1、蘭州大學(xué)蘭州大學(xué)核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2022-4-141 把把R-K方法方法中的中的 f 和和 y 看作看作向量來處理，這樣向量來處理，這樣就就就就可以把上述公式應(yīng)用到求解可以把上述公式應(yīng)用到求解一階常微分方程一階常微分方程組組中中。 一階常微分方程組的一般形式一階常微分方程組的一般形式12( ,)1,2,iiNyf x y yyiN 初值條件：初值條件：00()1,2,iiy xyiN向量格式：向量格式：0001201212(,)(,)(,)NNNyy yyyyyyffff常微分方程組的一般形式常微分方程組的一般形式蘭州大學(xué)蘭州大學(xué)核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2022-4-1

2、420000( , , ),()( , , ),()oe x o po xopg x o pp xp考慮由考慮由兩個方程兩個方程組成的組成的一一階常微分方程階常微分方程組組1123411234(22)6(22)6nnnnhooTTTThppLLLL相應(yīng)的相應(yīng)的R-K格式為格式為11234(22)6nnhyykkkk蘭州大學(xué)蘭州大學(xué)核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2022-4-14式式中中： 112111221112312223122241334133(,)(,)(,)22(,)22(,)22(,)22(,)(,)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnTe xopLg xophhTe

3、xoTpLhhLg xoTpLhhTe xoTpLhhLg xoTpLTe xohTphLLg xohTphL121123122413(,)(,)2(,)2(,)nnnnnnnnkf xyhkf xykhkf xykkf xyhk蘭州大學(xué)蘭州大學(xué)核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2022-4-144 高階方程組高階方程組考察考察m m階常微分方程組的一般形式階常微分方程組的一般形式()(1)( , ,)mmyf x y y yy初值條件：初值條件：(1)(1)000000(),(),()mmy xyy xyyxy引進新的變量：引進新的變量：(1)12,mmyyyyyy相應(yīng)的初值條件：相應(yīng)的初值條

4、件：(1)10020000(),(),()mmy xyy xyyxy蘭州大學(xué)蘭州大學(xué)核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2022-4-145例例 給出下列常微分方程等價的給出下列常微分方程等價的一階方程組一階方程組，給，給出出相相 應(yīng)的應(yīng)的四四階階R-K格式，及其格式，及其K函數(shù)函數(shù)？00(1)()1,()1oooo xo x 引入變量引入變量 ，化為化為一階方程組初值問題一階方程組初值問題: :po00(1)()1, ()1opppoo xp x 蘭州大學(xué)蘭州大學(xué)核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2022-4-146相應(yīng)的相應(yīng)的R-K格式為格式為式中式中 1123411234(22)6(22)6n

5、nnnhooTTTThppLLLL11212113232243433(1)2()1()222()1()22()1()nnnnnnnnnnnnTpLpohTpThhLpToLhTpThhLpToLTphTLphTohL蘭州大學(xué)蘭州大學(xué)核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2022-4-147 剛性剛性方程方程組組一般系統(tǒng)：一般系統(tǒng)：( )( )dyAy tg tdt定義定義：若線性系統(tǒng)中若線性系統(tǒng)中A的特征值為的特征值為j，滿足條件，滿足條件j=Re(j)1時，時，A為為病態(tài)矩陣病態(tài)矩陣，故剛性方程也稱為，故剛性方程也稱為病態(tài)方程病態(tài)方程。通常。通常s10就認為是剛性就認為是剛性的，的，s越大病態(tài)越大

6、病態(tài)越嚴重越嚴重。11Re() /Re()1maxminjjj Nj Ns 蘭州大學(xué)蘭州大學(xué)核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2022-4-14本章小結(jié)本章小結(jié) 本章介紹了常微分方程初值問題的基本數(shù)值解本章介紹了常微分方程初值問題的基本數(shù)值解法。包括法。包括單步法單步法和和多步法多步法。單步法主要有。單步法主要有歐拉法歐拉法、改進歐拉法改進歐拉法和和龍格龍格庫塔方法庫塔方法。多步法是。多步法是亞當姆斯亞當姆斯法法。 基于基于把一個把一個連續(xù)的定解問題離散化為一個差分連續(xù)的定解問題離散化為一個差分方程來求解方程來求解，是一種步進式的方法。用，是一種步進式的方法。用多步法求常多步法求常微分方程的數(shù)值

7、解可獲得較高的精度微分方程的數(shù)值解可獲得較高的精度。 蘭州大學(xué)蘭州大學(xué)核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2022-4-14 實際實際應(yīng)用時，選擇合適的算法有一定的難度，應(yīng)用時，選擇合適的算法有一定的難度，既要考慮既要考慮算法的簡易性和計算量算法的簡易性和計算量，又要考慮，又要考慮截斷誤截斷誤差和收斂性、穩(wěn)定性差和收斂性、穩(wěn)定性。 龍格龍格-庫塔法庫塔法 較為較為常用，適用于多步方法中作常用，適用于多步方法中作初值計算和初值計算和函數(shù)函數(shù) f(x, y) 較為較為簡單的場合簡單的場合。 四階四階的的龍格龍格庫塔法庫塔法 精度精度高，程序簡單，易高，程序簡單，易于改變步長，比較穩(wěn)定，也是一個常用的方法，但于改變步長，比較穩(wěn)定，也是一個常用的方法，但計算量較大計算量較大。 蘭州大學(xué)蘭州大學(xué)核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2022-4-1410常微分方程應(yīng)用常微分方程應(yīng)用單一超聲空化氣泡動力學(xué)過程的數(shù)值分析單一超聲空化氣泡動力學(xué)過程的數(shù)值分析王捷王捷陜西師范大學(xué)碩士論文陜西師范大學(xué)碩士論文20062006蘭州大學(xué)蘭州大學(xué)核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2022-4-1411蘭州大學(xué)蘭州大學(xué)核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2022-4-1412蘭州大學(xué)蘭州大學(xué)核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2022-4-1413蘭州大學(xué)蘭州大學(xué)核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院