1、現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 現(xiàn)代測試技術(shù)現(xiàn)代測試技術(shù)Modern testing and measurement technology 蘇州科技學(xué)院蘇州科技學(xué)院電子與信息工程學(xué)院電子與信息工程學(xué)院電子科學(xué)技術(shù)系電子科學(xué)技術(shù)系潘敬熙潘敬熙Jingxi-Jingxi- 現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 第第3 3章章 誤差分析和數(shù)據(jù)處理誤差分析和數(shù)據(jù)處理 3.1 3.1 誤差的表示法誤差的表示法3.2 3.2 誤差的來源和分類誤差的來源和分類3.3 3.3 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差3.4 3.4 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差3.

2、5 3.5 誤差的合成與分配誤差的合成與分配3.6 3.6 測量數(shù)據(jù)的處理測量數(shù)據(jù)的處理 現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 3.1 3.1 誤差的表示法誤差的表示法現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 3.2.1 3.2.1 幾個概念幾個概念 真值真值 測量的目的就是獲得被測量的真值。所謂測量的目的就是獲得被測量的真值。所謂真值，就是一個物理量在一定的時間和環(huán)境條真值，就是一個物理量在一定的時間和環(huán)境條件下，被測量所呈現(xiàn)的客觀大小或真實數(shù)值。件下，被測量所呈現(xiàn)的客觀大小或真實數(shù)值。 真值是利用理想的量具或測量儀器而

3、得到真值是利用理想的量具或測量儀器而得到的無誤差的測量結(jié)果，它只是一個理想的概念，的無誤差的測量結(jié)果，它只是一個理想的概念，實際的測量無法得到。實際的測量無法得到。 現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 實際值實際值 實際值是在實際測量中，用高一級標(biāo)準(zhǔn)的實際值是在實際測量中，用高一級標(biāo)準(zhǔn)的儀器示值來代替真值，通常稱為實際值，也叫儀器示值來代替真值，通常稱為實際值，也叫相對真值。相對真值。 標(biāo)稱值標(biāo)稱值 標(biāo)稱值的是指測量器具上標(biāo)定的數(shù)值。標(biāo)稱值的是指測量器具上標(biāo)定的數(shù)值。由由于制造和測量精度不夠以及環(huán)境因素的影響，于制造和測量精度不夠以及環(huán)境因素的影響，標(biāo)稱

4、值并不一定等于它的真值或?qū)嶋H值。為此，標(biāo)稱值并不一定等于它的真值或?qū)嶋H值。為此，在標(biāo)出測量器具的標(biāo)稱之時，通常還要標(biāo)出它在標(biāo)出測量器具的標(biāo)稱之時，通常還要標(biāo)出它的誤差范圍或準(zhǔn)確度等級。的誤差范圍或準(zhǔn)確度等級?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 示值示值 示值的定義是測量器具指示的被測量的量示值的定義是測量器具指示的被測量的量值，也稱作測量器具的測量值，它包括數(shù)值和值，也稱作測量器具的測量值，它包括數(shù)值和單位。單位。 測量就是通過實驗手段求出被測量與計算測量就是通過實驗手段求出被測量與計算單位的比值的過程，所以測量結(jié)果就包括數(shù)字單位的比值的過程，所以測量結(jié)

5、果就包括數(shù)字和計量單位兩部分。測量誤差就是測量值與真和計量單位兩部分。測量誤差就是測量值與真值之間存在的差異。值之間存在的差異?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 3.1.2 3.1.2 誤差基本表示法誤差基本表示法1. 1. 絕對誤差絕對誤差設(shè)測量值為設(shè)測量值為A AX X，被測量真值為，被測量真值為A A0 0，則絕對誤，則絕對誤差差XX可表示為可表示為 A= AA= AX X - A - A0 0 （3-1-13-1-1） A A0 0通常用高一等級標(biāo)準(zhǔn)器具的示值通常用高一等級標(biāo)準(zhǔn)器具的示值A(chǔ) A來替來替代（也可以是多次測量的最佳估值），這時誤代（

6、也可以是多次測量的最佳估值），這時誤差可表示為差可表示為 A= AA= AX X - A - A （3-1-23-1-2） 現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 誤差伴隨著測量過程的始終，人們只能根誤差伴隨著測量過程的始終，人們只能根據(jù)需要和可能，將其限制在一定范圍內(nèi)而不能據(jù)需要和可能，將其限制在一定范圍內(nèi)而不能完全加以消除。完全加以消除。 在實際測量中，應(yīng)分析誤差產(chǎn)生的原因，在實際測量中，應(yīng)分析誤差產(chǎn)生的原因，合理選用儀器和測量方法，正確處理數(shù)據(jù)，使合理選用儀器和測量方法，正確處理數(shù)據(jù)，使測量結(jié)果盡可能逼近真值。測量結(jié)果盡可能逼近真值?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代

7、測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 如果測量誤差是統(tǒng)計獨立且不隨時間變化的，如果測量誤差是統(tǒng)計獨立且不隨時間變化的，則可以用高一等級標(biāo)準(zhǔn)檢定出來，在實際測量時則可以用高一等級標(biāo)準(zhǔn)檢定出來，在實際測量時對測量結(jié)果加以修正。修正值一般用對測量結(jié)果加以修正。修正值一般用C C表示：表示： C = -A = A - AC = -A = A - AX X 因而有因而有 A= C + AA= C + AX X 現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 2. 2. 相對誤差相對誤差 相對誤差有以下幾種：相對誤差有以下幾種： （1 1） 實際相對誤差。它

8、是用絕對誤差實際相對誤差。它是用絕對誤差A(yù)A與與被測量的實際值被測量的實際值A(chǔ) A0 0的百分比值來表示的，即的百分比值來表示的，即0A100%AA（3-1-3）（2 2）標(biāo)稱相對誤差。它是用絕對誤差）標(biāo)稱相對誤差。它是用絕對誤差A(yù)A與儀與儀器的測量值器的測量值A(chǔ) AX X的百分比值表示的，即的百分比值表示的，即XA100%Ax現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 3.1.2 3.1.2 儀表的誤差表示法儀表的誤差表示法 滿度相對誤差，也即引用誤差。定義為絕滿度相對誤差，也即引用誤差。定義為絕對誤差與測量儀器滿度值的百分比：對誤差與測量儀器滿度值的百分比：

9、（3-1-43-1-4）式中式中m m為滿度相對誤差，為滿度相對誤差，AA為絕對誤差，為絕對誤差，A Am m為儀器的滿度值。為儀器的滿度值。如果已知儀器的滿度相對誤差如果已知儀器的滿度相對誤差m m ，則可以，則可以方便地推算出該儀器最大的絕對誤差，即方便地推算出該儀器最大的絕對誤差，即 m mA Am m A Am m mA100%Am現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 練習(xí)練習(xí): : 試證明實際相對誤差試證明實際相對誤差實實 與示值相對誤差與示值相對誤差示示二者差值等于二者差值等于實實示示 即即 實實 -示示 = = 實實示示 。 并比較并比較 A

10、 = 99, AA = 99, A0 0 = 100= 100 A = 80, AA = 80, A0 0 = 100 = 100 兩種情況下兩種情況下實實與與示示的差值。的差值?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 結(jié)論：結(jié)論： 1 1、實實、示示定義不同。但當(dāng)誤差值較小定義不同。但當(dāng)誤差值較小時，時，實實示示。 2 2、當(dāng)誤差值較大時，、當(dāng)誤差值較大時，實實與與示示 相差較大。相差較大。因此在計算時兩者不能混用。要嚴(yán)格按規(guī)定的因此在計算時兩者不能混用。要嚴(yán)格按規(guī)定的要求進(jìn)行。要求進(jìn)行?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)

11、據(jù)處理 3.2 3.2 誤差的來源和分類誤差的來源和分類現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 3.2.1 3.2.1 測量誤差的來源測量誤差的來源一般的測量過程都是條件受限的測量，必一般的測量過程都是條件受限的測量，必然存在不同程度的誤差。測量誤差的主要來源然存在不同程度的誤差。測量誤差的主要來源有以下幾個方面：有以下幾個方面： （1 1） 儀器誤差儀器誤差（2 2） 使用誤差使用誤差（3 3） 人身誤差人身誤差（4 4） 環(huán)境誤差環(huán)境誤差 （5 5） 方法誤差方法誤差現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 （1 1）儀

12、器、儀表誤差）儀器、儀表誤差 儀器儀表本身及其附件設(shè)計、制造、裝配、儀器儀表本身及其附件設(shè)計、制造、裝配、鑒定等的不完善以及儀器使用過程元器件的老鑒定等的不完善以及儀器使用過程元器件的老化、機(jī)械部件磨損、疲勞等因素而使測量儀器化、機(jī)械部件磨損、疲勞等因素而使測量儀器引入的誤差稱為儀器儀表誤差。引入的誤差稱為儀器儀表誤差。 儀器儀表誤差是測量誤差的主要來源之一，儀器儀表誤差是測量誤差的主要來源之一，減少儀器誤差的主要途徑是根據(jù)具體測量任務(wù)，減少儀器誤差的主要途徑是根據(jù)具體測量任務(wù)，正確地選擇測量方法和使用儀器。正確地選擇測量方法和使用儀器?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章

13、誤差分析和數(shù)據(jù)處理 （2 2）使用誤差）使用誤差 是指人們在使用儀器過程中出現(xiàn)的誤差。是指人們在使用儀器過程中出現(xiàn)的誤差。又稱操作誤差。例如，安裝、調(diào)試、布置或使又稱操作誤差。例如，安裝、調(diào)試、布置或使用不當(dāng)?shù)人鶎?dǎo)致的誤差。用不當(dāng)?shù)人鶎?dǎo)致的誤差。 （3 3）人身誤差）人身誤差 由于測量者的分辨能力、視覺疲勞、固有由于測量者的分辨能力、視覺疲勞、固有習(xí)慣或缺乏責(zé)任心等因素引起的誤差稱為人身習(xí)慣或缺乏責(zé)任心等因素引起的誤差稱為人身誤差。誤差?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 （4 4）環(huán)境誤差）環(huán)境誤差 由于各種環(huán)境因素與儀器儀表所要求的使由于各種環(huán)境因素

14、與儀器儀表所要求的使用條件不一致所造成的誤差稱為影響誤差。用條件不一致所造成的誤差稱為影響誤差。 （5 5）方法誤差和理論誤差）方法誤差和理論誤差 由于測量方法不合理造成的誤差稱為方法由于測量方法不合理造成的誤差稱為方法誤差。理論誤差是用近似的公式或近似值計算誤差。理論誤差是用近似的公式或近似值計算測量結(jié)果而引起的誤差。測量結(jié)果而引起的誤差。 要減小該誤差必須選擇合適的測量方法。要減小該誤差必須選擇合適的測量方法?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 3.2.2 3.2.2 測量誤差的分類測量誤差的分類雖然多種測量誤差產(chǎn)生的原因不盡相同，但按雖然多種測量誤

15、差產(chǎn)生的原因不盡相同，但按誤差的性質(zhì)和特點，大致可以劃分為三類：誤差的性質(zhì)和特點，大致可以劃分為三類：1.1.系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差在相同條件下多次測量同一量時，誤差的絕對在相同條件下多次測量同一量時，誤差的絕對值和符號保持恒定，或在條件改變時按某種確定規(guī)值和符號保持恒定，或在條件改變時按某種確定規(guī)律而變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。律而變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。 系統(tǒng)誤差可表示為：系統(tǒng)誤差可表示為：0 xA現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 下圖描述了幾種不同系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律：直線下圖描述了幾種不同系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律：直線a a屬于恒定系差；屬于恒定系差；直線直線b

16、 b屬于變值系差中的累進(jìn)性系差，而且是誤差遞增的；屬于變值系差中的累進(jìn)性系差，而且是誤差遞增的； 直線直線c c表示周期性系差，在整個測量過程中，系差值成周期性變化；表示周期性系差，在整個測量過程中，系差值成周期性變化； 曲曲線線d d屬于按復(fù)雜規(guī)律變化的系差。屬于按復(fù)雜規(guī)律變化的系差。Oabcdi系統(tǒng)誤差特征系統(tǒng)誤差特征現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因主要有以下幾種：產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因主要有以下幾種： (1) (1) 測量儀器的局限性。測量儀器的局限性。 (2) (2) 測量時環(huán)境條件測量時環(huán)境條件( (如溫度、濕度及電源電如溫度

17、、濕度及電源電壓壓) )與儀器使用要求不一致。與儀器使用要求不一致。 (3) (3) 采用近似的測量方法或近似的計算公式。采用近似的測量方法或近似的計算公式。 (4) (4) 測量人員讀取儀器示值的偏差。測量人員讀取儀器示值的偏差?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 2. 2.隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 在實際相同條件下多次測量同一量時，誤差的在實際相同條件下多次測量同一量時，誤差的絕對值和符號以不可預(yù)定的方式變化著的誤差稱為絕對值和符號以不可預(yù)定的方式變化著的誤差稱為隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差。產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因有：產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因有： (1)(1)測量儀器產(chǎn)

18、生噪聲，零部件配合不良等。測量儀器產(chǎn)生噪聲，零部件配合不良等。(2) (2) 溫度及電源電壓的無規(guī)則運動，電磁干擾溫度及電源電壓的無規(guī)則運動，電磁干擾等。等。 (3) (3) 測量人員感覺器官的無規(guī)律變化產(chǎn)生的讀測量人員感覺器官的無規(guī)律變化產(chǎn)生的讀數(shù)偏差。數(shù)偏差?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 隨機(jī)誤差的這些特性表明其服從統(tǒng)計規(guī)律，用數(shù)理統(tǒng)隨機(jī)誤差的這些特性表明其服從統(tǒng)計規(guī)律，用數(shù)理統(tǒng)計的方法來表征，若服從正態(tài)分布，如下圖所示。計的方法來表征，若服從正態(tài)分布，如下圖所示。 (x)OExxO()測量值測量值xixi的正態(tài)分布曲線的正態(tài)分布曲線誤差誤差i

19、i的正態(tài)分布曲線的正態(tài)分布曲線現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 一般來說，有一般來說，有 式中式中E Ex x稱為數(shù)學(xué)期望，其定義為稱為數(shù)學(xué)期望，其定義為稱為方差，其定義為稱為方差，其定義為 222)(21)(xExex22221)(eniininxinnExn121221lim)(1lim)1(lim1niinxnEx現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 在工程中實際上當(dāng)在工程中實際上當(dāng)n n足夠大時，定義足夠大時，定義： niiniiXxnxnX121)(111現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)

20、處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 3.3.粗大誤差粗大誤差粗大誤差是指明顯超出規(guī)定條件下能預(yù)期粗大誤差是指明顯超出規(guī)定條件下能預(yù)期的誤差。產(chǎn)生粗大誤差的原因主要有：的誤差。產(chǎn)生粗大誤差的原因主要有： (1) (1) 測量方法不當(dāng)或錯誤。測量方法不當(dāng)或錯誤。 (2) (2) 測量操作疏忽和失誤。測量操作疏忽和失誤。 (3) (3) 測量條件的變更。測量條件的變更。 現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 3.2.3 3.2.3 評定測量結(jié)果評定測量結(jié)果測量結(jié)果常用測量結(jié)果常用“準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度”（有些書表述成（有些書表述成“正確正確度度”）、）、 “ “精密度精密度”和精

21、確度（有些書表述成和精確度（有些書表述成“準(zhǔn)確準(zhǔn)確度度”）來評定。）來評定。 準(zhǔn)確度表示系統(tǒng)誤差的大小準(zhǔn)確度表示系統(tǒng)誤差的大小。系統(tǒng)誤差越小，則。系統(tǒng)誤差越小，則準(zhǔn)確度越高，即測量值與實際值符合的程度越高。準(zhǔn)確度越高，即測量值與實際值符合的程度越高。 精密度表示隨機(jī)誤差的影響精密度表示隨機(jī)誤差的影響。精密度越高，表示。精密度越高，表示隨機(jī)誤差越小。隨機(jī)因素使測量值呈現(xiàn)分散而不確定，隨機(jī)誤差越小。隨機(jī)因素使測量值呈現(xiàn)分散而不確定，但總是分布在平均值附近。但總是分布在平均值附近。 精確度用來反映系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合影響精確度用來反映系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合影響。精確度越高，表示準(zhǔn)確度和精密度都

22、高，意味著系統(tǒng)精確度越高，表示準(zhǔn)確度和精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都小。誤差和隨機(jī)誤差都小?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 測量結(jié)果評價：測量結(jié)果評價： (a) (a) 準(zhǔn)確度高、精密度低；準(zhǔn)確度高、精密度低； (b) (b) 準(zhǔn)確度低、精密度高；準(zhǔn)確度低、精密度高；(c) (c) 精密度、準(zhǔn)確度均高，即精確度高精密度、準(zhǔn)確度均高，即精確度高(a)(b)(c)射擊誤差示意圖射擊誤差示意圖現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 測量值|xA 是粗大誤差是粗大誤差4x現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析

23、和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 3.3 3.3 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 3.3.1 3.3.1 削弱系統(tǒng)誤差的方法舉例削弱系統(tǒng)誤差的方法舉例 一、概述一、概述 系統(tǒng)誤差定義：在相同條件下多次測量同一系統(tǒng)誤差定義：在相同條件下多次測量同一量時，誤差的絕對值和符號保持恒定，或在條件量時，誤差的絕對值和符號保持恒定，或在條件改變時按某種確定規(guī)律而變化的誤差稱為系統(tǒng)誤改變時按某種確定規(guī)律而變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。差。 系統(tǒng)誤差特點：系統(tǒng)誤差特點： 是一個非隨機(jī)變量。即系統(tǒng)誤差出現(xiàn)不是一個非隨機(jī)變量。即系統(tǒng)誤差出現(xiàn)不服從統(tǒng)計規(guī)律，而服從

24、確定的函數(shù)規(guī)律。服從統(tǒng)計規(guī)律，而服從確定的函數(shù)規(guī)律。 重復(fù)測量時誤差具有重現(xiàn)性。重復(fù)測量時誤差具有重現(xiàn)性。 可修正性。由于系統(tǒng)誤差的重現(xiàn)性，確可修正性。由于系統(tǒng)誤差的重現(xiàn)性，確定了具有可以修正的特點。定了具有可以修正的特點?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 系統(tǒng)誤差按其出現(xiàn)的規(guī)律分類分為：固定系系統(tǒng)誤差按其出現(xiàn)的規(guī)律分類分為：固定系統(tǒng)誤差和變化系統(tǒng)誤差統(tǒng)誤差和變化系統(tǒng)誤差 1 1、固定系統(tǒng)誤差：在重復(fù)測量中，誤差的符、固定系統(tǒng)誤差：在重復(fù)測量中，誤差的符號和數(shù)值都不變的誤差。如儀表的刻度不準(zhǔn)、分號和數(shù)值都不變的誤差。如儀表的刻度不準(zhǔn)、分壓器沒有調(diào)準(zhǔn)等原

25、因產(chǎn)生的誤差。壓器沒有調(diào)準(zhǔn)等原因產(chǎn)生的誤差。 2 2、變化系統(tǒng)誤差：按其不同變化規(guī)律又分為、變化系統(tǒng)誤差：按其不同變化規(guī)律又分為三種：三種： 單方向線性變化的系統(tǒng)誤差單方向線性變化的系統(tǒng)誤差 周期性變化的系統(tǒng)誤差周期性變化的系統(tǒng)誤差 變化規(guī)律復(fù)雜的系統(tǒng)誤差變化規(guī)律復(fù)雜的系統(tǒng)誤差現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 （1 1）單方向線性變化的系統(tǒng)誤差在測量過程）單方向線性變化的系統(tǒng)誤差在測量過程中是以單一方向不斷增長或不斷減少的誤差。中是以單一方向不斷增長或不斷減少的誤差。 例如用電池做電源的測量儀器，他們的誤差例如用電池做電源的測量儀器，他們的誤差隨著電池

26、放電逐漸增大；相反，作為頻率標(biāo)準(zhǔn)的隨著電池放電逐漸增大；相反，作為頻率標(biāo)準(zhǔn)的有恒溫槽的石英晶體振蕩器，它的頻率誤差隨著有恒溫槽的石英晶體振蕩器，它的頻率誤差隨著恒溫時間增長而不斷減少。恒溫時間增長而不斷減少。 （2 2）周期性變化的系統(tǒng)誤差）周期性變化的系統(tǒng)誤差 在測量過程中誤差的符號和數(shù)值作周期性變在測量過程中誤差的符號和數(shù)值作周期性變化。例如作圓周掃描的圖示儀，由于讀數(shù)中心和化。例如作圓周掃描的圖示儀，由于讀數(shù)中心和掃描中心不重合所產(chǎn)生的誤差。掃描中心不重合所產(chǎn)生的誤差?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 從系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因和特點可以確認(rèn)：系從系統(tǒng)

27、誤差產(chǎn)生的原因和特點可以確認(rèn)：系統(tǒng)誤差是一個非隨機(jī)量。其出現(xiàn)有一定規(guī)律。其統(tǒng)誤差是一個非隨機(jī)量。其出現(xiàn)有一定規(guī)律。其產(chǎn)生的原因一般是可知的，能掌握的。產(chǎn)生的原因一般是可知的，能掌握的。 操作人員應(yīng)盡力做到：操作人員應(yīng)盡力做到： 盡可能預(yù)見到各種系統(tǒng)誤差的具體來源，盡可能預(yù)見到各種系統(tǒng)誤差的具體來源，極力設(shè)法消除其影響。極力設(shè)法消除其影響。 設(shè)法確定或估計出未能消除的系統(tǒng)誤差設(shè)法確定或估計出未能消除的系統(tǒng)誤差值，至少要確定誤差的大小范圍。因為有些系統(tǒng)值，至少要確定誤差的大小范圍。因為有些系統(tǒng)誤差不能通過數(shù)據(jù)處理來發(fā)現(xiàn)和消除。誤差不能通過數(shù)據(jù)處理來發(fā)現(xiàn)和消除。現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤

28、差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 二、消除或減弱系統(tǒng)誤差的方法二、消除或減弱系統(tǒng)誤差的方法 測量準(zhǔn)確度由系統(tǒng)誤差大小表征。系統(tǒng)誤差測量準(zhǔn)確度由系統(tǒng)誤差大小表征。系統(tǒng)誤差越小，則測量準(zhǔn)確度越高越小，則測量準(zhǔn)確度越高 典型的消除或減弱系統(tǒng)誤差方法有：典型的消除或減弱系統(tǒng)誤差方法有：1 1、零、零示法；示法；2 2、替代法；、替代法；3 3、交換法；、交換法；4 4、補償法；、補償法；5 5、微差法等。微差法等。 此外還有修正法，即對儀器定期進(jìn)行鑒定，此外還有修正法，即對儀器定期進(jìn)行鑒定，并確定修正值的大?。粰z查各種外界影響，如溫并確定修正值的大?。粰z查各種外界影響，如溫度、氣壓、磁場、電場等對

29、儀器指示值的影響，度、氣壓、磁場、電場等對儀器指示值的影響，并作出各種修正公式、修正曲線或表格，用它們并作出各種修正公式、修正曲線或表格，用它們對測量結(jié)果加以修正，來提高測量準(zhǔn)確度。對測量結(jié)果加以修正，來提高測量準(zhǔn)確度。現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 零示法零示法 通過平衡電路，使指示儀表示零。于是被測量就等于已通過平衡電路，使指示儀表示零。于是被測量就等于已知的標(biāo)準(zhǔn)量。知的標(biāo)準(zhǔn)量。 如用零示法測未知電壓，當(dāng)檢流計如用零示法測未知電壓，當(dāng)檢流計G G 指針示零時，有：指針示零時，有： V VX X = V= VS S 即只要標(biāo)準(zhǔn)電池及標(biāo)準(zhǔn)分壓器準(zhǔn)確，

30、檢流計轉(zhuǎn)動靈敏，即只要標(biāo)準(zhǔn)電池及標(biāo)準(zhǔn)分壓器準(zhǔn)確，檢流計轉(zhuǎn)動靈敏，測量就會準(zhǔn)確。而檢流計的系統(tǒng)誤差并不影測量的誤差。測量就會準(zhǔn)確。而檢流計的系統(tǒng)誤差并不影測量的誤差?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 替代法替代法 在測量條件不變的情況下，用一個標(biāo)準(zhǔn)已知在測量條件不變的情況下，用一個標(biāo)準(zhǔn)已知量去代替被測量，并調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量使儀器的示值不量去代替被測量，并調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量使儀器的示值不變。在這種情況下，被測量就等于標(biāo)準(zhǔn)量的數(shù)值。變。在這種情況下，被測量就等于標(biāo)準(zhǔn)量的數(shù)值。由于在替代過程中，儀器的狀態(tài)和示值都不變，由于在替代過程中，儀器的狀態(tài)和示值都不變，所以儀器的誤差

31、和其他造成系統(tǒng)誤差的因素對測所以儀器的誤差和其他造成系統(tǒng)誤差的因素對測量結(jié)果基本不產(chǎn)生什么影響。量結(jié)果基本不產(chǎn)生什么影響?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 替代法測電阻舉例替代法測電阻舉例 替代法被廣泛應(yīng)用在測量元件參數(shù)上，如用諧振法或電橋法測替代法被廣泛應(yīng)用在測量元件參數(shù)上，如用諧振法或電橋法測量電容器的電容和線圈的電感的電感量時，都可輔之以替代法。采量電容器的電容和線圈的電感的電感量時，都可輔之以替代法。采用替代法的優(yōu)點：可消除對地電容，導(dǎo)線的電容、電感，和電感線用替代法的優(yōu)點：可消除對地電容，導(dǎo)線的電容、電感，和電感線圈的固有電容的影響。圈的固有

32、電容的影響?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 交換法交換法（對照法、二次測量法）（對照法、二次測量法） 這種方法往往是使固定的系統(tǒng)誤差在測量這種方法往往是使固定的系統(tǒng)誤差在測量結(jié)果中一次為正、另一次為負(fù)，而其絕對值相結(jié)果中一次為正、另一次為負(fù)，而其絕對值相等。于是儀器兩次讀數(shù)的平均值將與系統(tǒng)誤差等。于是儀器兩次讀數(shù)的平均值將與系統(tǒng)誤差無關(guān)。無關(guān)。 在實際測量中，由于測量環(huán)境不可完全一在實際測量中，由于測量環(huán)境不可完全一致，故利用交換法得到的儀器兩次讀數(shù)的平均致，故利用交換法得到的儀器兩次讀數(shù)的平均值只是大大削弱系統(tǒng)誤差的影響，而不能完全值只是大大削弱系

33、統(tǒng)誤差的影響，而不能完全消除。消除?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 微差法微差法 考察零示法情況：被測量與標(biāo)準(zhǔn)量對指示儀表考察零示法情況：被測量與標(biāo)準(zhǔn)量對指示儀表的作用完全相同，使指示儀表示零。而當(dāng)測量中的作用完全相同，使指示儀表示零。而當(dāng)測量中指示儀表不能完全示零時（往往因為標(biāo)準(zhǔn)量不能指示儀表不能完全示零時（往往因為標(biāo)準(zhǔn)量不能連續(xù)可變），只要標(biāo)準(zhǔn)量與被測量差別較小，則連續(xù)可變），只要標(biāo)準(zhǔn)量與被測量差別較小，則指示儀表的誤差對測量結(jié)果的影響將大大減弱。指示儀表的誤差對測量結(jié)果的影響將大大減弱。這就是所謂微差法的情況。這就是所謂微差法的情況?，F(xiàn)代測試技

34、術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 用微差法求測量相對誤差的公式（用微差法求測量相對誤差的公式（3-3-63-3-6）：）：sxxssVVVVVVVV式中：式中： VX 測量值；測量值； VS 標(biāo)準(zhǔn)量；標(biāo)準(zhǔn)量； V 被測量與標(biāo)準(zhǔn)量之微差，由毫伏表讀出；被測量與標(biāo)準(zhǔn)量之微差，由毫伏表讀出； VX / VX 測量相對誤差；測量相對誤差； VS / VS 標(biāo)準(zhǔn)量的相對誤差；標(biāo)準(zhǔn)量的相對誤差； V / V 指示儀表的相對誤差；指示儀表的相對誤差； V / VS 微差微差V與標(biāo)準(zhǔn)量與標(biāo)準(zhǔn)量VS的比值，也稱為被測的比值，也稱為被測量與標(biāo)準(zhǔn)差之微誤差，或稱為相對微差。量與標(biāo)準(zhǔn)差

35、之微誤差，或稱為相對微差?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 3.3.2 3.3.2 系統(tǒng)誤差的判別系統(tǒng)誤差的判別1.1.恒系差的判別恒系差的判別（1 1）校準(zhǔn)）校準(zhǔn) 用儀器儀表本身的校準(zhǔn)裝置進(jìn)行自校，發(fā)現(xiàn)并消除用儀器儀表本身的校準(zhǔn)裝置進(jìn)行自校，發(fā)現(xiàn)并消除之，如磁電系儀表的之，如磁電系儀表的“機(jī)械調(diào)零機(jī)械調(diào)零” ” 等；用更高級別的儀表來等；用更高級別的儀表來校準(zhǔn)所使用的儀表，給出的修正值，如儀表的出廠鑒定和使校準(zhǔn)所使用的儀表，給出的修正值，如儀表的出廠鑒定和使用過程中的定期送計量部門鑒定。用過程中的定期送計量部門鑒定。（2 2）比對）比對 用多臺同類儀

36、器測量同一量進(jìn)行相互對比，從而發(fā)用多臺同類儀器測量同一量進(jìn)行相互對比，從而發(fā)現(xiàn)系差（研制儀器時常用）。現(xiàn)系差（研制儀器時常用）。（3 3）改變測量條件）改變測量條件 通過對不同條件下測量結(jié)果進(jìn)行比較來發(fā)通過對不同條件下測量結(jié)果進(jìn)行比較來發(fā)現(xiàn)系差并消除。如，對環(huán)境磁場的影響，可將儀表位置調(diào)轉(zhuǎn)現(xiàn)系差并消除。如，對環(huán)境磁場的影響，可將儀表位置調(diào)轉(zhuǎn)180180前后測兩次來發(fā)現(xiàn)系差，并取平均值來消除系差。前后測兩次來發(fā)現(xiàn)系差，并取平均值來消除系差。2.2.變系差的判別變系差的判別（1 1）殘差觀察法）殘差觀察法現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 3.3.2 3.3

37、.2 系統(tǒng)誤差的判別系統(tǒng)誤差的判別（續(xù)）（續(xù)）當(dāng)系差明顯大于隨差時，有規(guī)律地變化某一測量條件進(jìn)行當(dāng)系差明顯大于隨差時，有規(guī)律地變化某一測量條件進(jìn)行測量，求出殘差，并按先后次序列表或作圖，觀察各殘差大小測量，求出殘差，并按先后次序列表或作圖，觀察各殘差大小和符號的變化。再判斷是累進(jìn)性的還是周期性變系差。和符號的變化。再判斷是累進(jìn)性的還是周期性變系差。 ii0ii0（2 2）公式法）公式法 當(dāng)隨差明顯大于變系差時，變系差不易發(fā)現(xiàn)，則用公式法判別當(dāng)隨差明顯大于變系差時，變系差不易發(fā)現(xiàn)，則用公式法判別。 現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 3.3.2 3.3.2

38、 系統(tǒng)誤差的判別系統(tǒng)誤差的判別 （續(xù)）（續(xù)）馬利科夫判據(jù)：馬利科夫判據(jù)：2/112ninniiiM2/)1(123ninniiiM若測量中有累進(jìn)性系統(tǒng)誤差，則若測量中有累進(jìn)性系統(tǒng)誤差，則M 值應(yīng)明顯異于零（與值應(yīng)明顯異于零（與殘差比較，若小一個數(shù)量級及以上就認(rèn)為殘差比較，若小一個數(shù)量級及以上就認(rèn)為M為零）。為零）。 當(dāng)測量次數(shù)當(dāng)測量次數(shù)n為奇數(shù)時，為奇數(shù)時，當(dāng)測量次數(shù)當(dāng)測量次數(shù)n為為偶數(shù)時，偶數(shù)時，現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 阿卑赫梅特判據(jù)：阿卑赫梅特判據(jù)： 檢驗周期性系差的存在。檢驗周期性系差的存在。注意：變系差使測量值偏離正態(tài)分布，因而有變注

39、意：變系差使測量值偏離正態(tài)分布，因而有變系差的測量數(shù)據(jù)原則上應(yīng)舍棄不用，重新測量。系差的測量數(shù)據(jù)原則上應(yīng)舍棄不用，重新測量。3.3.2 3.3.2 系統(tǒng)誤差的判別系統(tǒng)誤差的判別 （續(xù)）（續(xù)）n -12ii 1i 1n1 s 現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 3.4 3.4 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 3.4.1 3.4.1 隨機(jī)變量的平均值和方差隨機(jī)變量的平均值和方差 隨機(jī)誤差定義隨機(jī)誤差定義 在同一測量條件下（指在測量環(huán)境、測在同一測量條件下（指在測量環(huán)境、測量人員、測量技術(shù)和測量儀器都

40、相同的條件量人員、測量技術(shù)和測量儀器都相同的條件下），多次重復(fù)測量同一量值時（等精度測下），多次重復(fù)測量同一量值時（等精度測量），每次測量誤差的絕對值和符號都以不量），每次測量誤差的絕對值和符號都以不可預(yù)知的方式變化的誤差，稱為隨機(jī)誤差或可預(yù)知的方式變化的誤差，稱為隨機(jī)誤差或偶然誤差，簡稱隨差。偶然誤差，簡稱隨差?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 隨機(jī)誤差的統(tǒng)計特性及減少方法隨機(jī)誤差的統(tǒng)計特性及減少方法 在測量中，在測量中，隨機(jī)誤差是不可避免的。隨機(jī)誤差是不可避免的。隨機(jī)隨機(jī)誤差是由大量微小的沒有確定規(guī)律的因素引起誤差是由大量微小的沒有確定規(guī)律的因素引

41、起的，比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源的，比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源電壓等）的微小波動，電磁場的干擾，大地輕電壓等）的微小波動，電磁場的干擾，大地輕微振動等。微振動等。 多次測量中，測量值和隨機(jī)誤差多次測量中，測量值和隨機(jī)誤差服從概率服從概率統(tǒng)計規(guī)律。統(tǒng)計規(guī)律。可用可用數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計的方法，處理測量數(shù)的方法，處理測量數(shù)據(jù)，從而據(jù)，從而減少隨機(jī)誤差減少隨機(jī)誤差對測量結(jié)果的影響。對測量結(jié)果的影響?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 例：對一不變的電壓在相同情況下，多次測量得到例：對一不變的電壓在相同情況下，多次測量得到 1.235V1.235

42、V，1.237V1.237V，1.234V1.234V，1.236V1.236V，1.235V1.235V，1.237V1.237V。單次測量的隨差沒有規(guī)律，但多次測量的總體卻服從統(tǒng)單次測量的隨差沒有規(guī)律，但多次測量的總體卻服從統(tǒng)計規(guī)律。計規(guī)律?？赏ㄟ^數(shù)理統(tǒng)計的方法來處理可通過數(shù)理統(tǒng)計的方法來處理, ,即求算術(shù)平均即求算術(shù)平均值值iixx1211nniixxxxxnn 隨機(jī)誤差也可表示成：測量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對同隨機(jī)誤差也可表示成：測量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差 ()n 現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3

43、 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望: :反映其平均特性反映其平均特性。其定義如下：。其定義如下：X X為為離散離散型隨機(jī)變量：型隨機(jī)變量：X X為為連續(xù)連續(xù)型隨機(jī)變量：型隨機(jī)變量： 1iipixE(X)()( )EXxx dx現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差 方差是用來描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分方差是用來描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度。設(shè)隨機(jī)變量散程度。設(shè)隨機(jī)變量X X的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為E(X)E(X)，則，則X X的的方差定義為：方差定義為：D

44、(X)= E(XD(X)= E(XE(X)E(X)2 2 標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差定義為：定義為： 標(biāo)準(zhǔn)偏差同樣描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的標(biāo)準(zhǔn)偏差同樣描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度，并且與隨機(jī)變量具有相同量綱。分散程度，并且與隨機(jī)變量具有相同量綱。)( XD 現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 測量中的隨機(jī)誤差通常是多種相互獨立的因測量中的隨機(jī)誤差通常是多種相互獨立的因素造成的許多微小誤差的總和。素造成的許多微小誤差的總和。 中心極限定理：假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以中心極限定理：假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨立的隨機(jī)變量的和，其中每一個隨表示為大量獨立的

45、隨機(jī)變量的和，其中每一個隨機(jī)變量對于總和只起微小作用，則可認(rèn)為這個隨機(jī)變量對于總和只起微小作用，則可認(rèn)為這個隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。機(jī)變量服從正態(tài)分布。為什么測量數(shù)據(jù)和隨機(jī)誤為什么測量數(shù)據(jù)和隨機(jī)誤差大多接近正態(tài)分布？差大多接近正態(tài)分布？現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和統(tǒng)計特性正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和統(tǒng)計特性 概率密度概率密度 測量值測量值X X落在區(qū)間（落在區(qū)間（x x，x+xx+x）內(nèi)的概率）內(nèi)的概率為為P (x X x+x)P (x X x+x)。當(dāng)。當(dāng)xx趨近于零時，若趨近于零時，若P(x X x+x)P(x X x+x)

46、與與xx之比的極限存在，就之比的極限存在，就把它稱為測量值把它稱為測量值X X 在在 x x 點的概率密度，記為點的概率密度，記為( ) xxx)xXxPlimx0 x（）（現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 221()exp()22 221()( )exp22xx隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù)為：隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù)為：測量數(shù)據(jù)測量數(shù)據(jù)X X的概率密度函數(shù)為：的概率密度函數(shù)為：現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 隨機(jī)誤差和測量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因為它們的標(biāo)準(zhǔn)偏隨機(jī)誤差和測量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因為它們的標(biāo)準(zhǔn)偏差相同，

47、只是橫坐標(biāo)相差差相同，只是橫坐標(biāo)相差 隨機(jī)誤差具有：對稱性隨機(jī)誤差具有：對稱性 單峰性單峰性 有界性有界性 抵償性抵償性 現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 若測量列中不包含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則該測量列若測量列中不包含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則該測量列中的隨機(jī)誤差一般具有以下幾個特征：中的隨機(jī)誤差一般具有以下幾個特征： 絕對值相等的正絕對值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等，這稱為誤差的對稱性。誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等，這稱為誤差的對稱性。絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這稱為絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這稱為誤差的單峰性。誤

48、差的單峰性。 在一定的測量條件下，隨機(jī)誤差的絕對在一定的測量條件下，隨機(jī)誤差的絕對值不會超過一定界限，這稱為誤差的有界性。隨著測量值不會超過一定界限，這稱為誤差的有界性。隨著測量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨向于零，這稱為誤次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨向于零，這稱為誤差的抵償性。差的抵償性。 最后一個特征可由第一特征推導(dǎo)出來，因為絕對值相最后一個特征可由第一特征推導(dǎo)出來，因為絕對值相等的正誤差和負(fù)誤差之和可以互相抵消。對于有限次測量，等的正誤差和負(fù)誤差之和可以互相抵消。對于有限次測量，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值是一個有限小的量，面當(dāng)測量次數(shù)隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值是一個有限小的量，面當(dāng)測量次數(shù)

49、無限增大時，它趨向于零。無限增大時，它趨向于零?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 而測量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望而測量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望E(X)E(X)方差方差D(X)D(X)2 221( )( )exp()022Edd 2222221( )(0)( )exp()22DEdd 隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望和方差為：隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望和方差為：現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 標(biāo)準(zhǔn)偏差意義標(biāo)準(zhǔn)偏差意義 標(biāo)準(zhǔn)偏差是代表測量數(shù)據(jù)和測量誤差分布離標(biāo)準(zhǔn)偏差是代表測量數(shù)據(jù)和測量誤差分布離散程度的特征數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，則曲線形狀越散程度的特征數(shù)。標(biāo)

50、準(zhǔn)偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說明數(shù)據(jù)越集中；標(biāo)準(zhǔn)偏差越大，則曲線尖銳，說明數(shù)據(jù)越集中；標(biāo)準(zhǔn)偏差越大，則曲線形狀越平坦，說明數(shù)據(jù)越分散。形狀越平坦，說明數(shù)據(jù)越分散。 0)(p1 2 3 現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 概率密度分布曲線為：概率密度分布曲線為：現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 誤差之間出現(xiàn)于區(qū)間（誤差之間出現(xiàn)于區(qū)間（1，2）內(nèi)的概率為）內(nèi)的概率為P(P(1 12 2)=)=d e212122-）（）（即等于上圖中陰影部分的面積。即等于上圖中陰影部分的面積?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差

51、分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 概率密度曲線下的面積是概率值。由于隨機(jī)變量的所有概率密度曲線下的面積是概率值。由于隨機(jī)變量的所有量值出現(xiàn)的概率的總和必然等于量值出現(xiàn)的概率的總和必然等于1 1，所以分布曲線下的總面積，所以分布曲線下的總面積等于等于1 1。對隨機(jī)誤差，則有。對隨機(jī)誤差，則有( ) xp1d =p68.3%當(dāng)，=3p399.73%當(dāng)，=2p295.5%當(dāng)，現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 測量結(jié)果的置信問題測量結(jié)果的置信問題 置信概率與置信區(qū)間：置信概率與置信區(qū)間： 有時我們需要計算誤差在某范圍內(nèi)的概率。有時我們需要計算誤差在某范圍內(nèi)的

52、概率。該范圍稱為置信區(qū)間。一般表示為該范圍稱為置信區(qū)間。一般表示為( )kE xp k（k k稱置信系數(shù)，有點書中用稱置信系數(shù)，有點書中用t t表示），表示），而對應(yīng)的概率而對應(yīng)的概率 稱為置信概率。一般表示為稱為置信概率。一般表示為現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 例如，已知被測量的數(shù)學(xué)期望例如，已知被測量的數(shù)學(xué)期望 M(X)M(X)，對，對nn的測量值的測量值X X，可估計測量值偏離其數(shù)，可估計測量值偏離其數(shù)學(xué)期望學(xué)期望 M(X)M(X)的上界限。即有：的上界限。即有： | X M(X)| | X M(X)| mm mm 稱為不確定度或置信限。表示

53、誤稱為不確定度或置信限。表示誤差的估計極限范圍。一般取為差的估計極限范圍。一般取為 ( (X X) )的若干倍。的若干倍。 即：即： mm = K = K ( (X X) )現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 于是，測量值偏離其數(shù)學(xué)期望于是，測量值偏離其數(shù)學(xué)期望 M M（X X ）上）上界限的估計值可寫成：界限的估計值可寫成： | X M(X)| | X M(X)| k k( (X X) ) k k 稱為置信因子（或置信系數(shù)）稱為置信因子（或置信系數(shù)） 對上面這種誤差估計值的可信度：對上面這種誤差估計值的可信度： P | X M(X)| P | X M(

54、X)| k k ( (X X) ) 稱為稱為 置信概率。置信概率的值在置信概率。置信概率的值在 0 01 1 之間。置信概率所對應(yīng)的確定區(qū)間稱為置信之間。置信概率所對應(yīng)的確定區(qū)間稱為置信區(qū)間。區(qū)間?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 置信概率是圖中置信概率是圖中陰影部分面積陰影部分面積現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 即置信概率可寫成即置信概率可寫成置信系數(shù)k置信概率P10.68320.95530.997 kkdpkPkxExP)()(997. 0)2exp(21)()3(223333 ddpP區(qū)間越寬，區(qū)間越寬

55、，置信概率越大置信概率越大當(dāng)當(dāng)k=3時，時，現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 置信概率與置信區(qū)間有兩種情況：置信概率與置信區(qū)間有兩種情況： （1 1）已知數(shù)學(xué)期望）已知數(shù)學(xué)期望M(X)M(X)，求測量結(jié)果在數(shù)學(xué)，求測量結(jié)果在數(shù)學(xué)期望附近某一確定范圍（即置信區(qū)間）期望附近某一確定范圍（即置信區(qū)間） M(X)- k M(X)- k ( (X X) )，M(X)+ kM(X)+ k ( (X X) )內(nèi)的可信度（即置信概率）。內(nèi)的可信度（即置信概率）。 這是因為置信問題可做如下轉(zhuǎn)換這是因為置信問題可做如下轉(zhuǎn)換現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)

56、處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 | XM(X)| | XM(X)| k k ( (X X) ) - k - k ( (X X) )XM(X)XM(X) k k ( (X X) ) M M（X X）- k- k ( (X X) )X X M(X)+ kM(X)+ k ( (X X) ) 求上式的概率值就是所謂求上式的概率值就是所謂“置信概率置信概率”。而確定區(qū)間：而確定區(qū)間：M(X)- kM(X)- k ( (X X) ) ， M(X)+ kM(X)+ k ( (X X) )就是所謂就是所謂“置信區(qū)間置信區(qū)間”?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 （2 2）已知

57、測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差）已知測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差 ( (X X), ),由得到的測由得到的測量結(jié)果量結(jié)果x x ，估計被測量的數(shù)學(xué)期望，估計被測量的數(shù)學(xué)期望 M(X)M(X)落落在測量結(jié)果在測量結(jié)果 x x 附近某一確定范圍（即置信附近某一確定范圍（即置信區(qū)間）區(qū)間） x - k x - k ( (X X) )， x + kx + k ( (X X) )內(nèi)的可信程度內(nèi)的可信程度（即置信概率）。（即置信概率）。 這是因為置信問題又可做如下轉(zhuǎn)換這是因為置信問題又可做如下轉(zhuǎn)換 現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 | x M(X)| | x M(X)| k k ( (X X)

58、 ) - k - k ( (X X) )x M(X )x M(X ) k k ( (X X) ) x - k x - k ( (X X) ) M(X)M(X) x + kx + k ( (X X) ) 上式的概率就是所謂第二種情況的上式的概率就是所謂第二種情況的“置信置信概率概率”。而下面的確定區(qū)間。而下面的確定區(qū)間 ： x - k x - k ( (X X) ) ，x + kx + k ( (X X) ) 就是第二種情況的就是第二種情況的“置信區(qū)間置信區(qū)間”?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 兩種情況的置信概率都是由下式兩種情況的置信概率都是由下式推

59、出：推出：| x M(X)| | x M(X)| k k ( (X X) ) 因此，這兩種情況的置信概率是相等因此，這兩種情況的置信概率是相等的。在實際計算時，我們不必去仔細(xì)區(qū)的。在實際計算時，我們不必去仔細(xì)區(qū)分這兩種不同的情況。而只需根據(jù)給定分這兩種不同的情況。而只需根據(jù)給定的置信區(qū)間求出置信概率；或者反過來的置信區(qū)間求出置信概率；或者反過來根據(jù)已知的置信概率求出相應(yīng)的置信區(qū)根據(jù)已知的置信概率求出相應(yīng)的置信區(qū)間。間?，F(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 注意：注意： （1 1）置信區(qū)間和置信概率總是聯(lián)系在一）置信區(qū)間和置信概率總是聯(lián)系在一起的。起的。 在

60、討論置信問題時，只有明確一方，才能在討論置信問題時，只有明確一方，才能討論另一方。討論另一方。 （2 2）測量次數(shù)）測量次數(shù) nn。 現(xiàn)代測試技術(shù)第現(xiàn)代測試技術(shù)第3 3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理章誤差分析和數(shù)據(jù)處理 3.4.3 3.4.3 有限次測量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差的估有限次測量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計值計值 求被測量的數(shù)字特征，理論上需求被測量的數(shù)字特征，理論上需無窮多次無窮多次測測量，但在實際測量中只能進(jìn)行量，但在實際測量中只能進(jìn)行有限次有限次測量，怎么測量，怎么辦？辦？ 答案：答案：有限次測量的平均值（即算術(shù)平均值）有限次測量的平均值（即算術(shù)平均值）是測量的最佳估計值。規(guī)定使用算術(shù)平均值