1、略論數(shù)學(xué)教學(xué)中的逆向思維面對新的時代，世界各國都在思考如何最大限度地發(fā)現(xiàn)、發(fā)展、鼓勵本國國民的創(chuàng)造性，提高國民的創(chuàng)新能力。人類已經(jīng)進入信息時代，必須有一批又一批的優(yōu)秀人才脫穎而出。而優(yōu)秀人才的脫穎而出，是當前教育面臨的一個最為艱巨的使命。優(yōu)秀人才，必然是具有較高的創(chuàng)新能力的人才，而創(chuàng)新能力的內(nèi)涵之一就是較強的思維能力。而數(shù)學(xué)成為訓(xùn)練學(xué)生思維的最好途徑。正如加里寧所說，數(shù)學(xué)可以使人的思想“紀律化”，能教會人們合理地去思維。即數(shù)學(xué)是鍛煉思維的“體操”。體操能夠使人的身體健康，動作靈敏，數(shù)學(xué)能夠使人的思維正確敏捷。傳統(tǒng)教育的弊端，在于培養(yǎng)了大量的不會思維的受教育者。這點在新的一輪教育改革中已有認識，

2、也已開始采取行動來改變。數(shù)學(xué)新課程標準指出：教師一定要“轉(zhuǎn)變教育觀念，改革人才培養(yǎng)模式，積極實行啟發(fā)式和討論式教學(xué)，激發(fā)學(xué)生獨立思考和創(chuàng)新的意識，切實提高教學(xué)質(zhì)量。要讓學(xué)生感受、理解知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神和創(chuàng)新思維習(xí)慣?！倍訌妼χ袑W(xué)生逆向思維的訓(xùn)練，正是培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性的有效途徑。本人根據(jù)自己的教學(xué)實踐，并在借鑒他人已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，對數(shù)學(xué)逆向思維加以論述，主要討論如下幾點：1.對逆向思維的認識人們的思維按思維過程的指向性來劃分，可分為正向思維（常規(guī)思維）和逆向思維，正向思維是按照常規(guī)習(xí)慣分析和解決問題的思維模式，又稱為定勢思維；逆向思維是從已有習(xí)慣思路的反方向

3、去思考和分析問題，逆向思維最顯著的特征是反思維常規(guī)方向。它是思維的靈活性的一種表現(xiàn)，是一種重要的創(chuàng)造思維。在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，有很多例證說明了：用逆向思維方法從問題的反面出發(fā)來考慮問題不僅是解決問題的有利手段，而且推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，開辟了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的新天地。19世紀前期，數(shù)學(xué)史上非歐幾何的誕生就是逆向思維最成功的典范。我們知道，歐氏平面幾何是建立在五條公設(shè)基礎(chǔ)上的，而它的定理是從這五條公理推出來的。自歐幾里德的幾何原本問世以來，許多數(shù)學(xué)家認為第五公設(shè)（平行公理通過不在已知直線上的一點，只可引一條直線與此直線平行）是多余的，想從前面四條公設(shè)出發(fā)來證明第五條公設(shè)。在兩千多年的時間里，數(shù)學(xué)家們費盡

4、心血，但都一無所獲。直到十八世紀，天才的俄羅斯數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基從前輩數(shù)學(xué)家和他自己的失敗中，看到了把歐氏第五公設(shè)作為定理來證明也許是不可能的。這樣，就促使他從歐氏第五公設(shè)的反面去思考，他大膽地引進了與歐氏第五公設(shè)完全相反的命題：過直線外一點至少可以作兩條直線與原直線平行，試圖通過證明此命題不成立，來達到間接地證明歐氏第五公設(shè)的目的。但是，他從歐氏的其它公設(shè)出發(fā)進行推理始終沒有發(fā)現(xiàn)矛盾。羅巴切夫斯基敏感地覺察到了他已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了新的幾何理論，他沿著這條與“傳統(tǒng)”的思維方式截然相反的路子走了下去，終于創(chuàng)建了嶄新的非歐幾何學(xué)羅氏幾何。 事實說明，從反面來思考問題對推動數(shù)學(xué)的發(fā)展起著重要的作用。當代美國

5、數(shù)學(xué)家和教育學(xué)家波利亞在怎樣解題中指出：反證法和間接證法都是發(fā)明創(chuàng)造的有效工具。因此，我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。2.逆向思維的作用2.1 逆向思維可以開拓學(xué)生的想象空間在數(shù)學(xué)教學(xué)中，雙向思維比比皆是，如運算與逆運算、定理與逆定理、分析與綜合等。但在平時的教學(xué)中，教師讓學(xué)生掌握或應(yīng)用一些公式、法則、性質(zhì)時，大多數(shù)是從左邊到右邊的正向運用，久而久之學(xué)生就形成了一種定向的思維模式，這樣很不利于學(xué)生思維靈活性的培養(yǎng)。當學(xué)生經(jīng)過努力從正向理解了某個概念、公理、定理、公式或法則后，若適當引導(dǎo)學(xué)生逆向思考一下，往往就會跨進新的知識領(lǐng)域。例1 從“？”談?wù)勀嫦蛩季S的作用。 在數(shù)學(xué)課上，如果

6、我們問，學(xué)生會覺得可笑，不就等于嗎？反過來再問，？，就是嗎？若我們再提示一下，在數(shù)學(xué)中“？”有多少種答案，那么學(xué)生就會想到很多：是相鄰的較大整數(shù)和較小整數(shù)之差，·，·，·，等學(xué)生的思維一下子活躍起來了，然后對學(xué)生指出，在以后的學(xué)習(xí)中我們還會遇到許多關(guān)于“”的變式。這個問題從提出到解決，它使學(xué)生受到很大的啟發(fā)，激發(fā)了學(xué)生的想象力，像上面這種思維就是基本的逆向思維。2.2 逆向思維有利于加深學(xué)生基礎(chǔ)知識的理解概念法則的教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)。一個數(shù)學(xué)概念的正確理解，一個運算法則的熟悉應(yīng)用，僅靠正向思維是不夠的。數(shù)學(xué)教學(xué)中可以通過逆向思維方面的訓(xùn)練來加深學(xué)生對

7、基礎(chǔ)知識的理解。例如：講授二次函數(shù)的概念時，可安排這樣的練習(xí)：（1）下面哪個是二次函數(shù)？ （2）對于函數(shù)，當 時為二次函數(shù)，當 時為一次函數(shù)。 這樣學(xué)生對二次函數(shù)的定義就理解得透徹了。 2.3 逆向思維可以發(fā)現(xiàn)解題技巧，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力由于數(shù)學(xué)中的很多定理、公式、法則都具有可逆性。故從相反的角度來觀察、探索、常常可以求得問題的解決或發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律。例如，已知，求證：·· 分析：如果把它看成代數(shù)恒等式，則要通過繁雜的計算。但由的形式聯(lián)想到，并逆向應(yīng)用之，從而設(shè).原式轉(zhuǎn)化為··因為，所以易知上式成立，從而原式成立。這里使問題得到解決，得益于敏銳的洞察力

8、和逆向運用公式。2.4 逆向思維有利于克服思維的遲滯性思維的遲滯性在中學(xué)生中普遍存在，要克服它，就應(yīng)該重視對學(xué)生進行逆向思維的培養(yǎng)，即當遇到正向思考無法解決的問題時，不妨反過來想一想，常能頓開茅塞，獲得意外的成功。要努力培養(yǎng)學(xué)生逐步做到既善于從左到右的正向思維，又能夠考慮到必要時從右到左的逆向推理。例如，化簡：分析：按常規(guī)的解題思路是將分式通分處理，顯然很繁瑣。如能逆向運用分式通分法則，解法將相當簡單。解：原式= = =.由此可見，在數(shù)學(xué)教學(xué)中注意逆向思維能力的培養(yǎng)，有利于克服思維定勢的保守性，它常能幫助我們克服正向思維中出現(xiàn)的困難，尋求新的思路，新的方法，開拓新的知識領(lǐng)域，在探求中它敢于離徑

9、叛道，大膽求異。因此，在教學(xué)中如何利用教材的內(nèi)容，及早對學(xué)生做這方面的引導(dǎo)，逐步培養(yǎng)逆向思維能力，也是培養(yǎng)思維的靈活性及分析問題和解決問題能力的一個重要內(nèi)容。3.培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的一些具體做法初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)逆向思維可從以下幾個方面著手：3.1 逆問課堂教學(xué)中，在學(xué)生正確理解概念、定理、公式、法則的基礎(chǔ)上教師要經(jīng)常有意識地挖掘教材中的一些互逆的因素，進行逆向設(shè)問，培養(yǎng)學(xué)生思維多向性、發(fā)散性。這樣不僅可以使學(xué)生對新知識的理解更加深刻，而且還能消除學(xué)生的思維定勢所帶來的消極影響，培養(yǎng)逆向思維意識，養(yǎng)成雙向考慮問題的習(xí)慣。例如，在學(xué)了同類項后，可以這樣設(shè)問：當為何值時，與是同類項？在學(xué)習(xí)絕對值過

10、程中，學(xué)生掌握了求一個數(shù)的絕對值后。這時反設(shè)問：絕對值是的數(shù)是多少等等。學(xué)習(xí)了有理數(shù)概念后，可提出：什么數(shù)的絕對值是本身？這樣可加深對絕對值概念的理解和明了其幾何意義，為以后學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。像上面可供逆向考慮的問題在教材中是無處不在、無所不有的，教師如果有意識地抓住它，并予以適當?shù)奶幚怼＞湍苁箤W(xué)生養(yǎng)成雙向考慮問題的習(xí)慣。3.2 逆用長期的單向思維會使學(xué)生思維呆板，解題思路不靈活，教師在課堂教學(xué)中抓住解題教學(xué)，注意經(jīng)常性地啟發(fā)學(xué)生逆用概念、定理(若逆定理存在)、公式、法則、能有效地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力開闊學(xué)生的解題思路。3.2.1 逆用定義，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力作為定義的命題，其逆命題總是成立

11、的。在教學(xué)中要如能引導(dǎo)學(xué)生研究定義的逆命題及其應(yīng)用，學(xué)生不僅對新概念辨析更清楚，理解得更透徹，而且能養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成雙向考慮問題的良好習(xí)慣。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中就應(yīng)注意這些方面的訓(xùn)練，以便學(xué)生養(yǎng)成逆向思維的習(xí)慣。例如，在學(xué)習(xí)等差數(shù)列時，對于等差數(shù)列的定義，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。注意逆向思維，等差數(shù)列就是從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)的數(shù)列對于數(shù)列：3，7，由，能否直接判斷是等差數(shù)列?這個問題就可以加深對等差數(shù)列概念的理解，再得到數(shù)列是等差數(shù)列常數(shù)。這樣可使學(xué)生對等差數(shù)列的要領(lǐng)更加鞏固掌握。3.2.2 逆用公式，培養(yǎng)學(xué)生的

12、逆向思維能力 數(shù)學(xué)公式本身是雙向的，但習(xí)慣上遵循由左至右或化繁為簡的順序， 對于公式， 如果只能順用，不能逆用或變用，是解題能力不強的表現(xiàn)。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)加強逆用公式的訓(xùn)練， 以使逆向思維隨正向思維同步發(fā)展。從相反的方向進行思考，根據(jù)需要與可能，化隱為顯，化被動為主動。總之，當你百思不得其解時，不妨從反面相反的屬性、狀態(tài)、過程思考一下，有時反而茅塞頓開，柳暗花明，這正是逆向思維的重要功能。例如，求值；分析：學(xué)生在學(xué)習(xí)了兩角和的正切公式后，一般習(xí)慣于從左到右使用公式。本題中，將前兩項結(jié)合提出公因式后，逆用正切公式即可獲解。解：原式= 3.2.3 通過定理的逆用訓(xùn)練逆向思維對于定理而言，不是所有定理的

13、逆命題都是正確的。但是，在教學(xué)中重視引導(dǎo)學(xué)生探討定理的逆命題是否正確，是指導(dǎo)學(xué)生研究新問題的一個有效方法，它對于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和指導(dǎo)學(xué)生正確運用逆定理解題，更具有重要意義。ACBDE例如：如圖，在已知中，求邊上的高及中線之長。 分析：可用勾股定理的逆定理得，再由··可得 當然，對一些逆命題不成立的定理，也應(yīng)在教學(xué)中提醒學(xué)生注意，不能不加思索地把任何一個定理都逆過來。只有當一個命題的正確性得到嚴格的證明之后，才能把它當作定理使用。3.3 逆思在數(shù)學(xué)問題解決過程中，如果單純用一種思維方式去思考，有時往往回陷入困難的境地。遇此情況，我們可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從不同角度、不同方向去思

14、考，嘗試轉(zhuǎn)換思路，另辟蹊徑。不但可以收到化繁為簡，化難為易的功效，也可打破解題中墨守陳規(guī)的陋習(xí)。下面的幾種方法為此提供了很好的例證，我們應(yīng)不失時機地訓(xùn)練學(xué)生的這種思維方法。 3.3.1 反證法反證法是一種間接證法，是許多數(shù)學(xué)問題在用直接證法相對困難時，常常被采用的證法它是從待證結(jié)論的反面出發(fā)，推出矛盾，從而否定要證結(jié)論的反面，肯定待證的結(jié)論。數(shù)學(xué)中的反證法從心理學(xué)角度看，是一種逆向思維方式，它是一種簡明實用的數(shù)學(xué)證明方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思維。它獨特的思維方式和證題方法，能訓(xùn)練學(xué)生從未知到已知的逆向思維能力，對提高學(xué)生創(chuàng)造性地分析和解決問題的思想素質(zhì)有著重要意義。例如：求證：凸邊形的銳角不能

15、多于3個。分析：此題從正面感覺無從去思考，也無法作出圖形。因此，可采用反證法。如果至少有4個銳角，會出現(xiàn)什么情況呢？解：設(shè)凸邊形的銳角多于3個。那么這個凸邊形的內(nèi)角中至少有4個銳角，可分別設(shè)為.即有 設(shè)其余個內(nèi)角的和為，則有 得， 但邊形的內(nèi)角和等于，即由此得出矛盾，說明假設(shè)不成立。所以凸邊形的銳角不能多于3個。， 3.3.2 分析法大家知道，用綜合法證明，其基本思路是由題設(shè)條件出發(fā)，根據(jù)已知的定理與事實進行邏輯推理，最后推導(dǎo)出要證的結(jié)論，但是綜合法從題設(shè)條件出發(fā)可用的定理很多，推出的結(jié)論往往也很多，要從眾多的結(jié)論中找到我們所需要的結(jié)論，有時確實是很困難的。這就啟發(fā)人們，能否從綜合法的反面來考

16、慮，從要證的結(jié)論出發(fā)往回追溯題設(shè)條件，如果結(jié)合運用分析法，從命題的結(jié)論出發(fā)，逐步向上逆推，常常會收到較好的效果。 例如，若均為正數(shù)，求證：分析：若直接從已知出發(fā)，無從下手，而從結(jié)論開始分析將柳暗花明。欲證，即證，就是要證，即證，即。這由實數(shù)的性質(zhì)顯然成立。從而找到論題證點。 3.3.3 舉反例 在數(shù)學(xué)教學(xué)之中肯定一個命題需要嚴格的邏輯推理來證明。否定一個命題，只需要舉出一個例子予以否定，這種例子稱為反例。重要的反例往往也會成為數(shù)學(xué)殿堂的基石，微積分剛建立的時候，數(shù)學(xué)界曾長期錯誤地認為：連續(xù)函數(shù)除了個別點外總是處處可導(dǎo)的，但是，1872年德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯構(gòu)造了一個“處處連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù)”

17、。這個反例震驚了數(shù)學(xué)界，促成了影響深遠的“分析基礎(chǔ)嚴密化”的數(shù)學(xué)運動.還有數(shù)學(xué)史上著名的限用尺規(guī)作圖的三大難題：三等分角問題，立方倍積問題，化圓為方問題。也是通過反例證明其不可能的。從上面的例子可以看出：反例不僅在培養(yǎng)逆向思維能力中占重要地位，同時在糾正錯誤結(jié)論、澄清概念、開拓數(shù)學(xué)新領(lǐng)域中也起到了非常重要的作用。美國數(shù)學(xué)家蓋爾鮑姆曾說過：“冒著過于簡單化的風(fēng)險，我們可以說（撇開定義、陳述及艱苦的工作不談）數(shù)學(xué)由兩大類證明和反例組成，而數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)也是朝著這兩個主要目標提出證明和構(gòu)造反例” 。由此可見反例之重要。為了搞清楚一個似是而非的數(shù)學(xué)命題，構(gòu)造反例是常用的一種有效的推理方法。例如要證明“任何

18、函數(shù)在其定義域內(nèi)都有反函數(shù)?！边@個結(jié)論不正確。只須舉出一個相反的例子就可以駁倒。可舉例：函數(shù)在內(nèi)沒有反函數(shù)。因此舉反例有助于我們對問題進行正確的判斷。當然，針對命題所舉的反例往往不止一個，有一定的開放性。我們應(yīng)該構(gòu)造那種簡單的反例，將命題推翻。3.3.4 巧變“主元”，逆向求解有些數(shù)學(xué)問題，按題中給定的未知數(shù)去思考，求解比較困難。這時可引導(dǎo)學(xué)生逆向思維，變換題中“主元”的地位，把題中“主元”的反面某個“次元”突出來，從而降低問題的難度，順利求解。例：求方程的實數(shù)根。分析：若把方程看成一元四次方程，求其實數(shù)根，則較為困難。認真觀察其原方程，根據(jù)其常數(shù)的特點把它看成關(guān)于“”的一元二次方程，則原方程

19、變形為·利用一元二次方程的求根公式或十字相乘法可得 或 從而求得原方程的實數(shù)根為3.3.5 逆向處理題設(shè)，改變問題情境看準題設(shè)的對立面，改變問題情境。從題設(shè)反面入手，把反面求出來，然后從總體中將所得的結(jié)果淘汰，便是原題的結(jié)果。例：已知解方程時，不會產(chǎn)生增根。求實數(shù)的取值范圍。此題只有當最簡公分母不為零時，分式方程才不會產(chǎn)生增根。而公分母不為零的數(shù)多得無法計算。若看準題設(shè)“不會產(chǎn)生增根”改變問題情境，把反面求出來，從總體中淘汰便是。原方程兩邊同乘整理得： （1）若方程產(chǎn)生增根，則當時，方程（1）為 無解當時，方程（1）為 解得或 當， 時，原方程不會產(chǎn)生增根。實踐證明：教學(xué)中采用 “逆問、逆用、逆思”的手段，對培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力是切實可行的，也是行之有效的。當然，在數(shù)學(xué)教學(xué)當中還會有許許多多的地方可以應(yīng)用逆向思維的方法，只要我們做數(shù)學(xué)教師的是一個有心人，注意總結(jié)，并將其有意識地貫穿到教學(xué)過程當中去，就會有助于學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)并不僅僅是為了得到一個高的分數(shù)，更重要的