1、第三章 導(dǎo)數(shù)與微分3.5 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單運(yùn)用 二、彈性二、彈性一、邊沿分析一、邊沿分析 在經(jīng)濟(jì)與管理中經(jīng)常要思索產(chǎn)量、本錢、利潤(rùn)、收益、在經(jīng)濟(jì)與管理中經(jīng)常要思索產(chǎn)量、本錢、利潤(rùn)、收益、需求、供應(yīng)等問(wèn)題需求、供應(yīng)等問(wèn)題, 通常本錢、收益、利潤(rùn)都是產(chǎn)量的函通常本錢、收益、利潤(rùn)都是產(chǎn)量的函數(shù)數(shù). 本節(jié)主要引見(jiàn)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊沿分析與彈性分析問(wèn)題本節(jié)主要引見(jiàn)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊沿分析與彈性分析問(wèn)題.一一、邊邊際際分分析析yfxfxxf ( ),( )( ) 設(shè)設(shè)是是一一個(gè)個(gè)經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)函函數(shù)數(shù) 其其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為的的00()f xfxx 在在點(diǎn)點(diǎn)的的邊邊邊邊。際際稱稱際際數(shù)數(shù)為為函函函函數(shù)數(shù)值值。0( )f

2、xxx對(duì)對(duì)于于經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)函函數(shù)數(shù)，設(shè)設(shè)經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)變變量量在在點(diǎn)點(diǎn)有有一一個(gè)個(gè)改改變變00()yyf xx ，則則經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)變變量量在在處處量量有有相相應(yīng)應(yīng)的的改改變變量量00()()yf xxf x 0( )f xx如如函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)可可微微，則則00(d)|x xyxxyf 0 , 1()xyfx 假假如如則則0 xyx在在點(diǎn)點(diǎn)改改變變“一一個(gè)個(gè)這這說(shuō)說(shuō)明明當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， 相相應(yīng)應(yīng)的的單單位位”近近似似改改變變fx 0()個(gè)個(gè)單單位位。yxx 2312 求求函函數(shù)數(shù)在在處處的的邊邊際際例例函函數(shù)數(shù)值值。 6yx 解解22612xxyx 232yxx函函數(shù)數(shù)在在處處的的邊邊際際函函數(shù)數(shù)值值為為1212

3、(1) .邊際成本邊際成本(,( ) )CC QQQC 設(shè)設(shè)為為產(chǎn)產(chǎn)量量總總成成本本稱稱它它的的函函數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為邊邊際際成成00()C QQ , ,簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱。稱稱為為邊邊際際成成本本時(shí)時(shí)本本的的當(dāng)當(dāng)產(chǎn)產(chǎn)邊邊函函量量為為數(shù)數(shù)際際成成本本。01Q其其經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義為為：當(dāng)當(dāng)產(chǎn)產(chǎn)量量達(dá)達(dá)到到時(shí)時(shí)增增減減 個(gè)個(gè)，如如果果單單位位產(chǎn)產(chǎn)品品, ,0()C Q 成成本本將將相相則則應(yīng)應(yīng)增增減減個(gè)個(gè)單單位位。01( )( )CCC QQ固固定定成成本本可可變變成成本本一一般般情情況況下下，總總成成本本由由和和01()(),C QCC Q 組組成成，即即 011()()(),C QCC QC Q 而而邊邊

4、際際成成本本可可見(jiàn)見(jiàn)，邊邊際際成成本本與與固固定定成成本本無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)。2 設(shè)設(shè)總總例例成成本本函函數(shù)數(shù)21( )500060,20C QQQ 1000Q 求求邊邊際際成成本本函函數(shù)數(shù)和和 單單位位時(shí)時(shí)的的邊邊際際成成本本，并并解解釋釋后后者者的的經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義。1( )60,10C QQ 100010001( )604010QQC QQ 10001其其經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義為為：當(dāng)當(dāng)產(chǎn)產(chǎn)量量達(dá)達(dá)到到時(shí)時(shí)增增減減 個(gè)個(gè)，如如果果單單位位產(chǎn)產(chǎn)品品, ,40增增減減則則成成本本將將相相應(yīng)應(yīng)個(gè)個(gè)單單位位。(2) .邊際收益邊際收益( )( )RQR QQR 設(shè)設(shè)， 為為銷銷售售量量，稱稱它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)總總

5、收收益益函函數(shù)數(shù)為為邊邊00()R QQ 際際收收益益，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱。稱稱為為商商品品銷銷售售量量為為邊邊函函際際收收益益數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)的的邊邊際際收收益益。0()R Q ，則則將將相相應(yīng)應(yīng)或或單單位位產(chǎn)產(chǎn)品品減減收收益益增增少少加加個(gè)個(gè)單單位位。0()Q其其為為：當(dāng)當(dāng)銷銷售售量量達(dá)達(dá)到到時(shí)時(shí)，如如果果或或經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意多多少少義義銷銷售售一一個(gè)個(gè)QQP一一般般來(lái)來(lái)說(shuō)說(shuō)，銷銷售售單單位位產(chǎn)產(chǎn)品品的的總總收收益益為為銷銷售售量量與與價(jià)價(jià)格格之之( )( ),R QQPQP Q 積積，即即( )( )PP QQQ P 式式中中，是是需需求求函函數(shù)數(shù)的的反反函函數(shù)數(shù)，也也稱稱需需求求函函( )( )( )( )

6、.R QQP QP QQP Q數(shù)數(shù)，于于是是有有，3 設(shè)設(shè)某某產(chǎn)產(chǎn)品品例例的的需需求求函函數(shù)數(shù)為為10,5QP 求求銷銷售售量量為為3 30 0個(gè)個(gè)單單位位時(shí)時(shí)的的總總收收益益、平平均均收收益益與與邊邊際際收收益益。總總收收益益：303030( )101205QQQQR QPQQ 平平均均收收益益3030()120()430QQR QR QQ 邊邊際際收收益益30302( )1025QQQR Q (3) .邊際利潤(rùn)邊際利潤(rùn)QQL QL ),(設(shè)設(shè)產(chǎn)產(chǎn)品品的的為為產(chǎn)產(chǎn)量量，稱稱它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)總總利利潤(rùn)潤(rùn)函函數(shù)數(shù)為為邊邊00()LQQ ，稱稱為為當(dāng)當(dāng)產(chǎn)產(chǎn)量量為為時(shí)時(shí)的的邊邊際際利利潤(rùn)潤(rùn)際際利利潤(rùn)

7、潤(rùn)。01Q：當(dāng)當(dāng)產(chǎn)產(chǎn)量量達(dá)達(dá)到到時(shí)時(shí), ,如如增增減減 個(gè)個(gè)單單位位產(chǎn)產(chǎn)品品經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)義義果果意意, ,則則利利潤(rùn)潤(rùn)0()L Q 增增將將相相應(yīng)應(yīng)減減個(gè)個(gè)單單位位。一一般般來(lái)來(lái)說(shuō)說(shuō)，總總利利潤(rùn)潤(rùn)函函數(shù)數(shù)可可以以看看成成總總收收益益函函數(shù)數(shù)總總與與成成本本函函數(shù)數(shù)之之()()().L QR QC Q ，即即 差差顯顯然然，邊邊際際利利潤(rùn)潤(rùn)為為( )( )( ).L QR QC Q 二二. .彈彈性性分分析析yxyx 函函數(shù)數(shù)的的相相對(duì)對(duì)改改變變量量與與自自變變量量的的相相對(duì)對(duì)改改變變量量定定 義義之之比比/y yx x xxxxf ( )從從到到兩兩點(diǎn)點(diǎn)間間的的（弧弧稱稱為為函函數(shù)數(shù)）彈彈性性。,

8、xE，記記（性性作作點(diǎn)點(diǎn)）彈彈即即0/lim./xxy yEx x ( )f x稱稱其其為為的的彈彈性性函函數(shù)數(shù)。/ /0( )yyxxf xxx 的的 時(shí)時(shí)，極極限限在在點(diǎn)點(diǎn)定定稱稱為為義義處處的的相對(duì)變化率相對(duì)變化率xyex2431 求求函函數(shù)數(shù)在在例例處處的的彈彈性性。22=63xxxee( )( )xxEfxf x 解解 2x 12xxE (1) .需求彈性需求彈性( ),Qf PPQ單單設(shè)設(shè)需需求求函函數(shù)數(shù)為為為為，故故函函數(shù)數(shù)與與調(diào)調(diào)減減異異號(hào)號(hào)，PQ與與 為為正正數(shù)數(shù)，所所以以把把0/lim/()PPQ QfEQPPPP 需需求求彈彈稱稱為為性性函函數(shù)數(shù)。PPEE 經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義

9、義：1%ppQE當(dāng)當(dāng)價(jià)價(jià)格格 上上升升，需需求求量量 將將下下降降經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義：1%ppQE當(dāng)當(dāng)價(jià)價(jià)格格 上上升升，需需求求量量 將將下下降降pE2 2. . 當(dāng)當(dāng)0 0 1 1時(shí)時(shí), ,稱稱為為高高彈彈性性，1%ppEQ經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義：當(dāng)當(dāng)價(jià)價(jià)格格 上上升升，將將下下降降需需求求量量. .說(shuō)說(shuō)明明：商商品品的的需需求求量量變變動(dòng)動(dòng)的的百百分分比比價(jià)價(jià)格格變變動(dòng)動(dòng)大大于于的的百百分分比比。pE1. 1. 當(dāng)當(dāng)=1=1時(shí)時(shí), ,稱稱為為單單位位彈彈性性，1%1%pQ經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義：當(dāng)當(dāng)價(jià)價(jià)格格，上上升升下下求求將將降降需需量量. .說(shuō)說(shuō)明明：商商品品的的需需求求量量變變動(dòng)動(dòng)的的百百分分比

10、比價(jià)價(jià)格格變變動(dòng)動(dòng)等等于于的的百百分分比比。 5, (1) (2)3,5,65PQePPP 設(shè)設(shè)某某商商品品需需求求函函數(shù)數(shù)為為求求需需求求 彈彈性性函函數(shù)數(shù)； 時(shí)時(shí)例例的的需需求求彈彈性性。()PPEfPQ 解解 (1) (1)551=5PPPee =5P (2)3,P 3PpE 30.65 5,P 5PpE 515 6,P 5PpE 61.25 (2) .供供給給彈彈性性( ),QPPQ 單單設(shè)設(shè)供供給給函函數(shù)數(shù)為為為為，故故函函數(shù)數(shù)與與調(diào)調(diào)增增同同號(hào)號(hào)，PQ與與 為為正正數(shù)數(shù)，所所以以把把PEQQ QPPQEPP P 0/lim)/(供供給給彈彈稱稱為為性性函函數(shù)數(shù)。(3) .收益彈性及

11、其與需求彈性的關(guān)系收益彈性及其與需求彈性的關(guān)系RPQ設(shè)設(shè)總總收收益益是是商商品品價(jià)價(jià)格格與與銷銷售售量量 的的乘乘積積，即即(),RPQPf P ()()()()()()() ()() 1()(1.()pPR Pf PPfPf PfPf Pf Pf PPfPfPEPf 因因此此，收收益益彈彈性性為為()()(1).()()1RppEPPER Pf PER PPf P 收收益益彈彈性性.1RpEE 1, 1, 0pRpEEE1. 1. 若若時(shí)時(shí)1%, (1)%.1%, (1)%.ppEE 價(jià)價(jià)格格( (提提價(jià)價(jià)) )總總收收益益價(jià)價(jià)格格( (下下跌跌 降降價(jià)價(jià)) )總總減減少少收收益益上上漲漲增

12、增加加01,pEREEP 3 3. . 若若則則, ,提提價(jià)價(jià)或或降降價(jià)價(jià)對(duì)對(duì)總總收收益益的的影影響響不不大大, 011ppEREEEP2. 2. 若若時(shí)時(shí)1%, ()%.111%, ()%.ppEE 價(jià)價(jià)格格( (提提價(jià)價(jià)) )總總收收益益價(jià)價(jià)格格( (降降價(jià)價(jià)) )下下跌跌增增總總收收益益加加上上漲漲減減少少PQP 10,2(1(2)6)3;某某商商品品需需求求函函數(shù)數(shù)為為求求 需需求求彈彈性性函函數(shù)數(shù)； 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 的的需需求求彈彈性性例例P (3)31在在時(shí)時(shí)，若若價(jià)價(jià)格格上上漲漲 % %，總總收收益益是是增增加加，還還是是減減少少？它它將將變變化化百百分分之之幾幾？()PPEfPQ 解

13、解 (1) (1)1=2102PP =20Pp (2)3,P 3PpE 317 (3) 1RpEE1417 ，14%17總總收收益益增增加加求求 導(dǎo)導(dǎo) 法法 那么那么根本公式根本公式導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)xyx 0lim微微 分分xydy 關(guān)關(guān) 系系)( xodyydxydyydxdy 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容1 1、導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的定義即即或或記為記為處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)并稱這個(gè)極限為函數(shù)并稱這個(gè)極限為函數(shù)處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱函數(shù)則稱函數(shù)時(shí)的極限存在時(shí)的極限存在之比當(dāng)之比當(dāng)與與如果如果取得增量取得增量相應(yīng)地函數(shù)相應(yīng)地函數(shù)時(shí)時(shí)內(nèi)內(nèi)仍在該鄰域仍在該鄰域點(diǎn)點(diǎn)處取得增量處取得增量在在當(dāng)

14、自變量當(dāng)自變量的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),)(,)(,)(,0);()(,)(,)(0000000000 xxxxxxdxxdfdxdyyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 定義定義.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx 2. 右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)1. 左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xf xxxx 0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xf xxxx 2 2、根本導(dǎo)數(shù)公式、根本導(dǎo)數(shù)公式222011111()(

15、)ln(log)ln(sin)cos(tan)sec(sec)sectan(arcsin)(arctan)xxaCaaaxxaxxxxxxxxxxx 常數(shù)和根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)和根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式122211111()()(ln)(cos)sin(cot)csc(csc)csccot(arccos)( arccot)xxxxeexxxxxxxxxxxxx 共共16個(gè)個(gè)3 3、求導(dǎo)法那么、求導(dǎo)法那么(1) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那么函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那么(2) 反函數(shù)的求導(dǎo)法那么反函數(shù)的求導(dǎo)法那么( )( )( ),1( )|( )yf xxyyf xfxy如如果果函函

16、數(shù)數(shù)的的反反函函數(shù)數(shù)為為則則有有(3) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)而而設(shè)設(shè)(4) 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)求出導(dǎo)數(shù).適用范圍適用范圍: : ( ).( )v xu x多多個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)相相乘乘( (和和冪冪指指函函除除) )數(shù)數(shù)的的情情形形( )ln ( )v xu xe或或 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 化化為為(5) (5) 隱函數(shù)求導(dǎo)法那么隱函數(shù)求導(dǎo)法那么用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)

17、用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).,)()(間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系與與確確定定若若參參數(shù)數(shù)方方程程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy .)()()()()(322tttttdxyd (6) (6) 參變量函數(shù)的求導(dǎo)法那么參變量函數(shù)的求導(dǎo)法那么4 4、高階導(dǎo)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù),)()(lim) )(0 xxfxxfxfx 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù), 1,( )( ),f xnf xn 一一般般地地 函函數(shù)數(shù)的的階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為函

18、函數(shù)數(shù)的的 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 記記作作.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù))000000000 ( ),()()(),( ),( ),(),.x xx xyf xxxxyf xxf xAxyf xxAxyf xxxAxdydf xdyAxox 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在某某區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)有有定定義義及及在在這這區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi) 如如果果成成立立 其其中中 是是與與無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù) 則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)可可微微 并并且且稱稱為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)相相應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量增增量量的的微微分分 記記作作或或即即5、微分的定義、微分的定義定義定義.的的線線性性主主部