1、數(shù)學(xué)建模的體會(huì)思考經(jīng)過(guò)這段時(shí)間的學(xué)習(xí)，了解了更多的關(guān)于這門(mén)學(xué)科的知識(shí)，可以說(shuō)是見(jiàn)識(shí)了很多很多，作為一個(gè)數(shù)學(xué)系的學(xué)生， 一直都有一個(gè)疑問(wèn)， 數(shù)學(xué)的應(yīng)用在那里。 對(duì)了， 就在這里， 在這里，我看到了很多，也學(xué)到了很多，關(guān)于各個(gè)學(xué)科，各個(gè)領(lǐng)域，都少不了數(shù)學(xué)，都是用建模的思想，來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，很神奇。數(shù)學(xué)建模給了我很多的感觸： 它所教給我們的不單是一些數(shù)學(xué)方面的知識(shí)， 更多的其實(shí)是綜合能力的培養(yǎng)、 鍛煉與提高。它培養(yǎng)了我們?nèi)妗?多角度考慮問(wèn)題的能力， 使我們的邏輯推理能力和量化分析能力得到很好的鍛煉和提高。 它還讓我了解了多種數(shù)學(xué)軟件， 以及運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件對(duì)模型進(jìn)行求解。數(shù)學(xué)模型主要是將現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息

2、加以翻譯， 歸納的產(chǎn)物。 通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的假設(shè)、 求解、驗(yàn)證，得到數(shù)學(xué)上的解答，再經(jīng)過(guò)翻譯回到現(xiàn)實(shí)對(duì)象，給出分析、決策的結(jié)果。其實(shí)，數(shù)學(xué)建模對(duì)我們來(lái)說(shuō)并不陌生，在我們的日常生活和工作中，經(jīng)常會(huì)用到有關(guān)建模的概念。例如， 我們平時(shí)出遠(yuǎn)門(mén)， 會(huì)考慮一下出行的路線， 以達(dá)到既快速又經(jīng)濟(jì)的目的；一些廠長(zhǎng)經(jīng)理為了獲得更大的利潤(rùn)，往往會(huì)策劃出一個(gè)合理安排生產(chǎn)和銷售的最優(yōu)方案這些問(wèn)題和建模都有著很大的聯(lián)系。 而在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練以前， 我們面對(duì)這些問(wèn)題時(shí)， 解決它的方法往往是一種習(xí)慣性的思維方式， 只知道該這樣做， 卻不很清楚為什么會(huì)這樣做，現(xiàn)在， 我們這種陳舊的思考方式己經(jīng)在被數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練中培養(yǎng)出的多角度

3、、 層次分明、 從本質(zhì)上區(qū)分問(wèn)題的新穎多維的思考方式所替代。這種凝聚了許多優(yōu)秀方法為一體的思考方式一旦被你把握， 它就轉(zhuǎn)化成了你自身的素質(zhì)， 不僅在你以后的學(xué)習(xí)工作中繼續(xù)發(fā)揮作用， 也為你的成長(zhǎng)道路印下了閃亮的一頁(yè)。數(shù)學(xué)建模所要解決的問(wèn)題決不是單一學(xué)科問(wèn)題，它除了要求我們有扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)外，還需要我們不停地去學(xué)習(xí)和查閱資料， 除了我們要學(xué)習(xí)許多數(shù)學(xué)分支問(wèn)題外， 還要了解工廠生產(chǎn)、 經(jīng)濟(jì)投資、保險(xiǎn)事業(yè)等方面的知識(shí)，這些知識(shí)決不是任何專業(yè)中都能涉獵得到的。它能極大地拓寬和豐富我們的內(nèi)涵， 讓我們感到了知識(shí)的重要性， 也領(lǐng)悟到了 “學(xué)習(xí)是不斷發(fā)現(xiàn)真理的過(guò)程”這句話的真諦所在，這些知識(shí)必將為我們將來(lái)的

4、學(xué)習(xí)工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。從現(xiàn)在我們的學(xué)習(xí)來(lái)看， 我們都是直接受益者。 就拿數(shù)學(xué)建模比賽寫(xiě)的論文來(lái)說(shuō)。 原本以為這是一件很簡(jiǎn)單的事， 但做起來(lái)才發(fā)覺(jué)事情并沒(méi)有想象中的簡(jiǎn)單。 因?yàn)橐鉀Q問(wèn)題， 憑我們現(xiàn)有的知識(shí)根本不夠。 于是， 自己必須要充分利用圖書(shū)館和網(wǎng)絡(luò)的作用， 查閱各種有關(guān)資料，以盡量獲得比較全面的知識(shí)和信息。 在這過(guò)程中， 對(duì)自己眼界的開(kāi)闊， 知識(shí)的擴(kuò)展無(wú)疑大有好處， 各學(xué)科的交叉滲透更有利于自己提高解決復(fù)雜問(wèn)題的能力。 毫不夸張的說(shuō)， 建模過(guò)程挖掘了我們的潛能， 使我們對(duì)自己的能力有了新的認(rèn)識(shí)， 特別是自學(xué)能力得到了極大的提高，而且思想的交鋒也迸發(fā)出了智慧的火花，從而增加了繼續(xù)深入學(xué)習(xí)

5、數(shù)學(xué)的主動(dòng)性和積極性。再次，數(shù)學(xué)建模也培養(yǎng)了我們的概括力和想象力，也就是要一眼就能抓住問(wèn)題的本質(zhì)所在。我們只有先對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行概括歸納， 同時(shí)在允許的情況下盡量忽略各種次要因素， 緊緊抓住問(wèn)題的本質(zhì)方面，使問(wèn)題盡可能簡(jiǎn)單化，這樣才能解決問(wèn)題。其實(shí)，在我們做論文之前，考慮到的因素有很多， 如果把這一系列因數(shù)都考慮的話， 將會(huì)花費(fèi)更多的時(shí)間和精神。 因此，在我們考慮一些因素并不是本質(zhì)問(wèn)題的時(shí)候， 我就將這些因數(shù)做了假設(shè)以及在模型的推廣時(shí)才考慮。 這就使模型更加合理和理想。 數(shù)學(xué)建模還能增強(qiáng)我們的抽象能力以及想象力。 對(duì)實(shí)際問(wèn)題再進(jìn)行“翻譯” ，即進(jìn)行抽象，要用我們熟悉的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)公式

6、將它們準(zhǔn)確的表達(dá)出來(lái)。卜面用一個(gè)具體的實(shí)例，來(lái)介紹建模的具體應(yīng)用：傳染病問(wèn)題的研究一、模型假設(shè)1 .在疾病傳播期內(nèi)所考察的地區(qū)范圍不考慮人口的出生、死亡、流動(dòng)等種群動(dòng)力因素?？?cè)丝跀?shù)N(t)不變，人口始終保持一個(gè)常數(shù)No人群分為以下三類：易感染者 (Susceptibles),其數(shù)量比例記為 s,表示t時(shí)刻未染病但有可能被該類疾病傳染的人 數(shù)占總?cè)藬?shù)的比仞感染病者 (Infectives),其數(shù)量比例記為i(t),表示t時(shí)刻已被感染 成為病人而且具有傳染力的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；恢復(fù)者(Recovered),其數(shù)量比例記為r(t),表示t時(shí)刻已從染病者中移出的人數(shù)(這部分人既非已感染者，也非感染

7、病者，不具有傳染性，也不會(huì)再次被感染，他們已退出該傳染系統(tǒng)。)占總?cè)藬?shù)的比例。2 .病人的日接觸率(每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù))為常數(shù) 入，日治愈率(每天被治 愈的病人占總病人數(shù)的比例)為常數(shù)小顯然平均傳染期為 1/小 傳染期接觸數(shù)為(7 =入/。該模型的缺陷是結(jié)果常與實(shí)際有一定程度差距，這是因?yàn)槟Ｐ椭屑僭O(shè)有效接觸率傳染力是不變的。二、模型構(gòu)成在以上三個(gè)基本假設(shè)條件下，易感染者從患病到移出的過(guò)程框圖表示如下：5 / 13在假設(shè)1中顯然有: s(t) + i(t) + r(t) = 1對(duì)于病愈免疫的移出者的數(shù)量應(yīng)為n2Ni不妨設(shè)初始時(shí)刻的易感染者，染病者，恢復(fù)者的比例分別為 s0 (s0&g

8、t;0), i0 (i0>0), r0=0.SIR基礎(chǔ)模型用微分方程組表示如下:si isidi dt ds dt dr dts(t)規(guī)律。i(t)的求解極度困難，在此我們先做數(shù)值計(jì)算來(lái)預(yù)估計(jì)s(t) , i(t) 的一般變化三、數(shù)值計(jì)算在方程(3)中設(shè) 入=1,科=0.3, i (0) = 0.02 , s (0) =0.98,用 MATLA瞅件編程: function y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2);ts=0:50;x0=0.20,0.98;t,x=ode45('ill',ts,x0);四、相

9、軌線分析我們?cè)跀?shù)值計(jì)算和圖形觀察的基礎(chǔ)上，利用相軌線討論解D = (s, i ) | s >0, i >0 , s + i <1i (t) ,s (t)的性質(zhì)。在方程(3)中消去dt并注意到b的定義，可得didss (Ti Is soio(5)1i s 1所以：di1 dsdi1 dssss bioso s (T(6)利用積分特性容易求出方程(5)的解為：i1 s(號(hào) io) s ln so在定義域D內(nèi),(6)式表示的曲線即為相軌線，如圖3所示.其中箭頭表示了隨著時(shí)間t的增加s(t)和 i(t)的變化趨向卜面根據(jù)(3),(17)式和圖9分析s(t),i(t) 和r(t)的變化

10、情況(t -8時(shí)它們的極限值分別記 作s , i和r ).1 .不論初始條件s0,i0如何，病人消失將消失，即：i002 .最終未被感染的健康者的比例是，在(7)式中令i=0得到，是方程s0 i0 s -ln 0S0在(0,1/ b)內(nèi)的根.在圖形上是相軌線與s軸在(0,1/ b)內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)d；1d；13 .右s0 >1/ o-,則開(kāi)始有 1 o , i(t) 先培加，令 1 =0,可信當(dāng)ds s bds s bs=1/ d時(shí),i(t) 達(dá)到最大值：1、im 與 i0 一(1 lns°)一一，, di 1然后s<1/ b時(shí)，有1 o ,所以i(t)減小且趨于零,s(t

11、)則單調(diào)減小至s ,ds s b如圖3中由P1(s0, i0)出發(fā)的軌線d；14.右s01/ b ,則恒有 一 10 , i(t)單倜減小至手,s(t)單倜減小至s ,如圖3dsSb中由P2(s0,i0)出發(fā)的軌線可以看出，如果僅當(dāng)病人比例i(t)有一段增長(zhǎng)的時(shí)期才認(rèn)為傳染病在蔓延，那么1/b是一個(gè)(T ,即提高閾值1/(Ts0是一定的，通常可閾值，當(dāng)% >1/ b (即(T >1/s0)時(shí)傳染病就會(huì)蔓延.而減小傳染期接觸數(shù) 使得 W 1/ b (即(T < 1/ s0),傳染病就不會(huì)蔓延(健康者比例的初始值認(rèn)為比接近1）。并且,即使So>1/ （T ,從（19）,（2

12、0）式可以看出，b減小時(shí)，s增加（通過(guò)作圖分析）,im降低,也控制了蔓延的程度.我們注意到在 b =入科中，人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率 入越小；醫(yī) 療水平越高，日治愈率 科越大，于是b越小，所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染 病的蔓延.從另一方面看，s S?1/是傳染期內(nèi)一個(gè)病人傳染的健康者的平均數(shù)，稱為交換數(shù)，其含義是一病人被S個(gè)健康者交換.所以當(dāng)S01/ 即S01時(shí)必有.既然交換數(shù)不超過(guò)1,病人比例i（t）絕不會(huì)增加，傳染病不會(huì)蔓延。五、群體免疫和預(yù)防根據(jù)對(duì)SIR模型的分析，當(dāng)S0 1/時(shí)傳染病不會(huì)蔓延.所以為制止蔓延，除了提高衛(wèi)生和 醫(yī)療水平，使閾值1/ b變大以外，另一個(gè)途徑是

13、降低S0 ,這可以通過(guò)比如預(yù)防接種使群體免 疫的辦法做到.忽略病人比例的初始值1。有5010,于是傳染病不會(huì)蔓延的條件So1/可以表為這就是說(shuō)，只要通過(guò)群體免疫使初始時(shí)刻的移出者比例（即免疫比例）滿足（11）式，就可以制止傳染病的蔓延。這種辦法生效的前提條件是免疫者要均勻分布在全體人口中，實(shí)際上這是很難做到的。據(jù)估計(jì)當(dāng)時(shí)印度等國(guó)天花傳染病的接觸數(shù)b=5,由（11）式至少要有 80%勺人接受免疫才行。據(jù)世界衛(wèi)生組織報(bào)告，即使花費(fèi)大量資金提高r0,也因很難做到免疫者的均勻分布，使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些傳染病的b更高，根除就更加困難。六、模型驗(yàn)證上世紀(jì)初在印度孟買(mǎi)發(fā)生的一次瘟疫中

14、幾乎所有病人都死亡了。死亡相當(dāng)于移出傳染系統(tǒng)，d . 有關(guān)部門(mén)記錄了每天移出者的人數(shù)，即有了的實(shí)際數(shù)據(jù)，Kermack等人用這組數(shù)據(jù)對(duì) SIRdt模型作了驗(yàn)證。首先，由方程（2）, （3）可以得到由 Si SiSdrdtdt1一上式兩邊同時(shí)乘以dt可1ds dr ,兩邊積分得SS1HS0；dSrn0drlnS|S0S0所以:S(t)S°er(t)一 d-r再 一 i (1 r s) (1 r s0e) (13)dt當(dāng)r 1/時(shí)，取(13)式右端e r Taylor展開(kāi)式的前3項(xiàng)得：2 2dr 1工 r )(1rs0s0r)dt2在初始值ro =0下解高階常微分方程得：1tr(t) 2

15、 (so1) th()s02,2,.、22 一. S 1其中(So1)2Soio, th- 從而容易由(14)式得出:dt2so2ch2(T)然后取定參數(shù) s0, b等，畫(huà)出（15）式的圖形，如圖 4中的曲線，實(shí)際數(shù)據(jù)在圖中用圓點(diǎn)15 / 13表示，可以看出，理論曲線與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合得相當(dāng)不錯(cuò)。七、被傳染比例的估計(jì)在一次傳染病的傳播過(guò)程中，被傳染人數(shù)的比例是健康者人數(shù)比例的初始值s0與s之差,記作 X,即 xs0s（16）當(dāng)io很小，so接近于1時(shí)，由（9）式可得1 .一X、_x ln（1一）0（17）So取對(duì)數(shù)函數(shù)Taylor展開(kāi)的前兩項(xiàng)有一 1 x 、 _x(1-) 0 (18)S02S0記

16、S0 工 ,可視為該地區(qū)人口比例超過(guò)閾值工的部分。當(dāng) 時(shí)(18)式給,1出 x 2S0So 2(19)這個(gè)結(jié)果表明，被傳染人數(shù)比例約為的2倍。對(duì)一種傳染病，當(dāng)該地區(qū)的衛(wèi)生和醫(yī)療水平1不變，即 不變時(shí)，這個(gè)比例就不會(huì)改變。而當(dāng)閾值,提高時(shí)，減小，于是這個(gè)比例就 會(huì)降低。這是一個(gè)關(guān)于傳染病方面的實(shí)例，看起來(lái)很復(fù)雜的題目，用數(shù)學(xué)建模就可以化抽象為具體，簡(jiǎn)單的利用微分方程，圖像，以及必要的數(shù)學(xué)軟件就可以解決問(wèn)題，同時(shí)把問(wèn)題細(xì)化， 分析了各種變量的影響。具體到七各方面的分析綜合，這樣一個(gè)問(wèn)題就解決了。建?；顒?dòng)本身就是教學(xué)方法改革的一種探索，它打破常規(guī)的那種老師臺(tái)上講，學(xué)生聽(tīng)，一味鉆研課本的傳統(tǒng)模式，而采

17、取提出問(wèn)題，課堂討論，帶著問(wèn)題去學(xué)習(xí)、 不固定于基本教材，不拘泥于某種方法，激發(fā)學(xué)生的多種思維，增強(qiáng)其學(xué)習(xí)主動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考，積 極思維的特性，這樣有利于學(xué)生根據(jù)自己的特點(diǎn)把握所學(xué)知識(shí)，形成自己的學(xué)習(xí)機(jī)制， 逐步培養(yǎng)很強(qiáng)的自學(xué)能力和分析、解決新問(wèn)題的能力。這對(duì)于我們以后所從事的教育工作也是一 個(gè)很好的啟發(fā)。于以前所學(xué)的文化知識(shí)，使我終生難忘。數(shù)學(xué)建模之心得體會(huì)一年一度的全國(guó)數(shù)學(xué)建模大賽在每年的9月的第三個(gè)周末的周五上午 8點(diǎn)拉開(kāi)戰(zhàn)幕，各隊(duì)將在3天72小時(shí)內(nèi)對(duì)一個(gè)現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行模型建立，求解和分析，確定題目后，我們隊(duì)三人分頭行動(dòng)，一人去圖書(shū)館查閱資料，一人在網(wǎng)上搜索相關(guān)信息，一人建立

18、模型， 通過(guò)三人的努力，在前兩天中建立出兩個(gè)模型并編程求解，經(jīng)過(guò)艱苦的奮斗，終于在第三天完成了論文的寫(xiě)作，在這三天里我感觸很深，現(xiàn)將心得體會(huì)寫(xiě)出，希望與大家交流。1 .團(tuán)隊(duì)精神團(tuán)隊(duì)精神是數(shù)學(xué)建模是否取得好成績(jī)的最重要的因素，一隊(duì)三個(gè)人要相互支持，相互鼓勵(lì)。切勿自己只管自己的一部分 (數(shù)學(xué)好的只管建模， 計(jì)算機(jī)好的只管編程， 寫(xiě)作好的只管論文寫(xiě)作)，很多時(shí)候，一個(gè)人的思考是不全面的，只有大家一起討論才有可能把問(wèn)題搞清楚，因此無(wú)論做任何板塊， 三個(gè)人要一起齊心才行， 只靠一個(gè)人的力量， 要在三天之內(nèi)寫(xiě)出一篇 高水平的文章幾乎是不可能的。2 .有影響力的leader在比賽中，leader是很重要的，

19、他的作用就相當(dāng)與計(jì)算機(jī)中的CPU是全隊(duì)的核心，如果一個(gè)隊(duì)的leader不得力,往往影響一個(gè)隊(duì)的正常發(fā)揮，就拿選題來(lái)說(shuō)，有人想做A題，有人想做B題，如果爭(zhēng)論一天都未確定方案的話，可能就沒(méi)有足夠時(shí)間完成一篇論文了，又 比如，當(dāng)隊(duì)中有人信心動(dòng)搖時(shí)(特別是第三天，人可能已經(jīng)心力交瘁了)，leader應(yīng)發(fā)揮其作用，讓整個(gè)隊(duì)伍重整信心，否則可能導(dǎo)致隊(duì)伍的前功盡棄。3 .合理的時(shí)間安排做任何事情，合理的時(shí)間安排非常重要，建模也是一樣，事先要做好一個(gè)規(guī)劃，建模一共分 十個(gè)板塊（摘要，問(wèn)題提出，模型假設(shè)，問(wèn)題分析，模型假設(shè)，模型建立，模型求解，結(jié)果分析，模型的評(píng)價(jià)與推廣，參考文獻(xiàn)，附錄） 。你每天要做完哪幾個(gè)板

20、塊事先要確定好，這樣做才會(huì)使自己游刃有余， 保證在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成論文， 以避免由于時(shí)間上的不妥， 以致于最后無(wú)法完成論文。4 . 正確的論文格式論文屬于科學(xué)性的文章， 它有嚴(yán)格的書(shū)寫(xiě)格式規(guī)范， 因此一篇好的論文一定要有正確的格式，就拿摘要來(lái)說(shuō)吧，它要包括6 要素（問(wèn)題 , 方法 , 模型 , 算法 , 結(jié)論 , 特色） ，它是一篇論文的概括， 摘要的好壞將決定你的論文是否吸引評(píng)委的目光， 但聽(tīng)閱卷老師說(shuō)， 這次有些論文的摘要里出現(xiàn)了大量的圖表和程序，這都是不符合論文格式的，這種論文也不會(huì)取得好成績(jī)，因此我們寫(xiě)論文時(shí)要端正態(tài)度，注意書(shū)寫(xiě)格式。5 . 論文的寫(xiě)作我個(gè)人認(rèn)為論文的寫(xiě)作是至關(guān)重要的，

21、其實(shí)大家最后的模型和結(jié)果都差不多， 為什么有些隊(duì)可以送全國(guó)，有些隊(duì)可以拿省獎(jiǎng)，而有些隊(duì)卻什么都拿不到，這關(guān)鍵在于論文的寫(xiě)作上面。一篇好的論文首先讀上去便使人感到邏輯清晰，有條例性，能打動(dòng)評(píng)委；其次，論文在語(yǔ)言上的表述也很重要， 要注意用詞的準(zhǔn)確性； 另外， 一篇好的論文應(yīng)有閃光點(diǎn)， 有自己的特色，有自己的想法和思考在里面，總之，論文寫(xiě)作的好壞將直接影響到成績(jī)的優(yōu)劣。6 . 算法的設(shè)計(jì)算法的設(shè)計(jì)的好壞將直接影響運(yùn)算速度的快慢，建議大家多用數(shù)學(xué)軟件（ Mathematice,Matlab,Maple, Mathcad,Lindo,Lingo,SAS 等） ，這里提供十種數(shù)學(xué)建模常用算法，僅供參考：

22、1、 蒙特卡羅算法（該算法又稱隨機(jī)性模擬算法， 是通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真來(lái)解決問(wèn)題的算法，同時(shí)可以通過(guò)模擬可以來(lái)檢驗(yàn)自己模型的正確性，是比賽時(shí)必用的方法）2、數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、插值等數(shù)據(jù)處理算法（比賽中通常會(huì)遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用 Matlab 作為工具）3、線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問(wèn)題（建模競(jìng)賽大多數(shù)問(wèn)題屬于最優(yōu)化問(wèn)題，很多時(shí)候這些問(wèn)題可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法來(lái)描述，通常使用 Lindo 、 Lingo 軟件實(shí)現(xiàn)）4、圖論算法（這類算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖等算法，涉及到圖論的問(wèn)題可以用這些方法解決，需要認(rèn)真準(zhǔn)備）5、動(dòng)

23、態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計(jì)算機(jī)算法（這些算法是算法設(shè)計(jì)中比較常用的方法，很多場(chǎng)合可以用到競(jìng)賽中）6、最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法（這些問(wèn)題是用來(lái)解決一些較困難的最優(yōu)化問(wèn)題的算法，對(duì)于有些問(wèn)題非常有幫助，但是算法的實(shí)現(xiàn)比較困難，需慎重使用）7、網(wǎng)格算法和窮舉法（網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點(diǎn)的算法，在很多競(jìng)賽題中有應(yīng)用， 當(dāng)重點(diǎn)討論模型本身而輕視算法的時(shí)候， 可以使用這種暴力方案， 最好使用一些高級(jí)語(yǔ)言作為編程工具）8、一些連續(xù)離散化方法（很多問(wèn)題都是實(shí)際來(lái)的，數(shù)據(jù)可以是連續(xù)的，而計(jì)算機(jī)只認(rèn)的是離散的數(shù)據(jù)，因此將其離散化后進(jìn)行差分代替微分、求和代替

24、積分等思想是非常重要的）9、數(shù)值分析算法（如果在比賽中采用高級(jí)語(yǔ)言進(jìn)行編程的話，那一些數(shù)值分析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運(yùn)算、函數(shù)積分等算法就需要額外編寫(xiě)庫(kù)函數(shù)進(jìn)行調(diào)用）10、圖象處理算法（賽題中有一類問(wèn)題與圖形有關(guān)，即使與圖形無(wú)關(guān)，論文中也應(yīng)該要不乏圖片的， 這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問(wèn)題， 通常使用 Matlab 進(jìn)行處理）以上便是我這次參加這次數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的一點(diǎn)心得體會(huì)， 只當(dāng)貽笑大方， 不過(guò)就數(shù)學(xué)建模本身而言， 它是魅力無(wú)窮的， 它能夠鍛煉和考查一個(gè)人的綜合素質(zhì)， 也希望廣大同學(xué)能夠積極參與到這項(xiàng)活動(dòng)當(dāng)中來(lái)。認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)總結(jié)數(shù)學(xué)建模隨著人類的進(jìn)步， 科技的發(fā)展和社會(huì)的

25、日趨數(shù)字化， 應(yīng)用領(lǐng)域越來(lái)越廣泛， 人們身邊的數(shù)學(xué)內(nèi)容越來(lái)越豐富。 強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用及培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)對(duì)推動(dòng)素質(zhì)教育的實(shí)施意義十分巨大。 數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)教育中的地位被提到了新的高度， 通過(guò)數(shù)學(xué)建模解數(shù)學(xué)應(yīng)用題，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。一、數(shù)學(xué)應(yīng)用題的特點(diǎn)我們常把來(lái)源于客觀世界的實(shí)際， 具有實(shí)際意義或?qū)嶋H背景， 要通過(guò)數(shù)學(xué)建模的方法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形式表示， 從而獲得解決的一類數(shù)學(xué)問(wèn)題叫做數(shù)學(xué)應(yīng)用題。 數(shù)學(xué)應(yīng)用題具有如下特點(diǎn)：第一、 數(shù)學(xué)應(yīng)用題的本身具有實(shí)際意義或?qū)嶋H背景。 這里的實(shí)際是指生產(chǎn)實(shí)際、 社會(huì)實(shí)際、 生活實(shí)際等現(xiàn)實(shí)世界的各個(gè)方面的實(shí)際。 如與課本知識(shí)密切聯(lián)系的源于實(shí)際生活的應(yīng)用題；與模向?qū)W科

26、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)有聯(lián)系的應(yīng)用題； 與現(xiàn)代科技發(fā)展、社會(huì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)、環(huán)境保護(hù)、實(shí)事政治等有關(guān)的應(yīng)用題等。第二、 數(shù)學(xué)應(yīng)用題的求解需要采用數(shù)學(xué)建模的方法， 使所求問(wèn)題數(shù)學(xué)化， 即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)形式來(lái)表示后再求解。第三、 數(shù)學(xué)應(yīng)用題涉及的知識(shí)點(diǎn)多。 是對(duì)綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題能力的檢驗(yàn)， 考查的是學(xué)生的綜合能力， 涉及的知識(shí)點(diǎn)一般在三個(gè)以上， 如果某一知識(shí)點(diǎn)掌握的不過(guò)關(guān)，很難將問(wèn)題正確解答。第四、 數(shù)學(xué)應(yīng)用題的命題沒(méi)有固定的模式或類別。 往往是一種新穎的實(shí)際背景， 難于進(jìn)行題型模式訓(xùn)練， 用“題海戰(zhàn)術(shù)”無(wú)法解決變化多端的實(shí)際問(wèn)題。 必須依靠真實(shí)的能力來(lái)解題，對(duì)綜合能力的考查更具真實(shí)、有效性

27、。因此它具有廣闊的發(fā)展空間和潛力。二、數(shù)學(xué)應(yīng)用題如何建模建立數(shù)學(xué)模型是解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵，如何建立數(shù)學(xué)模型可分為以下幾個(gè)層次：第一層次：直接建模。根據(jù)題設(shè)條件，套用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)公式、定理等數(shù)學(xué)模型。第二層次： 直接建模?？衫矛F(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型，但必須概括這個(gè)數(shù)學(xué)模型，對(duì)應(yīng)用題進(jìn)行分析， 然后確定解題所需要的具體數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)模型中所需數(shù)學(xué)量需進(jìn)一步求出， 然后才能使用現(xiàn)有數(shù)學(xué)模型。第三層次： 多重建模。對(duì)復(fù)雜的關(guān)系進(jìn)行提煉加工，忽略次要因素，建立若干個(gè)數(shù)學(xué)模型方能解決問(wèn)題。第四層次：假設(shè)建模。要進(jìn)行分析、加工和作出假設(shè)，然后才能建立數(shù)學(xué)模型。如研究十字路口車流量問(wèn)題，假設(shè)車流平穩(wěn)，沒(méi)有突發(fā)事件等才

28、能建模。三、建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)具備的能力從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型， 解決數(shù)學(xué)問(wèn)題從而解決實(shí)際問(wèn)題， 這一數(shù)學(xué)全過(guò)程的教學(xué)關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型， 數(shù)學(xué)建模能力的強(qiáng)弱， 直接關(guān)系到數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題質(zhì)量， 同時(shí)也體 現(xiàn)一個(gè)學(xué)生的綜合能力。3 1 提高分析、理解、閱讀能力。閱讀理解能力是數(shù)學(xué)建模的前提， 數(shù)學(xué)應(yīng)用題一般都創(chuàng)設(shè)一個(gè)新的背景， 也針對(duì)問(wèn)題本身使用一些專門(mén)術(shù)語(yǔ)， 并給出即時(shí)定義。 如 1999 年高考題第22 題給出冷軋鋼帶的過(guò)程敘述，給出了“減薄率”這一專門(mén)術(shù)語(yǔ)， 并給出了即時(shí)定義， 能否深刻理解， 反映了自身綜合素質(zhì)，這種理解能力直接影響數(shù)學(xué)建模質(zhì)量。4 2 強(qiáng)化將文字語(yǔ)言敘述轉(zhuǎn)譯成數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)

29、言的能力。將數(shù)學(xué)應(yīng)用題中所有表示數(shù)量關(guān)系的文字、圖象語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言即數(shù)、式子、方程、不等式、函數(shù)等，這種譯釋能力是數(shù)學(xué)建成模的基礎(chǔ)性工作。例如：一種產(chǎn)品原來(lái)的成本為a 元，在今后幾年內(nèi)，計(jì)劃使成本平均每一年比上一年降低p%經(jīng)過(guò)五年后的成本為多少？將題中給出的文字翻譯成符號(hào)語(yǔ)言，成本y=a(1-p%)55 3 增強(qiáng)選擇數(shù)學(xué)模型的能力。選擇數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)能力的反映。 數(shù)學(xué)模型的建立有多種方法， 怎樣選擇一個(gè)最佳的模型，體現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的強(qiáng)弱。建立數(shù)學(xué)模型主要涉及到方程、函數(shù)、不等式、數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式、 曲線方程等類型。結(jié)合教學(xué)內(nèi)容， 以函數(shù)建模為例，以下實(shí)際問(wèn)題所選擇的數(shù)學(xué)模型列表：函數(shù)

30、建模類型 實(shí)際問(wèn)題一次函數(shù)成本、利潤(rùn)、銷售收入等二次函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題、用料最省問(wèn)題、造價(jià)最低、利潤(rùn)最大等冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)細(xì)胞分裂、生物繁殖等三角函數(shù)測(cè)量、交流量、力學(xué)問(wèn)題等。6 4 加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。數(shù)學(xué)應(yīng)用題一般運(yùn)算量較大、較復(fù)雜，且有近似計(jì)算。有的盡管思路正確、建模合理，但計(jì)算能力欠缺， 就會(huì)前功盡棄。 所以加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算推理能力是使數(shù)學(xué)建模正確求解的關(guān)鍵所在， 忽視運(yùn)算能力，特別是計(jì)算能力的培養(yǎng)，只重視推理過(guò)程， 不重視計(jì)算過(guò)程的做法是 不可取的。數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)應(yīng)用的橋梁， 研究和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型， 能幫助學(xué)生探索數(shù)學(xué)的應(yīng)用， 產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣， 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能

31、力， 加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)與學(xué)習(xí) 對(duì)學(xué)生的智力開(kāi)發(fā)具有深遠(yuǎn)的意義，現(xiàn)就如何加強(qiáng)高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)談幾點(diǎn)體會(huì)。一要重視各章前問(wèn)題的教學(xué)，使學(xué)生明白建立數(shù)學(xué)模型的實(shí)際意義。教材的每一章都由一個(gè)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題引入， 可直接告訴學(xué)生， 學(xué)了本章的教學(xué)內(nèi)容及方法后，這個(gè)實(shí)際問(wèn)題就能用數(shù)學(xué)模型得到解決， 這樣， 學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生創(chuàng)新意識(shí)， 對(duì)新數(shù)學(xué) 模型的渴求，實(shí)踐意識(shí)，學(xué)完要在實(shí)踐中試一試。如新教材“三角函數(shù)”章前提出： 有一塊以 O 點(diǎn)為圓心的半圓形空地， 要在這塊空地上劃出一個(gè)內(nèi)接矩形ABC郵為綠冊(cè)，使其冊(cè)邊AD落在半圓的直徑上，另兩點(diǎn)BC落在半圓的圓周上，已知半圓的半徑長(zhǎng)為a,如何選擇關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱的點(diǎn)A、D

32、的位置，可以使矩形面積最大？這是培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)及實(shí)踐能力的好時(shí)機(jī)要注意引導(dǎo)，對(duì)所考察的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象分析，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)新舊兩種思路方法，提出新知識(shí)，激發(fā)學(xué)生的知欲，如不可挫傷學(xué)生的積極性，失去“亮點(diǎn)”。這樣通過(guò)章前問(wèn)題教學(xué)， 學(xué)生明白了數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)， 研究和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型， 同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生追求新方法的意識(shí)及參與實(shí)踐的意識(shí)。 因此， 要重視章前問(wèn)題的教學(xué)， 還可據(jù)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的建設(shè)與發(fā)展的需要及學(xué)生實(shí)踐活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題， 補(bǔ)充一些實(shí)例， 強(qiáng)化這方面的教學(xué)， 使學(xué)生在日常生活及學(xué)習(xí)中重視數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)。（ 通過(guò)幾何、 三角形測(cè)量問(wèn)題和列方程解應(yīng)用題的教學(xué)滲透數(shù)學(xué)建模的思想與思維過(guò)

33、程。學(xué)習(xí)幾何、 三角的測(cè)量問(wèn)題， 使學(xué)生多方面全方位地感受數(shù)學(xué)建模思想， 讓學(xué)生認(rèn)識(shí)更多現(xiàn)在數(shù)學(xué)模型，鞏固數(shù)學(xué)建模思維過(guò)程、教學(xué)中對(duì)學(xué)生展示建模的如下過(guò)程：現(xiàn)實(shí)原型問(wèn)題數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)抽象簡(jiǎn)化原則演算推理現(xiàn)實(shí)原型問(wèn)題的解數(shù)學(xué)模型的解反映性原則返回解釋列方程解應(yīng)用題體現(xiàn)了在數(shù)學(xué)建模思維過(guò)程，要據(jù)所掌握的信息和背景材料，對(duì)問(wèn)題加以變形，使其簡(jiǎn)單化，以利于解答的思想。且解題過(guò)程中重要的步驟是據(jù)題意更出方程，從而使學(xué)生明白，數(shù)學(xué)建模過(guò)程的重點(diǎn)及難點(diǎn)就是據(jù)實(shí)際問(wèn)題特點(diǎn)，通過(guò)觀察、類比、歸納、分析、 概括等基本思想， 聯(lián)想現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型或變換問(wèn)題構(gòu)造新的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題。 如利息（復(fù)利）的數(shù)列模型、利潤(rùn)計(jì)算

34、的方程模型決策問(wèn)題的函數(shù)模型以及不等式模型等。三結(jié)合各章研究性課題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的能力，拓展數(shù)學(xué)建模形式的多樣性式與活潑性。高中新大綱要求每學(xué)期至少安排一個(gè)研究性課題，就是為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，如“數(shù)列”章中的“分期付款問(wèn)題”、 “平面向是章中向量在物理中的應(yīng)用”等， 同時(shí)，還可設(shè)計(jì)類似利潤(rùn)調(diào)查、洽談、采購(gòu)、銷售等問(wèn)題。設(shè)計(jì)了如下研究性問(wèn)題。例 1 根據(jù)下表給出的數(shù)據(jù)資料，確定該國(guó)人口增長(zhǎng)規(guī)律，預(yù)測(cè)該國(guó) 2000年的人口數(shù)。時(shí)間 （ 年份 ） 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990人中數(shù) （ 百萬(wàn) ） 39 50 63 76

35、 92 106 123 132 145分析：這是一個(gè)確定人口增長(zhǎng)模型的問(wèn)題，為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，應(yīng)作如下假設(shè)： （ 1）該國(guó)的政治、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)環(huán)境穩(wěn)定；（ 2 ）該國(guó)的人口增長(zhǎng)數(shù)由人口的生育，死亡引起；（3）人口數(shù)量化是連續(xù)的。 基于上述假設(shè)， 我們認(rèn)為人口數(shù)量是時(shí)間函數(shù)。 建模思路是根據(jù)給出的數(shù)據(jù)資料繪出散點(diǎn)圖， 然后尋找一條直線或曲線， 使它們盡可能與這些散點(diǎn)吻合， 該直線或曲線就被認(rèn)為近似地描述了該國(guó)人口增長(zhǎng)規(guī)律，從而進(jìn)一步作出預(yù)測(cè)。通過(guò)上題的研究， 既復(fù)習(xí)鞏固了函數(shù)知識(shí)更培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和實(shí)踐能力及創(chuàng)新意識(shí)。 在日常教學(xué)中注意訓(xùn)練學(xué)生用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題； 培養(yǎng)學(xué)生做生活的有

36、心人及生活中“數(shù)”意識(shí)和觀察實(shí)踐能力，如記住一些常用及常見(jiàn)的數(shù)據(jù)， 如：人行車、自行車的速度，自己的身高、體重等。利用學(xué)校條件，組織學(xué)生到操場(chǎng)進(jìn)行實(shí)習(xí)活動(dòng)，活動(dòng)一結(jié)束， 就回課堂把實(shí)際問(wèn)題化成相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決。 如： 推鉛球的角度與距離關(guān)系；全班同學(xué)手拉手圍成矩形圈，怎樣圍使圍成的面積最大等，用磚塊搭成多米諾牌骨等。四、培養(yǎng)學(xué)生的其他能力，完善數(shù)學(xué)建模思想。由于數(shù)學(xué)模型這一思想方法幾乎貫穿于整個(gè)中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程之中， 小學(xué)解算術(shù)運(yùn)用題中學(xué)建立函數(shù)表達(dá)式及解析幾何里的軌跡方程等都孕育著數(shù)學(xué)模型的思想方法， 熟練掌握和運(yùn)用這種方法， 是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)分析問(wèn)題、 解決問(wèn)題能力的關(guān)鍵， 我認(rèn)為

37、這就要求培養(yǎng)學(xué)生以下幾點(diǎn)能力，才能更好的完善數(shù)學(xué)建模思想：（ 1 ）理解實(shí)際問(wèn)題的能力；（ 2 ）洞察能力，即關(guān)于抓住系統(tǒng)要點(diǎn)的能力；（ 3 ）抽象分析問(wèn)題的能力；（ 4 ）“翻譯”能力，即把經(jīng)過(guò)一生抽象、簡(jiǎn)化的實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)的語(yǔ)文符號(hào)表達(dá)出來(lái)，形成數(shù)學(xué)模型的能力和對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行推演或計(jì)算得到注結(jié)果能自然語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)的能力；（ 5 ）運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力；（ 6 ）通過(guò)實(shí)際加以檢驗(yàn)的能力。只有各方面能力加強(qiáng)了，才能對(duì)一些知識(shí)觸類旁通，舉一反三，化繁為簡(jiǎn)，如下例就要用到各種能力，才能順利解出。數(shù)學(xué)建模隨著人類的進(jìn)步， 科技的發(fā)展和社會(huì)的日趨數(shù)字化， 應(yīng)用領(lǐng)域越來(lái)越廣泛， 人們身邊的數(shù)學(xué)內(nèi)容越來(lái)

38、越豐富。 強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用及培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)對(duì)推動(dòng)素質(zhì)教育的實(shí)施意義十分巨大。 數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)教育中的地位被提到了新的高度， 通過(guò)數(shù)學(xué)建模解數(shù)學(xué)應(yīng)用題，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。參加數(shù)學(xué)建模的心得體會(huì)數(shù)學(xué)建模的暑期培訓(xùn)第一階段告一段落了，經(jīng)過(guò)這一階段的培訓(xùn)，我終于對(duì)數(shù)學(xué)建模有了全面而深入的認(rèn)識(shí)， 而不像以前只是膚淺的了解。 我們暑期的數(shù)模培訓(xùn)分為兩部分， 第一部分是從期中考試剛一考完到現(xiàn)在， 是個(gè)人賽階段， 當(dāng)然比賽并不是全部， 平時(shí)還穿插有各方面的講座。 每天的生活起居在炎炎烈日下變得非常規(guī)律， 雖然放假了每天早上還是不能貪睡， 每天 8 點(diǎn)前老老實(shí)實(shí)的起床奔向東九 B303， 搶占前面的位置好看清P

39、PT； 中午下課了頂著炎炎烈日通常都胃口不佳， 強(qiáng)忍著煩躁的心情在東園隨便扒幾口飯， 回寢室速速上床午睡，然后直到晚上自習(xí)結(jié)束，期間除了去法拉盛吃晚飯， 就都呆在東九蹭空調(diào)了。 日子流水一樣過(guò)去，捫心自問(wèn)，我到底長(zhǎng)進(jìn)了多少呢？我想，收獲的是多方面的。在知識(shí)方面，我在已經(jīng)過(guò)去的半個(gè)月中，已經(jīng)從四五位老師那里學(xué)到了從人口模型、 捕食者模型到裝箱問(wèn)題、 延遲問(wèn)題等等各式各樣新奇、 卻又緊貼生活實(shí)際的模型和建立方法。 并且還有具有豐富數(shù)模競(jìng)賽審閱經(jīng)驗(yàn)的老師來(lái)為我們講解數(shù)模論文寫(xiě)作時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題，以及告訴我們通常評(píng)分的原則，好讓我們?cè)趯?xiě)論文是有的放矢，抓住得分點(diǎn)。 每個(gè)老師都會(huì)主動(dòng)把課件留在電腦上， 讓

40、我們自行參考， 特別是一些具體的程序，是沒(méi)辦法在上課時(shí)看幾眼就自己領(lǐng)會(huì)的， 需要下來(lái)自己的不斷實(shí)踐。因此，我很喜歡這樣教學(xué)相長(zhǎng)的氛圍， 老師和學(xué)生并沒(méi)有不可逾越的隔閡， 而是互相敞開(kāi)心扉，盡情交流、探討學(xué)習(xí)中的問(wèn)題。以上說(shuō)的知識(shí)是在課堂老師歸納總結(jié)以后，做成系統(tǒng)的課件給我們講述的。實(shí)際上，我認(rèn)為這只是起到投石問(wèn)路、 拋磚引玉的作用， 它們更多的是教會(huì)我們數(shù)學(xué)模型建立的思路。比如人口模型， 從最開(kāi)始的指數(shù)增長(zhǎng)， 到隨著西方世界人口趨向飽和以后增長(zhǎng)放緩， 模型的嚴(yán)重偏離實(shí)際引發(fā)人們修改模型， 引入一個(gè)限制因子， 再到進(jìn)來(lái)因?yàn)檎J(rèn)識(shí)到人的出生到成熟、交結(jié)異性、 繁衍后代以及妊娠期不可避免的會(huì)延遲人口的

41、增長(zhǎng)， 所以又在微分方程組中加入了延遲的因素人口模型的發(fā)展仍沒(méi)有結(jié)束，或許在可見(jiàn)的將來(lái)也都不會(huì)結(jié)束，但它有最初等的指數(shù)增長(zhǎng)一路走過(guò)來(lái)， 凝聚的是一代代人理性思維的光輝。 而我們正是踏著這條道路，在僅僅一兩堂課的時(shí)間內(nèi)， 走過(guò)這些崎嶇的思想之路， 無(wú)形中讓我們了解到數(shù)學(xué)建模的精髓，那就是提出模型驗(yàn)證模型修改模型再驗(yàn)證再修改， 真正的復(fù)雜問(wèn)題是不可能只靠空想就能出結(jié)果的， 否則也不叫復(fù)雜問(wèn)題了。 只有通過(guò)不懈的思考與嘗試， 發(fā)現(xiàn)有問(wèn)題以后及時(shí)修改、 琢磨新的思路和先前的瑕疵， 才能完善模型。 因此， 在以后的建模過(guò)程中，我學(xué)到了這種一步一步、 不斷修改的踏實(shí)的研究方法， 而不再像以前只是懵懵懂懂的絞盡腦汁想個(gè)方案，然后就湊合了事，雖然明知有缺陷也不知該從何下手。除了建模本身的無(wú)數(shù)寶