1、計(jì)算方法例題解答緒論 1. 在進(jìn)行一個(gè)工程問(wèn)題數(shù)值計(jì)算時(shí)，一般誤差有哪些可能的來(lái)？ 模型誤差、參數(shù)誤差（測(cè)量、計(jì)算等）、理論誤差（算法、模型應(yīng)用）、舍如誤差 （基本含義對(duì)即可）第一章 插值 1. 什么是插值？請(qǐng)寫(xiě)出線性插值公式和拋物插值公式。 2. 已知，求的插值多項(xiàng)式。 解：由題意知： 3. 今需作滿(mǎn)足條件的插值多項(xiàng)式，采用什么插值方法（多項(xiàng)式），請(qǐng)給出多項(xiàng)式的構(gòu)造步驟。 解法1：根據(jù)三次Hermite插值多項(xiàng)式： 并依條件，得 解法2：由于，故可直接由書(shū)中（3.9）式，得 4. 設(shè)分段多項(xiàng)式 是以為節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)，試確定系數(shù)的值。 解：由可得 解得 5. 對(duì)某扭振減振器剛度進(jìn)行了測(cè)量，

2、得出了一組扭矩相對(duì)扭轉(zhuǎn)角的數(shù)值如下表所示，現(xiàn)需要得出扭轉(zhuǎn)角為0.3 o、0.8 o、2.3 o時(shí)的扭矩，請(qǐng)給出合適的拉格朗日插值方案，即如何選取積分節(jié)點(diǎn)和積分公式。 序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 扭轉(zhuǎn)角(O) 0.0025 0.1504 0.4386 0.7038 0.9945 1.2903 1.647 1.9635 2.491 扭矩(Nm) 1.270 111.8 328.9 530.6 755.5 986.8 1271.0 1526.1 3140.2 （如下兩種均可，每個(gè)4分）選擇線性插值公式時(shí)： 1) 0.3 o時(shí)，選擇2、3點(diǎn) 2) 0.8 o時(shí)，選擇4、5點(diǎn) 3) 2.3

3、 o時(shí)，選擇8、9點(diǎn) 選擇拋物插值公式時(shí)： 1) 0.3 o時(shí)，選擇1、2、3點(diǎn) 2) 0.8 o時(shí)，選擇3、4、5點(diǎn) 3) 2.3 o時(shí)，選擇7、8、9點(diǎn) 第二章 數(shù)值逼近和曲線擬合 1. 計(jì)算下列函數(shù)關(guān)于的2范數(shù)： 注： 解：（1）（2）2. 求，使積分取得最小值。 解：題意即為在中求的最佳平方逼近多項(xiàng)式，故滿(mǎn)足法方程 或者按下述方法： 因?yàn)?上式分別對(duì)求偏導(dǎo)，并令其為零，有 從而也有 ， 3. 用最小二乘原理求矛盾方程組 的最小二乘解。 注：給定線性代數(shù)方程組，當(dāng)時(shí)，稱(chēng)其為超定方程組。求使得 取最小值。應(yīng)用微分學(xué)中多元函數(shù)求極值的方法可以證明為方程組 的解。稱(chēng)為超定方程組的最小二乘解。

4、解法一： 由題意得： 所以即是所求的最小二乘解。 誤差平方和為 解法二：求，使誤差平方和 為最小，令 得方程組如下： 解方程組有： 4. 用最小二乘法求一個(gè)形如的經(jīng)驗(yàn)公式，使它與下列數(shù)據(jù)相擬合，并估計(jì)平方誤差。 19 25 31 38 44 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 解： 將=19,25,31,38,44分別代入，得 所以誤差 5. 求形如的經(jīng)驗(yàn)公式，使它能和下表給出的數(shù)據(jù)相擬合。 1 2 3 4 5 6 7 8 153 205 274 366 491 656 878 1176 解： 設(shè)，兩邊取對(duì)數(shù)得令，則有 設(shè)，于是得到正規(guī)方程組: 其中, ， 正規(guī)方程組化為: 得=

5、2.43689 =0.291211 =2.43689所以=11.45 =0.291211 =2.43689所以=11.45 1=0.291211 6. 求函數(shù)在給定區(qū)間上對(duì)于的最佳平方逼近多項(xiàng)式： 解：設(shè)（1）(2) 。 。 7. 什么是曲線擬合？請(qǐng)給出建立的主要步驟。 主要步驟： 1）讀入數(shù)據(jù)表 2）給出2次多項(xiàng)式形式，定義內(nèi)積運(yùn)算 3）計(jì)算法方程線性方程組的系數(shù)矩陣、右端項(xiàng) 4）求解線性方程組，得出二次多項(xiàng)式系數(shù) 5）得出二次多項(xiàng)式函數(shù)并輸出系數(shù) 第三章 數(shù)值積分 1. 分別用梯形公式計(jì)算積分。 解：1）用梯形公式有： 2. 用復(fù)合梯形公式計(jì)算下列積分. (1)，（3），（4）解：（1）用

6、復(fù)合梯形公式有： ， 解（3）： 由復(fù)合梯形公式有： （4）解： 由復(fù)合梯形公式： 3. 利用代數(shù)精度方法構(gòu)造0,1區(qū)間內(nèi)的兩點(diǎn)Gauss求積公式，并給出代數(shù)精確度。 解：令原式對(duì)于準(zhǔn)確成立，于是有 解得： 代數(shù)精確度：3 4. 在一維數(shù)值積分中，梯形計(jì)算公式有幾階代數(shù)精確度；兩點(diǎn)高斯積分公式可以滿(mǎn)足3階的代數(shù)精確度，請(qǐng)簡(jiǎn)述其原因。 梯形公式有1階代數(shù)精確度； 兩點(diǎn)高斯公式有3階代數(shù)精確度,其原因：因?yàn)榉e分公式中有兩個(gè)積分點(diǎn)位置和兩個(gè)積分常數(shù)，共四個(gè)參數(shù)，可以通過(guò)滿(mǎn)足4個(gè)條件解出。所以可以實(shí)現(xiàn)03次多項(xiàng)式的精確積分，故此有3次代數(shù)精確度。 5. 用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分，計(jì)算中函數(shù)值參照下表。

7、1/8 1/4 3/8 1/2 0.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510 5/8 3/4 7/8 1 0.9361556 0.9088516 0.8771926 0.8414709 （10分）第四章 線性方程組 1. 在應(yīng)用高斯消去法進(jìn)行線性方程組求解時(shí)，常需要應(yīng)用選主元高斯消去法，請(qǐng)簡(jiǎn)述選主元的原因。 因?yàn)楦咚瓜r(shí)，需要進(jìn)行將對(duì)角元素作為除數(shù)的除法運(yùn)算，當(dāng)其為0或接近0時(shí)，講出現(xiàn)數(shù)據(jù)溢出或誤差過(guò)大，選擇矩陣中絕對(duì)值大的元素，移到對(duì)角位置，則消元時(shí)可避免這一問(wèn)題出現(xiàn)。 2. 用Gauss消去法解方程組 解:方程組寫(xiě)成矩陣形式為 對(duì)其進(jìn)行Gauss消去得

8、得方程組 3. 用Gauss列主元素消去法解方程組 解：因?yàn)榈谝涣兄?0最大,因此把10作為列主元素 得到方程組 4. 已知，求二范數(shù)。 解： 5. 設(shè)計(jì)算A的條件數(shù) 解： 矩陣A的較大特征值為198.00505035，較小的特征值為-0.00505035，則 第五章 非線性方程 1. 證明在內(nèi)有一個(gè)根，使用二分法求誤差不大于的根要迭代多少次？ 證明：設(shè) 由于 且當(dāng)時(shí)， 因此方程在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)根。 由解得 所以需要迭代14次，才能使求得的根的誤差不大于。 2. .能否用迭代法求解下列方程 解： 故迭代格式收斂，可以用其來(lái)求解方程。 設(shè) 可知在上存在一個(gè)根，即 當(dāng)時(shí)， 可知不能用迭代格式來(lái)求解方

9、程。 可將方程變形為令 所以迭代格式收斂，可以用其來(lái)求解方程。 3. 給出牛頓迭代格式，計(jì)算給定的方法求在附近的根。 解： 將它們代入公式有， 取計(jì)算結(jié)果列于下表，并和比較得出結(jié)果， 0 1 2 3 2 1.888889 1.879452 1.879385 解得 4. 設(shè)構(gòu)造求解方程的Newton迭代格式； 解：由從而有Newton迭代格式 第六章 常微分方程 1. 用Euler格式計(jì)算初值問(wèn)題 的解函數(shù)在時(shí)的近似值（取步長(zhǎng)）。 解：將代人Euler格式，注意到則有： 據(jù)可得計(jì)算結(jié)果如下 即 2. 需要對(duì)某常微分方程初值問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值求解，請(qǐng)給出數(shù)值計(jì)算主要步驟；隨著積分過(guò)程，其誤差具有什么特點(diǎn)。 步驟： 1) 定義導(dǎo)數(shù)運(yùn)算函數(shù)或子程序 2) 定義計(jì)算初始值 3) 給出積分步長(zhǎng)和計(jì)算終止條件 4) 選擇并實(shí)現(xiàn)計(jì)算方法，如龍格庫(kù)塔法等 5) 進(jìn)行積分運(yùn)算 6) 單步輸出或最后統(tǒng)一輸出計(jì)算結(jié)果（離散點(diǎn)數(shù)據(jù)值）誤差特點(diǎn)：誤差具有不可避免的累積過(guò)程，積分步長(zhǎng)和方法不同，會(huì)有差異。 第七章 其它 一 請(qǐng)簡(jiǎn)述需要應(yīng)用弱形式進(jìn)行偏微分方程數(shù)值求解基本原理和關(guān)鍵過(guò)程。 基本原理：采用弱形式方程代替強(qiáng)形式作為求解方程，選擇合適的線性空間進(jìn)行描述試驗(yàn)函數(shù)和界定試驗(yàn)函數(shù)尋求范圍；通過(guò)選擇權(quán)函數(shù)并帶入弱形式方程，獲得計(jì)算試驗(yàn)函數(shù)中待定系數(shù)的代數(shù)