1、前言 在科學(xué)技術(shù)發(fā)展到跨進(jìn)21世紀(jì)的今天，應(yīng)該交給大學(xué)生什么樣的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)科學(xué)的哲學(xué)和方法論、數(shù)學(xué)應(yīng)用的思維方式如何，以及把數(shù)學(xué)作為技術(shù)開發(fā)的工具是怎么樣的等等，這一系列問題已經(jīng)尖銳地?cái)[在工科數(shù)學(xué)教育工作者面前。目前，大家已經(jīng)形成的共識(shí)是，講授數(shù)學(xué)知識(shí)不能僅僅局限于伴隨牛頓力學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展起來并于一百來年已經(jīng)形成的經(jīng)典理論，而是不僅教給學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論，還要教給學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的技能，特別是數(shù)學(xué)建模和計(jì)算機(jī)模擬的本領(lǐng)；數(shù)學(xué)應(yīng)用的思維方式在提倡抽象思維的同時(shí)更強(qiáng)調(diào)形象思維或直感思維，使用幾何方法，形象化的描述及計(jì)算機(jī)圖示，因?yàn)閳D形對(duì)想象力和創(chuàng)造力是強(qiáng)有力的刺激因素；數(shù)學(xué)應(yīng)用要把計(jì)算機(jī)及其技術(shù)作為不可缺

2、少的工具和手段，使大學(xué)生學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)同數(shù)學(xué)科學(xué)的學(xué)習(xí)與研究緊密結(jié)合，不但會(huì)用計(jì)算機(jī)，而且能理解計(jì)算機(jī)給出的答案。這些共識(shí)就是數(shù)學(xué)教育改革所追求的方向和目標(biāo)。緒論：如何認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)是人類最古老同時(shí)又是最富生命力的知識(shí)領(lǐng)域之一。在近幾百年，幾乎每個(gè)世紀(jì)，數(shù)學(xué)都出人意料地獲得驚人的發(fā)展而創(chuàng)造出新的黃金時(shí)代。然而，時(shí)至今日仍有不少人對(duì)學(xué)習(xí)、研究數(shù)學(xué)的目的和意義產(chǎn)生種種疑惑，特別是剛進(jìn)入高等學(xué)校的接受工程技術(shù)教育的學(xué)生們總是對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生一系列的疑問，問的最多的是“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對(duì)以后所從事的技術(shù)工作有什么用？”。甚至有人認(rèn)為隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，大量的計(jì)算問題可以由計(jì)算機(jī)軟件處理，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)已不那么重要了。

3、應(yīng)該說這是我們數(shù)學(xué)教育現(xiàn)在必須回答的一個(gè)帶有根本性的問題。當(dāng)然，大多數(shù)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)既不想當(dāng)數(shù)學(xué)家，也不想從事數(shù)學(xué)教育工作，只是為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)和技術(shù)而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而我們面向工程技術(shù)教育的學(xué)生講授數(shù)學(xué)的方式以及學(xué)生的學(xué)習(xí)方法確實(shí)有很多地方值得認(rèn)真反思。一方面，過分的注重“純數(shù)學(xué)”的嚴(yán)密體系、嚴(yán)格的證明和復(fù)雜計(jì)算，而不注重它的應(yīng)用性和工具性（科學(xué)語言）；另一方面，只滿足于會(huì)作題、應(yīng)付考試的“應(yīng)試學(xué)習(xí)”方式，致使學(xué)生們無法對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法及其應(yīng)用價(jià)值有明晰的認(rèn)識(shí)。為此，我們提出新的嘗試，既傳授基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，又訓(xùn)練應(yīng)用技能。本章的目的是想讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有一個(gè)基本的概括性認(rèn)識(shí)。一、 數(shù)學(xué)無處不在

4、數(shù)學(xué)是研究數(shù)和形及其關(guān)系的一門科學(xué)。它以研究現(xiàn)時(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要任務(wù)。通俗地講，數(shù)學(xué)是以數(shù)字、符號(hào)、形狀和模式來代替文字的一套特殊語言系統(tǒng)?；蛘哒f，數(shù)學(xué)是一種能夠描述各種客觀規(guī)律的語言，是任何學(xué)科都要用到的、無比有用、無所不能、神通廣大、全球共通的一種特殊語言。正像已故的著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授所說，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，華工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學(xué)無處不在，凡是有“量”和“形”的地方就少不了用數(shù)學(xué)，研究量（或形）的關(guān)系、量（或形）的變化、量（或形）的變化關(guān)系、量（或形）的關(guān)系的變化等問題都離不開數(shù)學(xué)作為語言工具。我們現(xiàn)在無法真正理解為什么毫無智能的動(dòng)物、植

5、物，甚至低等生物，都會(huì)進(jìn)行奇特的數(shù)學(xué)創(chuàng)造。如某些細(xì)菌的繁殖會(huì)滿足一些奇妙的數(shù)學(xué)規(guī)律，植物的花瓣形成精美的幾何圖形，某些貝殼和松果具有螺旋形生長(zhǎng)模式等等。自然界充滿著數(shù)學(xué)概念的實(shí)例。這就是數(shù)學(xué)之所以成為描述、解釋自然現(xiàn)象的語言的原因。例如，圓形蜘蛛網(wǎng)是一個(gè)簡(jiǎn)單漂亮的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，要分析這個(gè)美麗結(jié)構(gòu)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析時(shí)，出現(xiàn)在蜘蛛網(wǎng)中的數(shù)學(xué)概念是驚人的：半徑、弦、平行線段、三角形、全等對(duì)應(yīng)角、對(duì)數(shù)螺線、懸鏈線和無理數(shù)e 。我們知道蜜蜂營(yíng)造的蜂房也是奇妙的數(shù)學(xué)圖形。十八世紀(jì)初，法國學(xué)者馬拉爾奇測(cè)量了蜂房，發(fā)現(xiàn)正面看去它是鑲嵌得如此天衣無縫的正六角形，蜂王的底都是由三個(gè)全等的菱形組成的，菱形的鈍角都是10

6、9，銳角都是等于70（圖0-1），這不僅是蜂房 圖0-1的空間結(jié)構(gòu)呈如此精美的幾何形狀，而且據(jù)巴黎科學(xué)院院士、瑞士數(shù)學(xué)家克尼格與蘇格蘭數(shù)學(xué)家馬克勞林的理論計(jì)算，這種結(jié)構(gòu)消耗最少的材料和最少的“工時(shí)”，這里竟然符合最優(yōu)化的數(shù)學(xué)原理，真是不可思議！蜜蜂沒有學(xué)過鑲嵌理論、求解最大值和最小值方法、解線性代數(shù)問題和求含約束條件的最優(yōu)解的藝術(shù)，而它卻實(shí)實(shí)在在進(jìn)行了奇妙的符合數(shù)學(xué)原理的工程技術(shù)創(chuàng)造，這不正是把自然界與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來的例證嗎？在礦物結(jié)構(gòu)中，同樣可以找到許多更為奇妙的空間圖形，如食鹽礦的晶體呈正方體形狀，明礬的晶體呈正八面體形狀，而礦物質(zhì)中其它更多的晶體呈更為復(fù)雜的幾何形狀，如十字架石晶體呈正交或

7、斜交十字架雙晶形；電氣石晶體色澤美麗可作為寶石，呈拄狀晶形，拄面有明顯的縱條紋，橫斷面呈弧線三角形；如石榴石的晶體結(jié)構(gòu)呈菱形十二面體或四角三八面體的復(fù)雜美妙的幾何形狀，透明色澤的也可作為寶石等（圖0-2）。 圖0-2再從宏觀來看，我們所生活的地球與它的衛(wèi)星月亮之間有著緊密的聯(lián)系，月亮是沿著橢圓形軌道繞地球旋轉(zhuǎn)的。軌道的遠(yuǎn)日點(diǎn)距離為406700公里（最大），近日點(diǎn)距離為356400公里（最小），億萬年來，都是如此周而復(fù)始地按此規(guī)律運(yùn)行。我們所處的宇宙里，天體之間運(yùn)行規(guī)律無一不是精確的數(shù)學(xué)關(guān)系式。偉大的天文學(xué)家開普勒在諧和宇宙一書中進(jìn)一步研究行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了著名的開普勒行星運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)三大定律：

8、（1）行星繞太陽運(yùn)行的軌道是橢圓形的，而太陽在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。這個(gè)定律說明了行星運(yùn)動(dòng)軌道的數(shù)學(xué)形式為： 運(yùn)動(dòng)方程為： ， . 離心率為：（2）行星的向徑（行星與太陽的連線）在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積。這個(gè)定律說明了行星的運(yùn)動(dòng)速度的數(shù)學(xué)形式為：.（如圖0-3所示）（3）行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方與它們到太陽的平均距離的立方成正比例。這個(gè)定律說明行圖0-3星行星運(yùn)動(dòng)的周期性。事實(shí)上，說明（其中a表示行星到太陽的平均距離，T表示公轉(zhuǎn)周期，G為萬有引力常數(shù)，M為太陽質(zhì)量）。三定律的發(fā)現(xiàn)，不僅使人們準(zhǔn)確地預(yù)先計(jì)算出行星的未來的位置，編制成行星的星歷表供航海與大地測(cè)量使用，更重要的是人們可以利用數(shù)學(xué)的幫

9、助去發(fā)現(xiàn)新的行星。果然，在開普勒以后的一百年后，德國天文學(xué)家提出在行星的軌道間缺一顆行星，1781年，德國天文學(xué)家威廉赫歇發(fā)現(xiàn)了這顆新星，這就是著名的天王星。19世紀(jì)中葉，法國天文學(xué)家勒維耶（1811-1877）和英國天文學(xué)家亞當(dāng)斯（1819-1892），分別獨(dú)立計(jì)算出一顆新行星，命名為海王星。這些行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律、以及新行星的發(fā)現(xiàn)，都是數(shù)學(xué)方法的光輝應(yīng)用的結(jié)果。目前已發(fā)現(xiàn)了距太陽約60億公里的最遙遠(yuǎn)的一顆大行星冥王星，因此，人們已經(jīng)知道了太陽系有九大行星。而且在火星與木星之間發(fā)現(xiàn)兩千多顆小行星。太陽系所在的星系，成為銀河星系。銀河星系的面目已研究的比較清楚了。它的形狀像個(gè)鐵餅，直徑10萬光年，

10、中央厚度約1萬光年。銀河系中的物質(zhì)分布成旋渦狀，狀似螺線，太陽系在銀河系的邊沿。90年4月美國發(fā)射太空的哈伯望遠(yuǎn)鏡，觀察到遙遠(yuǎn)星系的狀況，并發(fā)現(xiàn)這些星系的運(yùn)行規(guī)律與人們利用數(shù)學(xué)計(jì)算推測(cè)的結(jié)果幾乎是一致的。如今，人們利用數(shù)學(xué)不僅能計(jì)算出星系的運(yùn)行規(guī)律，而且還能計(jì)算出恒星的壽命，以及太陽系、地球、宇宙的年齡等等，這些研究成果越來越使人類更清晰地了解我們的宇宙過去、現(xiàn)在和未來。至于人類自身的發(fā)明創(chuàng)造，更與數(shù)學(xué)有密切的聯(lián)系。高聳入云的摩天大樓、大跨度的大橋、高性能的電子儀器設(shè)備、人造衛(wèi)星、航天飛機(jī)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)與信息通訊設(shè)施等等，這些全是人類數(shù)學(xué)智慧的結(jié)晶。二、數(shù)學(xué)伴隨人的一生從嬰兒出生的第一刻起，父母

11、要記他的出生時(shí)間、醫(yī)生要為他量體重和身長(zhǎng)，還要檢查各項(xiàng)健康指標(biāo)，定時(shí)、定量哺乳、進(jìn)食，這些都于數(shù)學(xué)有關(guān)，嬰兒一出生就遇到了數(shù)學(xué)，并在以后的時(shí)光里，數(shù)學(xué)將幫助嬰兒健康成長(zhǎng)。隨著幼兒的成長(zhǎng)，越來越離不開數(shù)學(xué)。一旦人開口學(xué)說話，大人開始教數(shù)“1，2，3，”，“識(shí)數(shù)”是人生的第一課。后來逐漸能直觀地識(shí)別物體大小、東西的多少，這就有了初步的數(shù)量概念，漫漫地大人教他學(xué)習(xí)畫三角形、正方形和圓等等。當(dāng)你會(huì)到商店買東西，就學(xué)會(huì)了簡(jiǎn)單計(jì)算；正是有了這些初步的數(shù)量概念，才會(huì)有時(shí)間概念，知道什么時(shí)候看電視、什么時(shí)間睡覺，也會(huì)記住一些重要的節(jié)日和自己的生日等；也正是有了這些初步的幾何圖形概念和簡(jiǎn)單計(jì)算能力，才使幼兒逐漸

12、具有了數(shù)量、運(yùn)算、空間、形狀等初始的數(shù)學(xué)思想意識(shí)。不難想象，如果我們?nèi)祟悰]有這些數(shù)、量、空間、形狀與關(guān)系的思想意識(shí)，人類將和其它動(dòng)物一樣，陷入何等渾噩無知與黑暗之中，那將是非?？膳碌幕煦绲臅r(shí)代。事實(shí)上，人類的祖先開啟智能的標(biāo)志之一，就是有了數(shù)量和幾何形狀的觀念和意識(shí)。當(dāng)我們進(jìn)入小學(xué)、中學(xué)學(xué)校學(xué)習(xí)，開始正式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這門學(xué)科，懂得了更為深?yuàn)W的數(shù)學(xué)語言和圖形語言。知道了整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、正數(shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)，明白了相等與不等、方程與函數(shù)、有限與無限、數(shù)列與極限；懂得了圖形的全等與相似、直線、圓、軸對(duì)稱和中心對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)、標(biāo)量、矢量、坐標(biāo)、正弦曲線、余弦曲線、拋物線、橢圓、雙曲線

13、，多面體、旋轉(zhuǎn)體，空間曲線和曲面等等。我們也學(xué)會(huì)了加、減、乘、除、乘方、開方，整式、分式、冪式、根式、方程式、函數(shù)式，等式、不等式，排列、組合、二項(xiàng)式展開的運(yùn)算，學(xué)會(huì)了幾何作圖、等分、等積變形、分割、展開、放大、縮小、平移、旋轉(zhuǎn)、反射以及無限細(xì)分與無限積累等數(shù)學(xué)方法。這樣以來我們的大腦里已經(jīng)裝進(jìn)了人類數(shù)千年長(zhǎng)期總結(jié)積累的初等數(shù)學(xué)知識(shí)的精粹與思維的模式，使我們的思維方式更科學(xué)化了，也就是說，數(shù)學(xué)訓(xùn)化了我們的大腦，使我們更聰明睿智了。進(jìn)入高等教育階段，我們要成為某個(gè)學(xué)科或技術(shù)領(lǐng)域的專門人才，要學(xué)習(xí)系統(tǒng)的專業(yè)知識(shí)和技術(shù)，就需要更多、更深入的數(shù)學(xué)知識(shí)。我們要弄懂函數(shù)與極限、函數(shù)與連續(xù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分

14、、不定積分、定積分、曲線積分、曲面積分，拉氏變換和逆變換，級(jí)數(shù)、傅立葉級(jí)數(shù)與函數(shù)的泰勒展式，微分方程，行列式、矩陣、線性方程組和n維向量，概率統(tǒng)計(jì)，圖論，線性規(guī)劃與動(dòng)態(tài)規(guī)劃等一系列數(shù)學(xué)概念和知識(shí)，同時(shí)我們還要學(xué)會(huì)利用這些概念和知識(shí)，會(huì)計(jì)算變化率、改變量，會(huì)分析函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖形的特征，會(huì)求函數(shù)的極值，會(huì)進(jìn)行近似計(jì)算與誤差分析，會(huì)求函數(shù)曲線所圍成的圖形的面積、曲線長(zhǎng)度和曲面體積，會(huì)求解一階線性微分方程和二階常系數(shù)微分方程，會(huì)求一些函數(shù)的拉氏變換和逆變換，會(huì)把一個(gè)函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)、把周期函數(shù)展成傅立葉級(jí)數(shù)，會(huì)求行列式的值、會(huì)進(jìn)行矩陣變換和解線性方程組，會(huì)求矩陣的特征值和特征向量，會(huì)求概率和進(jìn)行簡(jiǎn)單

15、的統(tǒng)計(jì)分析，會(huì)利用圖論方法、線性規(guī)劃和動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決一些優(yōu)化問題，會(huì)利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法建立數(shù)學(xué)模型等等。十余年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅增長(zhǎng)了知識(shí)，還學(xué)會(huì)了邏輯思維，就這一點(diǎn)對(duì)人的幫助最大。當(dāng)你會(huì)歸納、類比、聯(lián)想，會(huì)靈活處理問題，增強(qiáng)了直覺能力，有了數(shù)感，有了形感時(shí)，那你會(huì)變得更聰明、智慧。當(dāng)你走向技術(shù)或管理崗位，經(jīng)常要借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行工程計(jì)算或經(jīng)濟(jì)核算，經(jīng)常要進(jìn)行分析、判斷和決策。這使你感到通過數(shù)學(xué)培養(yǎng)出的能力有了用武之地。目前出現(xiàn)的一些優(yōu)秀數(shù)學(xué)軟件功能非常強(qiáng)大，不僅能進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，而且還能進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算，這不僅使繁瑣的計(jì)算、推導(dǎo)變得輕松自如，而且也能協(xié)助我們進(jìn)行邏輯思維，作出正確判斷。因此學(xué)會(huì)利用流

16、行的數(shù)學(xué)軟件已是工程師、經(jīng)濟(jì)師們必不可缺學(xué)習(xí)任務(wù)。我們要相信，這一系列數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，是你成為一名高級(jí)技術(shù)或管理人才的基礎(chǔ)。我們不難發(fā)現(xiàn)，如今的社會(huì)生活信息化程度越來越高，終身學(xué)習(xí)已經(jīng)成為人的一種特別需要，“會(huì)學(xué)習(xí)”已成為當(dāng)今社會(huì)對(duì)人的一種基本要求。然而，“會(huì)學(xué)習(xí)”的前提是必須具備通過數(shù)學(xué)培養(yǎng)出的足夠的 “閱讀”能力和邏輯思維能力。事實(shí)證明，沒有經(jīng)過數(shù)學(xué)邏輯思維訓(xùn)練的人，一般不會(huì)有健全的學(xué)習(xí)能力。當(dāng)然，不一定是終身要學(xué)數(shù)學(xué)，但一定是終身要用數(shù)學(xué)。毫無疑問，數(shù)學(xué)將伴隨人的一生。三、 數(shù)學(xué)的基本特征數(shù)學(xué)是人類智力的產(chǎn)物，許多人認(rèn)為它具有三個(gè)最基本的特征：一是高度抽象性，二是高度精確

17、性，三是廣泛應(yīng)用性。1 數(shù)學(xué)的高度抽象性 數(shù)，就是離開具體事物的實(shí)際背景，僅僅從它的數(shù)量側(cè)面上反映出來的一種抽象。在人類有文字記載的初期，人們就知道把具體的一些物體的數(shù)量用符號(hào)記錄下來，這時(shí)人們已經(jīng)開始有了把“數(shù)”從具體事物抽象出來的意識(shí)。例如3（古代有各種表示方法，現(xiàn)在我們采用的是阿拉伯人的記法）這個(gè)數(shù)既可表示3個(gè)蘋果，也可表示3個(gè)人或3本書等等，而3本身已經(jīng)擯棄了蘋果、人或書等的具體含義，僅僅抓住數(shù)量這一特征的一種抽象。形，也是如此，直線這一概念是從拉緊的紗線，透過小孔的光線，筆直的路線等等現(xiàn)實(shí)事物中抽象出來的。幾何學(xué)中的直線舍棄了所有紗線、光線、路線等等事物的性質(zhì)，只留下在一定方向上無限

18、伸長(zhǎng)這一抽象形式。幾何圖形的概念，都是舍棄了現(xiàn)實(shí)對(duì)象的所有性質(zhì)，只留下空間形式和大小、位置這些抽象結(jié)果。全部數(shù)學(xué)都具有這種抽象的特征。其實(shí)，抽象的方法其他學(xué)科應(yīng)用也很廣泛，幾乎任何學(xué)科都有一些的抽象性的概念手段，如現(xiàn)代物理學(xué)中的各種“場(chǎng)”、“熵”、“勢(shì)”等等也都是比較抽象的概念；又例如力學(xué)中的剛體運(yùn)動(dòng)，常把一個(gè)物體視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，把運(yùn)動(dòng)軌跡看成一條曲線或直線，這就是典型的抽象手法。特別是天體運(yùn)動(dòng)研究中，把星球的運(yùn)行軌跡認(rèn)為是橢圓，這時(shí)就把巨大的星球看成是幾何點(diǎn)（無體積的點(diǎn)，或把體積“抽象”掉了）。但這些抽象的概念并沒有完全擺脫實(shí)際背景，人們還很容易想到它的真實(shí)情況，而現(xiàn)代純粹數(shù)學(xué)的抽象程度越來越

19、高，有些已經(jīng)難于找到它的現(xiàn)實(shí)背景。尤其是在過去的一個(gè)世紀(jì)里，數(shù)學(xué)從內(nèi)容、意義到方法都經(jīng)歷了前所未有的深刻變革?；仡欉@種深刻變革，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)的無限生命力，恰恰是源于其發(fā)展過程中的三個(gè)貌似相互矛盾、實(shí)則相互統(tǒng)一的特點(diǎn)，即：數(shù)學(xué)的抽象性、精確性和數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性。在20世紀(jì)，數(shù)學(xué)的這兩個(gè)特點(diǎn)更是共軛地發(fā)展著，使數(shù)學(xué)比以往任何時(shí)代都更加成為整個(gè)科學(xué)技術(shù)賴依生存的基礎(chǔ)和人類文明、進(jìn)步的標(biāo)志。脫離具體的實(shí)際背景對(duì)事物進(jìn)行“量”與“形”的抽象是數(shù)學(xué)固有的特性，可以說沒有這種抽象就沒有數(shù)學(xué)。20世紀(jì)數(shù)學(xué)更高的抽象化趨勢(shì)，最初主要是受了兩大因素的推動(dòng)，即集合論觀點(diǎn)與公理化方法，二者相互結(jié)合孕育了抽象代數(shù)、

20、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析等新的抽象分支，同時(shí)又引發(fā)了一些傳統(tǒng)數(shù)學(xué)分支(特別如概率論)的革新。數(shù)學(xué)的核心領(lǐng)域不斷拓展，研究對(duì)象不斷擴(kuò)張。例如，過去作為分析學(xué)主角的函數(shù)概念被擴(kuò)張為泛函、算子和一般的映射；代數(shù)學(xué)研究的中心從普通的數(shù)轉(zhuǎn)化為群、環(huán)、域等一般的代數(shù)結(jié)構(gòu)；幾何學(xué)則主要探討各種各樣的抽象空間(包括無窮維空間、分?jǐn)?shù)維空間、彎曲的非歐空間、可變形的拓?fù)淇臻g等)?？梢哉f，現(xiàn)代數(shù)學(xué)不僅研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系，而且研究一切可能的空間形式與數(shù)量關(guān)系。在更廣泛的意義上，數(shù)學(xué)已經(jīng)被看作是關(guān)于“模型”(pattern)的學(xué)科，包括數(shù)的模型，形的模型，運(yùn)動(dòng)與變化的模型，推理的模型，行為的模型這些模型既可以是現(xiàn)

21、實(shí)的，也可以是想像的；既可以是定量的，也可以是定性的，等等。 純粹數(shù)學(xué)在20世紀(jì)經(jīng)歷了一系列激動(dòng)人心的發(fā)展，過去若干世紀(jì)以來積累的一些重大問題，有許多已獲解決或是取得了重要進(jìn)展。歷300余年懸而未決的費(fèi)馬大定理的獲證(1994)，可以說是20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)美妙的終曲。對(duì)于X的n次方X的n次方Z的n次方這一看似簡(jiǎn)單的方程式，費(fèi)馬在300多年前提出，當(dāng)n大于或等于3時(shí)無整數(shù)解。此后，300多年無人能證明這一定理。除了費(fèi)馬大定理，像事關(guān)數(shù)學(xué)大廈基礎(chǔ)的哥德爾不完全性定理的提出(1931)、具有異乎尋常的微分結(jié)構(gòu)的“米爾諾怪球”的發(fā)現(xiàn)(1956)、揭示數(shù)學(xué)內(nèi)在統(tǒng)一性的“阿蒂亞辛格指標(biāo)定理”的證明(1963

22、)、四色定理的攻克(1976)、有限單群分類的完成(1980)、等等，這些輝煌的智力成果，不斷使科學(xué)界震驚，而它們的獲得，都依賴于極度抽象的概念與方法。以費(fèi)馬大定理的證明為例，由于它綜合運(yùn)用了包括數(shù)論、代數(shù)幾何、李群和分析等眾多數(shù)學(xué)分支的思想與方法而被喻為“后現(xiàn)代藝術(shù)”。這條表述極其初等的定理，要看懂英國數(shù)學(xué)家維爾斯對(duì)它的證明，即使對(duì)訓(xùn)練有素的職業(yè)數(shù)學(xué)家來說也并非易事，這多少說明了現(xiàn)代數(shù)學(xué)抽象的程度。哥德爾不完全性定理的提出，可涉及的領(lǐng)域甚至包括哲學(xué)。其抽象化也是達(dá)到了相當(dāng)高深的程度。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)抽象化趨勢(shì)的增長(zhǎng)，有時(shí)不免引起人們對(duì)數(shù)學(xué)的誤解，認(rèn)為數(shù)學(xué)是只有少數(shù)思維怪杰才能問津的、遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí)的象牙

23、塔。然而數(shù)學(xué)的抽象決不是無源之水、無本之木。相反，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。由于數(shù)與形是事物所共有的本質(zhì)屬性的抽象，數(shù)學(xué)在其發(fā)展的早期就表現(xiàn)出解決因人類實(shí)際需要而提出的各種問題的功效。隨著數(shù)學(xué)抽象程度的提高，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系有時(shí)呈現(xiàn)出曲折性，數(shù)學(xué)理論往往會(huì)領(lǐng)先發(fā)展，但這常常只是重大應(yīng)用的前奏。數(shù)學(xué)的發(fā)展史表明，數(shù)學(xué)的抽象越是完善，其滲透能力就越強(qiáng)，應(yīng)用范圍就越廣。20世紀(jì)是一個(gè)純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)相互影響，共同繁榮的時(shí)代，應(yīng)用數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展，已蔚成當(dāng)代數(shù)學(xué)的強(qiáng)大潮流，并表現(xiàn)出與以往時(shí)代不同的鮮明特征。在目前的基礎(chǔ)教育和高等教育教學(xué)中，尤其是在高等工程技術(shù)教育中，重視數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際背景，加

24、強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)與能力的培養(yǎng)，是十分必要和迫切的任務(wù)。但我們必須清楚，數(shù)學(xué)的巨大應(yīng)用威力，正是源于它在宇宙世界和人類社會(huì)的探索中對(duì)最大限度的一般性即抽象性的追求。數(shù)學(xué)抽象作為一種科學(xué)思維的范式，是現(xiàn)代化人才不論其從事何種職業(yè)所必須具備的基本素質(zhì)，雖然對(duì)不同的人要求可有所不同。值得指出的是，數(shù)學(xué)抽象思維包括了演繹證明、歸納推理、算法構(gòu)思等不同的方面，應(yīng)該是一個(gè)整體的、全面的概念。我們?cè)诠こ填惢蚬芾眍悓I(yè)教育中，特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)回歸自然，回歸工程實(shí)際，回歸技術(shù)應(yīng)用，但我們不可能擺脫數(shù)學(xué)的抽象性特點(diǎn)。在這里把數(shù)學(xué)教育的目的定位于應(yīng)用能力培養(yǎng)，是非常正確的，且最重要的目的是抽象思維能力培養(yǎng)，因?yàn)闀?huì)用抽象的方

25、法解決問題，是高超智慧的體現(xiàn)。其實(shí)，抓住現(xiàn)實(shí)對(duì)象的根本特征進(jìn)行抽象性描述，往往會(huì)使其特征更明了、簡(jiǎn)潔、直觀。2 數(shù)學(xué)的高度精確性數(shù)學(xué)的高度精確性主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)定義的準(zhǔn)確性、推理的邏輯嚴(yán)格性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定無疑性與無可爭(zhēng)辯性。當(dāng)然，數(shù)學(xué)嚴(yán)格性不是絕對(duì)的，一成不變的，而是相對(duì)的，發(fā)展的，體現(xiàn)人們的認(rèn)識(shí)逐漸深化的過程。數(shù)學(xué)的邏輯嚴(yán)密性的主要特征是它的經(jīng)典部分有一套科學(xué)、簡(jiǎn)明的公理系統(tǒng)，這些公理系統(tǒng)的標(biāo)志是：一，它有一套基本術(shù)語，或原始概念；二，它有一組基本命題，或原始命題，或公理；三，其余的概念全由原始概念出發(fā)予以定義，其余的命題全由公理出發(fā)予以推理論證。現(xiàn)在，算術(shù)，幾何，微積分，泛函分析，拓?fù)鋵W(xué)，

26、集合論，群論，概率論等均已建立在公理化基礎(chǔ)上。它的所有不能是例證和個(gè)別驗(yàn)證，如著名的歌德巴赫猜想，有人用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證了幾百萬個(gè)素?cái)?shù)都是對(duì)的，但這仍不能算證明了歌德巴赫猜想。再如對(duì)于下面的二次式我們可以驗(yàn)證，當(dāng)x=1,2,10000時(shí),都是素?cái)?shù)?？墒俏覀儧Q不能下結(jié)論對(duì)所有的自然數(shù)x, 是素?cái)?shù)。舉出一個(gè)反例，就是x=72490，因?yàn)?. 不能用例證得出結(jié)論，任何結(jié)論都必須經(jīng)過嚴(yán)密的演繹推斷，數(shù)學(xué)家核心任務(wù)是根據(jù)已知的結(jié)論通過嚴(yán)密演繹推理證明新的結(jié)論或證實(shí)人們的各種猜想等，而其它學(xué)科的專家們只關(guān)心數(shù)學(xué)結(jié)論極其應(yīng)用，不必理解其證明細(xì)節(jié)，因此，從事工程類或管理類專業(yè)數(shù)學(xué)教育的工作者，千萬不要以教會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)

27、密證明為目的，而是要以幫助學(xué)生分析理解數(shù)學(xué)結(jié)論、訓(xùn)練應(yīng)用方法為主要任務(wù)和目的。3數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性自然科學(xué)發(fā)展史表明，任何學(xué)科研究都要經(jīng)歷從定性到定量研究的過渡和飛躍。只要該學(xué)科是不介入實(shí)驗(yàn)的，才是該門學(xué)科趨于成熟的表現(xiàn)。要做到這一點(diǎn)，數(shù)學(xué)學(xué)科是個(gè)有力的杠桿。似乎可以這樣說，在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)十大部門（引自錢學(xué)森1989年8月在數(shù)學(xué)會(huì)教育與科研座談會(huì)上的講話發(fā)展我國的數(shù)學(xué)學(xué)科。他指出的科學(xué)技術(shù)十大門類為：自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、數(shù)學(xué)科學(xué)、思維科學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)、人體科學(xué)、軍事科學(xué)、文藝?yán)碚?、行為科學(xué)、地理科學(xué)）中絕大部門的素養(yǎng)和訓(xùn)練中，數(shù)學(xué)理論是個(gè)終極的目標(biāo)，這是由于在各個(gè)部門的有關(guān)現(xiàn)象、規(guī)律和結(jié)論只有用準(zhǔn)

28、確的數(shù)學(xué)語言才能描繪清楚。19世紀(jì)七、八十年代，還是在現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的早期，恩格斯曾對(duì)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)應(yīng)用的狀況作過這樣的估計(jì)：“在固體力學(xué)中是絕對(duì)的，在氣體力學(xué)中是近似的，在化學(xué)中是簡(jiǎn)單的一次方程式，在生物學(xué)中等于零”。經(jīng)過一個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，可以看到恩格斯所描述的情況有了根本的改觀。數(shù)學(xué)正在向包括從粒子物理到生命科學(xué)、從空間科學(xué)到地球科學(xué)在內(nèi)的一切科學(xué)領(lǐng)域進(jìn)軍。 數(shù)學(xué)在物理學(xué)中的應(yīng)用在20世紀(jì)取得了一系列新的突破。眾所周知，在相對(duì)論和量子力學(xué)的創(chuàng)立和發(fā)展中，數(shù)學(xué)都建有奇功：出于純粹數(shù)學(xué)的興趣而獲得的抽象成果(張量分析、無窮維空間等)恰恰分別為這兩種新興的物理理論提供了現(xiàn)成合用的數(shù)學(xué)工具。抽象數(shù)學(xué)為物理

29、學(xué)新理論準(zhǔn)備了仿佛是定做的工具。在20世紀(jì)下半葉又演出了精彩的一幕，在物理學(xué)家探索統(tǒng)一場(chǎng)論的艱難卓絕的努力中，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)著名的楊米爾斯理論所需要的數(shù)學(xué)工具早已存在，物理規(guī)范勢(shì)實(shí)際上就是大范圍微分幾何中纖維叢上的聯(lián)絡(luò)。 至于現(xiàn)代化學(xué)，描述化學(xué)過程少不了微分方程和積分方程，并且有許多還是連數(shù)學(xué)家都感到棘手的非線性方程。 生物學(xué)不用數(shù)學(xué)的時(shí)代也已一去不返。膾炙人口的例子是：拓?fù)鋵W(xué)(特別是其中的扭結(jié)理論)為解開DNA雙螺旋結(jié)構(gòu)之謎提供了一把鑰匙。人類基因的破譯用到更多的數(shù)學(xué)知識(shí)。今天，數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用于遺傳學(xué)；概率論應(yīng)用于人口統(tǒng)計(jì)和種群理論；微分方程應(yīng)用于各種生物模型的建立；布爾代數(shù)應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)描述；

30、這一切已構(gòu)成了“生物數(shù)學(xué)”的豐富內(nèi)容。 “數(shù)學(xué)物理”、“數(shù)理化學(xué)”、“生物數(shù)學(xué)”、“數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)”、“數(shù)理氣象學(xué)”，一連串交叉學(xué)科的形成說明了數(shù)學(xué)向其它自然科學(xué)領(lǐng)域滲透的廣度。而純粹數(shù)學(xué)中的一些前沿與其他科學(xué)的許多前沿領(lǐng)域的快速結(jié)合，則反映了數(shù)學(xué)滲透的深度?？梢哉f沒有這些前沿?cái)?shù)學(xué)就沒有當(dāng)代物理學(xué)的一些前沿領(lǐng)域如超弦理論、超引力理論等。事實(shí)上，像超弦理論這樣的物理學(xué)熱門分支所用到的數(shù)學(xué)，就涉及微分拓?fù)洹⒋鷶?shù)幾何、微分幾何、群論、無窮維代數(shù)、復(fù)分析等等。 除了自然科學(xué)，在經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、歷史學(xué)等過去認(rèn)為不適用數(shù)學(xué)的社會(huì)科學(xué)部門，數(shù)學(xué)方法也開辟了廣闊的用武之地。數(shù)學(xué)正在向社會(huì)科學(xué)和文化藝術(shù)領(lǐng)域廣泛滲透

31、，這是數(shù)學(xué)應(yīng)用不同于以往時(shí)代的嶄新趨勢(shì)。數(shù)學(xué)與一些社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域相結(jié)合也產(chǎn)生了一系列交叉學(xué)科，如數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)理語言學(xué)、數(shù)學(xué)考古學(xué)、史衡學(xué)等等。 數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用是很具代表性的例子。20世紀(jì)四十年代以來，經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的數(shù)學(xué)化導(dǎo)致了數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的誕生，參與這門交叉學(xué)科建立的有大數(shù)學(xué)家馮·諾依曼等。五十年代以后，數(shù)學(xué)方法在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中占據(jù)了重要地位，以致大部分的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)都被授予了與數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)有關(guān)的工作。其中如不久前曾來北京參加國際數(shù)學(xué)家大會(huì)并作了公眾講演的美國數(shù)學(xué)家J·納什，他根據(jù)對(duì)策論數(shù)學(xué)原理提出非合作對(duì)策的“納什均衡”，成為當(dāng)前熱門的“雙贏”概念的理論基礎(chǔ)。因此說納什的

32、數(shù)學(xué)研究不僅將改變經(jīng)濟(jì)學(xué)的面貌，而且將影響整個(gè)社會(huì)科學(xué)的未來，大概不會(huì)過分。又如當(dāng)前國際金融市場(chǎng)普遍使用的期權(quán)定價(jià)公式布萊克斯科爾斯公式，實(shí)際上是根據(jù)高度抽象的數(shù)學(xué)工具(隨機(jī)微分方程)導(dǎo)出的數(shù)學(xué)公式，這一公式被譽(yù)為“華爾街第二次革命”的起點(diǎn)，它表明了抽象的數(shù)學(xué)怎樣可以與人們的社會(huì)經(jīng)濟(jì)利益息息相關(guān)。難怪在四方國家讀經(jīng)濟(jì)學(xué)位，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度和廣度往往比其它學(xué)科都要高。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)不僅影響著人們的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，而且正在影響著人們的文化生活。數(shù)學(xué)通過計(jì)算機(jī)，正在提供新的藝術(shù)創(chuàng)作手段和藝術(shù)產(chǎn)品，給人們帶來全新的藝術(shù)享受。想一想數(shù)碼音像、三維動(dòng)畫，還有那精美絕倫的分形繪畫等等。數(shù)學(xué)與藝術(shù)相結(jié)合，正在走進(jìn)千家

33、萬戶。 還是在上個(gè)世紀(jì)的前半葉，著名社會(huì)活動(dòng)家W·F·懷特曾這樣寫道：“數(shù)學(xué)化的社會(huì)科學(xué)將成為未來文明的控制因素”。今日的社會(huì)科學(xué)離懷特預(yù)言的目標(biāo)相距還遠(yuǎn)，但20世紀(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程表明，這方面的前景是光明的。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)對(duì)生產(chǎn)技術(shù)的應(yīng)用變得越來越直接。以前數(shù)學(xué)工具直接應(yīng)用于生產(chǎn)技術(shù)的事例雖有發(fā)生，但數(shù)學(xué)與生產(chǎn)技術(shù)的關(guān)系基本上是間接的，往往是先應(yīng)用于其他科學(xué)(如力學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué))，再由這些科學(xué)提供技術(shù)進(jìn)步的基礎(chǔ)。20世紀(jì)下半葉以來，數(shù)學(xué)與生產(chǎn)技術(shù)的相互作用正在加強(qiáng)，數(shù)學(xué)提供的工具直接推動(dòng)技術(shù)革新的頻率正在加快，并在許多情況下產(chǎn)生出巨大的經(jīng)濟(jì)效益。 眾所周知，數(shù)學(xué)是歷次產(chǎn)

34、業(yè)革命的重要推動(dòng)因素。如果說數(shù)學(xué)間接地引導(dǎo)了前兩次產(chǎn)業(yè)革命(以微積分為基礎(chǔ)的17、18世紀(jì)科學(xué)的高漲成為以蒸汽機(jī)等為主導(dǎo)技術(shù)的第一次產(chǎn)業(yè)革命的先導(dǎo)；與數(shù)學(xué)分析的進(jìn)步密不可分的19世紀(jì)數(shù)學(xué)物理的發(fā)展為以發(fā)電機(jī)、無線電通信等為主體技術(shù)的第二次產(chǎn)業(yè)革命奠定了理論基礎(chǔ))，那么它在20世紀(jì)發(fā)生的第三次產(chǎn)業(yè)革命中則更多地站到了前臺(tái)。例如，如果沒有數(shù)學(xué)家的參與，就不可能有現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)與龐大的計(jì)算機(jī)產(chǎn)業(yè)。數(shù)學(xué)家對(duì)電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明和發(fā)展有不可磨滅的貢獻(xiàn)。馮·諾依曼是第一臺(tái)通用電子計(jì)算機(jī)(ENIAC)的主要研制者之一，他的程序內(nèi)存思想至今仍是現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的主要設(shè)計(jì)理念。英國數(shù)學(xué)家圖靈的“理想計(jì)算機(jī)”(“

35、圖靈機(jī)”)提供了通用數(shù)字計(jì)算機(jī)的理論模型。圖靈本人也是早期電子計(jì)算機(jī)研制的元?jiǎng)?。值得注意的是，“圖靈機(jī)”的提出完全是為了解決與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有關(guān)的一個(gè)純理論問題(可判定性問題)。 除了計(jì)算機(jī)技術(shù)，數(shù)值模擬已成為航空、航天設(shè)計(jì)的有效工具，類似的數(shù)值模擬方法正在被應(yīng)用于包括核工業(yè)在內(nèi)的許多技術(shù)部門，以代替耗資巨大的試驗(yàn)；1980年以來，小波分析直接應(yīng)用于通信、石油勘探、圖像壓縮等技術(shù)領(lǐng)域；現(xiàn)代醫(yī)學(xué)儀器工業(yè)也離不開數(shù)學(xué)(如CT掃描儀的研制，就是以現(xiàn)代數(shù)學(xué)中所謂“拉東積分”理論為基礎(chǔ)，有關(guān)的科學(xué)家因此榮獲了諾貝爾醫(yī)學(xué)生理學(xué)獎(jiǎng))，等等。這樣的例子舉不勝舉。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)正在通過向人類幾乎所有的知識(shí)領(lǐng)域空前廣泛地滲

36、透而影響著人們的生活方式物質(zhì)的和精神的生活方式。 數(shù)學(xué)的抽象性與廣泛應(yīng)用性的基本特征，決定了它的科學(xué)地位與文化價(jià)值。高斯曾同時(shí)將數(shù)學(xué)比作科學(xué)的“皇后”和“仆人”，這確是恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)。數(shù)學(xué)的抽象智力成果，以其邏輯的威力和算法的精密將永遠(yuǎn)是這門科學(xué)的光榮所在。但抽象的數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，如果不能服務(wù)于其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，也不可能享有如此的尊榮。正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)這兩方面的特征及相互關(guān)系，對(duì)于推動(dòng)數(shù)學(xué)科學(xué)的健康發(fā)展至關(guān)重要。 四、數(shù)學(xué)對(duì)人類文明和科技進(jìn)步的影響其實(shí)上面對(duì)數(shù)學(xué)廣泛應(yīng)用性的描述中，我們可以體會(huì)到數(shù)學(xué)對(duì)人類文明和科技進(jìn)步的影響，但下面我們就19、20世紀(jì)里數(shù)學(xué)在科學(xué)中的作用和影響作進(jìn)一步的概述?！皵?shù)

37、學(xué)：科學(xué)的王后和仆人”是已故美國科學(xué)院院士貝爾于1951年寫的一本書的書名，該書主要是為數(shù)學(xué)圈子以外的人寫的，介紹純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的各個(gè)方面，更著重在說明數(shù)學(xué)科學(xué)的突出重要性。這本書實(shí)際上是他1931年寫的科學(xué)的女王和1937年寫的科學(xué)的女仆這兩本通俗數(shù)學(xué)讀物的合一修訂擴(kuò)大版。 按常理，女王是高雅、權(quán)威和至尊至貴的，是陽春白雪，在科學(xué)中只有純粹數(shù)學(xué)才具有這樣的特點(diǎn)。簡(jiǎn)潔明了的數(shù)學(xué)定理一經(jīng)證明就是永恒的真理，極其優(yōu)美而且無懈可擊。另一方面，科學(xué)和工程的各個(gè)分支都在不同程度上大量使用數(shù)學(xué)，享受著數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)。這時(shí)數(shù)學(xué)科學(xué)就是仆人，英文書名中servant這個(gè)字在英文里有“供人們利用之物，有用的服務(wù)

38、工具”的意思。 首先，我們來回顧一下形成我們現(xiàn)在這個(gè)飛速發(fā)展的信息社會(huì)的所有重大科學(xué)理論在發(fā)展和完善過程中數(shù)學(xué)所起到的不可或缺的作用。 20世紀(jì)最大的科學(xué)成就莫過于愛因斯坦的狹義和廣義相對(duì)論了，但是如果沒有黎曼于1854年發(fā)明的黎曼幾何，以及凱萊，西勒維斯特和諾特等數(shù)學(xué)家發(fā)展的不變量理論，愛因斯坦的廣義相對(duì)論和引力理論就不可能有如此完善的數(shù)學(xué)表述。愛因斯坦自己也不止一次地說過這一點(diǎn)。例如，1912年夏他已經(jīng)概括出新的引力理論的基本物理原理，但是為了實(shí)現(xiàn)廣義相對(duì)論的目標(biāo)，還必須尋求理論的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，愛因斯坦為此花了3年的時(shí)間，最后，在數(shù)學(xué)家M·格拉斯曼的介紹下掌握了發(fā)展相對(duì)論引力學(xué)說所必

39、需的數(shù)學(xué)工具以黎曼幾何為基礎(chǔ)的絕對(duì)微分學(xué)，也就是愛因斯坦后來所稱的張量分析。在1915年11月25日發(fā)表的一篇論文中，愛因斯坦終于導(dǎo)出了廣義協(xié)變的引力場(chǎng)方程，在該文中他說：“由于這組方程，廣義相對(duì)論作為一種邏輯結(jié)構(gòu)終于大功告成！”廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)表達(dá)第一次揭示了非歐幾何的現(xiàn)實(shí)意義，成為歷史上數(shù)學(xué)應(yīng)用最偉大的例子之一。他還說過“事實(shí)上，我是通過她(諾特)才能在這一領(lǐng)域內(nèi)有所作為的。” 如果沒有凱萊在1858年發(fā)展的矩陣數(shù)學(xué)及其后繼者的進(jìn)一步發(fā)展，海森伯和狄拉克就無法開創(chuàng)現(xiàn)代物理學(xué)量子力學(xué)方面的革命性工作。狄拉克甚至說，創(chuàng)建物理理論時(shí)，“不要相信所有的物理概念”，但是要“相信數(shù)學(xué)方案，甚至表面上看

40、去，它與物理學(xué)并無聯(lián)系?！?整個(gè)電磁場(chǎng)的理論是由馬克斯威爾方程組表述的，但是“雖然場(chǎng)的理論起源應(yīng)歸功于英國物理學(xué)家法拉第，但法拉第不是數(shù)學(xué)家，他沒能發(fā)展這個(gè)概念。經(jīng)過馬克斯威爾之手，電場(chǎng)理論得到了精確的描述，成為以后所有場(chǎng)論的模式?！?整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)的理論是由納維托克斯方程組表述的，它首先是由法國多科工藝和交通工程學(xué)校的力學(xué)教授納維初步完成的，而最終是由英國物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家斯托克斯爵士完善并完成的。 計(jì)算的技藝數(shù)值分析以及運(yùn)算速度的問題(計(jì)算機(jī)的制造)，牛頓、萊布尼茲、歐拉、高斯都曾給予系統(tǒng)研究，它們一直是數(shù)學(xué)的重要部分。在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的發(fā)展研制中數(shù)學(xué)家起了決定性的作用。萊布尼茲，貝巴奇等數(shù)學(xué)家都

41、曾研制過計(jì)算機(jī)。20世紀(jì)30年代，符號(hào)邏輯的研究方程活躍，丘奇，哥德爾，波斯特和其他學(xué)者研究了形式語言。經(jīng)過他們以及圖靈的研究工作，形成了可計(jì)算性這個(gè)數(shù)學(xué)概念。1935年前后，圖靈建立了通用計(jì)算機(jī)的抽象模型。這些成果為后來馮·諾伊曼和他的同事們制造帶有存儲(chǔ)程序的計(jì)算機(jī)，為形式程序的發(fā)明提供了理論框架。 通信的數(shù)學(xué)理論是由數(shù)學(xué)家香農(nóng)(他還具有電氣工程的學(xué)位)于1948年發(fā)表的通信的數(shù)學(xué)理論一書奠定其理論基礎(chǔ)的，隨后就掀起了持續(xù)的信息技術(shù)革命。數(shù)學(xué)家納維于1948年出版的控制論一書宣告了控制論這門學(xué)科的誕生。 自1968年起諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)設(shè)立項(xiàng)目90%以上都是有關(guān)經(jīng)濟(jì)學(xué)行為的數(shù)學(xué)建模

42、及相應(yīng)的研究工作，獲獎(jiǎng)?wù)咧胁簧偃擞袛?shù)學(xué)博士學(xué)位。特別要提到的是1994年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授予純粹數(shù)學(xué)家J·納什是意義重大的，“這意味著在諾貝爾獎(jiǎng)93年的歷史上，第一次授予了純數(shù)學(xué)領(lǐng)域的工作?！鳖愃频睦舆€有許多，我們不再舉了，我們真正要討論的問題，是從這些事實(shí)中我們得到什么樣的啟示。 首先，正如馬克思認(rèn)為的“一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了真正完善的地步?！奔兇鈹?shù)學(xué)的優(yōu)秀成果往往為重大科學(xué)理論的建立作好了準(zhǔn)備，有時(shí)甚至是先導(dǎo)。千萬不能忽視純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展，特別是要有一批精兵強(qiáng)將長(zhǎng)期從事純粹數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的研究，并有條件經(jīng)常和應(yīng)用科學(xué)家進(jìn)行交流，讓搞應(yīng)用的了解并應(yīng)用純數(shù)學(xué)成果。應(yīng)用

43、數(shù)學(xué)家去解決各種實(shí)際問題時(shí)，在觀念上不可有單打獨(dú)斗的想法，一定要與相應(yīng)領(lǐng)域的專家緊密合作。在我國凡是做出重大科研成果的科學(xué)家都有上述特點(diǎn)。僅以國家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)為例，吳文俊、王選和黃昆，他們或是數(shù)學(xué)家，或是數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)同時(shí)又掌握計(jì)算機(jī)硬件和軟件的技術(shù)，或是能用完善的數(shù)學(xué)形式表述其深刻的物理洞察。所有這些充分說明了“數(shù)學(xué)的思考方式有著根本的重要性。簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)為組織和構(gòu)造知識(shí)提供方法。一旦數(shù)學(xué)用于技術(shù)，它就能產(chǎn)生系統(tǒng)的、可再現(xiàn)的并能傳授的知識(shí)。分析、設(shè)計(jì)、建模、模擬和應(yīng)用便會(huì)成為可能，變成高效的富有結(jié)構(gòu)的活動(dòng)。”也就是說能轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力。但是，50年前數(shù)學(xué)雖然也直接為工程技術(shù)提供一些工具，但基本上

44、是間接的：先促進(jìn)其他科學(xué)的發(fā)展，再由這些科學(xué)提供工程原理和設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)?，F(xiàn)在，數(shù)學(xué)和工程之間在更廣闊的范圍內(nèi)和更深的層次上，直接地相互作用著，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)和工程科學(xué)的發(fā)展，也極大地推動(dòng)了技術(shù)的進(jìn)步。 20世紀(jì)后半葉最重要的科技進(jìn)展之一是計(jì)算機(jī)、信息和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展。我們僅就計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度來看，1946年公開展示的第一臺(tái)計(jì)算機(jī)電子數(shù)學(xué)積分計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度是每秒符點(diǎn)運(yùn)算5，000次，現(xiàn)在已經(jīng)達(dá)到每秒符點(diǎn)運(yùn)算100億次，據(jù)專家估計(jì)到2010年可達(dá)到一萬億次?？梢韵胂蟋F(xiàn)在計(jì)算機(jī)能完成的工作和50年前相比簡(jiǎn)直是不可同日而語。現(xiàn)在有點(diǎn)象牛頓、萊布尼茲發(fā)明微積分時(shí)的情況，當(dāng)初微積分還很不嚴(yán)密，但用來

45、描述、研究各種實(shí)際問題產(chǎn)生了許許多多的數(shù)學(xué)模型，有的能求解出來，就能不同程度地解決問題。然而，當(dāng)時(shí)算不出來，或者不能及時(shí)算出來，也就不能解決問題?，F(xiàn)在，計(jì)算速度等技術(shù)指標(biāo)在某種意義下遠(yuǎn)遠(yuǎn)走在前面了?！皵?shù)學(xué)建模和與之相伴的計(jì)算正在成為工程設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵工具?？茖W(xué)家正日益依賴于計(jì)算方法，而且在選擇正確的數(shù)學(xué)和計(jì)算方法以及解釋結(jié)果的精度和可靠性方面必須具有足夠的經(jīng)驗(yàn)。”我們看到的是各行各業(yè)都在大量應(yīng)用數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)等技術(shù)，通過數(shù)學(xué)建模、仿真等手段解決問題，并且把解決同類問題的方法和成果制作成軟件(它們甚至是相當(dāng)傻瓜化的)，并進(jìn)行銷售。人們看到的正是這種數(shù)學(xué)應(yīng)用大發(fā)展的景象，更確切地說是美國科學(xué)基金會(huì)數(shù)學(xué)

46、部主任在評(píng)論數(shù)學(xué)科學(xué)列為五大創(chuàng)新項(xiàng)目之首時(shí)所說的，“該重大創(chuàng)新項(xiàng)目背后的推動(dòng)力就是一切科學(xué)和工程領(lǐng)域的數(shù)學(xué)化?！碑?dāng)然也有不同認(rèn)識(shí)，也有人認(rèn)為不需要懂得很多數(shù)學(xué)，只要會(huì)用軟件就行了。也有人認(rèn)為現(xiàn)在不需要發(fā)展基礎(chǔ)數(shù)學(xué)了，只要通過數(shù)學(xué)建模和計(jì)算加上物理的直觀就可以解決問題了。特別是，有人認(rèn)為現(xiàn)在的學(xué)生不需要學(xué)那么多的數(shù)學(xué)了。這實(shí)在是極大的誤解。 有人認(rèn)為，能夠馬上拿來就用的數(shù)學(xué)一定是相當(dāng)成熟的成果。但是為了解決現(xiàn)實(shí)中的重大問題，已有的數(shù)學(xué)成果是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。產(chǎn)生上述誤解的原因主要是對(duì)新世紀(jì)科技發(fā)展與數(shù)學(xué)之間的關(guān)系思考、認(rèn)識(shí)不夠。一百多年以前恩格斯沒有預(yù)料到，科學(xué)發(fā)展到今天，數(shù)學(xué)在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域正起

47、著越來越重要的作用，無論在生態(tài)學(xué)、生理學(xué)、心理學(xué)，以至DNA和生命科學(xué)的研究中，我們都看到數(shù)學(xué)的強(qiáng)大生命力。甚至醫(yī)生在做手術(shù)之前都可以先進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬以預(yù)知各種方案可能出現(xiàn)的后果，再依據(jù)個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)來選擇手術(shù)方案。2002年美國科學(xué)基金會(huì)專門在俄亥俄州立大學(xué)成立了一個(gè)“數(shù)學(xué)生物科學(xué)研究所”。 前面提到在與其他學(xué)科的關(guān)系中，數(shù)學(xué)的發(fā)展不少方面正逐漸從后臺(tái)走向前臺(tái)，這又是20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要特點(diǎn)。這方面的典型范例大概有兩個(gè)方面，一是密碼學(xué)及電子商務(wù)、信息安全、軍事運(yùn)籌學(xué)、網(wǎng)絡(luò)戰(zhàn)等相關(guān)領(lǐng)域，主要依靠數(shù)學(xué)思想和方法的創(chuàng)新及其軟件實(shí)現(xiàn)；二是發(fā)達(dá)國家政府的重要部門以及許多大公司都設(shè)有陣容強(qiáng)大的數(shù)學(xué)部。1

48、984年，美國國家安全局局長(zhǎng)曾說過，美國國家安全局是美國數(shù)學(xué)界最大的雇主，它雇用了2000多位具有博士等學(xué)位的數(shù)學(xué)家。這些數(shù)學(xué)家通過完成部門或公司交給他們的工作，逐步和所在單位的科技人員融為一體，直接為雇主作出貢獻(xiàn)，為數(shù)學(xué)的發(fā)展作出貢獻(xiàn)。更為重要的是這些數(shù)學(xué)家知道哪些成果可以直接或間接地用于他們的研究中去，也能向數(shù)學(xué)界提出源于實(shí)踐的數(shù)學(xué)研究課題，在某種意義下對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的方向產(chǎn)生了巨大影響?；仡?0世紀(jì)后半葉以來諸如有限元方法、快速富里埃變換、小波分析、分形、混沌等等領(lǐng)域無一例外地都是在實(shí)際工作者和數(shù)學(xué)家的合作中迅速發(fā)展起來的，并且顯示了強(qiáng)大的威力。 上個(gè)世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展特點(diǎn)，除了數(shù)學(xué)自身的發(fā)

49、展規(guī)律外，更多地受到其他相關(guān)學(xué)科發(fā)展過程中提出的數(shù)學(xué)課題的推動(dòng)。這不僅僅是數(shù)學(xué)研究從其他領(lǐng)域獲得了科研經(jīng)費(fèi)，更重要的是獲得了許多重大的數(shù)學(xué)理論選題。美國一個(gè)名為克萊研究所的民間基金會(huì)對(duì)以下七個(gè)課題征獎(jiǎng)，每個(gè)重獎(jiǎng)100萬美元(沒有時(shí)間限制)。它們是：P與NP問題，Hodge猜想；Poincare猜想；Riemann假設(shè)；量子Yang-Mills理論；Navier-Stokes方程解的存在性和光滑性；BirchSwinnerton-Dyer猜想。這些問題既涉及重大的應(yīng)用問題，也包括純粹數(shù)學(xué)(目前不一定馬上就能看到應(yīng)用的問題)中的一些大題目。 現(xiàn)在也有人認(rèn)為不需要懂得很多數(shù)學(xué)，只要會(huì)用軟件就行了，學(xué)

50、生不需要用那么多時(shí)間去學(xué)數(shù)學(xué)。這種似是而非的觀點(diǎn)是要認(rèn)真分析的。誠然，有了計(jì)算機(jī)和軟件，確實(shí)是只要輸入數(shù)據(jù)就能得出結(jié)果，過程似乎無關(guān)緊要，這也確實(shí)是常見的事實(shí)。但是，這樣的學(xué)生很難做出創(chuàng)新。對(duì)于很多先進(jìn)的軟件，甚至計(jì)算器來說，如果沒有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)，是不可能用好的，或者根本就不會(huì)用。 我國基礎(chǔ)教育的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好是一個(gè)極大的優(yōu)勢(shì)，是很多人事業(yè)成功的基礎(chǔ)，是多數(shù)留學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀的最重要的基礎(chǔ)。所以“學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕”成了廣大家長(zhǎng)的共識(shí)。誠然，我國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的起步是比較晚的，數(shù)學(xué)教育上也是先學(xué)西方后學(xué)蘇聯(lián)(學(xué)到手后就不再改進(jìn))的模式，而且長(zhǎng)期不能擺脫其影響。在科技迅速發(fā)展的今天多有不適應(yīng)，后

51、繼課的教師和畢業(yè)生的雇主會(huì)有不滿，抱怨數(shù)學(xué)課沒有教好，抱怨用了那么多課時(shí)都學(xué)了些什么。這是應(yīng)該認(rèn)真分析、進(jìn)行教育改革的問題。五、數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的意義由教育部和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)共同舉辦的“大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽”宗旨是為了從一個(gè)側(cè)面來培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，從而進(jìn)一步推動(dòng)數(shù)學(xué)教育改革。2002年已經(jīng)有30個(gè)省、市、自治區(qū)及香港的572所院校4448隊(duì)參賽，已經(jīng)發(fā)展成為全國高校規(guī)模最大的大學(xué)生課外科技活動(dòng)。十多年來，“一次參賽，終身受益”是幾乎所有參賽學(xué)生的共同體會(huì)。競(jìng)賽還極大地推動(dòng)了大學(xué)的數(shù)學(xué)教育改革，增強(qiáng)了各級(jí)教育行政領(lǐng)導(dǎo)、教師和學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)重要性的認(rèn)識(shí)，也極大地推動(dòng)了一部分同學(xué)更好地學(xué)習(xí)

52、數(shù)學(xué)的主動(dòng)性、積極性和熱情。這項(xiàng)競(jìng)賽已經(jīng)推動(dòng)了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽的開展，也推動(dòng)了中學(xué)的數(shù)學(xué)教育改革。競(jìng)賽正在向研究生層次發(fā)展，即將舉辦研究生建模競(jìng)賽，從而推動(dòng)研究生的數(shù)學(xué)教育改革。當(dāng)然，競(jìng)賽永遠(yuǎn)只能是少數(shù)人的活動(dòng)。一項(xiàng)名為“把數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入大學(xué)主干數(shù)學(xué)課程”的研究課題已經(jīng)立項(xiàng)。我們希望所有的大學(xué)生通過主干數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，能初步了解數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)是怎樣去解決實(shí)際問題的思想和方法，有興趣的同學(xué)可以進(jìn)一步選修數(shù)學(xué)建模的課程，甚至參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，親自實(shí)踐一下怎樣用數(shù)學(xué)來解決實(shí)際問題的全過程。 數(shù)學(xué)建模不僅僅是一項(xiàng)競(jìng)賽。數(shù)學(xué)建模、專家給它下的定義是：“通過對(duì)實(shí)際問題的抽象、簡(jiǎn)化，確

53、定變量和參數(shù)，并應(yīng)用某些規(guī)律建立起變量、參數(shù)間的確定的數(shù)學(xué)問題（也可稱為一個(gè)數(shù)學(xué)模型），求解該數(shù)學(xué)問題，解釋驗(yàn)證所得到的解，從而確定能否用于解決問題多次循環(huán)、不斷深化的過程?！焙?jiǎn)而言之，就是建立數(shù)學(xué)模型來解決各種實(shí)際問題的過程。 姜啟源教授介紹說，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是面向全國大學(xué)生的群眾性科技活動(dòng)。參賽者應(yīng)根據(jù)題目要求，完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解、計(jì)算機(jī)方法的設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)、結(jié)果的分析和檢驗(yàn)、模型的改進(jìn)等方面的論文（即答卷）。競(jìng)賽題目一般來源于工程技術(shù)和管理科學(xué)等方面經(jīng)過適當(dāng)簡(jiǎn)化加工的實(shí)現(xiàn)問題，有較大的靈活性供參賽者發(fā)揮其創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標(biāo)準(zhǔn)。全國大

54、學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的規(guī)模逐年擴(kuò)大，參賽學(xué)生也從幾百人增加到幾千人。每年還有不少學(xué)生參加美國大學(xué)生的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，成績(jī)優(yōu)秀，在國際上產(chǎn)生了很大的影響。 為什么這樣的單項(xiàng)競(jìng)賽能夠產(chǎn)生如此的吸引力呢？開展這項(xiàng)競(jìng)賽并開設(shè)相關(guān)的課程，對(duì)高等院校的教學(xué)工作會(huì)起什么樣的作用？對(duì)大學(xué)生全面素質(zhì)的提高又有什么樣的幫助？對(duì)記者的問題，葉其孝教授回答說，這種競(jìng)賽對(duì)參加者來說，是一種綜合的訓(xùn)練，在相當(dāng)程度上模擬了大學(xué)生畢業(yè)以后的工作環(huán)境。參賽者不要求預(yù)先掌握深入的專門知識(shí)，只需要學(xué)過普通高樣的數(shù)學(xué)課程；更主要的是要靠參賽者自己動(dòng)腦子，自己查找文獻(xiàn)資料，同隊(duì)成員討論研究，齊心協(xié)力完成答卷。因此，它對(duì)學(xué)生的能力培養(yǎng)是多方面

55、的。葉教授將之歸納為：應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)行分析、推理、證明和計(jì)算的能力；“雙向翻譯”（即用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)際問題，用普通人能理解的語言表達(dá)數(shù)學(xué)的結(jié)果）的能力；應(yīng)用計(jì)算機(jī)及相應(yīng)數(shù)學(xué)軟件的能力；應(yīng)變能力（即獨(dú)立查找文獻(xiàn)，消化和應(yīng)用的能力）；組織、協(xié)調(diào)、管理特別是及時(shí)妥協(xié)的能力；交流表達(dá)的能力；寫作的能力；創(chuàng)造性、想象力、聯(lián)想力和洞察力。它還可以培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)強(qiáng)的意志，培養(yǎng)自律、“慎獨(dú)”的優(yōu)秀品質(zhì)，培養(yǎng)正確的數(shù)學(xué)觀。 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽-開放性思維的訓(xùn)練園地。數(shù)學(xué)競(jìng)賽給人的印象是高深莫測(cè)的數(shù)學(xué)難題，和一個(gè)人、一支筆、一張紙，關(guān)在屋子里的冥思苦想，它訓(xùn)練嚴(yán)密的邏輯推理和準(zhǔn)確的計(jì)算能力，而數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽從內(nèi)容到形式與此都有明

56、顯的不同。 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的題目由日常生活、工程技術(shù)和管理科學(xué)中的實(shí)際問題簡(jiǎn)化加工而成，大家可以從這個(gè)網(wǎng)頁上陸續(xù)看到歷年的賽題，它們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)要求不深，一般沒有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽以通訊形式進(jìn)行，三名大學(xué)生組成一隊(duì)，可以自由地收集資料、調(diào)查研究，使用計(jì)算機(jī)和任何軟件，甚至上網(wǎng)查詢，但不得與隊(duì)外任何人討論。在三天時(shí)間內(nèi)，完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解，計(jì)算方法的設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，結(jié)果的分析和檢驗(yàn)，模型的改進(jìn)等方面的論文。競(jìng)賽評(píng)獎(jiǎng)以假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標(biāo)準(zhǔn)?？梢钥闯?，這項(xiàng)競(jìng)賽與學(xué)生畢業(yè)以后

57、工作時(shí)的條件非常相近，是對(duì)學(xué)生業(yè)務(wù)、能力和素質(zhì)的全面培養(yǎng)，特別是開放性思維和創(chuàng)新意識(shí)。很多人都知道，數(shù)學(xué)是非常重要的。數(shù)學(xué)對(duì)于學(xué)生的培養(yǎng)，不只是數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)公式，這其實(shí)是次要的，更重要的是培養(yǎng)同學(xué)一個(gè)正確的思想方法，而且依據(jù)自己所學(xué)到的知識(shí)，能夠不斷創(chuàng)新，不斷地找出新的途徑。這不是在課堂里死啃幾個(gè)定理就能夠解決的。我們用什么辦法才能讓更多的人，更多的學(xué)生認(rèn)識(shí)到這個(gè)事情呢？數(shù)學(xué)建模是一個(gè)很好的方法。數(shù)學(xué)建模的特點(diǎn)是題目由工程技術(shù)、管理科學(xué)中的實(shí)際問題簡(jiǎn)化加工而成，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)要求不深，一般沒有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，但留有充分余地供學(xué)生發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。 數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系實(shí)際問題與數(shù)學(xué)的橋梁，

58、是各種應(yīng)用問題嚴(yán)密化、精確化、科學(xué)化的途徑，是發(fā)現(xiàn)問題，解決問題和探索新真理的工具。 數(shù)學(xué)模型具有解釋、判斷、預(yù)測(cè)等重要功能，它在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用會(huì)越來越廣泛。其主要原因是： （1）社會(huì)生活的各個(gè)方面正在日益數(shù)量化，人們對(duì)各種問題的要求愈來愈精確； （2）計(jì)算機(jī)的發(fā)展為精確化提供了條件； （3）很多無法實(shí)驗(yàn)或費(fèi)用很大的實(shí)驗(yàn)問題，用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究是一個(gè)有效途徑。 很多象牛頓一樣偉大的科學(xué)家都是建立和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的大師，他們將各個(gè)不同的科學(xué)領(lǐng)域同數(shù)學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來，在不同的學(xué)科中取得了巨大的成就。如力學(xué)中的牛頓定律，電磁學(xué)中的麥克斯偉方程組，化學(xué)中的門捷列夫周期表，生物學(xué)中的孟德爾遺傳定律等都是經(jīng)典學(xué)科中應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的光輝范例。目前在計(jì)算機(jī)的幫助下數(shù)學(xué)模型在生態(tài)、地質(zhì)、航空等方面有了更加廣泛和深入的應(yīng)用。因此，從某種意義上講，數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)現(xiàn)代化高科技人才的重要途徑。 數(shù)學(xué)建模課程可以培養(yǎng)和提高學(xué)生下列能力： （1）洞察能力。許多提出的問題往往不是數(shù)學(xué)化的，這就是需要建模工作者善于從實(shí)際工作提供