1、1第六章 多元函數(shù)微積分第一節(jié) 空間解析幾何簡介2一.建立空間直角坐標(biāo)系3x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點定點o空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 三個坐標(biāo)軸的正方向三個坐標(biāo)軸的正方向符合符合右手系右手系.即以右手握住即以右手握住z軸，軸，當(dāng)右手的四個手指當(dāng)右手的四個手指從正向從正向x軸以軸以2 角角度轉(zhuǎn)向正向度轉(zhuǎn)向正向y軸軸時，大拇指的指向時，大拇指的指向就是就是z軸的正向軸的正向.空間點的直角坐標(biāo)4xyozxoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標(biāo)系共有空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限八個卦限5空間的點空間的點有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11特殊點的表示特殊點的表示:)0 , 0 , 0(O),

2、(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐標(biāo)軸上的點坐標(biāo)軸上的點,P,Q,R坐標(biāo)面上的點坐標(biāo)面上的點,A,B,C6設(shè)設(shè)),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點點xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 二、空間兩點間的距離7,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空間兩點間距離公式空間兩點間距

3、離公式特殊地：若兩點分別為特殊地：若兩點分別為,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M80 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程三、平面的一般方程9平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過坐標(biāo)原點；平面通過坐標(biāo)原點；, 0)2( A , 0, 0DD平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.0 DCzByAx10例例

4、: :求求過過y軸及點軸及點)2, 3, 6( 的平面方程的平面方程. 03,3zxxz30zzyxz表示斜的平面表示坐標(biāo)面表示平行于坐標(biāo)面的水平面11例例 4 4 設(shè)設(shè)平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx將三點坐標(biāo)代入得將三點坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解12,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程

5、x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距),0,0(),0,0(),0,0,(cba過13四、空間曲線與方程14 0),(0),(zyxGzyxF空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 曲線上的點都滿足曲線上的點都滿足方程，滿足方程的點都在方程，滿足方程的點都在曲線上，不在曲線上的點曲線上，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程不能同時滿足兩個方程.xozy1S2SC空間曲線空間曲線C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.特點特點：1、空間曲線的一般方程15例例1 1 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面

6、，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交線為橢圓交線為橢圓.16例例2 2 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圓柱面圓柱面,交線如圖交線如圖.1718 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxH曲線關(guān)于曲線關(guān)于 的的投影柱面投影柱面xoy設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的投影柱面的特征特征：2、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影19

7、如圖如圖:投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面20類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲線投影曲線,yoz面上的面上的投影曲線投影曲線,xoz 00),(zyxH空間曲線在空間曲線在 面上的面上的投影曲線投影曲線xoy21補充補充: : 空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影. .空間立體空間立體曲面曲面22面面上上的的投投影影為為在在則則交交線線xoyC . 0, 122zyx一個圓一個圓,面面上上的的投投影影為為所所

8、求求立立體體在在xoy. 122 yx23五、二次曲面和一般曲面24水桶的表面、臺燈的罩子面等水桶的表面、臺燈的罩子面等曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面方程的定義：曲面方程的定義：如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關(guān)關(guān)系系：（1 1） 曲面曲面S上任一點的坐標(biāo)都滿足方程；上任一點的坐標(biāo)都滿足方程；（2 2）不在曲面）不在曲面S上的點的坐標(biāo)都不滿足方程；上的點的坐標(biāo)都不滿足方程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形曲面的實例：曲面

9、的實例：1、曲面方程的概念25以下給出幾例常見的曲面以下給出幾例常見的曲面.例例 1 1 建建立立球球心心在在點點),(0000zyxM、半半徑徑為為R的的球球面面方方程程.解解設(shè)設(shè)),(zyxM是球面上任一點，是球面上任一點，RMM |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點時方程為特殊地：球心在原點時方程為2222Rzyx 26 2511222zyx表示球心在)0 , 1, 1 ( 球半徑為 5的球面方程請你寫出球心在)2, 2 , 1 (球半徑為 的球面方程55221222zyx 04442222zyxzy

10、x27例例 2 2 求求與與原原點點O及及)4 , 3 , 2(0M的的距距離離之之比比為為2:1的的點點的的全全體體所所組組成成的的曲曲面面方方程程.解解設(shè)設(shè)),(zyxM是曲面上任一點，是曲面上任一點，,21|0 MMMO根據(jù)題意有根據(jù)題意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程為所求方程為282、旋轉(zhuǎn)曲面29將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程旋轉(zhuǎn)曲面的方程（1）雙雙曲曲線線12222 czax分分別別繞繞x軸軸和和z軸軸；繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czyax1

11、22222 czayx旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面30繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面31定義定義3、柱面、柱面平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL32從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxF，在在空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中表表示示母母線線平平行行于于z軸軸

12、的的柱柱面面，其其準(zhǔn)準(zhǔn)線線為為xoy面面上上曲曲線線C.（其他類推）（其他類推）實實 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 / 軸軸x12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 / 軸軸zpzx22 拋物柱面拋物柱面 / 軸軸y33柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面空間上表示面，而不是線34第二節(jié) 多元函數(shù)的基本概念 在很多實際問題中，往往牽涉到多方面的因素，反映到數(shù)學(xué)上，就是一個變量依賴于幾個變量的情形，這就提出了多元函數(shù)微分和積分的問題，本章將在一元微分的基礎(chǔ)上，討論二元及二元以上的多元函數(shù)的微分。35 設(shè)設(shè)),(000yxP是是xoy平面上的一個點，平

13、面上的一個點， 是某是某一正數(shù)，與點一正數(shù)，與點),(000yxP距離小于距離小于 的點的點),(yxP的全體，稱為點的全體，稱為點0P的的 鄰域，記為鄰域，記為),(0 PU，（1）鄰域）鄰域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx一、多元函數(shù)的概念 36（2）區(qū)域）區(qū)域.)(的的內(nèi)內(nèi)點點為為則則稱稱，的的某某一一鄰鄰域域一一個個點點如如果果存存在在點點是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一個個點點集集，設(shè)設(shè)EPEPUPPE .EE 的內(nèi)點屬于的內(nèi)點屬于EP .為開集為開集則稱則稱的點都是內(nèi)點，的點都是內(nèi)點，如果點集如果點集EE41),(221 yx

14、yxE例如，例如，即為開集即為開集37的邊界點的邊界點為為），則稱），則稱可以不屬于可以不屬于，也，也本身可以屬于本身可以屬于的點（點的點（點也有不屬于也有不屬于的點，的點，于于的任一個鄰域內(nèi)既有屬的任一個鄰域內(nèi)既有屬如果點如果點EPEEPEEPEP 的邊界的邊界的邊界點的全體稱為的邊界點的全體稱為 EE是連通的是連通的開集開集，則稱，則稱且該折線上的點都屬于且該折線上的點都屬于連結(jié)起來，連結(jié)起來，任何兩點，都可用折線任何兩點，都可用折線內(nèi)內(nèi)是開集如果對于是開集如果對于設(shè)設(shè)DDDD 38連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo開開區(qū)區(qū)

15、域域連連同同它它的的邊邊界界一一起起稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo390| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域無界開區(qū)域xyo例如，例如，則稱為無界點集則稱為無界點集為有界點集，否為有界點集，否成立，則稱成立，則稱對一切對一切即即，不超過不超過間的距離間的距離與某一定點與某一定點，使一切點，使一切點如果存在正數(shù)如果存在正數(shù)對于點集對于點集EEPKAPKAPAEPKE 41| ),(22 yxyx40（3）聚點）聚點 設(shè)設(shè) E 是是平平面面上上的的一一個個點點集集，P 是是平平面面上上的的一一個個點點，如如果果點點 P 的的任任何何一一個個鄰

16、鄰域域內(nèi)內(nèi)總總有有無無限限多多個個點點屬屬于于點點集集 E，則則稱稱 P 為為 E 的的聚聚點點. 內(nèi)點一定是聚點；內(nèi)點一定是聚點； 邊界點可能是聚點；邊界點可能是聚點；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是邊界點也是聚點邊界點也是聚點41 點集點集E的聚點可以屬于的聚點可以屬于E，也可以不屬于，也可以不屬于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚點但不屬于集合是聚點但不屬于集合1| ),(22 yxyx例如例如,邊界上的點都是聚點也都屬于集合邊界上的點都是聚點也都屬于集合42 設(shè)設(shè)D是平面上的一個點集，如果對于每個點是平面上的一個點集，如果對于每個點DyxP ),

17、(，變量，變量z按照一定的法則總有確定的按照一定的法則總有確定的值和它對應(yīng)，則稱值和它對應(yīng)，則稱z是變量是變量yx,的二元函數(shù)，記為的二元函數(shù)，記為),(yxfz （或記為（或記為)(Pfz ）. .（5）二元函數(shù)的定義）二元函數(shù)的定義當(dāng)當(dāng)2 n時時，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). 多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念因變量等概念.類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)43例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域

18、為所求定義域為., 42| ),(222yxyxyxD 44一元函數(shù)的定義域-是區(qū)間二元函數(shù)的定義域-是區(qū)域，問題比較復(fù)雜。45（6） 二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 的定義域為的定義域為D，對于任意，對于任意取定的取定的DyxP ),(，對應(yīng)的函數(shù)值為，對應(yīng)的函數(shù)值為),(yxfz ，這樣，以，這樣，以x為橫坐標(biāo)、為橫坐標(biāo)、y為縱坐為縱坐標(biāo)、標(biāo)、z為豎坐標(biāo)在空間就確定一點為豎坐標(biāo)在空間就確定一點),(zyxM，當(dāng)當(dāng)x取遍取遍D上一切點時，得一個空間點集上一切點時，得一個空間點集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，這個點集稱，這個點集稱為二元

19、函數(shù)的圖形為二元函數(shù)的圖形.（如下頁圖）（如下頁圖）46二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.47224yxzyxz23z上半球面表示斜的平面水平面 22yxz圓錐面xyz 表示馬鞍面48224yxz的定義域4042222yxyx二元函數(shù)的函數(shù)值224),(yxyxfz2114) 1 , 1 (24)0 , 0(ff表示圓域49),(000yxfz 函數(shù)值例：已知yxyxfzsin),(求：)2, 1 (f解：12sin21sin)2, 1 (f與一元函數(shù)類似，有定義域和函數(shù)值但是有關(guān)于極限和連續(xù)就很復(fù)雜，在此只是簡單了解50例：已知xyxyxfz2),(求：解：),(xy

20、yxfz xxyxyxxyyxxyyxfz22),(2例：已知22),(yxxyxyyxf求：),(yxfyxyyxfxyvyxuvuvvufxyyxxyyxxyxyyxf2),(,2),(2)(),(22222解：51二、二元函數(shù)的極限(, )P xy(, )P xy設(shè)函數(shù)f(x,y)在點 的某鄰域內(nèi)有定義， 是該鄰域內(nèi)不同于 的任意一點,如果 以任何方式無限的接近 , f(x,y)趨近一個確定的常數(shù)A,稱A是函數(shù)的極限.000(,)P xy0P0P52如果對于任意給定的正數(shù)，總存在，使得對于適合不等式的一切點的一切點P(x,y)D,都有都有|f(x,y)-A|531( , ) (3,0)l

21、im (1)yx yxy22( , )(0,0)1 coslimx yxyx y13( , )(3,0)lim(1)xxyx yxye2222( , )(0,0)12lim2x yx yx y5422220022)0 , 0(),(1limlimkkxkxxkxyxxykxyxyx極限不存在55三、二元函數(shù)的連續(xù)0lim)2).,(),(lim) 1)0 , 0(),(00),(),(00zyxfyxfyxyxyx56閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和

22、最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，如上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在果在D D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D D上上取得介于這兩值之間的任何值至少一次取得介于這兩值之間的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理57對于導(dǎo)數(shù)，我們會重點介紹58第三節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)一 偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法1.函數(shù)增量),(),(),(),(,),(),(0000000000yxfyyxfzyyxfyxxfzxyxyxyxfzyx的偏增量關(guān)于的偏增量關(guān)于),(),(,),(),(000000yxfyyxxfzyxyxyxyxf

23、z的全增量關(guān)于)()(),()(),(),(0000000000 xzyyzyxfyyxyyxfyyxxfzyx，596061yyxfyyxfyzyxfxyxfyxxfxzyxfyyyyxxxx),(),(limlim),(),(),(limlim),(0000000000000000),(3),(),3(lim0000000yxfxyxfyxxfxx62yfyfyzfxfxfxzfyyyyxxxx)0 , 0()0 , 0(limlim)0 , 0()0 , 0()0 ,0(limlim)0 , 0(00000)(lim0)0(0lim)0 , 0(lim00)0(lim)0 , 0(204

24、20042042yyyyfxxxxfyxzyyyxxx不存在例63 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf不連續(xù)但是有兩個偏導(dǎo)數(shù)一元函數(shù)一元函數(shù):可導(dǎo)一定連續(xù)可導(dǎo)一定連續(xù);二元函數(shù)二元函數(shù):可導(dǎo)與連續(xù)是無關(guān)條件可導(dǎo)與連續(xù)是無關(guān)條件.6465偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 66求偏導(dǎo)數(shù)的法則：求偏導(dǎo)數(shù)的法則：對于某

25、個變量求導(dǎo)數(shù)，只要將其它的量當(dāng)對于某個變量求導(dǎo)數(shù)，只要將其它的量當(dāng)作常數(shù)。類似一元函數(shù)，利用作常數(shù)。類似一元函數(shù)，利用1414個導(dǎo)數(shù)公個導(dǎo)數(shù)公式以及四則運算法則及復(fù)合求導(dǎo)法則進行式以及四則運算法則及復(fù)合求導(dǎo)法則進行求導(dǎo)。求導(dǎo)。67222211)(arctansec)(tan1)1(sin)(cos1)(ln21)(2)(yyyyyyyyyyyyyy68例例 1 1 求求 223yxyxz 在點在點)2 , 1(處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù)解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 69221),2)xyxzzzyzxy求例2 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)對于

26、一個變量求導(dǎo)時候,將其他的變量看作常數(shù)2211:,xyxzzxyyy 解2222221:22xyxzxxyxyyzxy解70證證xxzyzyxzxzxzyyyxyln,1zxxxxxxyxyxyzxxzyxyyyyy22lnln1ln11原結(jié)論成立原結(jié)論成立71解解xz yz 練習(xí)求練習(xí)求xyxzcos) 12xyxxxyyzxyyxyxyxxzsinsin0sin2sin) 1(2yxztan)2解：yxyxyxyxyzyxyyyxxz222222sec)(secsec11sec72解解xz yz 求求xyxzsin)3xyxyxyyxyxxyxzcossincossinxyxxxyxyzc

27、oscos273()sin(cos )()sinxyxyxyzyexexxzxexy4)sinxyzex7414443431334343zxxyxyzyxyxy5)ln(43 )zxy75解解xz yz 求求xyzarctan)62222221)(111)(11arctanyxxxxyyzyxyyxyxzxyz76yxzarctan)722222222221111 ( )1()1 ( )zyyxxyyxyyxyzxxxyyyxy 77例如例如,函數(shù)函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定義知在依定義知在)0 , 0(處，處，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函

28、數(shù)在該點處并不連續(xù)但函數(shù)在該點處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù).一元函數(shù)中在某點可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在而且偏導(dǎo)數(shù)存在而且偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) 是連續(xù)是連續(xù) 二元函數(shù)二元函數(shù)連續(xù)連續(xù).二二. 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系78偏導(dǎo)數(shù)存在而且偏導(dǎo)數(shù)存在而且偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) 是連續(xù)是連續(xù) 二元函數(shù)二元函數(shù)連續(xù)連續(xù).79三、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義80偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上上一一點點為為曲曲面面設(shè)設(shè)yxfzyxfyxM 如圖如圖81 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)),(00yxfx就是

29、曲面被平面就是曲面被平面0yy 所截得的曲線在點所截得的曲線在點0M處的切線處的切線xTM0對對x軸的軸的斜率斜率. 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)),(00yxfy就是曲面被平面就是曲面被平面0 xx 所截得的曲線在點所截得的曲線在點0M處的切線處的切線yTM0對對y軸的軸的斜率斜率.82),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù). .四、高階偏導(dǎo)數(shù)83),(

30、yxfz ),(yxfzxx),(yxfzyy),(yxfzxxxx),(yxfzxyxy),(yxfzyyyy),(yxfzyxyx84解解xyyxxyyyxxyxzyyxzyyxyyxzxyxyxxzxyzxxyyxxyxyxzyyyxzxyxyyxz19619619231822926923323313222222332232332232385例例 7 7 設(shè)設(shè)byeuaxcos ，求二階偏導(dǎo)數(shù)，求二階偏導(dǎo)數(shù). 解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyua

31、x 86解解xyzyxzyzxz222222,練習(xí)求練習(xí)求xyxzcos) 12xyyxyxyxxzsin2sin) 1(2xyxxxyyzsinsin0 xyxyxyxyyxxyzxyyyxyyzxyxxcossincossin1 0cos2cos22xyxyxyxyxyxyzxyxzyxyycossincossin1 cos287yxzarctan)2;11)(11222222xyyyxyyyyxxz解2222222222222222222222022()()1()22()()()xxxyy xxyzyxyxyxy yyxyxyzyxyxyx yxzxz222,求88xyzyxzyzxz2

32、22222,xyez2) 322222222222;(2 )22 22(12)2;(2 )xyxyxyxxxxyxyxyxyxyxyyyyxyyxzezyezyezey xeexyzxezx ezz 解:89五.偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟上的應(yīng)用1.聯(lián)合成本函數(shù)分析2. 需求函數(shù)的邊際分析3.局部彈性n(1).需求的自身價格彈性n(2).需求的交叉價格彈性n(3)需求的收入彈性90第五節(jié)、多元復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)的求導(dǎo)法則)sin(yxezxyxyu yxv 二元的復(fù)合函數(shù)中間變量將復(fù)合函數(shù)拆成簡單函數(shù)vezusin一、多元復(fù)合函數(shù)一、多元復(fù)合函數(shù)91例例 1 1 設(shè)設(shè)vezusin ，而，而xyu ，yxv

33、， 求求 xz 和和yz .解法解法1 直接代入得到直接代入得到)sin(yxezxy)cos()sin()sin()sin()cos()sin()sin()sin()(yxeyxxeyxeyxezyxeyxyeyxeyxezxyxyyxyyxyyxyxyxxyxxyx解：利用乘法法則92定理6.4如果函數(shù) ,在點處有偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),那么復(fù)合函數(shù) 在點也有對x和y的偏導(dǎo)數(shù)( , ),( , )ux y vx y( , )x y( , ), )zf u vu v在對應(yīng)點（( ( , ),( , )zfx yx y( , )x y xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv

34、93uvxzy定理定理6.4:(鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t)如圖示如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 94zwvuyx95例例 1 1 設(shè)設(shè)vezusin ，而，而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz .解解96例例 2 2 設(shè)設(shè)tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)dtdz.解解97解解ztvutt通過變量關(guān)系圖可以看出這是個一元函數(shù)zdtdz代入中間變量求導(dǎo)數(shù)98tteztsincos tttettetettetettezdtdzttttttcos)sin(coscos)sin(cos)(sin)(coscos)()sincos(解解:99

35、解解 直接代入得到直接代入得到)3ln(2yxyxzyxyxyxxyxyxyxxyxyxyxyxzyxyxyxxyyxyxyxxyyxyxyxyxzyyyxxx33)3ln(331)3ln()3ln()3ln(3)3ln(231)3ln(2)3ln()3ln()(2222222222解：利用乘法法則100以上是具體的復(fù)合函數(shù)以上是具體的復(fù)合函數(shù)下面我們介紹抽象函數(shù)如何求偏導(dǎo)數(shù)？下面我們介紹抽象函數(shù)如何求偏導(dǎo)數(shù)？101抽象函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)抽象函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)解解32,37),(yxvyxuvufzzuvxyxy)2,1(個變量第變量第fz 102222122212313213233332727),37(

36、fyxfyxffyzfxyfxyffxzyxyxfz 222132221323133213233033cos27cos27)sin,37(fyxffyxffyzf xfxyfxfxyffxzxyxyxfz 103解解212121212121111xyffxyffzwxzffxzffywyzffyzffxw這是個三元的函數(shù)104證證:1052222212122222121222122122212222121212121)()()()()(sin)(cos)(sin)(cossincossincoscossin1sincos)(1)(;cossincos)sin(sincossincos)sin,

37、cos(yzxzfffffffffffrfrrffzrrzyzfxzffrfrrfrfzffffrzrrfz證證:106二、隱函數(shù)求導(dǎo)因變量在方程中出現(xiàn)兩次以上因變量在方程中出現(xiàn)兩次以上. .有一元的隱函數(shù)有一元的隱函數(shù), ,也有二元隱函數(shù)也有二元隱函數(shù)xyyxarctanln22 04222 zzyx一元的隱函數(shù)一元的隱函數(shù)二元的隱函數(shù)二元的隱函數(shù)1070),(. 1 yxF一個方程的情形隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式108xyFFdyxFdxFy 0),(yxF109解法1 兩邊求導(dǎo)解法2 利用偏導(dǎo)數(shù)做xyyxxyyxFFdxdyyxyFyxFyxyxyxFyxyx262622620;

38、026),(22222由隱函數(shù)求導(dǎo)公式設(shè)110解解 令令則則 222222222222222222222211221arctan)ln(21arctanln),(yxxyFyFyxyxyxyyxxxyyxxyxxxyxyyxxFxFxyyxxyyxyxFyx2222xyxyFdyxyxyyxdxFxyxy 111二元隱函數(shù)1120),(. 2 zyxF1130),(zyxFxzFzxF yzFzyF 計算3個偏導(dǎo)數(shù),xyzF F F114解解令令則則,4),(222zzyxzyxF 2 ,xFx24,zFz,2xzFzxxFz yzxz,2yFy 代公式2242yzFzyyyFzz 115解解

39、令令222( , , )352610221010661010 xyzxxzyyzF x y zxyzxyzFxyzFyxzFzxyFxyzxyzzFzxyxyzFyxzyxzzFzxyxyz 則代公式y(tǒng)zxz,116第四節(jié)、全微分117),(),(yxfyxxf ( , )xfx yx),(),(yxfyyxf ( , )yfx yy 二二元元函函數(shù)數(shù)對對x和和對對y的的偏偏微微分分 二二元元函函數(shù)數(shù)對對x和和對對y的的偏偏增增量量由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得1、全微分的定義118全增量的概念全增量的概念119 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在

40、點),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示為可以表示為)( oyBxAz ，其中，其中BA,不依賴于不依賴于yx ,而僅與而僅與yx,有關(guān)，有關(guān)，22)()(yx ，則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx可微分，可微分，yBxA 稱為函數(shù)稱為函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx的的全微分全微分，記為，記為dz，即，即 dz= =yBxA . .全微分的定義全微分的定義120 函函數(shù)數(shù)若若在在某某區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)各各點點處處處處可可微微分分，則則稱稱這這函函數(shù)數(shù)在在 D 內(nèi)內(nèi)可可微微分分.事實上事實上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim

41、00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx處處連連續(xù)續(xù).121dyyzdxxzdz2、可微的條件122證證如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的的某某個個鄰鄰域域)( oyBxAz 總成立總成立,當(dāng)當(dāng)0 y時，上式仍成立，時，上式仍成立，此時此時| x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 123一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在微分存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)的各偏

42、導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf124)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考慮慮點點),(yxP 沿沿著著直直線線xy 趨趨近近于于)0 , 0(，則則 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 說說明明它它不不能能隨隨著著0 而而趨趨于于 0,0 當(dāng)當(dāng) 時，時，(0,0)(0,0)( ),xyzfxfyo 函數(shù)在點函數(shù)在點)0 , 0(處不可微處不可微.125說明說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全 微分存在微分存在證證),(),(yxfyy

43、xxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf 126),(),(yyxfyyxxf 1(,)xfxx yyx)10(1 在第一個方括號內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理在第一個方括號內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理1( , )xfx yxx （依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）（依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）且且當(dāng)當(dāng)0, 0 yx時時，01 .其中其中1 為為yx ,的函數(shù)的函數(shù),1271( , )xfx yxx 2( , )yfx yyy z 2121 yx, 00 故函數(shù)故函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx處可微處可微.同理同理),(),(yxfyyxf 2( , ),yfx yyy 當(dāng)當(dāng)0 y時，時，02

44、 ,128習(xí)慣上，記全微分為習(xí)慣上，記全微分為.dyyzdxxzdz 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況129例例 1 1 計算函數(shù)計算函數(shù)xyez 在點在點)1 , 2(處的全微分處的全微分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222)1 , 2(dy

45、edxedz所求全微分所求全微分.dyxedxyedzxyxy130例例 2 2 求函數(shù)求函數(shù))2cos(yxyz ，當(dāng)，當(dāng)4 x， y，4 dx， dy時的全微分時的全微分.解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 dyyxyyxdxyxydyyzdxxzdz)2sin(2)2cos()2sin(131例例 3 3 計計算算函函數(shù)數(shù)yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyz

46、yz 這是三元的函數(shù)132關(guān)系133多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)134全微分在近似計算中的應(yīng)用135全微分在近似計算中的應(yīng)用全微分在近似計算中的應(yīng)用( , )( , )( , ),( , ),xyzf x yP x yfx yfx yxy當(dāng)二元函數(shù)在點的兩個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且都較小時，有近似等式( , )( , ).xyzdzfx yxfx yy 也可寫成也可寫成(,)( , )( , )( , ).xyf xx yyf x yfx yxfx yy 136解解.),(yxyxf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).02.

47、 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f1( , ),yxfx yyx( , )ln ,yyfx yxx(1,2)2,xf (1,2)0,yf 由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 137第六節(jié)、多元函數(shù)的極值和最值138實例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每實例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進價瓶進價1元，外地牌子每瓶進價元，外地牌子每瓶進價1.2元，店主估元，店主估計，如果本地牌子的每瓶賣計，如果本地牌子的每瓶賣 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶賣每瓶賣 元，則每天可賣出元，則每天可賣出 瓶本瓶本地牌子的果汁，

48、地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁問：店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可問：店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？取得最大收益？xyyx4570 yx7680 每天的收益為每天的收益為 ),(yxf)7680)(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.1、問題的提出1392、多元函數(shù)的極值和最值140二元函數(shù)極值的定義141 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于有定義，對于該鄰域內(nèi)異于),(00yx的點的點),(yx：若滿足不等式若滿足不等

49、式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)在在),(00yx有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)在，則稱函數(shù)在),(00yx有極有極小值；小值；1 1、二元函數(shù)極值的定義、二元函數(shù)極值的定義極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. .使函數(shù)取得極值的點稱為極值點使函數(shù)取得極值的點稱為極值點. .142(1)(2)(3)例例1 1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0

50、, 0(xyz 143多元函數(shù)取得極值的條件多元函數(shù)取得極值的條件不妨設(shè)不妨設(shè)),(yxfz 在點在點),(00yx處有極大值處有極大值,則則對對于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,證證144故故當(dāng)當(dāng)0yy ，0 xx 時時，有有 ),(0yxf),(00yxf,說明一元函數(shù)說明一元函數(shù)),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值,必必有有 0),(00 yxfx;類類似似地地可可證證 0),(00 yxfy.推廣推廣 如果三元函數(shù)如果三元函數(shù)),(zyxfu 在點在點),(000zyxP具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在具有偏導(dǎo)

51、數(shù)，則它在),(000zyxP有極值的必要條有極值的必要條件為件為 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.145例如例如, 點點)0 , 0(是函數(shù)是函數(shù)xyz 的駐點，的駐點，但但不不是是極極值值點點. 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，均稱為函數(shù)的的點，均稱為函數(shù)的駐點駐點.駐點駐點極值點極值點問題：如何判定一個駐點是否為極值點？問題：如何判定一個駐點是否為極值點？注意：注意：146147148yxyxz221422149例例 4 4 求求由由方方程程yxzyx22222 0104 z確確定定

52、的的函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的極極值值將方程兩邊分別對將方程兩邊分別對yx,求偏導(dǎo)求偏導(dǎo) 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函數(shù)數(shù)取取極極值值的的必必要要條條件件知知,駐駐點點為為)1, 1( P,將將上上方方程程組組再再分分別別對對yx,求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),解解隱函數(shù)求極值150,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 故故 )2(0)2(122 zzACB,函函數(shù)數(shù)在在P有有極極值值.將將)1, 1( P代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,當(dāng)當(dāng)21 z時時，041 A,所所以以2)1, 1( fz為為極極小小值值；當(dāng)當(dāng)62 z時時，041 A,所

53、以所以6)1, 1( fz為極大值為極大值. 151求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步驟：第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求出實數(shù)解，得駐點求出實數(shù)解，得駐點.第二步第二步 對于每一個駐點對于每一個駐點),(00yx，求求出出二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的值值 A、B、C. 第三步第三步 定出定出2BAC 的符號，再判定是否是極值的符號，再判定是否是極值.152xyyxyxfz3),() 1 (3322442)2(yxyxyxz153212, 2, 212) 1, 1)(1 , 1)(0 , 0(00:2)2(222244 yzzxzzzS

54、olutionyxyxyxzyyxyxxyx處不取極值所以有當(dāng)時而當(dāng)有時當(dāng)處在)0 , 0(0, 0,0; 02,. 0)0 , 0(,)0 , 0(244zxxxzyxzyxf) 1 , 1 () 1, 1(在 處取極小值在 處取極小值154求最值的一般方法求最值的一般方法： 將函數(shù)在將函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在D D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值大者即為最大值，最小者即為最小值. . 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值極值來求函數(shù)的最大值和最小值.3 3、多元函數(shù)的最值、多元函數(shù)的最值155例例 5 5 求求二二元元函函數(shù)數(shù))4(),(2yxyx