1、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗 數(shù)學(xué)建模簡介數(shù)學(xué)建模簡介 數(shù)學(xué)建模簡介數(shù)學(xué)建模簡介 1.關(guān)于數(shù)學(xué)建模關(guān)于數(shù)學(xué)建模 2.數(shù)學(xué)建模實例數(shù)學(xué)建模實例 3.數(shù)學(xué)建模論文的撰寫方法數(shù)學(xué)建模論文的撰寫方法A.人口預(yù)報問題人口預(yù)報問題B. 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？C.雙層玻璃的功效雙層玻璃的功效1. 什么是數(shù)學(xué)模型？什么是數(shù)學(xué)模型？ 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是對于現(xiàn)實世界的一個特定對象特定對象，一個特定目的特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的假必要的假設(shè)設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)工具，得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 簡單地說：就是系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)的數(shù)學(xué)表達式（或是

2、用數(shù)學(xué)術(shù)語對部分現(xiàn)實世界的描述），即用數(shù)學(xué)式子（如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來描述（表述、模擬）所研究的客觀對象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律一、名詞解釋一、名詞解釋2. 什么是數(shù)學(xué)建模什么是數(shù)學(xué)建模? 數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的一種實踐即通過抽象、簡化、假設(shè)、引進變量等處理過程后，將實際問題用數(shù)學(xué)方式表達，建立起數(shù)學(xué)模型，然后運用先進的數(shù)學(xué)方法及計算機技術(shù)進行求解 觀點：觀點：“所謂所謂高科技高科技就是一種就是一種數(shù)學(xué)技術(shù)數(shù)學(xué)技術(shù)” 數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模其實并不是什么新東西，可以說有了數(shù)學(xué)并需要用數(shù)學(xué)去解決實際問題，就一定要用數(shù)學(xué)的語言、方法去近似地刻畫

3、該實際問題，這種刻劃的數(shù)學(xué)表述的就是一個數(shù)學(xué)模型，其過程就是數(shù)學(xué)建模的過程數(shù)學(xué)模型一經(jīng)提出，就要用一定的技術(shù)手段（計算、證明等）來求解并驗證，其中大量的計算往往是必不可少的，高性能的計算機的出現(xiàn)使數(shù)學(xué)建模這一方法如虎添翼似的得到了飛速的發(fā)展，掀起一個高潮 數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模將各種知識綜合應(yīng)用于解決實際問題中，是培養(yǎng)和提高同學(xué)們應(yīng)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力的必備手段之一. 二、數(shù)學(xué)建模的一般方法和步驟二、數(shù)學(xué)建模的一般方法和步驟 建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟并沒有一定的模式，但一個理想的模型應(yīng)能反映系統(tǒng)的全部重要特征特征： 模型的可靠性可靠性和模型的使用性使用性建模的一般方法： 機理分析 測試

4、分析方法 機理分析機理分析：根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認識，分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機理的規(guī)律，所建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實意義 測試分析方法：測試分析方法：將研究對象視為一個“黑箱”系統(tǒng)，內(nèi)部機理無法直接尋求，通過測量系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，并以此為基礎(chǔ)運用統(tǒng)計分析方法，按照事先確定的準則在某一類模型中選出一個數(shù)據(jù)擬合得最好的模型 測試分析方法也叫做系統(tǒng)辯識系統(tǒng)辯識 將這兩種方法結(jié)合起來使用，即用機理分析方法建立模型的結(jié)構(gòu)，用系統(tǒng)測試方法來確定模型的參數(shù)，也是常用的建模方法 在實際過程中用那一種方法建模主要是根據(jù)我們對研究對象的了解程度和建模目的來決定機理分析法建模的具體步驟大致可見右圖符合實

5、際不符合實際交付使用，從而可產(chǎn)生經(jīng)濟、社會效益實際問題抽象、簡化、假設(shè) 確定變量、參數(shù)建立數(shù)學(xué)模型并數(shù)學(xué)、數(shù)值地求解、確定參數(shù)用實際問題的實測數(shù)據(jù)等來檢驗該數(shù)學(xué)模型建模過程示意圖 模型模型 數(shù)學(xué)模型的分類：數(shù)學(xué)模型的分類： 按研究方法和對象的數(shù)學(xué)特征分：初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型、擴散模型等 按研究對象的實際領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分：人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經(jīng)濟模型、社會模型等數(shù)學(xué)模型符號模型思維模型物理模型直觀模型抽象模型具體模型圖形模型數(shù)式模型三、數(shù)學(xué)模型及其分類三、數(shù)學(xué)模型及其分類四

6、、近幾年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題四、近幾年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題A 逢山開路 1994 B 鎖具裝箱 A 一個飛行管理問題 1995 B 天車與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度 A 節(jié)水洗衣機問題 1996 B 最優(yōu)捕魚問題 A 零件的參數(shù)設(shè)計 1997 B 最優(yōu)截斷切割問題 A 投資的收益和風(fēng)險 1998 B 災(zāi)情巡視路線 A 自動化車床管理 1999 B 鉆井布局 A DNA 序列分類 2000 B 鋼管訂購和運輸 返回返回1. 指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型（馬爾薩斯人口模型）： 英國人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus17661834）于1798年提出2. 阻滯增長模型阻滯增長模型（logistic模型）3.

7、 更復(fù)雜的人口模型更復(fù)雜的人口模型 隨機性模型、考慮人口年齡分布的模型等 可見數(shù)學(xué)模型總是在不斷的修改、完善，使之能符合實際情況的變化人口模型1. 如何預(yù)報人口如何預(yù)報人口？ 要預(yù)報未來若干年的人口數(shù)，最重要的影響因素是今年的人口數(shù)和今后這些年的增長率（即人口出生率減死亡率），根據(jù)這兩個數(shù)據(jù)進行人口預(yù)報是很容易的記今年人口為 ，k 年后人口為 ，年增長率為r，則預(yù)報公式為： 預(yù)報正確的條件： 年增長率r保持不變kkrxx10kx數(shù)學(xué)建模實例數(shù)學(xué)建模實例0 x 2. 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？ 把四只腳的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而有人認

8、為只要稍挪動幾次，就可以四腳著地，放穩(wěn)了，對嗎？問題分析問題分析模模型型假假設(shè)設(shè)通常通常 三只腳著地三只腳著地放穩(wěn)放穩(wěn) 四只腳著地四只腳著地 四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形連線呈正方形; 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面曲面; 地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。只腳同時著地。模型構(gòu)成模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅腳連線椅腳連線)的對稱性

9、的對稱性xBADCOD C B A 用用 (對角線與對角線與x軸的夾角軸的夾角)表示椅子位置表示椅子位置 四只腳著地四只腳著地距離是距離是 的函數(shù)的函數(shù)四個距離四個距離(四只腳四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 f( )B,D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g( )兩個距離兩個距離 椅腳與地面距離為零椅腳與地面距離為零正方形正方形ABCD繞繞O點旋轉(zhuǎn)點旋轉(zhuǎn)正方形正方形對稱性對稱性用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)對任意對任意 , f( ), g( )至少一個為至少一個為

10、0數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)問題問題已知：已知： f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) ; 對任意對任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在證明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型構(gòu)成模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只腳著地至少三只腳著地模型求解模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子將椅子旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)900，對角線，對角線AC和和BD互換?；Q。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 則則h(0)

11、0和和h( /2)0.由由 f, g的連續(xù)性知的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)質(zhì), 必存在必存在 0 , 使使h( 0)=0, 即即f( 0) = g( 0) .因為因為f( ) g( )=0, 所以所以f( 0) = g( 0) = 0.評注和思考評注和思考建模的關(guān)鍵建模的關(guān)鍵 假設(shè)條件的本質(zhì)與非本假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)質(zhì) 考察四腳呈長方形的椅子考察四腳呈長方形的椅子 和和 f( ), g( )的確定的確定3. 雙層玻璃的功效雙層玻璃的功效 北方城鎮(zhèn)的有些建筑物的窗戶是雙層的，即窗戶上裝兩層厚度為d的玻璃夾著一層厚度為l的空氣，如左圖所示，據(jù)說這樣

12、做是為了保暖，即減少室內(nèi)向室外的熱量流失 我們要建立一個模型來描述熱量通過窗戶的熱傳導(dǎo)（即流失）過程，并將雙層玻璃窗與用同樣多材料做成的單層玻璃窗（如右圖，玻璃厚度為2d）的熱量傳導(dǎo)進行對比，對雙層玻璃窗能夠減少多少熱量損失給出定量分析結(jié)果 返回返回2d墻墻室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2dd墻墻l室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2問問題題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失玻璃窗相比，減少多少熱量損失假假設(shè)設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對流熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對流T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài)不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)材料均勻，熱

13、傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)建建模模熱傳導(dǎo)定律熱傳導(dǎo)定律dTkQQ1Q2Q 單位時間單位面積傳導(dǎo)的熱量單位時間單位面積傳導(dǎo)的熱量 T溫差溫差, d材料厚度材料厚度, k熱傳導(dǎo)系數(shù)熱傳導(dǎo)系數(shù)dd墻墻l室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2空氣空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)的熱傳導(dǎo)系數(shù)dTTklTTkdTTkQbbaa212111dlhkkhssdTTkQ,)2(212111建模建模記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q2dTTkQ221122d墻墻

14、室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比dlhkkhssQQ,22212121QQ k1=4 10-3 8 10-3, k2=2.5 10-4, k1/k2=16 32對對Q1比比Q2的減少量的減少量作最保守的估計，作最保守的估計，取取k1/k2 =16dlhhQQ,18121)2(2111sdTTkQ建模建模hQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用模型應(yīng)用取取 h=l/d=4, 則則 Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，材料的單層玻璃窗相比，可減少可減少97%的熱量損失。的熱量損失。結(jié)果分析結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)導(dǎo)系數(shù) k2 2, , 而這要求空氣非常干燥、不流通。而這要求空氣非常干燥、不流通。房間通過天花板、