是，由于認(rèn)知水平和心里特征等因素的影響，中學(xué)生的思維過程常常出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：概念模糊 概念是數(shù)學(xué)理論體系中十分重要的組成部分。它是構(gòu)成判斷、推理的要素。因此必須弄清概念，搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎(chǔ)。概念不清就容易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯誤。判斷錯誤 判斷是對思維對象的性質(zhì)、關(guān)系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種思維形式。

18、數(shù)學(xué)中的判斷通常稱為命題。在數(shù)學(xué)中，如果概念不清，很容易導(dǎo)致判斷錯誤。例如，“函數(shù)是一個減函數(shù)”就是一個錯誤判斷。推理錯誤 推理是運用已知判斷推導(dǎo)出新的判斷的思維形式。它是判斷和判斷的聯(lián)合。任何一個論證都是由推理來實現(xiàn)的，推理出錯，說明思維不嚴(yán)密。例如，解不等式解 或 這個推理是錯誤的。在由推導(dǎo)時，沒有討論的正、負(fù)，理由不充分，所以出錯。二、思維訓(xùn)練實例思維的嚴(yán)密性是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。訓(xùn)練的有效途徑之一是查錯。(1) 有關(guān)概念的訓(xùn)練概念是抽象思維的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)推理離不開概念?！罢_理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的前提?！崩?、 不等式 錯誤解法 錯誤分析 當(dāng)時，真數(shù)且在所求的范圍內(nèi)（因 ），說

19、明解法錯誤。原因是沒有弄清對數(shù)定義。此題忽視了“對數(shù)的真數(shù)大于零”這一條件造成解法錯誤，表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。正確解法 例2、 求過點的直線，使它與拋物線僅有一個交點。錯誤解法 設(shè)所求的過點的直線為，則它與拋物線的交點為，消去得：整理得 直線與拋物線僅有一個交點，解得所求直線為錯誤分析 此處解法共有三處錯誤：第一，設(shè)所求直線為時，沒有考慮與斜率不存在的情形，實際上就是承認(rèn)了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。第二，題中要求直線與拋物線只有一個交點，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有一個交點”的關(guān)系理解不透。

20、第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項系數(shù)不能為零，即而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密。正確解法 當(dāng)所求直線斜率不存在時，即直線垂直軸，因為過點，所以即軸，它正好與拋物線相切。當(dāng)所求直線斜率為零時，直線為平行軸，它正好與拋物線只有一個交點。設(shè)所求的過點的直線為則， 令解得所求直線為綜上，滿足條件的直線為：(2) 判斷的訓(xùn)練造成判斷錯誤的原因很多，我們在學(xué)習(xí)中，應(yīng)重視如下幾個方面。注意定理、公式成立的條件數(shù)學(xué)上的定理和公式都是在一定條件下成立的。如果忽視了成立的條件，解題中難免出現(xiàn)錯誤。例3、 實數(shù)，使方程至少有一個實根。錯誤解法 方程至少有一

21、個實根，或錯誤分析 實數(shù)集合是復(fù)數(shù)集合的真子集，所以在實數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不一定成立，必須經(jīng)過嚴(yán)格推廣后方可使用。一元二次方程根的判別式是對實系數(shù)一元二次方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復(fù)系數(shù)一元二次方程中，造成解法錯誤。正確解法 設(shè)是方程的實數(shù)根，則由于都是實數(shù)，解得 注意充分條件、必要條件和充分必要條件在解題中的運用我們知道：如果成立，那么成立，即，則稱是的充分條件。如果成立，那么成立，即，則稱是的必要條件。如果，則稱是的充分必要條件。充分條件和必要條件中我們的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到。像討論方程組的解，求滿足條件的點的軌跡等等。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏

22、忽，就會出錯。例5 解不等式錯誤解法 要使原不等式成立，只需 解得錯誤分析 不等式成立的充分必要條件是：或 原不等式的解法只考慮了一種情況，而忽視了另一種情況，所考慮的情況只是原不等式成立的充分條件，而不是充分必要條件，其錯誤解法的實質(zhì)，是把充分條件當(dāng)成了充分必要條件。正確解法 要使原不等式成立，則PC(3,0)yxO圖321 MN或，或 原不等式的解集為 例6（軌跡問題）求與軸相切于右側(cè)，并與也相切的圓的圓心的軌跡方程。錯誤解法 如圖321所示，已知C的方程為設(shè)點為所求軌跡上任意一點，并且P與軸相切于M點，與C相切于N點。根據(jù)已知條件得，即化簡得 錯誤分析 本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所

23、求的軌跡上的點都滿足條件），而沒有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點都在所求的軌跡上）。事實上，符合題目條件的點的坐標(biāo)并不都滿足所求的方程。從動圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以軸正半軸上任一點為圓心，此點到原點的距離為半徑（不等于3）的圓也符合條件，所以也是所求的方程。即動圓圓心的軌跡方程是。因此，在求軌跡時，一定要完整的、細(xì)致地、周密地分析問題，這樣，才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。防止以偏概全的錯誤以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問題的全部答案，從而表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。例7 設(shè)等比數(shù)列的全項和為.若，求數(shù)列的公比.錯誤解法 錯誤分析 在錯解中，由時，應(yīng)有在等比

24、數(shù)列中，是顯然的，但公比完全可能為1，因此，在解題時應(yīng)先討論公比的情況，再在的情況下，對式子進(jìn)行整理變形。正確解法 若，則有但，即得與題設(shè)矛盾，故.又依題意 可得 即因為，所以所以所以 說明 此題為1996年全國高考文史類數(shù)學(xué)試題第（21）題，不少考生的解法同錯誤解法，根據(jù)評分標(biāo)準(zhǔn)而痛失2分。避免直觀代替論證我們知道直觀圖形常常為我們解題帶來方便。但是，如果完全以圖形的直觀聯(lián)系為依據(jù)來進(jìn)行推理，這就會使思維出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象。例8 （如圖322），具有公共軸的兩個直角坐標(biāo)平面和所成的二面角等于.已知內(nèi)的曲線的方程是，求曲線在內(nèi)的射影的曲線方程。錯誤解法 依題意，可知曲線是拋物線，在內(nèi)的焦點坐標(biāo)是因

25、為二面角等于，且所以設(shè)焦點在內(nèi)的射影是，那么，位于軸上，從而所以所以點是所求射影的焦點。依題意，射影是一條拋物線，開口向右，頂點在原點。所以曲線在內(nèi)的射影的曲線方程是錯誤分析 上述解答錯誤的主要原因是，憑直觀誤認(rèn)為。正確解法 在內(nèi)，設(shè)點是曲線上任意一點O圖323MNH（如圖323）過點作，垂足為，過作軸，垂足為連接，則軸。所以是二面角的平面角，依題意，.在又知軸（或與重合），軸（或與重合），設(shè)，則 因為點在曲線上，所以O(shè)圖322即所求射影的方程為 (3) 推理的訓(xùn)練數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選

26、擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。例9 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點，長軸在軸上，離心率，已知點到這個橢圓上的最遠(yuǎn)距離是，求這個橢圓的方程。錯誤解法 依題意可設(shè)橢圓方程為則 ，所以 ，即 設(shè)橢圓上的點到點的距離為，則 所以當(dāng)時，有最大值，從而也有最大值。所以 ，由此解得：于是所求橢圓的方程為錯解分析 盡管上面解法的最后結(jié)果是正確的，但這種解法卻是錯誤的。事實上，由于點在橢圓上，所以有，因此在求的最大值時，應(yīng)分類討論。即：若，則當(dāng)時，（從而）有最大值。于是從而解得所以必有，此時

27、當(dāng)時，（從而）有最大值，所以，解得 于是所求橢圓的方程為例10 求的最小值錯解 正確解法 取正常數(shù)，易得其中“”取“”的充要條件是因此，當(dāng)?shù)谒恼?數(shù)學(xué)思維的開拓性一、概述數(shù)學(xué)思維開拓性指的是對一個問題能從多方面考慮；對一個對象能從多種角度觀察；對一個題目能想出多種不同的解法，即一題多解。“數(shù)學(xué)是一個有機(jī)的整體，它的各個部分之間存在概念的親緣關(guān)系。我們在學(xué)習(xí)每一分支時，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關(guān)系結(jié)成一張網(wǎng)，就可覆蓋全部內(nèi)容，使之融會貫通”，這里所說的橫向聯(lián)系，主要是靠一題多解來完成的。通過用不同的方法解決同一道數(shù)學(xué)題，既可以開拓解題思路，鞏固所學(xué)知識；又可激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，達(dá)到開發(fā)潛能

28、，發(fā)展智力，提高能力的目的。從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。在一題多解的訓(xùn)練中，我們要密切注意每種解法的特點，善于發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從中發(fā)現(xiàn)最有意義的簡捷解法。數(shù)學(xué)思維的開拓性主要體現(xiàn)在：(1) 一題的多種解法(2) 一題的多種解釋如“1”這個數(shù)字，它可以根據(jù)具體情況變成各種形式，使解題變得簡捷?！?”可以變換為：，等等。1 思維訓(xùn)練實例例1 已知求證：分析1 用比較法。本題只要證為了同時利用兩個已知條件，只需要觀察到兩式相加等于2便不難解決。證法1 所以 分析2 運用分析法，從所需證明的不等式出發(fā)，運用已知的條件、定理和性質(zhì)等，得出正確的結(jié)論。從而證明原結(jié)論正確。分析法其本質(zhì)就是尋找命題成立的充分條

29、件。因此，證明過程必須步步可逆，并注意書寫規(guī)范。證法2 要證 只需證 xMyd圖421O即 因為 所以只需證 即 因為最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。分析3 運用綜合法（綜合運用不等式的有關(guān)性質(zhì)以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）進(jìn)行推理、運算，從而達(dá)到證明需求證的不等式成立的方法）證法3 即 分析4 三角換元法：由于已知條件為兩數(shù)平方和等于1的形式，符合三角函數(shù)同角關(guān)系中的平方關(guān)系條件，具有進(jìn)行三角代換的可能，從而可以把原不等式中的代數(shù)運算關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)運算關(guān)系，給證明帶來方便。證法4 可設(shè) 分析5 數(shù)形結(jié)合法：由于條件可看作是以原點為圓心，半徑為1的單位圓，而聯(lián)系到

30、點到直線距離公式，可得下面證法。證法5 （如圖4-2-1）因為直線經(jīng)過圓的圓心O，所以圓上任意一點到直線的距離都小于或等于圓半徑1，即 簡評 五種證法都是具有代表性的基本方法，也都是應(yīng)該掌握的重要方法。除了證法4、證法5的方法有適應(yīng)條件的限制這種局限外，前三種證法都是好方法?？稍诰唧w應(yīng)用過程中，根據(jù)題目的變化的需要適當(dāng)進(jìn)行選擇。例2 如果求證：成等差數(shù)列。分析1 要證，必須有成立才行。此條件應(yīng)從已知條件中得出。故此得到直接的想法是展開已知條件去尋找轉(zhuǎn)換。證法1 故 ，即 成等差數(shù)列。分析2 由于已知條件具有輪換對稱特點，此特點的充分利用就是以換元去減少原式中的字母，從而給轉(zhuǎn)換運算帶來便利。證法

31、2 設(shè)則于是，已知條件可化為：所以成等差數(shù)列。分析3 已知條件呈現(xiàn)二次方程判別式的結(jié)構(gòu)特點引人注目，提供了構(gòu)造一個適合上述條件的二次方程的求解的試探的機(jī)會。證法3 當(dāng)時，由已知條件知即成等差數(shù)列。當(dāng)時，關(guān)于的一元二次方程：其判別式故方程有等根，顯然1為方程的一個根，從而方程的兩根均為1，由韋達(dá)定理知 即 成等差數(shù)列。簡評：證法1是常用方法，略嫌呆板，但穩(wěn)妥可靠。證法2簡單明了，是最好的解法，其換元的技巧有較大的參考價值。證法3引入輔助方程的方法，技巧性強(qiáng)，給人以新鮮的感受和啟發(fā)。例3 已知，求的最小值。分析1 雖然所求函數(shù)的結(jié)構(gòu)式具有兩個字母，但已知條件恰有的關(guān)系式，可用代入法消掉一個字母，從

32、而轉(zhuǎn)換為普通的二次函數(shù)求最值問題。解法1 設(shè)，則二次項系數(shù)為故有最小值。當(dāng)時， 的最小值為分析2 已知的一次式兩邊平方后與所求的二次式有密切關(guān)聯(lián)，于是所求的最小值可由等式轉(zhuǎn)換成不等式而求得。解法2 即即 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。 的最小值為分析3 配方法是解決求最值問題的一種常用手段，利用已知條件結(jié)合所求式子，配方后得兩個實數(shù)平方和的形式，從而達(dá)到求最值的目的。解法3 設(shè) 當(dāng)時，即的最小值為分析4 因為已知條件和所求函數(shù)式都具有解析幾何常見方程的特點，故可得到用解析法求解的啟發(fā)。11Oxy圖422解法4 如圖422，表示直線表示原點到直線上的點的距離的平方。顯然其中以原點到直線的距離最短。此時，即所

33、以的最小值為注 如果設(shè)則問題還可轉(zhuǎn)化為直線與圓有交點時，半徑的最小值。簡評 幾種解法都有特點和代表性。解法1是基本方法，解法2、3、4都緊緊地抓住題設(shè)條件的特點，與相關(guān)知識聯(lián)系起來，所以具有靈巧簡捷的優(yōu)點，特別是解法4，形象直觀，值得效仿。例4 由圓外一點引圓的割線交圓于兩點，求弦的中點的軌跡方程。分析1 （直接法）根據(jù)題設(shè)條件列出幾何等式，運用解析幾何基本公式轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式，從而求出曲線方程。這里考慮在圓中有關(guān)弦中點的一些性質(zhì)，圓心和弦中點的連線垂直于弦，可得下面解法。圖423PMBAOyx解法1 如圖423，設(shè)弦的中點的坐標(biāo)為，連接，則，在中，由兩點間的距離公式和勾股定理有整理，得 其中分

34、析2 （定義法）根據(jù)題設(shè)條件，判斷并確定軌跡的曲線類型，運用待定系數(shù)法求出曲線方程。解法2 因為是的中點，所以，所以點的軌跡是以為直徑的圓，圓心為,半徑為該圓的方程為：化簡，得 其中分析3 （交軌法）將問題轉(zhuǎn)化為求兩直線的交點軌跡問題。因為動點可看作直線與割線的交點，而由于它們的垂直關(guān)系，從而獲得解法。解法3 設(shè)過點的割線的斜率為則過點的割線方程為：.且過原點，的方程為 這兩條直線的交點就是點的軌跡。兩方程相乘消去化簡，得：其中分析4 （參數(shù)法）將動點坐標(biāo)表示成某一中間變量（參數(shù)）的函數(shù)，再設(shè)法消去參數(shù)。由于動點隨直線的斜率變化而發(fā)生變化，所以動點的坐標(biāo)是直線斜率的函數(shù)，從而可得如下解法。解法

35、4 設(shè)過點的割線方程為：它與圓的兩個交點為，的中點為.解方程組 利用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，可求得點的軌跡方程為：其中分析5 （代點法）根據(jù)曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系：點在曲線上則點的坐標(biāo)滿足方程。設(shè)而不求，代點運算。從整體的角度看待問題。這里由于中點的坐標(biāo)與兩交點通過中點公式聯(lián)系起來，又點構(gòu)成4點共線的和諧關(guān)系，根據(jù)它們的斜率相等，可求得軌跡方程。解法5 設(shè)則兩式相減，整理，得 所以 即為的斜率，而對斜率又可表示為化簡并整理，得 其中簡評 上述五種解法都是求軌跡問題的基本方法。其中解法1、2、3局限于曲線是圓的條件，而解法4、5適用于一般的過定點且與二次曲線交于兩點，求中點的軌跡問題。具有普遍意義

36、，值得重視。對于解法5通常利用可較簡捷地求出軌跡方程，比解法4計算量要小，要簡捷得多。第五章 數(shù)學(xué)解題思維過程 數(shù)學(xué)解題的思維過程是指從理解問題開始，從經(jīng)過探索思路，轉(zhuǎn)換問題直至解決問題，進(jìn)行回顧的全過程的思維活動。在數(shù)學(xué)中，通?？蓪⒔忸}過程分為四個階段：第一階段是審題。包括認(rèn)清習(xí)題的條件和要求，深入分析條件中的各個元素，在復(fù)雜的記憶系統(tǒng)中找出需要的知識信息，建立習(xí)題的條件、結(jié)論與知識和經(jīng)驗之間的聯(lián)系，為解題作好知識上的準(zhǔn)備。 第二階段是尋求解題途徑。有目的地進(jìn)行各種組合的試驗，盡可能將習(xí)題化為已知類型，選擇最優(yōu)解法，選擇解題方案，經(jīng)檢驗后作修正，最后確定解題計劃。 第三階段是實施計劃。將計劃

37、的所有細(xì)節(jié)實際地付諸實現(xiàn)，通過與已知條件所選擇的根據(jù)作對比后修正計劃，然后著手?jǐn)⑹鼋獯疬^程的方法，并且書寫解答與結(jié)果。第四階段是檢查與總結(jié)。求得最終結(jié)果以后，檢查并分析結(jié)果。探討實現(xiàn)解題的各種方法，研究特殊情況與局部情況，找出最重要的知識。將新知識和經(jīng)驗加以整理使之系統(tǒng)化。所以：第一階段的理解問題是解題思維活動的開始。第二階段的轉(zhuǎn)換問題是解題思維活動的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過程，是思維策略的選擇和調(diào)整過程。第三階段的計劃實施是解決問題過程的實現(xiàn)，它包含著一系列基礎(chǔ)知識和基本技能的靈活運用和思維過程的具體表達(dá)，是解題思維活動的重要組成部分。第四階段的反思問題往往容易為人們所忽

38、視，它是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一個重要方面，是一個思維活動過程的結(jié)束包含另一個新的思維活動過程的開始。通過以下探索途徑來提高解題能力：（1） 研究問題的條件時，在需要與可能的情況下，可畫出相應(yīng)圖形或思路圖幫助思考。因為這意味著你對題的整個情境有了清晰的具體的了解。（2） 清晰地理解情境中的各個元素；一定要弄清楚其中哪些元素是給定了的，即已知的，哪些是所求的，即未知的。（3） 深入地分析并思考習(xí)題敘述中的每一個符號、術(shù)語的含義，從中找出習(xí)題的重要元素，要圖中標(biāo)出（用直觀符號）已知元素和未知元素，并試著改變一下題目中（或圖中）各元素的位置，看看能否有重要發(fā)現(xiàn)。（4） 盡可能從整體上理解題目的條件，找出它的

39、特點，聯(lián)想以前是否遇到過類似題目。（5） 仔細(xì)考慮題意是否有其他不同理解。題目的條件有無多余的、互相矛盾的內(nèi)容？是否還缺少條件？（6） 認(rèn)真研究題目提出的目標(biāo)。通過目標(biāo)找出哪些理論的法則同題目或其他元素有聯(lián)系。（7） 如果在解題中發(fā)現(xiàn)有你熟悉的一般數(shù)學(xué)方法，就盡可能用這種方法的語言表示題的元素，以利于解題思路的展開。以上途徑特別有利于開始解題者能迅速“登堂入室”，找到解題的起步點。在制定計劃尋求解法階段，最好利用下面這套探索方法：（1） 設(shè)法將題目與你會解的某一類題聯(lián)系起來?；蛘弑M可能找出你熟悉的、最符合已知條件的解題方法。（2） 記?。侯}的目標(biāo)是尋求解答的主要方向。在仔細(xì)分析目標(biāo)時即可嘗試能

40、否用你熟悉的方法去解題。（3） 解了幾步后可將所得的局部結(jié)果與問題的條件、結(jié)論作比較。用這種辦法檢查解題途徑是否合理，以便及時進(jìn)行修正或調(diào)整。（4） 嘗試能否局部地改變題目，換種方法敘述條件，故意簡化題的條件（也就是編擬條件簡化了的同類題）再求其解。再試試能否擴(kuò)大題目條件（編一個更一般的題目），并將與題有關(guān)的概念用它的定義加以替代。（5） 分解條件，盡可能將分成部分重新組合，擴(kuò)大騍條件的理解。（6） 嘗試將題分解成一串輔助問題，依次解答這些輔助問題即可構(gòu)成所給題目的解。（7） 研究題的某些部分的極限情況，考察這樣會對基本目標(biāo)產(chǎn)生什么影響。（8） 改變題的一部分，看對其他部分有何影響；依據(jù)上面的

41、“影響”改變題的某些部分所出現(xiàn)的結(jié)果，嘗試能否對題的目標(biāo)作出一個“展望”。（9） 萬一用盡方法還是解不出來，你就從課本中或科普數(shù)學(xué)小冊子中找一個同類題，研究分析其現(xiàn)成答案，從中找出解題的有益啟示。數(shù)學(xué)解題的技巧為了使回想、聯(lián)想、猜想的方向更明確，思路更加活潑，進(jìn)一步提高探索的成效，我們必須掌握一些解題的策略。一切解題的策略的基本出發(fā)點在于“變換”，即把面臨的問題轉(zhuǎn)化為一道或幾道易于解答的新題，以通過對新題的考察，發(fā)現(xiàn)原題的解題思路，最終達(dá)到解決原題的目的?；谶@樣的認(rèn)識，常用的解題策略有：熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化等。一、 熟悉化策略所謂熟悉化策略，就是當(dāng)我們面臨的

42、是一道以前沒有接觸過的陌生題目時，要設(shè)法把它化為曾經(jīng)解過的或比較熟悉的題目，以便充分利用已有的知識、經(jīng)驗或解題模式，順利地解出原題。一般說來，對于題目的熟悉程度，取決于對題目自身結(jié)構(gòu)的認(rèn)識和理解。從結(jié)構(gòu)上來分析，任何一道解答題，都包含條件和結(jié)論（或問題）兩個方面。因此，要把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題，可以在變換題目的條件、結(jié)論（或問題）以及它們的聯(lián)系方式上多下功夫。常用的途徑有：（一）、充分聯(lián)想回憶基本知識和題型：按照波利亞的觀點，在解決問題之前，我們應(yīng)充分聯(lián)想和回憶與原有問題相同或相似的知識點和題型，充分利用相似問題中的方式、方法和結(jié)論，從而解決現(xiàn)有的問題。（二）、全方位、多角度分析題意：對于同一道

43、數(shù)學(xué)題，常?？梢圆煌膫?cè)面、不同的角度去認(rèn)識。因此，根據(jù)自己的知識和經(jīng)驗，適時調(diào)整分析問題的視角，有助于更好地把握題意，找到自己熟悉的解題方向。（三）恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素：數(shù)學(xué)中，同一素材的題目，常?？梢杂胁煌谋憩F(xiàn)形式；條件與結(jié)論（或問題）之間，也存在著多種聯(lián)系方式。因此，恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素，有助于改變題目的形式，溝通條件與結(jié)論（或條件與問題）的內(nèi)在聯(lián)系，把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題。數(shù)學(xué)解題中，構(gòu)造的輔助元素是多種多樣的，常見的有構(gòu)造圖形（點、線、面、體），構(gòu)造算法，構(gòu)造多項式，構(gòu)造方程（組），構(gòu)造坐標(biāo)系，構(gòu)造數(shù)列，構(gòu)造行列式，構(gòu)造等價性命題，構(gòu)造反例，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等等。二、簡單化策略所謂簡單化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道結(jié)構(gòu)復(fù)雜、難以入手的題目時，要設(shè)法把轉(zhuǎn)化為一道或幾道比較簡