1、12.3 極限運(yùn)算的基本法則及其運(yùn)用極限運(yùn)算的基本法則及其運(yùn)用 問題問題: 根據(jù)極限的定義, 只能驗(yàn)證某個常數(shù) A 是否為某個函數(shù)(x)的極限, 而不能求出函數(shù)(x)的極限. 為了解決極限的計(jì)算問題, 下面介紹極限的運(yùn)算法則; 并利用這些法則和2.1及2.2中的某些結(jié)論來求函數(shù)極限. 一一. .極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則定理定理6.6. 若lim (x) = A, lim g(x) = B. 則(1). lim (x) g(x) = lim (x) lim g(x) = A B;(2). lim(x) g(x) = lim(x) lim g(x) = A B;(3).當(dāng)( )lim

2、( )0 ,lim.( )lim ( )f xf xABg xg xB 時2其證明可用定義. 以極限過程為xx0的證明(1)為例. 由|(x)+g(x)(A+ B) |=|(x) A +g(x) B|(x) A |+|g(x) B |即可.(1)、(2)的推廣:1111lim()lim(),lim()lim().nniiiinniiiifxfxfxfx (2)中 g(x) = c 時, lim c(x) = c lim(x).(2)中(x) = g(x) 時,22lim( )lim( ) ;fxf x lim( ) lim ( ) .nnfxf xn 再推廣：其中 為正整數(shù)3有理分式函數(shù)101

3、 ( ),nnnnP xa xa xa 若1010101( ) ( ) ()0, ( )nnnnmmmmmP xa xa xaF xQxQxb xb xb 若且從而有多項(xiàng)式函數(shù)00 lim( )().nnxxPxPx 則00000( )() lim( )lim().( )()nnxxxxmmP xP xF xF xQxQx 則例9. 求21221221(1 ). lim (87 );431( 2 ). lim;26432( 3 ). lim;2xxxxxxxxxxxxx 222221221(4).lim();241(5).lim;5453(6).lim.101xxxxxxxxxxxx 4212

4、111( 1 ) l i m (87 ) l i ml i m8l i m7 1872xxxxxxxx 解2212121431(2 ) lim264lim (431)82 123lim (264 )xxxxxxxxxxx 解 2212211lim(32)32(3) lim02lim(2)xxxxxxxxxxx 解 522222221(2)(4) lim ()lim244(2)(1)3 lim(2)(2)4xxxxxxxxxxxxx 解 22111(1)(1)2(5)limlim(1)(4)354xxxxxxxxx 解 2222135531(6) limlim.1210110 xxxxxxxx

5、解 6對有理分式函數(shù)F(x), 在x 時極限有如下討論:101101limnnnmmxma xa xab xb xb 000, amnbmnmn 000,0,.abm n 其中且為正整數(shù)例例10. 設(shè)221 1()5 12xxfxxxxx 求10lim(),lim(), lim().xxxfxfxfx 7解12002(1)2,(1)2lim()2;lim()lim (1)1;5lim()lim0.2xxxxxfffxfxxxfxxx 例11. 求111lim (,);11 lim1nmxnxxmnxxx 為 正 整 數(shù)特 殊 地 ：1212111(1)(1)lim=lim1(1)(1)nnnm

6、mmxxxxxxnmxxxx 解1211(1)(1) lim1(1)nnnxxxxxnxx 特殊地 ：8 例例12.30205099(21)(32)(1). lim;(21)(2). lim(0) .(1)xmmxxxxxn nmnxx 求若求常數(shù)與二二. .復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理定理7 7. 如果函數(shù) y =(u) , u =(x)滿足條件：0(1) lim( )xxxa (2)lim( ) ;uaf uA 0lim()lim()xxuafxf uA 00(,)xUx 且且() ;xa 皆皆有有則復(fù)合函數(shù)(x) , 當(dāng)xx0時的極限也存在, 且30203020205

7、05020(21)(32 )233(1) lim.(21)22xxxx 解 991(2)lim, 100100(1)mmxxnmnxx 解 常數(shù) 9其理論證明(略). 但須指出以下兩點(diǎn)：(1).也可將此定理中的極限過程改為x, 或者將(x)的極限 a 改為 (即只須外函數(shù)極限存在), 結(jié)論同樣成立.(2).此定理表明了滿足定理?xiàng)l件的復(fù)合函數(shù)的極限是存在的, 同時也說明用變量替換的方法去計(jì)算復(fù)合函數(shù)的極限是可行的, 即(u)與u = (x)滿足定理?xiàng)l0lim ( )xxfx lim( ) lim( )uauf uf u或件, 則通過變換 u = (x) , 即可把求的問題轉(zhuǎn)換為求10例13.求0

8、1101(1).limarctan;11(2).limarctan.1xxxxxexe 提示：0 01 , lim 0 xxuuxx 當(dāng)時令則當(dāng)時三三. .曲線的漸近線曲線的漸近線定義定義當(dāng)曲線 y = (x)上動點(diǎn)M沿著曲線無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)移動時,若該動點(diǎn)M到某直線L的距離無限趨近于零(如右圖),則稱此直線L是曲線y = (x) 的漸近線.oxyy=(x)MQL:y=ax+b故應(yīng)當(dāng)考慮左、右極限.11曲線y = (x) 的漸近線按其與x軸的位置關(guān)系, 可分為以下三種:則稱直線 y = c為曲線 y = (x)的水平漸近線.lim ( ) lim ( ) xxf xcf xc 或lim arcta

9、n, lim arctan22xxxx 因oxyy=arctgxy=/2y= /21. .水平漸近線水平漸近線如果曲線y = (x)的定義域是無限區(qū)間, 且有所以曲線y = arctan x有水平漸近線 y= /2 與 y= -/2.問題:曲線 是否有水平漸近線？分別是什么？11,xxxyyeyeyex 122. .垂直垂直( (鉛垂鉛垂) )漸近線漸近線如果曲線 y = (x)在x0 處無定義(或不連續(xù)), 且00lim( ) lim( )xxxxf xf x 或則稱直線 x=x0 為曲線 y = (x) 的垂直漸近線.因0011lim, limxxxx 1yx oxyxy1問題問題:曲線1

10、,ln2yyxx , 所以曲線有一條垂直漸近線 x = 0. 是否有垂直漸近線？分別是什么？133. .斜漸近線斜漸近線- lim ( ) () 0 xf xax b 若或則稱直線y = ax + b為曲線 y =(x) 的斜漸近線. (如圖)lim ( ) () 0 ,xf xax b 0aba 其 中 和為常數(shù)，且，oxyy=(x)MQL:y=ax+b14分析分析:如果曲線 y =(x)有斜漸近線 y = ax+b, 則由定義知必有x-x lim ( ) lim ( ) f xaxbf xaxb 或兩邊同除以x并取極限有x-xx-x( )( )lim0 lim0( )( ) lim limf xf xaaxxf xf xaaxx 或即或從而得到求曲線 y = (x) 的斜漸近線 y = ax+b 的公式為xxxx()() lim lim lim ()lim ()f xf xaaxxbf xaxbf xax 或15例例14.求下列函數(shù)的漸近線221(1).();xxfxx 故垂直漸近線: x = 0; 斜漸近線: y = x +2.故斜漸近線: y = x + /2 及 y = x /2.( 2 ).()a rcta nfxxx 20021lim()lim xxxxfxx 解且()a rcta nlimlim1xxfxxxax