1、15 / 12基本不等式ab（第1課時）»教學設計2教材分析I1“基本不等式” 是必修5的重點內容，它是在系統(tǒng)學習了不等關系和不等式性質，掌握了不等式性質的基礎上對不等式的進一步研究，同時也是為了以后學習選修教材中關于不等式及其證明方法等內容作鋪墊，起著承上啟下的作用.利用基本不等式求最值在實際問題中應用廣泛.同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結合、化歸等重要數(shù)學思想，有利于培養(yǎng)學生良好的思維品質.教學目標,1 .學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不 等號取等號的條件是：當且僅當這兩個數(shù)相等；2 .通過實例探究抽象基本不等式；3 .通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來

2、源于生活，提高學習數(shù)學的興趣.教學重難點1 ）【教學重點】應用數(shù)形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式jab ab的證明過程；2教教學難點】基本不等式Tab ab等號成立條件 2教學過程J>1 .課題導入基本不等式而a-b的幾何背景：2如圖是在北京召開的第 24界國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽 的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客. 你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？教師引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關系.【設計意圖】由北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標引出新課，使數(shù)學貼近實際， 來源于生活.2 .講授新課

3、1.探究圖形中的不等關系將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個全等的直角三角形.設直角三角形的兩條直角邊長為 a, b那么正方形的邊長為 J02b2 .這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab,正方形的面積為 a2 b2.由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式：a2 b2 2ab.當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時，正方形 EFGH縮為一個點，這時有2 2 一a b 2ab.2.得到結論：一般的，如果a,bR,那么a2 b2 2ab（當且僅當a b時取""號）(1)(2)(3)3 .思考證明：你能給出它的證明嗎？證明：因為a2 b

4、2 2ab （a b）222當 a b時,（a b） 0,當 a b時,（a b） 0,所以，（a b）20,即（a2 b2） 2ab.a b4. （1）從幾何圖形的面積關系認識基本不等式Jab 2特別的，如果a>0, b>0,我們用分別代替 a、b ,可得a b 2JOb ,通常我們把上式寫作：.ab 0廣（a>0,b>0）（2）從不等式的性質推導基本不等式Tabb2用分析法證明：要證ab. ab2只要證a+b 要證（2）,只要證a+b- 0要證（3）,只要證（-） 2（4）顯然，（4）是成立的.當且僅當 a=b時，（4）中的等號成立.（3）理解基本不等式Jab a-

5、b的幾何意義探究:在右圖中，AB是圓的直徑，點 C是AB上的一點，AC=a, BC=b.過點 C作垂直于 AB的弦DE,連接 AD、BD.你能利用這個圖形得出基本不等式a b .Jab 的幾何解釋嗎？2易證 RtA AC DRtADCB,那么 C D2= CA - CB即 CD= <ab .這個圓的半徑為 a_b,顯然，它大于或等于 CD,即ab JOb,其中當且僅當點 22C與圓心重合，即a=b時，等號成立.a b因此：基本不等式 Tab 幾何意義是 半徑不小于半弦2評述：1.如果把a_上看作是正數(shù)a、b的等差中項，看作是正數(shù)a、b的等比中2項，那么該定理可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項

6、不小于它們的等比中項.2.在數(shù)學中，我們稱a-b為a、b的算術平均數(shù)，稱Jb為a、b的幾何平均數(shù).本 2節(jié)定理還可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).【設計意圖】老師引導，學生自主探究得到結論并證明，鍛煉了學生的自主研究能力和研究問題的邏輯分析能力.補充例題例1 已知x、y都是正數(shù)，求證：(1) >2; x y(2) (x+y) (x2+y2) (x3+y3) > 8 x3y3.分析：在運用定理：ab tGb時，注意條件a、b均為正數(shù)，結合不等式的性質(把 2握好每條性質成立的條件)，進行變形.解：x, y 都是正數(shù) >0, >0, x2>0, y

7、2>0, x3>0, y3> 0“、x v c'xyx v(1) - 2 2J2=2 即- >2.y x y xy x(2) x+y>2x-'xy >0x2+y2R2 Jx2y2 >0x3+y3> 2'x3y3>0，(x+y) (x2+y2) (x3+y3) > 2,xy - 2jx2y2 - 2,x3y3 = 8 x3y3即(x+y) (x2+y2) (x3+y3) > 8 x3y3.【設計意圖】例題講解，學以致用.(3) 堂練習1.已知a、b、c都是正數(shù)，求證(a+b) (b+c) (c+ a) &g

8、t; 8 abc分析：對于此類題目，選擇定理：a- vab (a>0, b>0)靈活變形，可求得結2果.解： a, b, c都是正數(shù) a+ b> 2ab > 0b+c>2 Jbc >0c+ a>2 vac >0a a+ b) (b + c) (c+ a) >2 "ab > 2 Jbc , 2 Jac = 8 abc即(a+ b) (b + c) (c+ a) > 8 abc.【設計意圖】講練結合，熟悉新知.4.課時小結a b本節(jié)課，我們學習了重要不等式a2+b2>2ab；兩正數(shù)a、b的算術平均數(shù)(一),a b幾何

9、平均數(shù)(Tab )及它們的關系(ab >十ab ).它們成立的條件不同， 前者只要求a、b都是實數(shù)，而后者要求 a、b都是正數(shù).它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將學習它們的應用).我們還可以用它們下面的等價變形來解決2 b2h問題： ab< , ab< ( ) 222【設計意圖】課時小結，內化知識.教學反思本次課通過實例探究抽象基本不等式；由北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標情境引入，貼近生活，貼近數(shù)學，能讓學生體會數(shù)學來源于生活，提高學習數(shù)學的興趣.（第2課時）教學基本不等式Jab2設計教材分析L“基本不等式” 是必修5的重點內容，它是

10、在系統(tǒng)學習了不等關系和不等式性質，掌握了不等式性質的基礎上對不等式的進一步研究，同時也是為了以后學習選修教材中關于不等式及其證明方法等內容作鋪墊，起著承上啟下的作用.利用基本不等式求最值在實際問題中應用廣泛.同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結合、化歸等重要數(shù)學思想，有利于培養(yǎng)學生良好的思維品質.教學目標JJa b1.進一步掌握基本不等式 如 ；會應用此不等式求某些函數(shù)的最值；能夠解2決一些簡單的實際問題2 .通過兩個例題的研究，進一步掌握基本不等式abb ab,并會用此定理求某些2函數(shù)的最大、最小值.3 .引發(fā)學生學習和使用數(shù)學知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、理論與實際 相結合的科學態(tài)度和科學

11、道德.教學重難點教學重點基本不等式Vab a-的應用2教學難點利用基本不等式abb a-b求最大值、最小值. 2教學過程）1.課題導入1 .重要不等式:如果a,b R,那么a2 b2 2ab(當且僅當a b時取""號)2 .基本不等式：如果 a, b是正數(shù)，那么ab JOB(當且僅當a b時取""號).a b我們稱 J_b為a b的算術平均數(shù)，稱 7 ab為a, b的幾何平均數(shù)2，a2 b2 2ab和a-b Jab成立的條件是不同的：前者只要求a, b都是實數(shù)，2而后者要求a, b都是正數(shù).【設計意圖】復習引入.2.講授新課例1 (1)用籬笆圍成一個面積

12、為 100m2的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短.最短的籬笆是多少？(2)段長為36 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長、 寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？解：(1)設矩形菜園的長為 x m,寬為y m,則xy=100,籬笆的長為2 (x+y) m.由可得 x y 2J100 ,2(x y) 40 .等號當且僅當x=y時成立，此時x=y=10.因此，這個矩形的長、寬都為 10m時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是 40m.(2)解法一：設矩形菜園的寬為 x m,則長為(36 2x) m,其中0vxv1 ,其面積21 12x362x、2362S= x

13、 (36 2x) = 2x (362x) < 一()2 228當且僅當2x=362x,即x= 9時菜園面積最大，即菜園長9m,寬為9 m時菜園面積最大為81 m2解法二：設矩形菜園的長為x m.,寬為y m ,則2 (x+y) =36,x+y=18,矩形菜園的面積為xy m2 .由xy 81x y 18Jxy - 9,可得22當且僅當x=y,即x=y=9時，等號成立.因此，這個矩形的長、寬都為 9m時，菜園的面積最大，最大面積是81m2歸納：1.兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即若 a, bCR+,且a+b=M,2M為定值，則abw ，等號當且僅當a= b時成立.42.兩個正數(shù)的

14、積為定值時，它們的和有最小值，即若 a, b R+,且ab=P, P為定值， 則a+b>2jP,等號當且僅當a=b時成立.例2某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m,如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元?分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學問題轉化，即建立函數(shù)關系式， 然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理.解：設水池底面一邊的長度為 xm,水池的總造價為l元，根據(jù)題意，得1600 l 240000 720(x )x240000240000720720o 16002x x2 40 29

15、7600當x 1600，即x 40時,l有最小值2976000. x因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是 297600 元評述：此題既是不等式性質在實際中的應用，應注意數(shù)學語言的應用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質在求最值中的應用，應注意不等式性質的適用條件.歸納：用均值不等式解決此類問題時，應按如下步驟進行：(1)先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù);(2)建立相應的函數(shù)關系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫出答案.【設計意圖】 講解例題，熟悉方法.3.隨

16、堂練習1,已知xw 0,當x取什么值時，x2+8的值最小？最小值是多少？2.課本練習.【設計意圖】講練結合，鞏固新知.4.課時小結本節(jié)課我們用兩個正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關系順利解決了函數(shù)的一些最值問題.在用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時，應注意考查下列三個條件：(1)函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；(2)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；(3)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時，應具備三個條件：一正二定三取 等.【設計意圖】課時小結，內化知識.一 教學反思J本次課通過兩個例題的研究， 進一步掌握基

17、本不等式 Tab -ab ,并會用此定理求某些函數(shù)的最大、最小值.引發(fā)學生學習和使用數(shù)學知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求 是、理論與實際相結合的科學態(tài)度和科學道德.基本不等式Tab貸(第3課時)教學設計教材分析kJ“基本不等式” 是必修5的重點內容，它是在系統(tǒng)學習了不等關系和不等式性質，掌握了不等式性質的基礎上對不等式的進一步研究，同時也是為了以后學習選修教材中關于不等式及其證明方法等內容作鋪墊，起著承上啟下的作用.利用基本不等式求最值在實際問題中應用廣泛.同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結合、化歸等重要數(shù)學思想，有利r于培養(yǎng)學生良好的思維品質.一 教學目標J1 .進一步掌握基本不等式 廊 ab

18、會用此不等式證明不等式，會應用此不等式2求某些函數(shù)的最值，能夠解決一些簡單的實際問題；2 .通過例題的研究，進一步掌握基本不等式Jab ab ,并會用此定理求某些函數(shù)2的最大、最小值.3 .引發(fā)學生學習和使用數(shù)學知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、理論與實際相結合的科學態(tài)度和科學道德.“教學重難點 '教學重點掌握基本不等式Jab ab ,會用此不等式證明不等式，會用此不等式求某些函數(shù)的 2最值教學難點利用此不等式求函數(shù)的最大、最小值.教學過程1.課題導入1 .基本不等式：如果 a, b是正數(shù)，那么ab JOb（當且僅當a b時取""號）.22 .用基本不等式 a

19、bb a-b求最大（?。┲档牟襟E.2【設計意圖】復習引入.3 .講授新課1）利用基本不等式證明不等式24例1 已知m>0,求證 一 6m 24. m思維切入因為m>0,所以可把 絲和6m分別看作基本不等式中的 a和b,直接利用 m基本不等式.證明因為 m>0,由基本不等式得2、. 24 62 12 2424246m 2 6m m，m當且僅當 = 6m,即m=2時，取等號.m規(guī)律技巧總結 注意：m>0這一前提條件和-24 6m =144為定值的前提條件.m【設計意圖】例題講解，利用基本不等式證明不等式，熟練使用基本不等式.4 .隨堂練習1思維拓展1已知a, b, c, d

20、都是正數(shù)，求證(ab cd)(ac bd) 4abcd .八.一22222思維拓展 2求證(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2.一 ，一 4例2求證：a 7 .a 3思維切入由于不等式左邊含有字母a,右邊無字母，直接使用基本不等式，無法約“、一一，.44掉子母a,而左邊a (aa 3 a 33) 3 .這樣變形后，在用基本不等式即可得證.43 2a 3(a 3) 3 2.4 3 744證明3(a 3)a 3 a 34當且僅當 =a-3即a=5時，等號成立.a 3規(guī)律技巧總結通過加減項的方法配湊成基本不等式的形式.2)利用不等式求最值一49例3 (1) 若x>0,求f(x) 4x 一的最小值；x9 (2)右x<0,求f(x) 4x 一的取大值.xE八，、，-一9人、,八，E-,