1、 微分方程之 減肥問題 講課小組： 何偉 張波 鄭健偉摘要： 在研究實際問題時，常常會聯(lián)系到某些變量的變化率或倒數(shù)，這樣所得到變量之間的關(guān)系就是微分方程模型。微分方程模型反應(yīng)的是變量之間的間接關(guān)系，因此，在研究能量與運動之間的關(guān)系時，得到直接關(guān)系，就得求微分方程。 本文利用了微分方程模型求解實際問題，根據(jù)基本規(guī)律寫出了平衡關(guān)系式，再利用一定的轉(zhuǎn)換條件轉(zhuǎn)化為簡單明了的式子，求解出結(jié)果，對于第一問，利用微分方程反解出時間t(天)，從而得到每個人達(dá)到自己理想目標(biāo)的天數(shù)，同理，對于第二第三問，利用以上方法，加上運動所消耗的能量，也可得到確切的時間，和所要保持體重所消耗的能量?！娟P(guān)鍵字關(guān)鍵字】： 微分方

2、程 轉(zhuǎn)化 能量轉(zhuǎn)化系數(shù) 1. 問題重述問題重述 現(xiàn)有五個人，身高，體重和BMI指數(shù)分別如下表所示，體重長期不變，試為他們按照以下方式制定減肥計劃，使其體重減至自己的理想目標(biāo)，并維持下去： 表一人數(shù)人數(shù)12345身高身高1.71.681.641.721.71體重體重100112113114124BMI34.633.535.234.825.6理想目標(biāo)理想目標(biāo)7580808590題目要求如下：(1) 在基本不運動的情況下安排計劃，每天吸收的 熱量保持 下限，減肥達(dá)到目標(biāo)：(2) 若是加快進(jìn)程，增加運動，重新安排計劃，經(jīng) 過調(diào)查資料得到以下各項運動每小時每kg體重消耗的熱量如下表二所示： 表二 運動運

3、動 跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓自行車自行車（中速）（中速） 游泳游泳（50m/min）熱量消耗熱量消耗/k 7.03.04.42.57.9 (3) 給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。 2. 問題的背景與分析問題的背景與分析 隨著社會的進(jìn)步和發(fā)展，人們的生活水平不斷提高，飲食營養(yǎng)攝入的改善和變化，生活方式的改變，使得肥胖成了社會關(guān)注的一個問題，為此，聯(lián)合國世界衛(wèi)生組織頒布人體體重指數(shù)（簡記BMI）： 體重（單位：kg）除以身高（單位：m）的平方，規(guī)定BMI在18.5至25為正常，大于25為超重，超過30則為肥胖，據(jù)悉我國有關(guān)機(jī)構(gòu)針對東方人的特點，擬將上規(guī)定中的25改為24.30改為29。 無論從健

4、康角度，是從審美的角度，人們越來越重視減肥，大量的減肥機(jī)構(gòu)和商品出現(xiàn)，不少自感肥胖的人加入了減肥的行列，盲目的減肥，使得人們感到不理想，如何對待減肥問題，不妨通過組件模型，從數(shù)學(xué)的角度，對有關(guān)的規(guī)律作一些探討和分析。根據(jù)背景知識，我們知道任何人通過飲食攝取的能量不能低于維持人體正常生理功能所需要的能量。 因此作為人體體重極限值減肥效果指標(biāo)一定存在一個下限w1，當(dāng)w w1 時表明能量的攝入過低并致使維持他本人正常的生理功能的所需，這是減肥所得到的結(jié)果不能認(rèn)為有效的，它將危及人的身體健康，是危險的，稱 w1 為減肥的臨界指標(biāo)。 另外，人們認(rèn)為減肥所采取的各種體力運動對能量的消耗也有一個所能承受的范

5、圍， 計為 0 R R1 ,為三個區(qū)域 A,B,C 這表明能量的攝取量高于體重 w0 時的攝入量 A，這是體重不會從 w0 減少，稱之為非減肥去，C 區(qū)為危險區(qū)，B 區(qū)為有效減肥區(qū)，可以看到單一的減肥措施達(dá)不到減肥效果。 3. 模型的假設(shè)與符號說明模型的假設(shè)與符號說明3.1 模型假設(shè)：(1) 人體的脂肪是能量的主要存儲和提供方式，而且也是減 肥的主要目標(biāo)，因為對于一個成年人來說體重主要由分組成，包括骨骼，肌肉，水和脂肪。骨骼，肌肉和水大體上可以認(rèn)為是不變的，所以不妨以人體的脂肪的重量作為體重的標(biāo)志，已知脂肪的轉(zhuǎn)化率為 100% ，每千克的脂肪可以轉(zhuǎn)化為 8000kcal 的能量 （kcal 為

6、國際單位制單位）。(2) 忽略個體間的差異（年齡，性別，健康狀況等） 對減肥的影響，人體的體重僅僅看成時間t 的函數(shù) w(t) 。(3) 由于體重的增加或減少都是一個漸變的過程，所以 w(t) 是連續(xù)而且是光滑的。(4) 運動引起的體重減少成正比于體重；(5) 正常代謝引起的減少正比于體重，每人每千克體重消耗熱量一般為 28.75 45.71 kcal,且因人而異。(6) 人體每天攝入量是一定的，為了安全和健康，每天吸收熱量不要小于 1429 kcal 3.2 符號說明：D： 脂肪的能量轉(zhuǎn)化系數(shù)W(t)：人體的體重關(guān)于時間 t 的函數(shù)。r ：每千克體重每小時運動所消耗的能量 ( kcal/kg

7、)/hb ：每千克體重每小時所消耗的能量 ( kcal/kg)/hA0 ： 每天攝入的能量W1 ：五個人理想的體重目標(biāo)向量A ： 五個人每天分別攝入的能量W ：五個人減肥前的體重B ：每個人每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗 4. 問題分析問題分析 如果以 1 天為時間的計量單位，于是每天基礎(chǔ)代謝的能量消耗量應(yīng)為 B=24b ( kcal/d)，由于人的某種運動一般不會是全天候的，不妨假設(shè)每天運動 h 小時，則每天由于運動所消耗的能量應(yīng)為 R= rh ( kcal/d)，在時間段 ( t , t + t) 內(nèi)能量的變化基本規(guī)律為： 取 t 0, 可得 （1） 其中 a = A/D, d = (B +

8、 R)/D, t = 0 (模型開始考察時刻)， 即減肥問題的數(shù)學(xué)模型求解有：ttwRBADtwttw)()()()(0)0(wwdwadtdw （2）利用此方法可求解出每個人要達(dá)到自己的理想目標(biāo)所需的天數(shù)。)1 (0)(dtdtedaewtw 5.模型的建立（1） 首先確定此人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗 B, 因為沒有運動，所以有 R = 0， 根據(jù)公式 （2）式， 得到： 從而得到?jīng)]人每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗。 從假設(shè)（5）可知，這些人普遍屬于代謝消耗相當(dāng)弱的人，加上吃得比較多，沒有運動，所以會長胖，進(jìn)一步，由W(t) (五人的理想體重)， W （五人減肥前的體重），D = 80

9、00kcal/kg (脂肪的能量轉(zhuǎn)換系數(shù)) 根據(jù)式（2）式有WABABwAwBBDdawdawdt0ln/0/ln1 將 A （五個人每天分別攝入的能量）的值代入上式時，就會得出五個人要達(dá)到自己的理想目標(biāo)所需的天數(shù)，如下表所示： 表三 （2） 為加快進(jìn)程，增加運動，結(jié)合調(diào)查資料得到以下各項運動每小時 每千克體重消耗的熱量表： 由假設(shè)（4）可知，表中熱量消為 r ,取 h = 1 h ，R= rh =r ，根據(jù)（2）式有： 人 1 2 3 4 5 天數(shù) 194 372 313 266 298 運動 跑步 跳舞 乒乓 自行車（中速） 游泳（50m/min） 能量消耗/k 7.0 3.0 4.4 2

10、.5 7.9 將A（五個人每天分別攝入的能量）的值代入時，取不同的r , 得到一組據(jù)在運動的情況下，我們選取的是一個小時，得到了每個人在不同的運動強度下，要達(dá)到自己的理想目標(biāo)所需的天數(shù)，如下表所示： 表四ARBwARBwRBDdawdawdt)(0)(ln/0/ln1 運動 跑步 跳舞 乒乓 自行車 游泳 時間/天 122 155 141 160 116 187 261 229 274 176 173 232 207 243 164 148 198 177 206 140 163 220 196 230 154 （3）要使體重穩(wěn)定在一個定值，則有 根據(jù)自己的不同理想目標(biāo)和 B (每人每千克體重

11、基礎(chǔ)代謝的能量消 耗)， 在 不同小時下的能量消耗表： （1） 在 h= 1 的情況下運動所消耗的能量，如下表： 表五RBAw* 運動 跑步 跳舞 乒乓 自行車 游泳 消耗能量 ( kcal )2667.002367.8002472.8002330.2002735.3002376.4002056.4002168.4002016.4002448.4002495.6002175.6002287.6002135.6002567.6002600.0002260.0002379.0002217.0002676.0002644.8002284.8002410.8002239.8002725.800 （2）

12、 在 h = 2 的情況下運動所消耗的能量，如下表： 表六 6 模型的分析與討論 (1) 從以上幾個表可知，普遍管擦得出結(jié)論，游泳是減肥的 最佳方法，無論是在長時間還是在短時間內(nèi)，從結(jié)果來看，游泳消耗的能量是最多的，也是達(dá)到快速減肥的最佳方法，也可以從下圖可知， 運動 跑步 跳舞 乒乓 自行車 游泳 消耗能量 ( kcal )3198.002592.8002802.8002517.7003327.8002936.4002296.4002520.4002216.4003080.4003055.6002415.6002639.6002335.6003199.6003195.0002515.0002

13、753.0002430.0003348.0003274.8002554.8002806.8002464.8003436.800 圖一表示每個人的能量消耗圖，都是離散的，并且都是遞增的，表明了游泳時能量消耗最快的，選此方法減肥是最合理有效的。 圖一 (2) 在式（2）中假設(shè) a = 0，即假設(shè)停止進(jìn)食，無任何能 量攝入。于是有 或 這表明 在 t 時刻保存的體重占初始體重的百分率由 給出，稱 為 （0，t）時間內(nèi)的體重保存率，特別當(dāng) t = 1 時， 給出了單位時間內(nèi)體重的消耗率，它表明在 （0，t）體重減少的百分率，可見這種情況下體重的變化完全是體內(nèi)脂肪的消耗而產(chǎn)生的，如此繼續(xù)下去，由 ，即體

14、重（脂肪）消耗殆盡，可知不進(jìn)食的進(jìn)食減肥方法是危險地。（3） a/d 是模型中的一個重要參數(shù)，由于 a = A/D 表明由于能量的攝入而增加的體重，而 d = (B + R)/D 表示由于能量的消耗而失掉的體重，于是 a/d 就表示攝取能量而獲得的補充量，綜合以上分析可知：dtewtw0)(dtewtw0)(dtedte0)(limtwt t 時刻的體重有兩部分組成，一部分是初始體重中由于能量的消耗而被保存下來的部分，另一部分是攝取能量而獲得的補充部分，這一解釋從直觀上理解也是合理的。（4） 由式（1.1） 即 a/d w，體重從w0 遞減，這是減肥產(chǎn)生的效果，另外由式 （1.2）可以看到 時

15、 ，也就是說式（1.1）的解漸進(jìn)穩(wěn)定于 ，它給出了減肥過程的最終結(jié)果，因此不妨稱 為減肥效果指標(biāo)，由 ，因為 B 是基礎(chǔ)代謝的能量消耗，它不能作為減肥的措施隨著每個人的意愿進(jìn)行改變，對于每個人可以認(rèn)為它是一個常數(shù)（非常數(shù)，即通過調(diào)整新陳代謝的方法來減肥） ，于是就有如下結(jié)論：減肥效果主要是由兩個因素控制的，包括由于進(jìn)食而攝入的能量以及由于運動消耗的能量，0dtdwt)/(/)(*RBAdawtwdaw/*w)/(*RBAw 從而減肥的兩個重要措施就是控制飲食和增加運動量，這恰是人們對減肥的認(rèn)識。 人體的體重變化時有規(guī)律可循的，減肥也應(yīng)科學(xué)化，定量化，這個模型雖然只是揭示了飲食和鍛煉這兩個主要因

16、素與減肥的關(guān)系，但它們對人們走出盲區(qū)減肥的誤區(qū)，從事減肥活動有一定的參考價值。 7. 參考文獻(xiàn)1 王敏生 王庚， 現(xiàn)代數(shù)學(xué)建模方法，北京，科學(xué)出版社 2006。2 羅萬成，大學(xué)數(shù)學(xué)建模案例精選，成都，西安交通大學(xué)出版社， 2007 年。3戴朝壽等，數(shù)學(xué)建模簡明教程，北京，高等教育出版社，2007年。4江世宏，MATLAB 語言與數(shù)學(xué)實驗，北京 科學(xué)出版社，2007 年。5胡良劍 孫曉君 matlab 數(shù)學(xué)實驗，北京，高等教育出版社。 附錄： Matlab 程序 % (1) 在不運動情況下： clearR = 0;D = 8000; % 能量轉(zhuǎn)換系數(shù)A0 = 1429; % 沒提阿吸收熱量的下限

17、W1 = 75 80 80 85 90; % 理想的體重目標(biāo)n = length(w);B = A / W %每人每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗a = A / D %系數(shù)d = (B + R) / D %系數(shù)for I = 1:nt(i) = -(D/B(i)*log(W1(i)*B(i)-A0)/(W(i)*B(i)-A0); % 減肥所需要的時間endt% (2) 在做適當(dāng)?shù)倪\動的情況下：h = 1 ; r = 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 ;R = h * r ;n1= lenght(R) ;D = 8000 ; %能量轉(zhuǎn)換系數(shù)A0 = 1429; % 每天吸收熱量的下限W1 =

18、 75 80 80 85 90 ; %理想的體重目標(biāo)A = 2857 2543 2734 2689 2776 ; % 每人每天攝入的能量W = 100 112 113 114 124 ; %每人的體重n = length(W) ;B = A / W ; %每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗for j=1:n1 for i=1:nT(i, j) = - ( D / B(i)+R(j) * log(W1(i) * (B(i) + R(j)-A0) / (W(i) * (B(i) + R(j) - A0); %減肥所需要的時間endend t % 每行所代表的是每個人所對應(yīng)的不同運動所需要的天數(shù) % (3) 在體重穩(wěn)定的情況下：h = 1 2;r = 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9;R = h * r;m, n = size(R);D = 8000; % 能量轉(zhuǎn)換系數(shù)A0 = 1429; % 每天吸收熱量的下限W1 = 75 80 80 85