1、第二節(jié) 一元二次不等式及其解法三年三年1111考考 高考指數(shù)高考指數(shù): :1.1.會從實踐情境中籠統(tǒng)出一元二次不等式模型；會從實踐情境中籠統(tǒng)出一元二次不等式模型；2.2.經(jīng)過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元經(jīng)過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)絡(luò)；二次方程的聯(lián)絡(luò)；3.3.會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設(shè)計求會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設(shè)計求解的程序框圖解的程序框圖. .1.1.以調(diào)查一元二次不等式的解法為主，兼顧二次方程的判別式、以調(diào)查一元二次不等式的解法為主，兼顧二次方程的判別式、根的存在性及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知

2、識；根的存在性及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識；2.2.以集合為載體，調(diào)查一元二次不等式的解法及集合的運算；以集合為載體，調(diào)查一元二次不等式的解法及集合的運算；3.3.以函數(shù)、數(shù)列、解析幾何為載體，以二次不等式的解法為手以函數(shù)、數(shù)列、解析幾何為載體，以二次不等式的解法為手段，調(diào)查求參數(shù)的范圍問題；段，調(diào)查求參數(shù)的范圍問題；4.4.以選擇題、填空題為主，有時交叉于解答題中調(diào)查，難度中以選擇題、填空題為主，有時交叉于解答題中調(diào)查，難度中等等. .1.1.一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如表系如表 判別式判別式4ac-b200=0 =0

3、0 0a0的圖象的圖象 一元二次方程一元二次方程 a0a0的根的根a0a0的解集的解集a0a0的解集的解集或或有兩相異實數(shù)根有兩相異實數(shù)根 x1 x2x1 0(a0)ax2+bx+c0(a0)的求解過程用程序的求解過程用程序框圖表示為框圖表示為開場開場2axbxc0(0)a4ac-b2=0?0?0cbxax2解為解為x1=x2x1=x20cbxax2解為解為x1,x2,x1,x2,其中其中x1x2x1x20cbxax2無實數(shù)解無實數(shù)解不等式的解集為不等式的解集為1x xx21x xxxx或終了終了是是是是否否否否不等式的解集為不等式的解集為不等式的解集為不等式的解集為R R【即時運用】【即時運

4、用】思索：上述不等式中思索：上述不等式中a a0,0,假設(shè)假設(shè)a a0 0時解集的情況又將如何？時解集的情況又將如何？提示：假設(shè)提示：假設(shè)a a0,0,那么普通先將不等式進展轉(zhuǎn)化，使那么普通先將不等式進展轉(zhuǎn)化，使x2x2的系數(shù)為正后的系數(shù)為正后再求解再求解, ,但一定要留意轉(zhuǎn)化過程中不等號的變化，但一定要留意轉(zhuǎn)化過程中不等號的變化，00時解集時解集為為,0 0時解集為時解集為x|x1x|x1x xx2.x2. 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法【方法點睛】【方法點睛】解一元二次不等式的普通步驟解一元二次不等式的普通步驟(1)(1)對不等式變形，使一端為對不等式變形，使一端為0 0且二次項

5、系數(shù)大于且二次項系數(shù)大于0 0；(2)(2)計算相應(yīng)的判別式；計算相應(yīng)的判別式；(3)(3)當當00時，求出相應(yīng)的一元二次方程的根；時，求出相應(yīng)的一元二次方程的根；(4)(4)根據(jù)對應(yīng)二次函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集根據(jù)對應(yīng)二次函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集. .【提示】也可以這樣解一元二次不等式，首先將二次項系數(shù)轉(zhuǎn)【提示】也可以這樣解一元二次不等式，首先將二次項系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)，再看能否因式分解化為正數(shù)，再看能否因式分解. .假設(shè)能，那么可得相應(yīng)方程的假設(shè)能，那么可得相應(yīng)方程的兩根，且大于號取兩邊，小于號取中間；假設(shè)不能，當兩根，且大于號取兩邊，小于號取中間；假設(shè)不能，當00時，利用求根公式求解

6、相應(yīng)方程的根，而后寫出解集時，利用求根公式求解相應(yīng)方程的根，而后寫出解集. . 【例【例1 1】解以下不等式：】解以下不等式：(1)x2+3x+4(1)x2+3x+40;0;(2)-3x2-2x+80;(2)-3x2-2x+80;(3)12x2-ax(3)12x2-axa2(aR).a2(aR).【解題指南】【解題指南】(1)(1)先判別先判別“，而后獲解，而后獲解. .(2)(2)先將先將x2x2的系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)的系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù), ,而后因式分解求解而后因式分解求解. .(3)(3)將不等式轉(zhuǎn)化后進展因式分解將不等式轉(zhuǎn)化后進展因式分解, ,比較兩根大小分類求解比較兩根大小分類求解. . 【規(guī)

7、范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)由由=9-16=-7=9-16=-70,0,故不等式的解集為故不等式的解集為. .(2)(2)原不等式等價于原不等式等價于3x2+2x-803x2+2x-80(x+2)(3x-4)0(x+2)(3x-4)0 x-2 x-2或或x ,x ,故不等式的解集為故不等式的解集為(-,-2 ,+).(-,-2 ,+).(3)(3)原不等式可化為原不等式可化為12x2-ax-a212x2-ax-a20 0(4x+a)(3x-a)(4x+a)(3x-a)0,0,令令(4x+a)(3x-a)=0(4x+a)(3x-a)=0得得a a0 0時時此時不等式等價于此時不等式等價于43

8、4312aax,x.43 aa,43 aaxx.43或 a=0a=0時時, ,不等式等價于不等式等價于x2x20 0 x0.x0.a a0 0時時此時不等式等價于此時不等式等價于 綜上所述綜上所述, ,當當a a0 0時時, ,不等式的解集為不等式的解集為當當a=0a=0時時, ,不等式的解集為不等式的解集為(-,0)(0,+);(-,0)(0,+);當當a a0 0時時, ,不等式的解集為不等式的解集為aaxx.34 或 aa,43 aa(,)( ,);43 aa(, )(,).34 【互動探求】假設(shè)將本例【互動探求】假設(shè)將本例(1)(1)變?yōu)樽優(yōu)閤2+3x+4x2+3x+40,0,那么不等

9、式解集那么不等式解集又將如何？又將如何？【解析】由【解析】由(1)(1)解析可知解析可知=-7=-70,0,故故x2+3x+4x2+3x+40 0恒成立恒成立, ,故不等式的解集為故不等式的解集為R.R.【反思【反思感悟】感悟】1.1.對于本例對于本例(3)(3)中分類討論后中分類討論后, ,在寫不等式解集在寫不等式解集時時, ,也可以將也可以將a=0a=0的情況與的情況與a a0 0或或a a0 0結(jié)合起來寫結(jié)合起來寫. .如可寫為如可寫為a0a0時不等式的解集為時不等式的解集為 ,a ,a0 0時不等式的解集時不等式的解集為為aa(,)( ,)43 aa(, )(,).34 2.2.含參數(shù)

10、的不等式解法：含參數(shù)的不等式解法：解含參數(shù)的一元二次不等式解含參數(shù)的一元二次不等式, ,要把握好分類討論的層次，普通要把握好分類討論的層次，普通按下面次序進展討論：首先根據(jù)二次項系數(shù)的符號進展分類，按下面次序進展討論：首先根據(jù)二次項系數(shù)的符號進展分類，其次根據(jù)根能否存在，即其次根據(jù)根能否存在，即的符號進展分類，最后在根存在時，的符號進展分類，最后在根存在時，根據(jù)根的大小進展分類討論根據(jù)根的大小進展分類討論. .在討論時對字母的范圍需求做到在討論時對字母的范圍需求做到不重不漏不重不漏. .【變式備選】解以下不等式：【變式備選】解以下不等式：(1)10 x-125x2(1)10 x-125x2(2

11、)(1-ax)2(2)(1-ax)21 1【解析】【解析】(1)(1)原不等式等價于原不等式等價于25x2-10 x+1025x2-10 x+10(5x-1)20,(5x-1)20,只只有當有當5x-1=05x-1=0，即，即x= x= 時，不等式成立時，不等式成立. .故不等式的解集為故不等式的解集為x|x= .x|x= .(2)(2)由由(1-ax)21(1-ax)21得得a2x2-2ax+11,a2x2-2ax+11,即即ax(ax-2)0.ax(ax-2)0.1515當當a=0a=0時，不等式轉(zhuǎn)化為時，不等式轉(zhuǎn)化為0000，故無解，故無解. .當當a0a0,x(ax-2)0,即即x(x

12、- )0. 0,x(x- )0. 0,不等式的解集為不等式的解集為x| x0.x| x0a0時，原不等式可化為時，原不等式可化為x(ax-2)0,x(ax-2)0, 0,原不等式的解集為原不等式的解集為x|0 x .x|0 x .綜上所述，當綜上所述，當a=0a=0時，時，原不等式的解集為原不等式的解集為；當當a0a0時，原不等式的解集為時，原不等式的解集為x| x0;x| x0a0時，原不等式的解集為時，原不等式的解集為x|0 x . x|0 x0)x(x0)個百分點，收買量能添加個百分點，收買量能添加2x2x個個百分點百分點. .試確定試確定x x的范圍，使稅率調(diào)低后，國家此項稅收總收入的

13、范圍，使稅率調(diào)低后，國家此項稅收總收入不低于原方案的不低于原方案的78%.78%.【解析】設(shè)稅率調(diào)低后的稅收總收入為【解析】設(shè)稅率調(diào)低后的稅收總收入為y y元，那么元，那么y=2 400m(1+2x%)y=2 400m(1+2x%)(8-x)%(8-x)%=- m(x2+42x-400).=- m(x2+42x-400).由題意知，由題意知，0 x8,0 x8,要使稅收總收入不低于原方案的要使稅收總收入不低于原方案的78%78%，有，有y2 400my2 400m8%8%78%,78%,整理得整理得x2+42x-880,x2+42x-880,解得解得-44x2,-44x2,又又0 x8,0 x

14、2,0 x8,00,f(x)0,由于由于或或5x8.25x8.21x51x5或或5x8.25x8.21x8.2.1x5x5時，時，f(x)8.2-5=3.2,f(x)8.2-5=3.2,所以當工廠消費所以當工廠消費400400臺產(chǎn)品時，盈利最大，臺產(chǎn)品時，盈利最大，又又x=4x=4時，時， =2.4( =2.4(萬元萬元/ /百臺百臺) )=240(=240(元元/ /臺臺).).故此時每臺產(chǎn)品的售價為故此時每臺產(chǎn)品的售價為240240元元. . R 44【創(chuàng)新探求】一元二次不等式在二元二次方程中的運用【創(chuàng)新探求】一元二次不等式在二元二次方程中的運用【典例】【典例】(2021(2021浙江高考

15、浙江高考) )假設(shè)實數(shù)假設(shè)實數(shù)x x、y y滿足滿足x2+y2+xyx2+y2+xy1,1,那那么么x+yx+y的最大值是的最大值是_._.【解題指南】本例可令【解題指南】本例可令x+y=tx+y=t，利用直線與曲線必有交點，利用直線與曲線必有交點, ,即聯(lián)即聯(lián)立消元后方程必有解可求立消元后方程必有解可求, ,亦可利用根本不等式放縮后解不等亦可利用根本不等式放縮后解不等式求解式求解. .【規(guī)范解答】方法一：令【規(guī)范解答】方法一：令x+y=t,x+y=t,那么那么y=t-xy=t-x，代入，代入x2+y2+xy=1x2+y2+xy=1，整理得：整理得：x2-tx+t2-1=0,x2-tx+t2-

16、1=0,那么方程必有實根，即那么方程必有實根，即=t2-4(t2-1)0,=t2-4(t2-1)0,即即故故x+yx+y的最大值為的最大值為 . .242 32 3t,t,333 解得2 33方法二：由方法二：由x2+y2+xy=1x2+y2+xy=1得得1=(x+y)2-xy,1=(x+y)2-xy,(x+y)2=1+xy(x+y)2=1+xy即即x+yx+y的最大值為的最大值為 . .答案：答案： 2xy1,4242 32 3xy,xy,333故2 332 33【閱卷人點撥】經(jīng)過對此題的深化研討，我們可以得到以下創(chuàng)【閱卷人點撥】經(jīng)過對此題的深化研討，我們可以得到以下創(chuàng)新點撥與備考建議：新點

17、撥與備考建議：創(chuàng)創(chuàng)新新點點撥撥本題主要有以下創(chuàng)新點：本題主要有以下創(chuàng)新點：(1)(1)結(jié)合不等式與解析幾何及方結(jié)合不等式與解析幾何及方程綜合命制的程綜合命制的, ,把對一元二次不等式的考查以新的形式呈把對一元二次不等式的考查以新的形式呈現(xiàn)，具有知識交匯、解法新穎的特點現(xiàn)，具有知識交匯、解法新穎的特點. .(2)(2)通過曲線有交點轉(zhuǎn)化為方程有根，從而轉(zhuǎn)化為不等式通過曲線有交點轉(zhuǎn)化為方程有根，從而轉(zhuǎn)化為不等式求解求解. .備備考考建建議議關(guān)于本類問題的解法主要有以下備考建議：關(guān)于本類問題的解法主要有以下備考建議：(1)(1)在解決此類不等式與方程與解析幾何結(jié)合的綜合問題在解決此類不等式與方程與解

18、析幾何結(jié)合的綜合問題時，要明確已知什么，求什么時，要明確已知什么，求什么, ,應(yīng)用到哪一塊知識，采取應(yīng)用到哪一塊知識，采取何種方法何種方法, ,從而進行有效轉(zhuǎn)化求解從而進行有效轉(zhuǎn)化求解. .(2)(2)對于創(chuàng)新型命題對于創(chuàng)新型命題, ,要抓住其萬變不離其宗的特點要抓住其萬變不離其宗的特點, ,善于善于揭去其神秘的面紗，與已學的基礎(chǔ)知識聯(lián)系起來，如本例揭去其神秘的面紗，與已學的基礎(chǔ)知識聯(lián)系起來，如本例通過換元把問題轉(zhuǎn)化為最基本的一元二次不等式問題求解通過換元把問題轉(zhuǎn)化為最基本的一元二次不等式問題求解. .1.(20211.(2021山東高考山東高考) )設(shè)集合設(shè)集合M Mx|(x+3)(x-2)

19、x|(x+3)(x-2)0,0,N=x|1x3,N=x|1x3,那么那么MN=( )MN=( )(A)1,2) (B)1,2 (C)(2,3 (D)2,3(A)1,2) (B)1,2 (C)(2,3 (D)2,3【解析】選【解析】選A.A.由集合由集合M Mx|(x+3)(x-2)x|(x+3)(x-2)0=x|-30=x|-3x x2,2,集集合合N Nx|1x3,MN=x|1xx|1x3,MN=x|1x2,2,即為即為1,2).1,2).2.(20212.(2021北京高考北京高考) )知集合知集合P Px|x21,Mx|x21,Ma,a,假設(shè)假設(shè)PM=P,PM=P,那么那么a a的取值范圍是的取值范圍是( )( )(A)(-,1 (B) 1,+)(A)(-,1 (B) 1,+)(C)-1,1 (D)(-,-11,+)(C)-1,1 (D)(-,-11,+)【解析】選【解析】選C.C.由集合由集合P Px|x21=x|-1x1,x|x21=x|-1x1,且且PM=PPM=P得得M MP,P,又又M Ma,a,故故-1a1,-1a1,即即a-1,1. a-1,1. 3.(20213.(2021廣東高考廣東高考) )不等式不等式2x2-x-12x2-x-10 0的解集是的解集是( )( )(A)(- ,1)