1、三重積分的計算一、三重積分的定義, 的平面來劃分的平面來劃分用平行于坐標(biāo)面用平行于坐標(biāo)面在直角坐標(biāo)系中，如果在直角坐標(biāo)系中，如果.lkjizyxv 則則.積元素積元素叫做直角坐標(biāo)系中的體叫做直角坐標(biāo)系中的體其中其中dxdydz即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫做體積元素叫做體積元素其中其中dv dxdydzzyxf),(),(zyxf),(zyx如果表示某物體在點處的密度，在上連續(xù)，則就是該物體的質(zhì)量M.),(zyxf三重積分的存在性三重積分的存在性 dxdydzzyxf),(三重積分的性質(zhì) 直角坐標(biāo)系

2、中將三重積分化為三次積分直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分 二、三重積分的計算xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如圖，如圖，,Dxoy面上的投影為閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域在在閉區(qū)域閉區(qū)域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直線作直線過點過點Dyx 穿出穿出穿入，從穿入，從從從21zz,),()(:21bxaxyyxyD 得得 ),(),(21),(),(yxzyxzDdzzyxfdxdydxdydzzyxf dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfd

3、ydx注意注意于兩點情形于兩點情形相交不多相交不多的邊界曲面的邊界曲面直線與閉區(qū)域直線與閉區(qū)域內(nèi)部的內(nèi)部的軸且穿過閉區(qū)域軸且穿過閉區(qū)域這是平行于這是平行于Sz 例例 1 1 化三重積分化三重積分 dxdydzzyxfI),(為三為三次積分，其中積分區(qū)域次積分，其中積分區(qū)域 為由曲面為由曲面 222yxz 及及22xz 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.解解由由 22222xzyxz, 得得交交線線投投影影區(qū)區(qū)域域, 122 yx 1122112222222222),(),(xyxxxxyxDdzzyxfdydxdzzyxfdxdyI例例2 2 化化三三重重積積分分 dxdydzzyxfI),(為為

4、三三次次積積分分，其其中中 積積分分區(qū)區(qū)域域 為為由由曲曲面面22yxz ,2xy ,1 y, 0 z所所圍圍成成的的空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域. 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解如圖，如圖，xyxyz例例 3 3 將將 1010022),(yxdzzyxfdydx按按xzy, 的次序積分的次序積分.1D： 1002yxz解解1D 10100),(2dyzyxfdzdxx原式原式 1101222),(xzxxdyzyxfdzdx.2D： 11222yxzxzx2D例例 6 6 計計算算三三重重積積分分dxdydzxy 21，其其中中 由由曲曲面面221zxy ，122 zx，1

5、 y所所圍圍成成.解解如圖如圖,:xzD122 zx , zox將將投影到投影到平面得平面得yxzD先對先對積分，再求積分，再求上二重積分上二重積分,dzzxxdxxx21221111222 dxzzxxxx221132112| )3(121 1142)21(31dxxx.4528 112221zxDydydxdzxxz原式截面法截面法(“先二后一先二后一”法法)的一般步驟：的一般步驟：(1)把積分區(qū)域把積分區(qū)域 向某軸（例如向某軸（例如z軸）投影，得軸）投影，得投影區(qū)間投影區(qū)間,21cc；(2)對對,21ccz 用過用過z軸且平行軸且平行xoy平面的平面去平面的平面去截截 ，得截面，得截面z

6、D;(3) 計算二重積分計算二重積分 zDdxdyzyxf),( 其結(jié)果為其結(jié)果為z的函數(shù)的函數(shù))(zF；(4)最后計算單積分最后計算單積分 21)(ccdzzF即得三重積分值即得三重積分值.z 2,1,21公式公式zxyDaczzDdzyxfdzdzzyxfddvzyxfI 例例 4 4 計計算算三三重重積積分分 zdxdydz，其其中中 為為三三個個坐坐標(biāo)標(biāo)面面及及平平面面1 zyx所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域. zdxdydz解解（二）（二） zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .xozy111解解（一）（一） zdxdydz

7、,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原式原式 102)1(21dzzz241 .xozy111例例 5 5 計算三重積分計算三重積分dxdydzz 2，其中，其中 是由是由 橢球面橢球面1222222 czbyax所成的空間閉區(qū)域所成的空間閉區(qū)域.原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解| ),(yxDz 1222222czbyax )1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc 原式原式,0 r,20 . z一、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分的柱面坐標(biāo)的柱面坐標(biāo)就

8、叫點就叫點個數(shù)個數(shù)，則這樣的三，則這樣的三的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為面上的投影面上的投影在在為空間內(nèi)一點，并設(shè)點為空間內(nèi)一點，并設(shè)點設(shè)設(shè)MzrrPxoyMzyxM,),( 規(guī)定：規(guī)定：xyzo),(zyxM),(rPr .,sin,coszzryrx 柱面坐標(biāo)與直角坐柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為標(biāo)的關(guān)系為為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如圖，柱面坐標(biāo)系如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元

9、素為中的體積元素為,dzrdrddv 何時應(yīng)用柱面坐標(biāo)？何時應(yīng)用柱面坐標(biāo)？區(qū)域投影到坐標(biāo)面上，做二重積分時適用于區(qū)域投影到坐標(biāo)面上，做二重積分時適用于極坐標(biāo)，則三重積分適用于柱面坐標(biāo)。極坐標(biāo)，則三重積分適用于柱面坐標(biāo)。例例 1 1 化三重積分化三重積分 dxdydzzyxfI),(為三為三次積分，其中積分區(qū)域次積分，其中積分區(qū)域 為由曲面為由曲面 222yxz 及及22xz 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.解解由由 22222xzyxz, 得得交交線線投投影影區(qū)區(qū)域域, 122 yx重新分析：重新分析：.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI.),sin,cos(20co

10、s2sin1022222 rrrdzzrrfrdrdI .,sin,coszzryrx 例例1 1 計算計算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx與拋物面與拋物面zyx322 所圍的立體所圍的立體.解解 23242030rrzdzrdrd .413 面上，如圖，面上，如圖，投影到投影到把閉區(qū)域把閉區(qū)域xoy 1:22 yxDxy 223224yxDyxxyzdzdxdyI例例計算計算 dxdydzyxI)(22， 其中其中 是是曲線曲線 zy22 ，0 x 繞繞oz軸旋轉(zhuǎn)一周而成軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲的曲面面與兩平面與兩平面, 2 z8 z所圍的立體所圍的立體.解解由由 0

11、22xzy 繞繞 oz 軸旋轉(zhuǎn)得，軸旋轉(zhuǎn)得，旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為,222zyx 所圍成的立體如圖，所圍成的立體如圖， :2D, 422 yx:1D,1622 yx所圍成立體的投影區(qū)域如圖，所圍成立體的投影區(qū)域如圖， 2D1D,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxIII 12821DrfdzrdrdI,345 22222DrfdzrdrdI,625 原式原式 I 345 625 336. 82402022rdzrrdrd 22202022rdzrrdrd 法二 看為兩區(qū)域的積分和。法三 向Z軸上投影。,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxIII其中

12、其中 為由為由例例3. 計算三重積分計算三重積分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所圍所圍解解: 在柱面坐標(biāo)系下在柱面坐標(biāo)系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2原式398a柱面柱面cos2成半圓柱體成半圓柱體.o oxyz例例4. 計算三重積分計算三重積分解解: 在柱面坐標(biāo)系下在柱面坐標(biāo)系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所圍成所圍成 .與平面與平面其中其中 由

13、拋物面由拋物面42rzvdddd原式原式 =二、利用球面坐標(biāo)計算三重積分確定。來，三個有次序的數(shù)可用為空間內(nèi)一點，則點設(shè) rMzyxM),(Pxyzo),(zyxMr zyxA球面坐標(biāo),r 0.20 ,0 規(guī)定：規(guī)定：為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，如圖，Pxyzo),(zyxMr zyxA2222rzyx dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdr

14、rrrf球面坐標(biāo)系中的體積元素為球面坐標(biāo)系中的體積元素為,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr解解0sin1)1ln(cos1)1ln(21022020222222 drrrrrdddxdydzzyxzyxz 解解 由由錐錐面面和和球球面面圍圍成成，采采用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar由由三三重重積積分分的的性性質(zhì)質(zhì)知知 dxdydzV, adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 例例 3 3 計計算算 dxdydzyxI)(22，其其中中 是是

15、錐錐面面222zyx ， 與與平平面面az )0( a所所圍圍的的立立體體.解解 1 采采用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 解解 2 采用柱面坐標(biāo)采用柱面坐標(biāo) dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 例例利用對稱性簡化計算利用對稱性簡化計算 dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222其中積分區(qū)域其中積分區(qū)域1| ),(222 zyxzyx.解解

16、積分域關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱，積分域關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱，被積函數(shù)是被積函數(shù)是 的的奇函數(shù)奇函數(shù),z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz解解其其中中yzxy 是是關(guān)關(guān)于于y的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關(guān)關(guān)于于zox面面對對稱稱, 0)(dvyzxy,同同理理 zx是是關(guān)關(guān)于于x的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關(guān)關(guān)于于yoz面面對對稱稱, 0 xzdv0)( dxdydzzxyzxy利用對稱性化簡三重積分計算利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應(yīng)注意：使用對稱性時應(yīng)注意：、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性；、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性；、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標(biāo)軸、被積函數(shù)在積

17、分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標(biāo)軸的的 一般地，當(dāng)積分區(qū)域一般地，當(dāng)積分區(qū)域 關(guān)于關(guān)于xoy平面對稱，且平面對稱，且被積函數(shù)被積函數(shù)),(zyxf是關(guān)于是關(guān)于z的奇函數(shù)，則三重積分的奇函數(shù)，則三重積分為零，若被積函數(shù)為零，若被積函數(shù)),(zyxf是關(guān)于是關(guān)于z的偶函數(shù)，則的偶函數(shù)，則三重積分為三重積分為 在在xoy平面上方的半個閉區(qū)域的三重平面上方的半個閉區(qū)域的三重積分的兩倍積分的兩倍.奇偶性奇偶性（1） 柱面坐標(biāo)的體積元素柱面坐標(biāo)的體積元素dzrdrddxdydz （2） 球面坐標(biāo)的體積元素球面坐標(biāo)的體積元素 ddrdrdxdydzsin2 （3） 正確利用對稱性簡化運算正確利用對稱性簡化運算三重積分

18、換元法三重積分換元法 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)三、小結(jié)三重積分的定義和計算三重積分的定義和計算在直角坐標(biāo)系下的體積元素在直角坐標(biāo)系下的體積元素dxdydzdv 思考題思考題則則上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)為為面對稱的有界閉區(qū)域，面對稱的有界閉區(qū)域，中關(guān)于中關(guān)于為為若若,),(3 zyxfxyR ; 0),(,_),(dvzyxfzyxf為為奇奇函函數(shù)數(shù)時時關(guān)關(guān)于于當(dāng)當(dāng) 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf為為偶偶函函數(shù)數(shù)時時關(guān)關(guān)于于當(dāng)當(dāng).1面面上上方方的的部部分分在在為為其其中中xy zz2思考題思考題 為為六六個個平平面面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域，),(zyxf在在 上上連連續(xù)續(xù)，則則累累次次積積分分_ dvzyxf),(.選擇題選擇題:;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD2,zxz1. 將將. )(),(Czyxf用三次積分表示用三次積分表示, ,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中其中 由由所所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x練習(xí)練習(xí)六個平